人教版八年级数学下册第18章平行四边形18.1

第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 第 1 课时 平行四边形的 边、角性质 1 课堂讲解 平行四边形的定义 平行四边形 的对边 相等 平行四边形 的对角 相等 平行线之间的距离 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 1 知识点 平行四边形的定义 知 1 －导 两组对边分别平行 四边形 平行 四边形 ∠ A 与∠ C ，∠ B 与∠ D 叫做 对角 . AB 与 CD ， AD 与 BC 叫做 对边 . 定义：两组对边分别平行 的四边形叫做 平行四边形 . A D C B 例 1 如图，在 ▱ ABCD 中，过点 P 作直线 EF ， GH 分别平 行于 AB ， BC ，那么图中共有 ______ 个平行四边形． 知 1 －讲 导引： 根据平行四边形的定义，知 AB ∥ CD ， AD ∥ BC ，由 已知可知， EF ∥ AB ， GH ∥ BC ，所以根据平行四边 形的定义可以判定四边形 ABFE 是平行四边形，同理 可判定四边形 EFCD 、四边形 AGHD 、四边形 GBCH 、 四边形 AGPE 、四边形 EPHD 、四边形 GBFP 、四边 形 PFCH 都是平行四边形，最后还要加上 ▱ ABCD ， 即共有 9 个平行四边形． 9 如图，▱ ABCD 中， EF ∥ GH ∥ BC ， MN ∥ AB ，则图中平行四边形的个数是 ( 　　 ) A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 18 知 1 －练 1 D ( 中考 · 泰安 ) 如图，在▱ ABCD 中， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， ∠ C 的平分线交 AD 于 E ，交 BA 的延长线于 F ，则 AE ＋ AF 的值等于 ( 　　 ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 6 知 1 －练 2 C 【 中考 · 广州 】 如图， E ， F 分别是▱ ABCD 的边 AD ， BC 上的点， EF ＝ 6 ，∠ DEF ＝ 60° ，将四边形 EFCD 沿 EF 翻折，得到四边形 EFC′D ′ ， ED ′ 交 BC 于点 G ，则△ GEF 的周长为 ( 　　 ) A ． 6 B ． 12 C ． 18 D ． 24 知 1 －练 3 C 2 知识点 平行四边形的对边相等 知 2 －导 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了 “两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么 关系？ 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的 对边相等 ； 下面我们对它进行证明. 探究 知 2 －导 如图 ， 连接 AC . ∵ AD//BC ， AB//CD ， ∴∠ 1= ∠ 2 ，∠ 3= ∠ 4. 又 AC 是 △ ABC 和 △ CDA 的公共边， ∴ △ ABC ≌△ CDA . ∴ AD = CD ， AB = CD . 证明： 归 纳 知 2 －导 （来自 《 教材 》 ） 这样我们证明了平行四边形具有以下性质： 平行四边形的对边相等 . 知 2 －讲 边的性质： 平行四边形对边平行；平行四边形对边 相等． 数学表达式： 如图， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC ， AB ＝ CD ， AD ＝ BC . 知 2 －讲 例 2 如图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， DE ⊥ AB ， BF ⊥ CD ， 垂足分别为 E ， F . 求证 AE = CF . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ A = ∠ C ， AD=CB. 又 ∠ AED = ∠ CFB = 90 。 ， ∴△ ADE ≌△ CBF. ∴ AE=CF. （来自 《 教材 》 ） 证明 ： 总 结 知 2 －讲 在四边形中证明四边形的对边相等，经常证明四 边形是平行四边形，利用平行四边形的性质定理—— 对边相等来得到线段相等 . 1 在 ▱ ABCD 中，已知 AB =5 ， BC =3， 求它的周长 . 知 2 －练 （来自 《 教材 》 ） 如图所示，因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 CD ＝ AB ＝ 5 ， AD ＝ BC ＝ 3 ， 所以▱ ABCD 的周长为 AB ＋ BC ＋ CD ＋ AD ＝ 5 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 3 ＝ 16. 解 ： 2 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一 起， 重合的部分构成了一个四边形 . 转动其中一张纸 条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？ 知 2 －练 （来自 《 教材 》 ） 由已知，可得 AD ∥ BC ， AB ∥ CD ， 所以四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AD ＝ BC . 即线段 AD 和 BC 的长度相等． 解 ： 【 中考 · 丽水 】 如图，在▱ ABCD 中，连接 A C ，∠ ABC ＝∠ CAD ＝ 45° ， AB ＝ 2 ，则 BC 的长 是 ( 　　 ) A. B ． 2 C ． 2 D ． 4 知 2 －练 3 C 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ BAD 的平分线把 BC 边分成长度是 6 和 8 的两部分，则平行四边形 ABCD 的周长是 ( 　　 ) A ． 44 B ． 40 C ． 44 或 40 D ． 36 知 2 －练 4 C 【 中考 · 威海 】 如图，在▱ ABCD 中，∠ DAB 的平分线交 CD 于点 E ，交 BC 的延长线于点 G ，∠ ABC 的平分线交 CD 于点 F ，交 AD 的延长线于点 H ， AG 与 BH 交于点 O ，连接 BE ，下列结论错误的是 ( 　　 ) A ． BO ＝ OH B ． DF ＝ CE C ． DH ＝ CG D ． AB ＝ AE 知 2 －练 5 D 3 知识点 平行四边形的对 角 相等 知 3 －导 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了 “两组对边分别平行”外，它的 角 之间还有什么 关系？ 度量一下，和你的猜想一致吗？ 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的 对 角 相等 ； 下面我们对它进行证明. 探究 知 3 －导 如图 ， 连接 AC . ∵ AD//BC ， AB//CD ， ∴∠ 1= ∠ 2 ，∠ 3= ∠ 4. 又 AC 是 △ ABC 和 △ CDA 的公共边， ∴ △ ABC ≌△ CDA . ∴∠ B = ∠ D . 请同学们自己证明 ∠ BAD = ∠ DCB . 证明： 结 论 知 3 －导 （来自 《 教材 》 ） 这样我们证明了平行四边形具有以下性质： 平行四边形的对 角 相等 . 知 3 －讲 角的性质： 平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补． 数学表达式： 如图， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ A ＝ ∠ C ， ∠ B ＝ ∠ D ， ∠ A ＋ ∠ B ＝ 180° ， ∠ B ＋ ∠ C ＝ 180° ， ∠ C ＋ ∠ D ＝ 180° ， ∠ A ＋ ∠ D ＝ 180°. 知 3 －讲 例 3 如图，在 ▱ ABCD 中，已知 ∠ A ＋ ∠ C ＝ 120° ，求平 行四边形各角的度数． 由平行四边形的对角相等， 得 ∠ A ＝ ∠ C ，结合已知条件 ∠ A ＋ ∠ C ＝ 120° ，即可求出 ∠ A 和 ∠ C 的度数； 再根据平行线的性质，进而求出 ∠ B ， ∠ D 的度数． 在 ▱ ABCD 中， ∠ A ＝ ∠ C ， ∠ B ＝ ∠ D . ∵∠ A ＋ ∠ C ＝ 120° ， ∴∠ A ＝ ∠ C ＝ 60°. ∵∠ D ＝ 180° － ∠ A ＝ 180° － 60° ＝ 120°. ∴∠ B ＝ ∠ D ＝ 120°. 解： 导引： 总 结 知 3 －讲 平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平 行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一 个角或已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数． 在 ▱ ABCD 中，已知 ∠ A = 38° ，求其余各内 角的度数 . 知 3 －练 （来自 《 教材 》 ） 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AB ∥ CD ，∠ C ＝∠ A ＝ 38° ，∠ B ＝∠ D ，所以∠ A ＋∠ D ＝ 180° ， 所以∠ D ＝ 180° －∠ A ＝ 180° － 38° ＝ 142° ，所以∠ B ＝∠ D ＝ 142°. 解 ： 【 中考 · 衢州 】 如图，在▱ ABCD 中， M 是 BC 延长线上的一点，若∠ A ＝ 135° ，则∠ MCD 的度数是 ( 　　 ) A ． 45° B ． 55° C ． 65° D ． 75° 知 3 －练 2 A 【 中考 · 黔西南州 】 已知▱ ABCD 中，∠ A ＋∠ C ＝ 200° ，则∠ B 的度数是 ( 　　 ) A ． 100° B ． 160° C ． 80° D ． 60° 知 3 －练 3 C 知 4 －导 4 知识点 平行线之间的距离 定义： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另 一条直线的距离，叫做这两条平行线之间 的距离． 例 4 如图所示， a ∥ b ， AB ∥ CD ， CE ⊥ b ， FG ⊥ b ，点 E ， G 为垂足，则下列结论中错误的 是 ( 　　 ) A ． AB ＝ CD B ． CE ＝ FG C ． A ， B 两点间的距离就是线段 AB 的长 D ．直线 a ， b 间的距离就是线段 CD 的长 根据 “ 两点间的距离 ” ， “ 两平行线间的距离 ” 的有 关概念和定理，可以作出判断． 知 4 －讲 D 导引： 总 结 知 4 －讲 如果两条直线平行，那么一条直线上的所有点到另 一条直线的距离相等；即：平行线间的距离处处相等． (1)“ 平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高 时，可根据需要灵活选择位置； ( 注：平行线的这一 性质常用来解决三角形同底等高问题 ) (2) 平行线的位置确定后，它们间的距离是定值 ( 是正值 ) ， 不随垂线段位置的改变而改变． 直线 a 上有一点 A ，直线 b 上有一点 B ，且 a ∥ b . 点 P 在直线 a ， b 之间，若 PA ＝ 3 ， PB ＝ 4 ，则直 线 a ， b 之间的距离 ( 　　 ) A ．等于 7 B ．小于 7 C ．不小于 7 D ．不大于 7 知 4 －练 1 D 如图， a ∥ b ，若要使 S △ ABC ＝ S △ DEF ，需增加条件 ( 　　 ) A ． AB ＝ DE B ． AC ＝ DF C ． BC ＝ EF D ． BE ＝ AD 知 4 －练 2 C 1. 平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形 . 2. 平行四边形的 对角相等 . 3. 平行四边形的 对角相等 . 4. 平行线之间的距离： 一条直线上任意一点到另一 条直线 的垂线段的长度 ，叫做这两条平行线之间 的距离． 1 知识小结 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 第 2 课时 平行四边形的 对角线性质 1 课堂讲解 平行四边形 的对角线 互相平分 平行四边形的面积 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 平行四边形的性质： 对边相等； 对角相等 回顾旧知 1 知识点 平行四边形的对角线互相平分 探究 如图 ，在 ▱ ABCD 中，连接 AC ， BD ，并设它们相交于点 O , OA 与 OC ， OB 与 OD 有什么关系？你能证明发现 的结论吗 ？ 我 们猜想，在 ▱ ABCD 中， OA = OC ， OB = OD . 知 1 －导 归 纳 知 1 －导 （来自 《 教材 》 ） 由此我们又得到平行四边形的一个性质： 平行四边形的对角线互相平分 对角线的性质： 平行四边形的对角线互相平分． 数学表达式： 如图， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD . 知 1 －讲 例 1 如图，已知 ▱ ABCD 的周长是 60 ，对角线 AC ， BD 相交于点 O . 若 △ AOB 的周长比 △ BOC 的周 长长 8 ，求这个平行四边形各边的长． 知 1 －讲 由平行四边形对边相等知， 2 AB ＋ 2 BC ＝ 60 ， 所以 AB ＋ BC ＝ 30. 又由 △ AOB 的周长比 △ BOC 的周长长 8 ， 知 AB － BC ＝ 8 ，联立以上两式，即可求出各边长． 导引： 知 1 －讲 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， AB ＝ CD ， AD ＝ BC . ∵ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DA ＝ 60 ， OA ＋ AB ＋ OB － ( OB ＋ BC ＋ OC ) ＝ 8 ， ∴ AB ＋ BC ＝ 30 ， AB － BC ＝ 8. ∴ AB ＝ CD ＝ 19 ， BC ＝ AD ＝ 11. 即这个平行四边形各边长分别为 19 ， 11 ， 19 ， 11. 解： 知 1 －讲 例 2 如图，已知 ▱ ABCD 与 ▱ EBFD 的顶点 A ， E ， F ， C 在一条直线上，求证： AE ＝ CF . 平行四边形的性质提供了边的平行 与相等，角的相等与互补，对角线 的平分，当所要证明的结论中的线 段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角 线互相平分这一性质．因此本例要证对角线上 的 AE ＝ CF ，可考虑利用对角线互相平分这一 性质，先连接 BD 交 AC 于点 O ，再进行证明． 导引： 知 1 －讲 如图，连接 BD 交 AC 于点 O . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC ( 平行四边形的对角线互相平分 ) ． ∵ 四边形 EBFD 是平行四边形， ∴ OE ＝ OF ( 平行四边形的对角线互相平分 ) ， ∴ OA － OE ＝ OC － OF ，即 AE ＝ CF ( 等式的性质 ) ． 证明： 总 结 知 1 －讲 本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两 线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证 这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却 忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路．因此在解 决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形 的性质． 1 如图，在 ▱ ABCD 中， BC = 10 ， AC =8， BD =14. △ AOD 的周长是多少? △ ABC 与 △ DBC 的周长 哪个长？长多少？ 知 1 －练 （来自 《 教材 》 ） 在▱ ABCD 中， AD ＝ BC ＝ 10 ， AB ＝ CD . 因为 AC ＝ 8 ， BD ＝ 14 ， 所以 OA ＝ OC ＝ AC ＝ ×8 ＝ 4 ， OB ＝ OD ＝ BD ＝ ×14 ＝ 7. 解： 知 1 －练 （来自 《 教材 》 ） 所以△ AOD 的周长为 OA ＋ OD ＋ AD ＝ 4 ＋ 7 ＋ 10 ＝ 21 ，△ ABC 的周长为 AB ＋ AC ＋ BC ＝ AB ＋ 8 ＋ 10 ＝ 18 ＋ AB ，△ DBC 的周长为 BC ＋ CD ＋ BD ＝ 10 ＋ CD ＋ 14 ＝ 24 ＋ CD ＝ 24 ＋ AB ， 所以△ DBC 的周长 >△ ABC 的周长， △ DBC 的周长－△ ABC 的周长＝ 24 ＋ AB － (18 ＋ AB ) ＝ 24 ＋ AB － 18 － AB ＝ 6 ， 即△ DBC 的周长比△ ABC 的周长长，长 6. 2 如图， ▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， EF 过点 O 且与 AB ， CD 分 别相交于点 E ， F . 求证 OE = OF . 知 1 －练 （来自 《 教材 》 ） 因为四边形 ABCD 为平行四边形， 所以 OA ＝ OC ， AB ∥ CD ， 所以∠ EAO ＝∠ FCO . 又因为∠ AOE ＝∠ COF ， 所以△ OAE ≌△ OCF . 所以 OE ＝ OF . 解 ： 【 中考 · 泸州 】 如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，且 AC ＋ BD ＝ 16 ， CD ＝ 6 ，则△ ABO 的周长是 ( 　　 ) A ． 10 B ． 14 C ． 20 D ． 22 知 1 －练 3 B 【 中考 · 青岛 】 如图，▱ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AE ⊥ BC ，垂足为 E ， AB ＝ 3 ， AC ＝ 2 ， BD ＝ 4 ，则 AE 的长为 ( 　　 ) A. B. C. D. 知 1 －练 4 D 【 中考 · 眉山 】 如图， EF 过▱ ABCD 对角线的交点 O ，交 AD 于 E ，交 BC 于 F ，若▱ ABCD 的周长为 18 ， OE ＝ 1.5 ，则四边形 EFCD 的周长为 ( 　　 ) A ． 14 B ． 13 C ． 12 D ． 10 知 1 －练 5 C 如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， AE ⊥ BD 于点 E ， CF ⊥ BD 于点 F ，连接 AF ， CE ，则下列结论： ① CF ＝ AE ； ② OE ＝ OF ； ③ DE ＝ BF ； ④图中共有四对全等三角形． 其中正确结论的个数是 ( 　　 ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 知 1 －练 6 B 2 知识点 平行四边形的 面积 知 2 －导 1 ． 面积公式： 平行四边形的面积＝底 × 高 ( 底为平 行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边 间的距离 ) ． 2 ．等底等高的平行四边形的面积相等． 知 2 －讲 例 3 如图，在 ▱ ABCD 中， AB =10， AD =8 ， AC ⊥ BC . 求 BC ， CD ， AC ， OA 的长，以及 ▱ ABCD 的面积 . （来自 《 教材 》 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ BC = AD= 8 ， CD = AB= 10 . ∵ AC ⊥ BC ， ∴△ ABC 是直角三角形 . 根据勾股定理， 又 OA = OC ， ∴ OA = AC =3 ， S ▱ ABCD = BC • AC =8×6=48. 解 ： 总 结 知 2 －讲 求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积 公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平 行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线 间的距离处处相等． 如图，若▱ ABCD 的周长为 36 cm ，过点 D 分别作 AB ， BC 边上的高 DE ， DF ，且 DE ＝ 4 cm ， DF ＝ 5 cm ，▱ ABCD 的面积为 ( 　 　 )cm 2 . A ． 40 B ． 32 C ． 36 D ． 50 知 2 －练 1 A 【 中考 · 包头 】如图，过▱ ABCD 的对角线 BD 上一点 M 分别作平行四边形两边的平行线 EF 与 GH ，那么图中的▱ AEMG 的面积 S 1 与▱ HCFM 的面积 S 2 的大小关系是 ( 　　 ) A ． S 1 ＞ S 2 B ． S 1 ＜ S 2 C ． S 1 ＝ S 2 D ． 2 S 1 ＝ S 2 知 2 －练 2 C 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC ， BD 为对角线， BC ＝ 6 ， BC 边上的高为 4 ，则图中阴影部分的面积为 ( 　　 ) A ． 3 B ． 6 C ． 12 D ． 24 知 2 －练 3 C 1. 平行四边形的对角线互相平分． 2. 平行四边形的面积＝底 × 高 ( 底为平行四边形的 任意一条边，高为这条边与其对边间的距离 ) ． 1 知识小结 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 第 3 课时 平行四边形 的判定 1 课堂讲解 两 组 对边平行 或 相等 的四边形是 平行四边形 两 组对角分别 相等 的四边形是 平行四边形 对角线 互相 平分 的四边形是 平行四边形 一 组对边平行且 相等 的四边形是 平行四边形 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 平行四边形的性质 平行四边形对边平行； 平行四边形对边相等； 平行四边形对角相等； 平行四边形对角线互相平分； 1 知识点 两组对边平行或相等的四边形是平行四边形 知 1 －导 一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求 . ” 从边看： 方法一：两组对边分别平行的四边形是 平行四边形； ( 定义法 ) 数学表达式： 如图， ∵ AB ∥ CD ， AD ∥ BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形； 方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 数学表达式： 如图， ∵ AB ＝ CD ， AD ＝ BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形； 知 1 －讲 要证四边形 BFDE 是平行四边形， 根据平行四边形的定义可证得 DF ∥ BE ，因此可采 用判定方法一即定义法证明 DE ∥ FB 即可． 例 1 如图所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形， DE 平分 ∠ ADC ，交 CB 的延长线于点 E ， BF 平分 ∠ ABC ，交 AD 的延长线于点 F . 求证：四边形 BFDE 是平行四 边形． 知 1 －讲 导引： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ ADC ＝ ∠ ABC ， AD ∥ CB . ∴ DF ∥ BE . ∵ DE 平分 ∠ ADC ， BF 平分 ∠ ABC ， ∴∠1 ＝ ∠2 ＝ ∠3 ＝ ∠4. ∵ AD ∥ BC ， ∴∠1 ＝ ∠ E . ∴∠ E ＝ ∠3. ∴ DE ∥ FB . ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形． ( 两组对边分别 平行的四边形是平行四边形 ) 知 1 －讲 证明： 总 结 知 1 －讲 平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方 法，也是其他判定方法的基础．当题目中出现平行 的线段时，往往借助判定方法一来帮助我们对四边 形加以判断． 知 1 －讲 例 2 如图，分别以 △ ABC 的三边为一边，在 BC 的同侧 作等边三角形 ABD ，等边三角形 BCE ，等边三角 形 ACF ，连接 DE ， EF . 求证：四边形 ADEF 是平行四边形． 由等边三角形的性质可以得到线 段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证 明四边形 ADEF 的两组对边分别相等，最后根 据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进 行判定． 导引： 知 1 －讲 ∵△ ABD 、 △ BCE 、 △ ACF 都为等边三角形， ∴ DB ＝ AB ＝ AD ， BE ＝ BC ， AC ＝ AF ， ∠ DBA ＝ 60° ， ∠ EBC ＝ 60°. ∴∠ DBE ＝ 60° － ∠ EBA ， ∠ ABC ＝ 60° － ∠ EBA ， ∴∠ DBE ＝ ∠ ABC ， ∴△ DBE ≌△ ABC ， ∴ DE ＝ AC . 又 ∵ AC ＝ AF ， ∴ AF ＝ DE . 同理可证： △ ABC ≌△ FEC ， ∴ AB ＝ FE ， ∴ FE ＝ AD ， ∴ 四边形 ADEF 是平行四边形． 证明： 总 结 知 1 －讲 根据等边三角形的性质可以得到线段相等，角相 等，进而通过证明三角形全等得到四边形 ADEF 的两 组对边分别相等，根据两组对边分别相等的四边形是 平行四边形得证． 如图， AB ＝ DC ＝ EF ， AD ＝ BC ， DE ＝ CF . 图中有哪些互相平行的线段？ 知 1 －练 （来自 《 教材 》 ） 1 AB ∥ CD ， AD ∥ BC ， CD ∥ EF ， DE ∥ CF ， AB ∥ EF . 解： 知 1 －练 2 四边形的四条边长分别是 a ， b ， c ， d ，其中 a ， b 为 一组对边长， c ， d 为另一组对边长且 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ d 2 ＝ 2 ab ＋ 2 cd ，则这个四边形是 ( 　　 ) A ．任意四边形 B ．平行四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．对角线垂直的四边形 B 2 知识点 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 知 2 －讲 几何语言： ∵∠ ABC = ∠ ADC ，∠ BAD = ∠ BCD ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ( 如图所示 ) 知 2 －讲 例 3 如图，在 ▱ ABCD 中， BE 平分 ∠ ABC ，交 AD 于 点 E ， DF 平分 ∠ ADC ，交 BC 于点 F ，那么四边 形 BFDE 是平行四边形吗？为什么？ 利用平行四边形对角相等 的性质可得 ∠ ABC ＝ ∠ ADC ， ∠ A ＝ ∠ C ，然后 再依据角平分线的定 义和三角形外角的性质证出四边形 BFDE 的两组 对角分别相等，于是可得出结论． 导引： 知 2 －讲 四边形 BFDE 是平行四边形． 理由：在 ▱ ABCD 中， ∠ ABC ＝ ∠ ADC ， ∠ A ＝ ∠ C . ∵ BE 平分 ∠ ABC ， DF 平分 ∠ ADC ， ∴∠ ABE ＝ ∠ CBE ＝ ∠ ABC ， ∠ CDF ＝ ∠ ADF ＝ ∠ ADC ， ∴∠ CDF ＝ ∠ ADF ＝ ∠ ABE ＝ ∠ CBE . ∵∠ DFB ＝ ∠ C ＋ ∠ CDF ， ∠ BED ＝ ∠ ABE ＋ ∠ A ， ∴∠ DFB ＝ ∠ BED ， ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形． 解： 总 结 知 2 －讲 当已知条件出现所要说明的四边形的角时， 可选择 “ 两组对角分别相等的四边形是平行四边 形 ” 来判定． 1 下列给出的条件中，能判定四边形 ABCD 是平行 四边形的是 ( 　　 ) A ． AB ∥ CD ， AD ＝ BC 　 B ． AB ＝ AD ， CB ＝ CD C ． AB ＝ CD ， AD ＝ BC 　 D ． ∠ B ＝ ∠ C ， ∠ A ＝ ∠ D 知 2 －练 C 3 知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形 知 3 －导 过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、 对角相等、对角线互相平分 . 反过来，对边相等，或对角 相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也 就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边 形”为例，通过三角形 全等进行证明 . 思考 知 3 －导 如图，在四边形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， 且 OA = OC ， OB = OD . 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵ OA=OC ， OD=OB, ∠ AOD= ∠ COB ， ∴△ AOD ≌△ COB. ∴∠ OAD = ∠ OCB. ∴ AD//BC. 同理 AB // DC . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 证明： 知 3 －讲 从对角线看： 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 数学表达式： 如图， ∵ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 知 3 －讲 （来自 《 教材 》 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO=CO ， BO=DO. ∵ AE=CF ， ∴ AO - AE = CO - CF ， 即 EO = FO . 又 BO = DO ， ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形 . 例 4 如图， ▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E ， F 是 AC 上的两点，并且 AE = CF . 求证 ： 四边形 BFDE 是平行四边形 . 证明 ： 总 结 知 3 －讲 从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线 互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第 二条对角线的中点 . 如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交 于 点 O ， E ， F 分别是 OA ， OC 的中 点 . 求证 BE ＝ DF . 知 3 －练 （来自 《 教材 》 ） 1 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 BO ＝ DO ， OA ＝ OC . 因为 E ， F 分别是 OA ， OC 的中点， 所以 OE ＝ OA ＝ OC ＝ OF . 又因为∠ BOE ＝∠ DOF ， 所以△ BOE ≌△ DOF ，所以 BE ＝ DF . 解： 如 图，线段 AB ， CD 相交于点 O ，且图上各点把线段 AB ， CD 四等分，这些点可以构成 ________ 个平行四边形． 知 3 －练 1 4 4 知识点 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 知 4 －导 我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它 的任意一组对边平行且相等 . 反过来，一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形吗？ 我们猜想这个结论正确，下面进行证明. 思考 知 4 －导 如图，在四边形 ABCD 中， AB//CD ， 且 AB = CD . 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . 连接 AC ， ∵ AB//CD , ∴∠ 1= ∠ 2 . 又 AB = CD ， AC = CA . ∴△ ABC ≌△ CDA. ∴ BC = DA. ∴ 四边形 ABCD 两组对边分别相等，它 是平行四 边形 . 证明： 归 纳 知 4 －导 于是我们又得到平行四边形的一个判断定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . （来自 《 教材 》 ） 知 4 －讲 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 数学表达式： 如图， ∵ AB CD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． ∥ ＝ 知 4 －讲 （来自 《 教材 》 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD ， EB//FD . 又 EB = AB ， FD = CD ， ∴ EB=FD. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形 . 例 5 如图，在 ▱ ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， CD 的中点. 求证：四边形 EBFD 是平行四边形 . 证明 ： 总 结 知 4 －讲 要证四边形是平行四边形，已知有一组对边平行，联想的思路有两种： 一是证明另一组对边平行； 二是证明平行的这组对边相等． 而证明边相等要三角形全等这条思路较常见． 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的 枕木长相等就可以了 . 你 能说出其中的道理吗？ 知 4 －练 （来自 《 教材 》 ） 1 因为一组对边平行 且相等的四边形是 平行四边形，所以 铁轨和夹在铁轨之间的枕木构成了平行四边形，因此可知两条直铺的铁轨是互相平行的． 解： 如图， 在 ▱ ABCD 中 ， BD 是 它的一条对角线，过 A ， C 两点分别作 AE 丄 BD ， CF 丄 BD ， E ， F 为 垂足 . 求证 ：四边形 AFGE 是平行四边形 . 知 4 －练 （来自 《 教材 》 ） 2 知 4 －练 （来自 《 教材 》 ） 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AB ∥ CD ， AB ＝ CD ，所以∠ CDB ＝∠ ABD . 又因为 AE ⊥ BD ， CF ⊥ BD ， 所以∠ AEB ＝∠ CFD ＝ 90° ，所以 AE ∥ CF . 在△ ABE 和△ CDF 中， AB ＝ CD ，∠ ABE ＝∠ CDF ，∠ AEB ＝∠ CFD ， 所以△ ABE ≌△ CDF ，所以 AE ＝ CF . 又因为 AE ∥ CF ，所以四边形 AFCE 是平行四边形． 解： 3 ( 中考 · 湘西州 ) 下列说法错误的是 ( 　　 ) A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是 平行四边形 知 4 －练 D 4 【 中考 · 衡阳 】 如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，要使四边形 ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是 ( 　　 ) A ． AB ＝ CD B ． BC ＝ AD C ．∠ A ＝∠ C D ． BC ∥ AD 知 4 －练 B 5 如图，在▱ ABCD 中，点 E ， F 分别在 AD ， BC 上，若要使四边形 AFCE 是平行四边形，可以添加的条件是 ( 　　 ) ① AF ＝ CF ；② AE ＝ CE ；③ BF ＝ DE ；④ AF ∥ CE . A ．①或②　 B ．②或③ C ．③或④　 D ．①或③ 知 4 －练 C 6 下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( 　　 ) 　 A ． AB ∥ CD ， AD ∥ BC B ．∠ A ＝∠ C ，∠ B ＝∠ D C ． AB ＝ CD ， AD ＝ BC D ． AB ∥ CD ， AD ＝ BC 知 4 －练 D 平行四边形的判定方法 : (1) 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形． (4) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (5) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 1 知识小结 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 第 4 课时 三角形的中 位线 1 课堂讲解 三角形的中位线性质 三角形中位线在四边形中的应用 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 温故知新 平行四边形的判定 边 角 对角线 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一 组 对边 平行 且相等 的四边形是平行四边形 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形 两组对 角 分别 相等 的四边形是平行四边形 对 角线互相平 分的四边形是平行四边形 1 知识点 三角形中位线 的性质 知 1 －导 探究思考 请同学们按要求画图： 画任意△ ABC 中，画 AB 、 AC 边中点 D 、 E ， 连接 DE ． D E 定义： 像 DE 这样， 连接三角形 两边中点 的 线段 叫做三角形的 中位线 ． 知 1 －导 观察猜想 在 △ ABC 中，中位线 DE 和边 BC 什么关系 ? DE 和边 BC 关系 数量关系： 位置关系： A B C D E DE//BC DE ＝ BC 知 1 －导 如图 ， D ， E 分别是 △ ABC 的 AB ， AC 的中点. 求证 ： DE//BC ， DE = BC. 本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半 . 将 DE 延长一倍后，可以将证明 DE = BC 转化为证明延长后的线段与 BC 相等.又由于 E 是 AC 的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明 . 分析： 知 1 －导 如图，延长 DE 到点 F ，使 EF = DE ，连接 FC ， DC ， AF . ∵ AE = EC ， DE = EF ， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形， CF DA . ∴ CF BD . ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形， DF BC . 又 DE = DF ， ∴ DE // BC ，且 DE = BC . ∥ ＝ ∥ ＝ ∥ ＝ 证明： 归 纳 知 1 －导 （来自 《 教材 》 ） 通过上述证明，我们得到三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且 等于第三边的一半. 中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的 第三边，并且等于第三边的一半； 数学表达式：如图， ∵ AD ＝ BD ， AE ＝ EC ， ∴ DE ∥ BC ，且 DE ＝ BC . 知 1 －讲 例 1 如图所示， D 是 △ ABC 内一点， BD ⊥ CD ， AD =6 ， BD =4 ， CD =3 ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 AC 、 CD 、 BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是 ． 知 1 －讲 利用勾股定理列式求出 BC 的长， 再根据三角形的中位线平行于第 三边并且等于第三边的一半求出 EH = FG = AD ， EF = GH = BC ，然后代入数据 进行计算即可得解． 11 分析： 知 1 －讲 ∵ BD ⊥ CD ， BD =4 ， CD =3 ， ∴ BC ∵ E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 AC 、 CD 、 BD 的中点， ∴ EH = FG = AD ， EF = GH = BC ， ∴四边形 EFGH 的周长 = EH + GH + FG + EF = AD + BC ， 又∵ AD =6 ， ∴四边形 EFGH 的周长 =6+5=11 ． 解： 总 结 知 1 －讲 本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的 应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于 第三边的一半是解题的关键． 知 1 －讲 例 2 如图，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边延长线 上一点，且 CE ＝ DC ，连接 AE ，分别交 BC ， BD 于点 F ， G ，连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 OF . 求证： AB ＝ 2 OF . 点 O 是平行四边形两条对角线的 交点，所以点 O 是线段 AC 的中点， 要证明 AB ＝ 2 OF ，我们只需证明点 F 是线段 BC 的中点，即证明 OF 是 △ ABC 的中位线． 导引： 知 1 －讲 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB ∥ CD ， AB ＝ CD . ∵ E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边延长线上一点， 且 CE ＝ DC ， ∴ AB ∥ CE ， AB ＝ CE ， ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形， ∴ 点 F 是 BC 的中点． 又 ∵ 点 O 是 AC 的中点， ∴ OF 是 △ ABC 的中位线， ∴ AB ＝ 2 OF . 证明： 总 结 知 1 －讲 证明线段倍分关系的方法： 由于三角形的中位线 等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段 是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考 虑三角形中位线定理． 1 如图，在△ ABC 中， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点 . 以这些点为顶 点，在图中，你能画 出多少个平行四边形？为什么？ 知 1 －练 （来自 《 教材 》 ） 可画出 3 个平行四边形，根据三角形的中位线定理可得平行四边形有：▱ BDFE ，▱ DFCE ，▱ ADEF . 解： 2 如图，直线 l 1 ∥ l 2 ，在 l 1 ， l 2 上分别截取 AD ， BC ，使 AD = BC ，连接 AB ， CD . AB 和 CD 有什么关系？为什么？ 知 1 －练 （来自 《 教材 》 ） AB ＝ CD 且 AB ∥ CD . 因为 l 1 ∥ l 2 ，所以 AD ∥ BC ， 又因为 AD ＝ BC ， 所以四边形 ABCD 是平行四边形． 所以 AB ＝ CD ，且 AB ∥ CD . 解： 3 如图， A ， B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C ，连接 AC 和 BC . 怎样测出 A ， B 两点间的距离？根据是什么？ 知 1 －练 （来自 《 教材 》 ） 如图所示，分别取 AC ， BC 的中点 E ， F ，连接 EF ，则 EF 就是△ ABC 的中位线．量出 EF 的长，根据 AB ＝ 2 EF ，即可求出 A ， B 两点间的距离． 解： 4 【 中考 · 宜昌 】 如图，要测定被池塘隔开的 A ， B 两点的距离，可以在 AB 外选一点 C ，连接 AC ， BC ，并分别找出它们的中点 D ， E ，连接 ED . 现测得 AC ＝ 30 m ， BC ＝ 40 m ， DE ＝ 24 m ，则 AB ＝ ( 　　 ) A ． 50 m B ． 48 m C ． 45 m D ． 35 m 知 1 －练 B 5 【 中考 · 梧州 】 如图，在△ ABC 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， AC ＝ 2 ， D ， E ， F 分别为 AB ， BC ， AC 的中点，连接 DF ， FE ，则四边形 DBEF 的周长是 ( 　　 ) A ． 5 B ． 7 C ． 9 D ． 11 知 1 －练 B 6 【 中考 · 营口 】 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， E ， F 分别是 BC ， AC 的中点，以 AC 为斜边作 Rt△ ADC ，若∠ CAD ＝∠ CAB ＝ 45° ，则下列结论不正确的是 ( 　　 ) A ．∠ ECD ＝ 112.5° B ． DE 平分∠ FDC C ．∠ DEC ＝ 30° D ． AB ＝ CD 知 1 －练 C 2 知识点 三角形中位线在四边形中的应用 知 2 －讲 欲证 MN BC ，只需证明 MN 是 △ EBC 的中位线即可．而要证得 M ， N 分别为 BE ， CE 的中点，则可利用 E ， F 分别为 AD ， BC 的中点证四边形 ABFE 和四边形 EFCD 为平行四边 形得到． 例 3 如图，在 ▱ ABCD 中， E ， F 分别是 AD ， BC 的中点， 连接 AF ， DF 分别交 BE ， CE 于点 M ， N ，连接 MN . 求证： MN BC . ∥ ＝ ∥ ＝ 导引： 知 2 －讲 如图，连接 EF . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD BC . ∵ E ， F 分别是 AD ， BC 的中点， ∴ AE ＝ AD ， BF ＝ BC ， ∴ AE BF . ∴ 四边形 ABFE 是平行四边形， ∴ MB ＝ ME . 同理，四边形 EFCD 是平行四边形， ∴ NC ＝ NE . ∴ MN 是 △ EBC 的中位线． ∴ MN BC . ∥ ＝ ∥ ＝ ∥ ＝ 证明： 总 结 知 2 －讲 (1) 证明两直线平行的常用方法： ① 利用同平行 ( 垂直 ) 于第三条直线；②利用同位角、 内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形 的性质；④利用三角形的中位线定理． (2) 证明一条线段是另一条线段的 2 倍的常用方法： ① 利用含 30° 角的直角三角形； ② 利用平行四边 形的对角线； ③ 利用三角形的中位线定理． 1 如图，已知长方形 ABCD 中， R ， P 分别是 DC ， BC 上的点， E ， F 分别是 AP ， RP 的中点，当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时，下列结论成立的是 ( 　　 ) A ．线段 EF 的长逐渐增大 B ．线段 EF 的长逐渐减小 C ．线段 EF 的长不改变 D ．线段 EF 的长先增大后减小 知 2 －练 C 2 【 中考 · 怀化 】 如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是 AB 的中点， OE ＝ 5 cm ，则 AD 的长为 ______cm. 知 2 －练 10 3 【 中考 · 广州 】 如图，四边形 ABCD 中，∠ A ＝ 90° ， AB ＝ 3 ， AD ＝ 3 ，点 M ， N 分别为线段 BC ， AB 上的动点 ( 含端点，但点 M 不与点 B 重合 ) ，点 E ， F 分别为 DM ， MN 的中点，则 EF 长度 的最大值为 ________ ． 知 2 －练 3 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 几何语言 ( 如图 ) ： ∵ DE 是△ ABC 的中位线， ∴ DE ∥ BC ． DE = BC ． 1 知识小结 A B C D E