浙教版八年级数学下册第5章特殊平行四边形导学课件

第 5 章 特殊平行四边形 5.1  矩形 第 5 章 特殊平行四边形 学知识 筑方法 第 1 课时 矩形的性质 勤反思 知识点 矩形的定义和性质 学知识 第 1 课时 矩形的性质 直角 定义 : 有一个角是 ________ 的平行四边形叫做矩形 .  矩形的性质 : (1) 一般性质 : 矩形具有平行四边形的所有性质 . (2) 特殊性质 : 定理 1: 矩形的四个角都是 ________;  定理 2: 矩形的对角线 ________.  直角 相等 第 1 课时 矩形的性质 (3) 对称性 : 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形 . (4) 矩形的对角线把矩形分成面积 ________ 的四个等腰三角形 . 若两条对角线所夹锐角为 60°, 则这四个等腰三角形中有两个正三角形 .  相等 1. 如图 5-1-1, 在矩形 ABCD 中 , 对角线 AC,BD 相交于点 O. (1)∠BAD=________°,∠ADC=________°;  (2)AB=________,AD=________,AC=________,OA=________= ________=________;  (3)△OAB≌________,△OAD≌________;  (4) 图中的等腰三角形有 _____________________________.  90 第 1 课时 矩形的性质 图 5 - 1 - 1 90 CD BC BD OB OC OD △OCD △OCB △OAB,△OBC,△OCD,△OAD 2. 如图 5-1-2, 在矩形 ABCD 中 , 对角线 AC,BD 相交于点 O,∠ACB=30°, 则∠ AOB 的大小为 (    ) A.30°    B.60°    C.90°    D.120° B 第 1 课时 矩形的性质 图 5 - 1 - 2 类型一 利用矩形的性质求角度 筑方法 第 1 课时 矩形的性质 图 5-1-3 例 1 [ 教材补充例题 ] 如图 5-1-3, 在矩形 ABCD 中 ,AC,BD 相交于点 O,AE 平分∠ BAD, 交 BC 于点 E. 若∠ CAE=15°, 求∠ BOE 的度数 . 第 1 课时 矩形的性质 第 1 课时 矩形的性质 第 1 课时 矩形的性质 【 归纳总结 】 利用矩形性质求角度的基本思路 矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形 , 当给出一定的条件时 , 其中的两个等腰三角形会变成等边三角形 , 然后利用等边三角形的相关边角性质即可解决问题 . 例 2 [ 教材补充例题 ] 如图 5-1-4 所示 , 在矩形 ABCD 中 ,AC 与 BD 相交于点 O,BE⊥AC 于点 E,CF⊥BD 于点 F. 求证 :BE=CF. 类型二 利用矩形的性质证明线段相等 [ 解析 ] 若要证明 BE=CF, 可证明 BE 和 CF 所在的两个三角形全等 , 即△ BOE≌ △COF 或△ ABE≌△DCF. 第 1 课时 矩形的性质 图 5 - 1 - 4 第 1 课时 矩形的性质 第 1 课时 矩形的性质 【 归纳总结 】 利用矩形性质进行证明的基本解题思路 此类问题常常需要借助全等证明 , 但要充分利用矩形的性质 , 不要盲目利用全等三角形 , 因为矩形的许多性质是由三角形全等推导出来的 . 例 3 [ 教材补充例题 ] 把一张矩形纸片 ABCD 按图 5-1-5 所示方式折叠 , 使顶点 B 与顶点 D 重合 , 折痕为 EF. 若 AB=3 cm,BC=5 cm, 求重叠部分△ DEF 的面积 . 类型三 利用勾股定理解决矩形折叠问题 第 1 课时 矩形的性质 图 5 - 1 - 5 第 1 课时 矩形的性质 第 1 课时 矩形的性质 【 归纳总结 】 解决矩形中折叠问题的基本思路 折叠就是以折痕所在直线为对称轴的轴对称变换 , 因此中垂线的性质、全等图形的性质是解决折叠问题的常用知识点 , 最后数形结合 , 利用勾股定理建立方程求解 . 勤反思 小 结 第 1 课时 矩形的性质 直角 矩形 定义 性质 有一个角是 _________ 的平行四边形叫做矩形 具有一般平行四边形的性质 矩形的特殊性质 （ 1 ）矩形的四个角都是 ________ ；（ 2 ）矩形的对角线 _______; （ 3 ）矩形既是 ________ 对称图形，又是 _________ 对称图形 直角 相等 轴 中心 反思 第 1 课时 矩形的性质 在矩形 ABCD 中 ,∠ABC 的平分线分矩形的一边 AD 为 1 cm 和 3 cm 的两部分 , 则这个矩形的面积为   4 cm 2   .  (1) 错因分析 : (2) 纠错 : 第 1 课时 矩形的性质 第 1 课时 矩形的性质 谢 谢 观 看！ 第 5 章 特殊平行四边形 5.1  矩形 第 5 章 特殊平行四边形 学知识 筑方法 第 2 课时 矩形的判定 勤反思 知识点一 矩形的判定方法 学知识 第 2 课时 矩形的判定 直角 矩形的定义 : 有一个角是 _________ 的平行四边形是矩形 .  定理 1: 有 _________ 个角是直角的四边形是矩形 .  定理 2: 对角线 _________ 的平行四边形是矩形 .  [ 点拨 ] (1) 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ; (2) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点得到的四边形是矩形 ; (3) 四个角都相等的四边形是矩形 . 三 相等 1. 下列命题中正确的是 (    ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 内角都相等的四边形是矩形 D 第 2 课时 矩形的判定 证明一个四边形是矩形一般有以下三种思路 : (1) 已知条件中含有较多直角或垂直关系时 , 直接证明四边形有 ____ 个角是直角得到矩形 ;  (2) 已知条件已有平行四边形 , 可以通过证明有一个角是 ________ 或证明对角线 ________ 得到矩形 ;  (3) 已知条件已有对角线相等或一个角是直角 , 可以通过证明四边形是 ___________ 得到矩形 .  知识点二 证明四边形是矩形的思路 三 第 2 课时 矩形的判定 直角 相等 平行四边形 2. 如图 5-1-6, 在▱ ABCD 中 ,BE 平分∠ ABC, 且与 AD 边交于点 E, ∠AEB= 45°. 求证 : 四边形 ABCD 是矩形 . 第 2 课时 矩形的判定 图 5 - 1 - 6 证明 : ∵四边形 ABCD 为平行四边形 , ∴AD∥BC, ∴∠AEB=∠EBC. ∵BE 平分∠ ABC,∠AEB=45°, ∴∠ABE=∠EBC=45°, ∴∠ABC=90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 类型一 矩形的判定的综合运用 筑方法 第 2 课时 矩形的判定 例 1 [ 教材补充例题 ] 如图 5-1-7, 在△ ABC 中 ,D 是 BC 边上的一点 ,E 是 AD 的中点 , 过点 A 作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F, 且 AF=BD, 连结 BF. (1) 求证 :△AEF≌△DEC; (2) 当△ ABC 满足什么条件时 , 四边形 AFBD 是矩形 ? 请说明理由 . 图 5 - 1 - 7 [ 解析 ] (1) 根据两直线平行 , 内错角相等求出∠ AFE=∠DCE, 然后利用“角角边”证明△ AEF 和△ DEC 全等 ; (2) 先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 AFBD 是平行四边形 , 再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形 , 可知∠ ADB=90°, 由等腰三角形三线合一的性质可知△ ABC 必须满足 AB=AC. 第 2 课时 矩形的判定 第 2 课时 矩形的判定 第 2 课时 矩形的判定 第 2 课时 矩形的判定 【 归纳总结 】 矩形的判定方法 可以用如下的结构图直观表示 : 四边形 平行四边形 矩形 有三个角是直角 有一个角是直角 对角线相等 第 2 课时 矩形的判定 例 2 [ 教材补充例题 ] 木工师傅承接了制作一个窗框的任务 , 要求必须是矩形 , 他制好后 , 要小明帮助检验一下窗框是不是矩形 . 若你是小明 , 你能找出至少两种容易操作且容易测量准确的检验方法吗 ? 请写出你的检验方法 . 类型二 矩形的判定定理在实际生活中的应用 解 : ( 方法不唯一 , 如方法一 : 量其中三个角看是不是直角 ; 方法二 : 量两组对边 , 看是否分别相等 , 并且有一个角是不是直角 ; 方法三 : 量两组对边 , 看是否分别相等 , 再量两条对角线是否相等 . 勤反思 小 结 第 2 课时 矩形的判定 矩形的判定 定义 判定定理 2 判定定理 1 有一个角是 _________ 的平行四边形是矩形 有 _______________ 的四边形是矩形 _____________ 的平行四边形是矩形 直角 三个角是直角 对角线相等 反思 第 2 课时 矩形的判定 如图 5-1-8, 在四边形 ABCD 中 ,AO=BO=CO=DO. 求证 : 四边形 ABCD 是矩形 . 证明 :∵AO=BO=CO=DO, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵AO=BO=CO=DO, ∴AC=BD,∴ 平行四边形 ABCD 是矩形 . 以上证明过程正确吗 ? 若正确 , 请写出一个一般性的结论 . 图 5 - 1 - 8 解 : 正确 . 结论 : 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 . 谢 谢 观 看！ 第 5 章 特殊平行四边形 5.2  菱形 第 5 章 特殊平行四边形 学知识 筑方法 第 1 课时 菱形的性质 勤反思 知识点 菱形的概念和性质 学知识 第 1 课时 菱形的性质 相等 菱形的定义 : 一组邻边 ________ 的平行四边形叫做菱形 .  菱形的性质 : (1) 一般性质 : 菱形具有平行四边形的所有性质 . (2) 特殊性质 : 定理 1: 菱形的四条边都 _______;  定理 2: 菱形的对角线 _________, 并且每条对角线 _____ 一组对角 .  相等 互相垂直 平分 (3) 对称性 : 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 . (4) 菱形的面积等于两条对角线长的  _____________ . 菱形的每条对角线把它分成两个全等的等腰三角形 ; 它的两条对角线把它分成四个全等的直角三角形 .  乘积的一半 第 1 课时 菱形的性质 1. 若菱形的一条边长为 4 cm, 则这个菱形的周长为 (    ) A. 20 cm        B.18 cm C.16 cm        D.12 cm C 第 1 课时 菱形的性质 2. 菱形 ABCD 的周长为 40 cm, 对角线 AC 的长为 10 cm, 则菱形相邻两内角的度数分别为 __________.  60°,120° 第 1 课时 菱形的性质 3. 已知菱形的两条对角线长分别是 6 和 8, 则这个菱形的面积为 __________.  24 第 1 课时 菱形的性质 类型一 菱形性质的应用 筑方法 第 1 课时 菱形的性质 图 5 - 2 - 1 第 1 课时 菱形的性质 第 1 课时 菱形的性质 【 归纳总结 】 (1) 菱形的对角线互相垂直 , 故连结菱形的对角线可构成直角三角形 , 从而利用勾股定理进行解题 . 若菱形有一个内角为 60°, 则两邻边与较短对角线还可以构成等边三角形 . (2) 计算菱形面积的方法 : ① 一条边长与其边上的高的积 ; ② 四个小直角三角形的面积之和 ( 或一个小直角三角形面积的 4 倍 ); ③ 两条对角线长的乘积的一半 . 类型二 与菱形相关的最值问题 第 1 课时 菱形的性质 图 5 - 2 - 2 B 第 1 课时 菱形的性质 第 1 课时 菱形的性质 【 归纳总结 】 求线段和最小值的基本解题思路 (1) 应用轴对称和三角形三边的关系 ; (2) 应用垂线段最短或两点之间线段最短 . 勤反思 小 结 第 1 课时 菱形的性质 邻边相等 菱形 定义 性质 一组 _________ 的平行四边形叫做菱形 具有一般平行四边形的所有性质 菱形的特殊性质 （ 1 ）菱形的四条边都 ________ ；（ 2 ）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线 ________________ 相等 平分一组对角 反思 第 1 课时 菱形的性质 菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半 , 你能结合图 5-2-3 进行简要的说明吗 ? 图 5 - 2 - 3 谢 谢 观 看！ 第 5 章 特殊平行四边形 5.2  菱形 第 5 章 特殊平行四边形 学知识 筑方法 第 2 课时 菱形的判定 勤反思 知识点一 菱形的判定方法 学知识 第 2 课时 菱形的判定 相等 定理 1: 四条边 ________ 的四边形是菱形 .  定理 2: 对角线互相 ________ 的平行四边形是菱形 .  定义法 : ________ 相等的平行四边形是菱形 .  [ 点拨 ] (1) 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ; (2) 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 ; (3) 顺次连结对角线相等的四边形的各边的中点得到的四边形是菱形 . 垂直 一组邻边 1. 下列条件中 , 能判定四边形是菱形的是 (    ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 D 第 2 课时 菱形的判定 证明一个四边形是菱形一般有以下两种思路 : 一是直接证明四边形的四条边都 ___________;  二是先证明四边形是 _________________ 形 , 然后证明对角线互相 ___________ 或有一组邻边 ___________.  知识点二 证明四边形是菱形的思路 相等 第 2 课时 菱形的判定 平行四边 垂直 相等 2. 如图 5-2-4, 在▱ ABCD 中 , 添加下列条件后不能判定▱ ABCD 是菱形的是 (    ) A. AB=BC B.AC⊥BD C.BD 平分∠ ABC D.AC=BD D 第 2 课时 菱形的判定 图 5 - 2 - 4 类型一 菱形的判定定理的应用 筑方法 第 2 课时 菱形的判定 图 5-2-5 例 1 [ 教材例 2 针对训练 ] 如图 5-2-5, 在△ ABC 中 ,D 是 BC 边的中点 , 点 E,F 分别在 AD 及其延长线上 ,CE∥BF, 连结 BE,CF. (1) 求证 :△BDF≌△CDE; (2) 若 AB=AC, 求证 : 四边形 BFCE 是菱形 . 第 2 课时 菱形的判定 证明 : (1)∵D 是 BC 的中点 ,∴BD=CD. ∵CE∥BF,∴∠DBF=∠DCE. 又∵∠ BDF=∠CDE,∴△BDF≌△CDE. (2)∵△CDE≌△BDF,∴DE=DF. 又∵ BD=CD,∴ 四边形 BFCE 是平行四边形 . ∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC, 即 EF⊥BC, ∴ 四边形 BFCE 是菱形 . 第 2 课时 菱形的判定 【 归纳总结 】 判定菱形的方法 第 2 课时 菱形的判定 例 2 [ 教材补充例题 ] 如图 5-2-6,E,F 为线段 BD 的三等分点 , 四边形 AECF 是菱形 . (1) 试判断四边形 ABCD 的形状 , 并加以证明 ; (2) 若菱形 AECF 的周长为 20,BD 的长为 24, 试求四边形 ABCD 的面积 . 类型二 菱形性质和判定的综合应用 图 5 - 2 - 6 第 2 课时 菱形的判定 第 2 课时 菱形的判定 勤反思 小 结 第 2 课时 菱形的判定 平行四边形 菱形的判定 定义 判定定理 2 判定定理 1 一组邻边相等的 _____________ 是 菱形 四条边 __________ 的四边形是 菱形 _________________ 的平行四边形是 菱形 相等 对角线互相垂直 反思 第 2 课时 菱形的判定 × √ 判断正误 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”); (1) 对角线相等的四边形是菱形 ; (    ) (2) 菱形的对角线互相平分 ; (    ) (3) 对角线垂直的四边形是菱形 ; (    ) (4) 只有菱形才能对角线互相垂直 ; (    ) (5) 邻边相等的平行四边形是菱形 . (    ) × × √ 谢 谢 观 看！ 第 5 章 特殊平行四边形 5.3  正方形 第 5 章 特殊平行四边形 学知识 筑方法 第 1 课时 正方形的判定 勤反思 知识点一 正方形的概念及判定方法 学知识 第 1 课时 正方形的判定 相等 正方形的定义 : 有一组邻边 ________, 并且有一个角是 ________ 的平行四边形是正方形 .  正方形的判定方法 : 定理 1: 有一组邻边相等的 ________ 是正方形 .  定理 2: 有一个角是直角的 ________ 是正方形 .  直角 矩形 菱形 1. 如图 5-3-1, 在矩形 ABCD 中 ,AC 与 BD 交于点 O, 请你添加一个条件 , 使矩形 ABCD 为正方形 . 你添加的条件是 ______________________________.  答案不唯一 , 如 AB=BC 或 AC⊥BD 第 1 课时 正方形的判定 图 5 - 3 - 1 2. 如图 5-3-2, 在菱形 ABCD 中 ,AC 与 BD 交于点 O, 请你添加一个条件 , 使菱形 ABCD 为正方形 . 你添加的条件是 ______________________________.  答案不唯一 , 如 AC=BD 或∠ ABC=90° 图 5 - 3 - 2 证明一个四边形是正方形一般有以下两种思路 : 一是直接利用正方形的定义证明 ; 二是先证明四边形是矩形 , 再证明它是正方形或先证明四边形是菱形 , 再证明它是正方形 . 知识点二 证明四边形是正方形的思路 第 1 课时 正方形的判定 3. 下列说法中 , 不正确的是 (    ) A. 既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 对角线互相平分的平行四边形是正方形 D 第 1 课时 正方形的判定 类型一 正方形判定的应用 筑方法 第 1 课时 正方形的判定 图 5-3-3 例 1 [ 教材补充例题 ] 如图 5-3-3 所示 , 已知▱ ABCD 中 , 对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 BD 延长线上的点 , 且△ ACE 是等边三角形 . (1) 求证 : 四边形 ABCD 是菱形 ; (2) 若∠ AED=2∠EAD, 求证 : 四 边形 ABCD 是正方形 . [ 解析 ] (1) 利用等边三角形“三线合一”得 DB⊥AC, 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证 .(2) 由等边三角形得∠ AEC=60°. 由∠ AED=2∠EAD, 得∠ EAD=15°, 于是∠ ADO=∠EAD+∠AED=45°, 所以∠ ADC=2∠ADO= 90°, 从而四边形 ABCD 是正方形 . 第 1 课时 正方形的判定 第 1 课时 正方形的判定 第 1 课时 正方形的判定 第 1 课时 正方形的判定 例 2 [ 教材补充例题 ] 已知 : 如图 5-3-4, 在平行四边形 ABCD 中 ,M,N 分别是 AD 和 BC 的中点 . (1) 求证 : 四边形 AMCN 是平行四边形 ; (2) 若 AC=CD, 求证 : 四边形 AMCN 是矩形 ; (3) 若∠ ACD=90°, 求证 : 四边形 AMCN 是菱形 ; (4) 若 AC=CD,∠ACD=90°, 求证 : 四边形 AMCN 是正方形 . 类型二 平行四边形、菱形、矩形及正方形的综合判定 图 5 - 3 - 4 第 1 课时 正方形的判定 第 1 课时 正方形的判定 第 1 课时 正方形的判定 【 归纳总结 】 平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 有一个角为直角 对角线相等 有一组邻边相等 对角线互相垂直 有一组邻边相等 对角线互相垂直 有一个角为直角 对角线相等 勤反思 小 结 第 1 课时 正方形的判定 邻边相等 正方形的判定 定义 判定定理 2 判定定理 1 有一组 _________________ 并且有一个角是 ___________ 的 平行四边形叫做正方形 _________________ 的矩形是正方 形 _________________ 的 菱形 是正方 形 直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 反思 第 1 课时 正方形的判定 1. 四边形 +_____________________________________________ ___________________________= 平行四边形 .  2. 平行四边形 +_____________________________= 矩形 ,  矩形 +_____________________________________= 正方形 .  3. 平行四边形 +________________________________= 菱形 ,  菱形 +____________________________= 正方形 .  两组对边分别平行或两组对边分别相等或一组对边平行且相等或对角线互相平分 有一个角为直角或对角线相等 有一组邻边相等或对角线互相垂直 有一组邻边相等或对角线互相垂直 有一个角为直角或对角线相等 谢 谢 观 看！ 第 5 章 特殊平行四边形 5.3  正方形 第 5 章 特殊平行四边形 学知识 筑方法 第 2 课时 正方形的性质 勤反思 知识点 正方形的性质 学知识 第 2 课时 正方形的性质 相等 (1) 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 . 边 : 四条边都 __________.  角 : 四个角都是 __________°.  对角线 :__________ 且互相 _______, 每条对角线 _______ 一组对角 .  对称性 : 既是 ____________, 又是 ____________.  90 相等 垂直 平分 轴对称图形 中心对称图形 (2) 正方形的两条对角线及四边共可构成 __________ 个等腰直角三角形 , 且分为两组全等三角形 , 故许多边、角问题可以在等腰直角三角形中解决 .  8 第 2 课时 正方形的性质 1. 若一个正方形的边长为 4, 则它的面积是 (    ) A. 8 B.12 C.16 D.20 C 第 2 课时 正方形的性质 [ 解析 ] 由∵一个正方形的边长为 4, ∴ 它的面积是 4 2 =16. 故选 C. B 第 2 课时 正方形的性质 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 (    ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 第 2 课时 正方形的性质 [ 解析 ] 菱形的性质有 :① 菱形的对边互相平行 , 且四条边都相等 ;② 菱形的对角相等 , 邻角互补 ;③ 菱形的对角线互相平分且垂直 , 并且每条对角线平分一组对角 . 正方形具有而菱形不一定具有的性质是矩形的特殊性质 :① 矩形的四个角都是直角 ;② 矩形的对角线相等 . A 项 , 菱形和正方形的对角线都互相垂直 , 故本选项不符合题意 ; B 项 , 菱形的对角线不一定相等 , 正方形的对角线一定相等 , 故本选项符合题意 ; C 项 , 菱形和正方形的对角线都互相平分 , 故本选项不符合题意 ; D 项 , 菱形和正方形的对角都相等 , 故本选项不符合题意 . 故选 B. 类型一 利用正方形的性质探索线段的数量关系 筑方法 第 2 课时 正方形的性质 图 5-3-5 例 1 [ 教材作业题第 4 题变式 ] 如图 5-3-5 所示 , 正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 的交点为 O, 以 O 为端点引两条互相垂直的射线 OM,ON, 分别交边 AB,BC 于点 E,F. 求证 :OE=OF. 第 2 课时 正方形的性质 第 2 课时 正方形的性质 类型二 利用正方形的对称性求最值 A 第 2 课时 正方形的性质 图 5 - 3 - 6 第 2 课时 正方形的性质 第 2 课时 正方形的性质 【 归纳总结 】 正方形既是轴对称图形 , 又是中心对称图形 , 它有四条对称轴且对称轴的交点就是对称中心 ( 即对角线的交点 ). 例 1  如图 , 在△ ABC 中 ,∠BAC=45°,AD⊥BC 于点 D,BD=2,DC=3, 求 AD 的长 . 小萍同学灵活运用轴对称知识 , 将图形进行翻折变换 , 巧妙地解答了此题 . 请按照小萍的思路 , 探究并解答下列问题 : 备选类型一 构造正方形解几何题 第 2 课时 正方形的性质 (1) 分别以 AB,AC 所在的直线为对称轴 , 画出△ ABD,△ACD 的对称图形 , 点 D,C 的对称点分别为点 E,F, 延长 EB,FC 相交于点 G. 求证 : 四边形 AEGF 是正方形 ; (2) 设 AD=x, 利用勾股定理 , 建立关于 x 的方程 , 求出 x 的值 . 第 2 课时 正方形的性质 [ 解析 ] (1) 由轴对称及已知条件可以得出∠ E=∠F=∠EAF=90°,AE=AF, 再根据正方形的判定方法就可以得出四边形 AEGF 是正方形 ;(2) 利用勾股定理建立关于 x 的方程 , 求出 x 的值 . 第 2 课时 正方形的性质 解 : ((1) 证明 : 由题意可得△ ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF, ∴∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC. 又∵∠ BAC=45°,∴∠EAF=90°. 又∵ AD⊥BC, ∴∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°. ∴ 四边形 AEGF 是矩形 . 又∵ AE=AD,AF=AD,∴AE=AF, ∴ 四边形 AEGF 是正方形 . 第 2 课时 正方形的性质 (2) 设 AD=x, 则 AE=EG=GF=x, ∵BD=2,DC=3, ∴BE=2,CF=3, ∴BG=x-2,CG=x-3. 在 Rt△BGC 中 ,BG 2 +CG 2 =BC 2 , 即 (x-2) 2 +(x-3) 2 =5 2 , 化简 , 得 x 2 -5x-6=0, 解得 x 1 =6,x 2 =-1( 舍去 ), ∴AD=x=6. 例 2  如图 ,l 1 ,l 2 ,l 3 ,l 4 是同一平面内的四条平行直线 , 且每相邻的两条平行直线间的距离为 h, 正方形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上 , 且正方形 ABCD 的面积是 25. (1) 连结 EF, 证明 :△ABE,△FBE,△EDF,△CDF 的面积相等 ; (2) 求 h 的值 . 备选类型二 “构造”在一组平行线上的正方形解决问题 第 2 课时 正方形的性质 第 2 课时 正方形的性质 第 2 课时 正方形的性质 第 2 课时 正方形的性质 第 2 课时 正方形的性质 【 归纳总结 】 解决此类问题的一般方法 : 作出相关平行线之间的垂线段 , 得到全等三角形 , 再结合题设其他条件解决问题 . 勤反思 小 结 第 2 课时 正方形的性质 直角 正方形 定义 性质 具有一般平行四边形的性质 正方形的特殊性质 （ 1 ）正方形的四个角都是 ________, 四条边 ________. （ 2 ）正方形的对角线 ____________ ______________ ，每条对角线 ______________________ 相等 相等 , 并且 互相垂直平分 平分一组对角 反思 第 2 课时 正方形的性质 × √ 判断以下命题的对错 :( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 矩形的对角线相等且互相平分 ; (    ) (2) 矩形的对角线相等且互相垂直 ; (    ) (3) 菱形的对角线相等且互相平分 ; (    ) (4) 菱形的对角线互相垂直且平分 ; (    ) (5) 正方形的对角线相等且互相平分 ; (    ) (6) 正方形的对角线互相垂直且平分 ; (    ) (7) 正方形的对角线相等且互相垂直平分 .(    ) √ × √ √ √ 谢 谢 观 看！ 第 5 章 特殊平行四边形 本章总结提升   第 5 章 特殊平行四边形 知识结构关系 本章总结提升 重点模块总结 章内专题阅读 本章总结提升   知识结构关系 矩形的判定 矩形的性质 菱形的判定 矩形 正方形的性质 菱形 菱形的性质 特殊平行四边形 正方形 正方形的判定 本章总结提升   模块 1  矩形的性质与判定 矩形的性质与判定有哪些 ? 它与平行四边形有何关系 ? 重点模块总结 本章总结提升 例 1 如图 5-T-1, 矩形 ABCD 中 ,E,F 分别在 AD,BC 边上 , 且∠ ABE=∠CDF. 求证 :(1)△ABE≌△CDF; (2) 四边形 BFDE 是平行四边形 . 图 5 - T - 1 本章总结提升 本章总结提升 【 归纳总结 】 矩形具有的特性 (1) 从边看 : 对边平行且相等 ; (2) 从角看 : 四个角都是直角 ; (3) 从对角线看 : 对角线互相平分且相等 . 本章总结提升 模块 2  菱形的性质与判定 菱形的性质与判定有哪些 ? 它与平行四边形有何关系 ? 菱形与矩形有何异同点 ? 本章总结提升 例 2 [2018· 金华一模 ] 如图 5-T-2, 在矩形 ABCD 中 , 对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M, 与 BD 相交于点 O, 与 BC 相交于点 N, 连结 BM,DN. (1) 求证 : 四边形 BMDN 是菱形 ; (2) 若 AB=4,AD=8, 求菱形 BMDN 的面积和对角线 MN 的长 . 图 5 - T -2 本章总结提升 本章总结提升 本章总结提升 【 归纳总结 】 菱形具有的特性 (1) 从边看 : 对边平行 , 四边相等 ; (2) 从角看 : 对角相等 , 邻角互补 ; (3) 从对角线看 : 对角线互相垂直平分 , 并且每条对角线平分一组对角 . 本章总结提升 模块 3  正方形的性质与判定 正方形的性质与判定有哪些 ? 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有怎样的关系 ? 本章总结提升 例 3 如图 5-T-3, 矩形 ABCD 中 ,AD=6,DC=8, 菱形 EFGH 的三个顶点 E,G,H 分别在矩形 ABCD 的边 AB,CD,DA 上 ,AH=2, 连结 CF. (1) 若 DG=2, 求证 : 四边形 EFGH 为正方形 ; (2) 若 DG=6, 求△ FCG 的面积 . 图 5 - T - 3 本章总结提升 本章总结提升 本章总结提升 【 归纳总结 】 正方形既是矩形 , 又是菱形 , 它具有矩形和菱形的所有性质 . 判定一个四边形是正方形 , 只需要保证它既是矩形又是菱形即可 . 本章总结提升 模块 4  中点四边形问题 你了解中点四边形吗 ? 中点四边形是怎么形成的 ? 中点四边形的形状是由什么决定的 ? 本章总结提升 例 4 我们给出如下定义 : 顺次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形 . (1) 如图 5-T-4①, 四边形 ABCD 中 ,E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点 . 求证 : 中点四边形 EFGH 是平行四边形 ; (2) 如图② ,P 是四边形 ABCD 内一点 , 且满足 PA=PB,PC=PD,∠APB= ∠CPD, E,F,G,H 分 别为边 AB,BC,CD,DA 的中点 , 猜想中点四边 形 EFGH 的形状 , 并证明你的猜想 ; 图 5 - T - 4 本章总结提升 (3) 若改变 (2) 中的条件 , 使∠ APB=∠CPD=90°, 其他条件不变 , 直接写出中点四边形 EFGH 的形状 ( 不必证明 ). 本章总结提升 本章总结提升 【 归纳总结 】 依次连结四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形 . 判断中点四边形的形状要抓住两个关键点 : 一是三角形中位线定理的应用 ; 二是原四边形两条对角线的数量关系和位置关系 . 本章总结提升 模块 5  特殊平行四边形中的折叠问题 解决折叠问题要用到哪些知识点 ? 在特殊四边形的折叠问题中 , 解决这类问题的常用方法有哪些 ? 本章总结提升 例 5 将长为 20, 宽为 a 的矩形纸片 (10