浙教版八年级数学下册第4章平行四边形导学课件

第 4 章 平行四边形 4.1  多边形 第 4 章 平行四边形 学知识 筑方法 第 1 课时 四边形 勤反思 知识点一 多边形的定义及相关概念 学知识 第 1 课时 四边形 在同一平面内 多边形 :_____________, 由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段 ( 线段的条数不小于 __) 首尾顺次相接形成的图形叫做多边形 .  边 : 组成多边形的各条线段叫做多边形的边 . 内角 : 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角 . 对角线 : 连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线 . 3 第 1 课时 四边形 外角 : 多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角 . 顶点 : 多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点 . 对角线 : 连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线 . 1. 看图 4-1-1, 完成下列填空 : (1) 四边形 ABCD 的各边是 _______________, 对角线是 __________;  (2) 四边形 ABCD 的各内角是 ____________________________;  (3) __________ 是四边形 ABCD 的一个外角 .  AB,BC,CD,DA 第 1 课时 四边形 图 4 - 1 - 1 AC,BD ∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB ∠ADE 四边形的内角和等于 ___________.  2. 在四边形 ABCD 中 ,∠A=∠C=90°,∠B=60°, 则∠ D=_________°.  知识点二 四边形的内角和定理 360° 第 1 课时 四边形 120 类型一 四边形的内角与外角 筑方法 第 1 课时 四边形 图 4-1-2 例 1 [ 教材补充例题 ] 如图 4-1-2, 在四边形 ABCD 中 ,∠DAB=∠DCB= 90°, 且∠ ABC 比∠ ADC 大 20°, 求四边形 ABCD 四个外角∠ 1,∠2,∠3,∠4 的度数 . 第 1 课时 四边形 第 1 课时 四边形 【 归纳总结 】 根据已知四边形的内角之间的关系 , 设出未知数 , 利用四边形内角和定理列出方程再求解 , 这是求解多边形中有关内角问题的常用方法 . 例 2 [ 教材补充例题 ] 如图 4-1-3, 在四边形 ABCD 中 ,∠A=∠B, ∠C=∠ADC. (1) 求证 :AB∥CD; (2) 若∠ C-∠A=60°, 过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E, 请判断△ ADE 是哪种特殊三角 形 , 并证明你的结论 . 类型二 四边形内角和定理的应用 第 1 课时 四边形 图 4 - 1 - 3 第 1 课时 四边形 第 1 课时 四边形 【 归纳总结 】 四边形中角度计算的常用方法 (1) 基本工具 : 四边形的内角和定理 , 平行线的性质 . (2) 基本方法 : 建立与角度相关的方程或方程组 , 利用方程思想求解 . 第 1 课时 四边形 备选类型 利用四边形的内角和解决周长、面积问题 第 1 课时 四边形 [ 点评 ] 四边形的问题常常转化为三角形的问题来解 . 本题将四边形的面积问题转化为两个 ( 等腰 ) 直角三角形的面积之差来解 , 这体现了又一种重要的数学思想 —— 转化思想 . 第 1 课时 四边形 第 1 课时 四边形 勤反思 小 结 第 1 课时 四边形 360° 多边形 三角形 在同一平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段 ( 线段的条数不小于 3) 首尾顺次相接形成的图形叫做多边形 四边形 四边形的内角和等于 _______ 反思 第 1 课时 四边形 ④ 谢 谢 观 看！ 第 4 章 平行四边形 4.1  多边形 第 4 章 平行四边形 学知识 筑方法 第 2 课时 多边形 勤反思 知识点一 多边形的内角和定理 学知识 第 2 课时 多边形 (n-2)×180° 定理 :n 边形的内角和为 ___________(n≥3).  1. 如果一个多边形的内角和等于 540°, 那么这个多边形是 (    ) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 B [ 解析 ] n 边形的内角和可以表示成 ( n- 2) × 180°, 设这个多边形的边数是 n , 就得到方程 ( n- 2) × 180° = 540°, 解得 n= 5, 则这个多边形的边数是 5 . 故选 B . 第 2 课时 多边形 1080° 2. 八边形的内角和为 ________.  [ 解析 ] 八边形的内角和为 (8-2)×180°=6×180°=1080°. 定理 : 任何多边形的外角和为 ___________.  知识点二 多边形的外角和定理 360° 第 2 课时 多边形 3. 如图 4-1-4,∠1,∠2,∠3,∠4 是五边形 ABCDE 的外角 , 且∠ 1=∠2= ∠3= ∠4=70°, 则∠ AED 的度数是 ____________.  图 4 - 1 - 4 100° 类型一 多边形的内角和与外角 筑方法 第 2 课时 多边形 图 4-1-5 例 1 [ 教材补充例题 ] 如图 4-1-5, 求∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的值 . 第 2 课时 多边形 【 归纳总结 】 根据三角形外角的性质 , 将求多个内角的度数和转化成求多边形的内角和 , 体现了转化的数学思想 . 例 2 [ 教材补充例题 ] 若一个多边形的每一个外角都是 60°, 则这个多边形的边数是 (    ) A.3      B.4      C.5      D.6 类型二 根据多边形的内角和定理、外角和定理求多边形的边数、对角线条数 D 第 2 课时 多边形 第 2 课时 多边形 【 归纳总结 】 求解多边形边数的方法 (1) 已知多边形内角和的度数 , 根据 n 边形的内角和公式 (n-2)×180° 求解 . (2) 已知多边形对角线的条数 , 可以根据对角线条数和边数 n 的关系求解 : 从 n 边形的一个顶点出发 , 可以引 (n-3) 条对角线 , 得到 (n-2) 个三角形 , 故 n 边形共有条对角线 . 例 3 [ 教材例 2 变式 ] 如图 4-1-6, 在六边形 ABCDEF 中 ,∠C=∠F, ∠A= ∠D, BC∥EF. (1) 求证 :AF∥CD; (2) 求∠ A+∠B+∠C 的度数 . 类型三 探求特殊多边形中的边、角的相关问题 第 2 课时 多边形 图 4 - 1 - 6 [ 解析 ] 要证 AF∥CD, 根据图形的位置 , 可适当添加辅助线 , 利用内错角相等或同旁内角互补 , 两直线平行来证明 , 结合题中的已知条件 BC∥EF, 我们可连结 CF, 容易证得∠ AFC=∠DCF. 同时结合四边形的内角和等于 360°, 可求得∠ A+∠B+∠BCD 的度数 . 第 2 课时 多边形 解 : (1) 证明 : 连结 CF. ∵BC∥EF,∴∠BCF=∠EFC. 又∵∠ BCD=∠EFA, ∴∠DCF=∠AFC,∴AF∥CD. (2)∵∠A+∠B+∠BCF+∠AFC=360°, ∠AFC=∠DCF,∴∠A+∠B+∠BCD=360°. 第 2 课时 多边形 【 归纳总结 】 解题的关键是作辅助线 , 把多边形的问题转化为三角形或四边形的问题 , 体现了转化的数学思想 . 勤反思 小 结 第 2 课时 多边形 多边形 n 边形的内角和为 ____________ 过 n 边形的同一顶点可以引 _______ 条对角线； n 边形共有 _______ 条对角线 任意多边形的外角和为 _________ (n-2)×180° 360° (n-3) 反思 第 2 课时 多边形 “一个五边形 , 截去一个角后 , 剩下的多边形的内角和是 720°.” 这句话正确吗 ? 为什么 ? 解： 不正确 . 理由 : 截去一个角 , 根据截法不同会产生 3 种情况 :① 都截在边上 : 多一个角 , 变为六边形 , 其内角和是 720°;② 过一个顶点 : 角的个数不变 , 还是五边形 , 其内角和是 540°;③ 过两个顶点 : 少一个角 , 变为四边形 , 其内角和是 360°. 故这句话不正确 . 谢 谢 观 看！ 第 4 章 平行四边形 4.2  平行四边形及其性质 第 4 章 平行四边形 学知识 筑方法 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 勤反思 知识点一 平行四边形的定义及边的性质 学知识 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 平行 1. 已知▱ ABCD 的周长为 32,AB=4, 则 AD 的长为 (    ) A. 4 B.12 C.24 D.28 (1) 平行四边形的定义 : 两组对边分别 ________ 的四边形叫做平行四边形 .  (2) 平行四边形的性质 : 平行四边形的对边 ________.  相等 B 平行四边形的性质 : 平行四边形的对角 ___________.  知识点二 平行四边形角的性质 相等 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 2. 如图 4-2-1, 在▱ ABCD 中 ,E 是 AB 延长线上一点 , 若∠ 1=60°, 则∠ D 的度数为 (    ) A. 120° B.60° C.45° D.30° 图 4 - 2 - 1 A 四边形具有不稳定性 , 即四边形的边长确定后 , 图形的形状不能确定 . 知识点三 用平行四边形的不稳定性解释生活中的现象 平行四边形的不稳定性 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 3. 学校大门口所设的滑动门是由平行四边形钢架组成的 , 其利用的原理是 _______________________.  类型一 利用平行四边形的性质求角度 筑方法 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 图 4-2-2 例 1 [ 教材补充例题 ] 如图 4-2-2, 在▱ ABCD 中 ,DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F, 且∠ ADE+∠CDF=60°, 求∠ EDF 的度数 . 解 : 在▱ ABCD 中 ,∠B=∠ADC.∵DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,∴∠DEB=∠DFB=90°. ∵ 四边形内角和为 360°,∴∠B+∠EDF=180°. ∵∠ADE+∠CDF=60°,∴∠B-60°+∠B=180°, ∴∠B=120°,∴∠EDF=60°. 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 【 归纳总结 】 平行四边形在角的方面主要有以下特征 (1) 内角和等于 360°; (2) 邻角互补 ; (3) 对角相等 . 例 2 [ 教材例 1 变式 ] 如图 4-2-3, 在▱ ABCD 中 , 点 E 与点 F 分别在 BC 与 AD 上 , 且∠ BAE=∠DCF. 求证 :AF=CE. 类型二 综合运用平行四边形的定义与性质 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 图 4-2-3 证明 : ∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴∠BAD=∠DCB,AD∥BC. 又∵∠ BAE=∠DCF,∴∠EAF=∠FCB. ∵AD∥BC,∴∠CFD=∠FCB, ∴∠EAF=∠CFD,∴AE∥FC, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 ,∴AF=CE. 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 【 归纳总结 】 平行四边形提供了线段的数量及位置关系 , 也提供了角的数量关系 , 为证明线段相等、角相等、三角形全等等提供了条件 . 例 3 [ 教材补充例题 ] 若▱ ABCD 的一个内角的平分线把一条边分成长分别是 4 cm 和 5 cm 的两条线段 , 则▱ ABCD 的周长是 ______________.  类型三 平行四边形的角平分线构成的等腰三角形问题 26 cm 或 28 cm 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 [ 解析 ] 如图 ,∠BAD 的平分线 AE 把 BC 分成长分别是 4 cm 和 5 cm 的两条线段 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ,BC=9 cm, ∴AB=CD,AD=BC=9 cm,AD∥BC, ∴∠DAE=∠BEA. 又∵ AE 平分∠ BAD,∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE. 当 BE=4 cm,EC=5 cm 时 ,AB=CD=4 cm,▱ABCD 的周长是 26 cm; 当 BE=5 cm,EC=4 cm 时 ,AB=CD=5 cm,▱ABCD 的周长是 28 cm. 综上所述 ,▱ABCD 的周长是 26 cm 或 28 cm. 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 【 归纳总结 】 平行四边形中角平分线型基本图形 角平分线 + 平行线⇒等腰三角形 . 如图 4-2-4, 四边形 ABCD 为平行四边形 ,BE 平分∠ ABC, 则△ ABE 为等腰三角形 . 图 4 - 2 - 4 勤反思 小 结 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 平行四边形 定义 性质 两组对边分别 ________ 的四边形叫做平行四边形 （ 1 ）平行四边形的对角 ________ . （ 2 ）平行四边形的对边 ________. （ 3 ）平行四边形具有 ____________ 平行 相等 相等 不稳定性 反思 第 1 课时 平行四边形及其边、角的性质 已知平行四边形一个内角的度数 , 可以确定其他三个内角的度数吗 ? 说说你的理由 . 解： 可以 . 因为平行四边形的对边平行 , 所以同旁内角互补 , 则可求出与已知角相邻的角的度数 , 再利用平行四边形的性质 ( 对角相等 ) 即可求出与已知角相对的角的度数 . 谢 谢 观 看！ 第 4 章 平行四边形 4.2  平行四边形及其性质 第 4 章 平行四边形 学知识 筑方法 第 2 课时 平行线的性质定理及其推论 勤反思 知识点一 平行线的性质定理及其推论 学知识 第 2 课时 平行线的性质定理及其推论 相等 图 4-2-5 平行线的性质定理 : 夹在两条平行线间的平行线段 _________;  推论 : 夹在两条平行线间的垂线段 _________.  相等 1. 如图 4-2-5, 直线 a∥b,AB∥CD,AE⊥ 直线 b 于点 E, DF⊥ 直线 b 于点 F, 下列说法错误的是 (    ) A. AB=CD B.AE=DF C. 四边形 ABCD 是平行四边形 D. 四边形 AEFD 不是平行四边形 D (1) 两条平行线中 , 一条直线上任意一点到另一条直线的距离 , 叫做这两条平行线之间的距离 . (2) 平行线间的距离处处 __________.  知识点二 平行线之间的距离 相等 第 2 课时 平行线的性质定理及其推论 2. 如图 4-2-6,AB⊥BC,CD⊥BC,AD∥BC,AB=3, AD=4, 则 AB 与 CD 的位置关系是 _________,AB 与 CD 之间的距离是 _________,AD 与 BC 之间的 距离是 _________.  图 4 - 2 - 6 平行 4 3 类型一 利用平行线的性质定理及其推论求平行四边形的面积 筑方法 第 2 课时 平行线的性质定理及其推论 图 4-2-7 例 1 [ 教材补充例题 ] 如图 4-2-7 所示 , 在▱ ABCD 中 ,AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 交 DC 的延长线于点 F. 若 AE=4,AF=6,▱ABCD 的周长为 40, 则▱ ABCD 的面积为 (    ) A.24 B.36 C.40 D.48 D [ 解析 ] ∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴AB=CD,AD=BC. 又∵▱ ABCD 的周长为 40, ∴BC+CD=20. 设 BC=x, 则 CD=20-x. 由平行四边形的面积公式有 S▱ABCD=BC·AE=CD·AF, 即 4x=6(20-x), 解得 x=12, ∴S▱ABCD=12×4=48. 第 2 课时 平行线的性质定理及其推论 例 2 [ 教材补充例题 ] 如图 4-2-8, 直线 AE∥BD, 点 C 在 BD 上 , 若 AE=4, BD=8,△ABD 的面积为 16, 求△ ACE 的面积 . 类型二 平行线间距离的应用 第 2 课时 平行线的性质定理及其推论 图 4 - 2 - 8 解 : ∵ BD=8,△ABD 的面积为 16, ∴BD 边上的高为 4.∵ 直线 AE∥BD, 点 C 在 BD 上 ,∴△ACE 的高也为 4,∴S△ACE=4×4÷2=8. 第 2 课时 平行线的性质定理及其推论 【 归纳总结 】 平行线间的距离处处相等这一性质通常用来解决三角形的面积问题 . 勤反思 小 结 第 2 课时 平行线的性质定理及其推论 平行线 平行线间的距离 平行线的性质定理及其推论 (1) 两条平行线中 , 一条直线上任意一点到另一条直线的 ________, 叫做这两条平行线之间的距离 . (2) 平行线间的距离处处相等 (1) 夹在两条平行线间的平行线段 __________. (2) 夹在两条平行线间的垂线段 _________ 距离 相等 相等 反思 第 2 课时 平行线的性质定理及其推论 如图 4-2-9 所示 , 直线 l1∥l2, 点 A,B 在直线 l1 上 , 点 C,D 在直线 l2 上 , 且 AC 与 BD 相交于点 O. 图中面积相等的三角形有哪些 ? 并说明理由 . 图 4 - 2 - 9 解 : 面积相等的三角形有 :①△ADC 和△ BCD; ②△ABD 和△ ABC;③△AOD 和△ BOC. 理由略 . 谢 谢 观 看！ 第 4 章 平行四边形 4.2  平行四边形及其性质 第 4 章 平行四边形 学知识 筑方法 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 勤反思 知识点 平行四边形对角线的性质 学知识 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 互相平分 平行四边形的对角线 ____________.  1. 平行四边形的对角线一定具有的性质是 (    ) A. 相等 B. 互相垂直 C. 互相平分 D. 互相垂直且相等 C 2. 如图 4-2-10, 在▱ ABCD 中 , 对角线 AC,BD 相交于点 O, 若 AC=14, BD=8,AB=10, 则△ OAB 的周长为 __________.  21 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 图 4 - 2 - 10 类型一 利用平行四边形对角线的性质解决相关计算问题 筑方法 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 图 4-2-11 例 1 [ 高频考题 ] 如图 4-2-11, 在▱ ABCD 中 , EF 过两条对角线的交点 O,AB=4,AD=3,OF=1.3, 则四边形 BCEF 的周长是 (    ) A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 B [ 解析 ] 在▱ ABCD 中 ,OB=OD,AB∥DC, ∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO, ∴△DEO≌△BFO,∴OE=OF,DE=BF. ∵AB=4,AD=3,OF=1.3, ∴ 四边形 BCEF 的周长 =4+3+1.3+1.3=9.6. 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 【 归纳总结 】 (1) 过平行四边形对角线的交点任意作一条直线与平行四边形的对边 ( 或对边的延长线 ) 相交所构成的三角形全等 , 该直线还平分平行四边形的周长和面积 ; (2) 平行四边形被对角线分成的四个小三角形中 , 相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的相邻两边长之差 ; (3) 平行四边形被对角线分成的四个小三角形的面积相等 , 都等于平行四边形面积的 . 例 2 [ 教材补充例题 ] 如图 4-2-12 所示 ,▱ABCD 和▱ EBFD 的顶点 A,E,F,C 在一条直线上 . 求证 :AE=CF. 类型二 灵活运用平行四边形对角线的性质证明线段相等 [ 解析 ] 连结对角线 BD 交 AC 于点 O, 利用“平行四边形的对角线互相平分”即可证明 . 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 图 4-2-12 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 证明 : 连结 BD, 交 AC 于点 O, 如图所示 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴OA=OC( 平行四边形的对角线互相平分 ). 同理 OE=OF, ∴OA-OE=OC-OF, 即 AE=CF. 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 【 归纳总结 】 连结对角线是解决平行四边形问题常用的作辅助线的方法 . 例 3 [ 教材例 3 变式 ] 如图 4-2-13 所示 , 已知▱ ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, 过点 O 任作一条直线与 AD,CB 的延长线分别交于点 E,F. 求证 :OE=OF. 类型三 平行四边形的性质与全等三角形的综合应用 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 图 4 - 2 - 13 证明 : ∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴AD∥BC,OD=OB, ∴∠E=∠F,∠EDO=∠FBO, ∴△DOE≌△BOF(AAS), ∴OE=OF. 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 【 归纳总结 】 过平行四边形的对角线的交点作直线 , 与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交 , 所夹的线段被这一点平分 . 勤反思 小 结 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 平行四边形 性质 边：平行四边形的对边平行且相等； 角：平行四边形的对角相等； 对角线：平行四边形的对角线 _____________ 互相平分 反思 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 平行四边形的一条边长是 14 cm, 请写出它的两条对角线长 . 同学甲写出的是 12 cm,16 cm; 同学乙写出的是 20 cm,22 cm; 同学丙写出的是 10 cm,16 cm; 同学丁写出的是 14 cm,12 cm. 你认为他们谁的答案正确 ? 请说明理由 . 第 3 课时 平行四边形对角线的性质 解 : 同学乙的答案正确 . 理由 : 平行四边形的对角线互相平分 , 平行四边形的一边和两条对角线的一半构成三角形 , 根据三角形的三边关系判断 . 同学甲 :6+8=14, 故不能构成三角形 ; 同学乙 :10+11>14, 故能构成三角形 ; 同学丙 :5+8