人教版八年级数学下册第18章平行四边形18.2

第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 第 1 课时 矩形及其性质 1 课堂讲解 矩形的定义 矩形的边角性质 矩形的对角线性质 直角三角形斜边上中线的性质 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 1. 什么叫平行四边形？ 3. 平行四边形有哪些性质？ ①平行四边形的对角相等 . ② 平行四边形的对边相等 . ③ 平行四边形的对角线互相平分 . 2. 平行四边形与四边形 有什么关系？ A B C D 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 特殊 一般 平行四边形 具有四边形的 一切性质 1 知识点 矩形的定义 知 1 －讲 平行四边形 长方形 有一个角是直角 矩 形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . ★ 矩形具有平行四边形的一切性质！ 知 1 －讲 有一个内角是 直角 的 平行四边形 叫矩形 . 矩形定义： A B C D ∵ 在 ABCD 中， ∠ A =90 ° ∴ ABCD 是矩形 . 例 1 如图所示， l 1 ∥ l 2 ， A 、 B 是 l 1 上的两点，过 A 、 B 分 别作 l 2 的垂线，垂足分别为 D 、 C ．四 边形 ABCD 是矩形吗 ? 简述你的理由． 知 1 －讲 很容易发现 ABCD 为平行四边形只需有一个角为 直角即可，因为 AD ⊥ l 2 有直角，问题得证． 四边形 ABCD 是矩形，理由：∵ AD ⊥ l 2 ， BC ⊥ l 2 ， ∴ AD ∥ BC ．∵ l 1 ∥ l 2 ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 又∵∠ ADC =90 °，∴平行四边形 ABCD 为矩形． 分析： 解： 总 结 知 1 －讲 利用定义识别一个四边形是矩形，首先要 证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边 形有一个角是直角 . 1 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 知 1 －练 是，它有 2 条对称轴． 解： 2 下列说法不正确的是 (    ) A ．矩形是平行四边形 B ．矩形不一定是平行四边形 C ．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D ．平行四边形具有的性质矩形都具有 知 1 －练 B 3 【 中考 · 菏泽 】 在▱ ABCD 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ，连接 AC ， BD ，当▱ ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有 (    ) ① AC ＝ 5; ②∠ BAD ＋∠ BCD ＝ 180° ； ③ AC ⊥ BD ; ④ AC ＝ BD . A ．①②③   B ．①②④ C ．②③④   D ．①③④ 知 1 －练 B 2 知识点 矩形的边角 性质 知 2 －导 首先研究角的性质 B A D C 矩形的四个角都是直角 . 为什么 ? ※ 矩形的性质定理 1 知 2 －讲 例 2 如图所示，在矩形 ABCD 中， AE ⊥ BD 于点 E ， ∠ DAE ∶∠ BAE ＝ 3∶1 ，求 ∠ BAO 和 ∠ EAO 的度数． 由 ∠ DAE 与 ∠ BAE 之和为矩形 的一个内角及两角之比即可求 出 ∠ DAE 和 ∠ BAE 的度数，从 而得出 ∠ ABE 的度数，由矩形的性质易得∠ BAO ＝ ∠ ABE ，即可求出 ∠ BAO 的度数，再由 ∠ EAO ＝ ∠ BAO － ∠ BAE 可得 ∠ EAO 的度数． 导引： 知 2 －讲 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ DAB ＝ 90° ， AO ＝ AC ， BO ＝ BD ， AC ＝ BD . ∴∠ BAE ＋ ∠ DAE ＝ 90° ， AO ＝ BO . 又 ∵∠ DAE ∶∠ BAE ＝ 3∶1 ， ∴∠ BAE ＝ 22.5° ， ∠ DAE ＝ 67.5°. ∵ AE ⊥ BD ， ∴∠ ABE ＝ 90° － ∠ BAE ＝ 90° － 22.5° ＝ 67.5 ° . ∵ AO ＝ BO ， ∴∠ BAO ＝ ∠ ABE ＝ 67.5°. ∴∠ EAO ＝ ∠ BAO － ∠ BAE ＝ 67.5° － 22.5° ＝ 45°. 解： 总 结 知 2 －讲 矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形， 矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此 有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等 腰三角形中来解决． 1 如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上的一点，且 AD ＝ DE ，连接 BE 交 CD 于点 O ，连接 AO ，下列结论中不正确的是 (    ) A ．△ AOB ≌△ BOC B ．△ BOC ≌△ EOD C ．△ AOD ≌△ EOD D ．△ AOD ≌△ BOC 知 2 －练 A 2 【 中考 · 西宁 】 如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， OM ∥ AB 交 AD 于点 M ，若 OM ＝ 3 ， BC ＝ 10 ，则 OB 的长为 (    ) A ． 5 B ． 4 C. D. 知 2 －练 D 3 【 中考 · 安顺 】 如图，在矩形纸片 ABCD 中， AD ＝ 4 cm ，把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在 E 处， AE 交 DC 于点 O . 若 AO ＝ 5 cm ，则 AB 的长为 (    ) A ． 6 cm B ． 7 cm C ． 8 cm D ． 9 cm 知 2 －练 C 4 【 中考 · 绍兴 】 在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图．该图中，四边形 ABCD 是矩形， E 是 BA 延长线上一点， F 是 CE 上一点，∠ ACF ＝∠ AFC ，∠ FAE ＝∠ FEA . 若∠ ACB ＝ 21° ，则∠ ECD 的度数是 (    ) A ． 7° B ． 21° C ． 23° D ． 24° 知 2 －练 C 3 知识点 矩形 的 对角线 性质 知 3 －导 B A D C 两条对角线有何关系 ? 矩形的对角线相等 . ※ 矩形的性质定理 2 知 3 －导 任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现 ? 已知：如图所示，四边形 ABCD 是矩形． 求证： AC = DB ． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABC = ∠ DCB =90 ° ( 矩形的性质定理 1) ． ∵ AB = CD ( 平行四边形的对边相等 ) ， BC = CB ． ∴△ ABC ≌△ DCB (SAS). ∴ AC = DB ． 于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等 . 证明： 知 3 －讲 例 3 如图 ， 矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ∠ AOB =60° ， AB = 4. 求矩形对角线的长. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC 与 BD 相等且互相平分. ∴ OA = OB . 又 ∠ AOB = 60 ° ， ∴△ OAB 是等边三角形 . ∴ OA=AB =4. ∴ AC=BD =2 OA =8. （来自 《 教材 》 ） 解： 1 求证：矩形的对角线相等 . 知 3 －练 已知：如图，四边形 ABCD 是 矩形， AC 与 BD 相交于点 O . 求证： AC ＝ BD . 因为四边形 ABCD 是矩形， 所以∠ ABC ＝∠ DCB ＝ 90° ， AB ＝ DC ， 又 BC ＝ CB ， 所以 Rt△ ABC ≌Rt△ DCB ， 所以 AC ＝ DB ，即 AC ＝ BD . 解： 证明： 2 一 个矩形的 一 条对角线长为8，两条对角线的一 个交角为 120°. 求这个矩形的 边长 ( 结果保留小数点后两位 ). 知 3 －练 （来自 《 教材 》 ） 如图所示，在矩形 ABCD 中，∠ AOD ＝∠ BOC ＝ 120° ，所以∠ AOB ＝∠ COD ＝ 60°. 因为 AC ＝ BD ＝ 8 ，所以 OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD ＝ 4 ， 所以△ AOB 为等边三角形，所以 AB ＝ OA ＝ OB ＝ 4. 在 Rt△ ABD 中， AD ＝ ≈6.93. 即这个矩形的边长分别为 4 ， 6.93 ， 4 ， 6.93. 解： 3 【 中考 · 怀化 】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，∠ AOB ＝ 60° ， AC ＝ 6 cm ，则 AB 的长是 (    ) A ． 3 cm B ． 6 cm C ． 10 cm D ． 12 cm 知 3 －练 A 4 【 中考 · 兰州 】 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， CE ∥ BD ， DE ∥ AC ， AD ＝ DE ＝ 2 ，则四边形 OCED 的面积为 (    ) A ． 2 B ． 4 C ． 4 D ． 8 知 3 －练 A 5 【 中考 · 宜宾 】 如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边 AB ， BC 的长分别是 6 和 8 ，则点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 (    )   A ． 4.8 B ． 5 C ． 6 D ． 7.2 知 3 －练 A 知 4 －导 4 知识点 直角三角形斜边上中线的性质 A B C O D 在左图的 Rt △ ABC 中， OB 与 AC 有 何关系？ D 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . ※ 推 论 OB = AC 例 4 如图 (1) ， BD ， CE 是 △ ABC 的两条高， M ， N 分别 是 BC ， DE 的中点．求证： MN ⊥ DE . 知 4 －讲 如图 (2) ，连接 EM ， DM ，由 CE 与 BD 为 △ ABC 的两条高，可得 △ BEC 与 △ CDB 均为直角三角形，根据 M 为 BC 的中点，利用直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半，可得 EM 为 BC 的一半， DM 也为 BC 的一半，通过等量代换可得 EM ＝ DM ，又 N 为 DE 的中点， 所以 MN ⊥ DE . (1) (2) 导引： 知 4 －讲 连接 EM ， DM ，如图 (2). ∵ BD ， CE 为 △ ABC 的两条高， ∴ BD ⊥ AC ， CE ⊥ AB ， ∴∠ BEC ＝ ∠ CDB ＝ 90°. 在 Rt△ BEC 中， ∵ M 为斜边 BC 的中点， ∴ EM ＝ BC . 在 Rt△ CDB 中， ∵ M 为斜边 BC 的中点， ∴ DM ＝ BC . ∴ EM ＝ DM . 又 ∵ N 为 DE 的中点， ∴ MN ⊥ DE . 证明： (2) 总 结 知 4 －讲 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中 线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半． 1 ( 中考 · 鄂尔多斯 ) 如图， P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， E 是 AD 的中点．若 AB ＝ 6 ， AD ＝ 8 ，则四 边形 ABPE 的周长为 (    ) A ． 14 B ． 16 C ． 17 D ． 18 知 4 －练 D 2 【 中考 · 葫芦岛 】 如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点， AF ⊥ BC ，垂足为点 F ，∠ ADE ＝ 30° ， DF ＝ 4 ，则 BF 的长为 (    ) A ． 4 B ． 8 C ． 2 D ． 4 知 4 －练 D 1 ． 矩形定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩 形，具有平行四边形所有性质． 2 ． 性质归纳： 1 知识小结 矩形的四个角都是直角 . ※ 矩形的性质定理 1 矩形的对角线相等 . ※ 矩形的性质定理 2 ※ 推 论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 第 2 课时 矩形的判定 1 课堂讲解 由对角线的关系判定矩形 由直角的个数判定矩形 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 矩形的 两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形 的 两条对角线相等 边 对角线 角 矩形的性质 1 知识点 由对角线的关系判定矩形 我们知道，矩形的对角线相等 . 反过 来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不 仅要测量两组对边的长度是否分别相等， 常常还要测量它们的两条对角线是否相等， 以确保图形是矩形 . 你知道其中的道理吗？ 知 1 －导 思考 归 纳 知 1 －导 可以发现并证明矩形的一个判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形 . 警示： 两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个 四边形必须是平行四边形才可以 . 例 1 如图 ， 在 ▱ ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 且 OA = OD ， ∠ OAD =50°.求 ∠ OAB 的度数 . 知 1 －讲 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC ， OB = OD = BD. 又 OA = OD ， ∴ AC=BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . ∴ ∠ DAB =90°. 又 ∠ OAD = 50 ° ， ∴∠ OAB =40°. （来自 《 教材 》 ） 解： 总 结 知 1 －讲 用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边 形是矩形必须满足两个条件： 一是对角线相等， 二是四边形是平行四边形． 1 如图， ▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， △ OAB 是等边三角形，且 AB =4. 求 ▱ ABCD 的面积. 知 1 －练 （来自 《 教材 》 ） 知 1 －练 （来自 《 教材 》 ） 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 OA ＝ OC ， OB ＝ OD . 又因为 △ OAB 是等边三角形，所以 OA ＝ OB ＝ AB . 所以 OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD . 所以 AC ＝ BD ， 所以▱ ABCD 是矩形． 又因为 AB ＝ 4 ，所以 AC ＝ 8 ， 所以 BC ＝ 所以 S 矩形 ABCD ＝ AB · BC ＝ 4× 解： 2 如图，要使▱ ABCD 成为矩形，需添加的条件是 (    ) A ． AB ＝ BC B ． AO ＝ BO C ．∠ 1 ＝∠ 2 D ． AC ⊥ BD 知 1 －练 B 3 【 中考 · 黑龙江 】 如图，在▱ ABCD 中，延长 AD 到点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 EB ， EC ， DB ，请你添加一个条件 ______________________ ，使四边形 DBCE 是矩形． 知 1 －练 EB ＝ DC ( 答案不唯一 ) 2 知识点 有直角的个数判定矩形 知 2 －导 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是 直角 . 它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四 边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四 边形是矩形？ 思考 知 2 －导 (1) 根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形 是矩形．如果不通过平行四边形，能根据四边形 中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗 ? 有几个角是直角的四边形是矩形呢 ? 矩形的四个角都是直角 . 反过来，四个角都是直角 的四边形是矩形 . 知 2 －导 已知：如图所示，在四边形 ABCD 中， ∠ A = ∠ B = ∠ C =90 °． 求证：四边形 ABCD 是矩形． A B C D ∵ ∠ A = ∠ B = ∠ C =90 ° ， ∠ A + ∠ B =180 ° ， ∠ B + ∠ C =180 ° ， ∴ AD ∥ BC ， AB ∥ CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵ ∠ A =90 ° . ∴ ▱ ABCD 是矩形 . 证明： 归 纳 知 2 －导 有三个角是直角的四边形是矩形 . 知 2 －讲 例 2 如图， ▱ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 点 E ， F ， G ， H . 求证：四边形 EFGH 是矩形 . 要证明四边形 EFGH 是矩形， 由于已知 ABCD 的四个内角 的平分线分别相交于点 E ， F ， G ， H ，因此可选用 “ 有三个角是直角的四边形是 矩形 ” 来证明． 导引： 知 2 －讲 ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ ABC ＋ ∠ BCD ＝ 180°. ∵ BG 平分 ∠ ABC ， CG 平分 ∠ BCD ， ∴∠ GBC ＋ ∠ GCB ＝ ∠ ABC ＋ ∠ BCD ＝ ×180° ＝ 90° ， ∴∠ BGC ＝ 90°. 同理可得 ∠ AFB ＝ ∠ AED ＝ 90°. ∴∠ GFE ＝ ∠ FEH ＝ ∠ FGH ＝ 90°. ∴ 四边形 EFGH 是矩形． 证明： 总 结 知 2 －讲 本题目中的图形是建立在四边形基础上，而 条件中又涉及角的关系，一般采用 “ 角的方法 ” 来 判定矩形． 1 下列命题中，真命题有 (    ) (1) 对角线互相平分的四边形是矩形 (2) 三个角的度数之比为 1 ： 3 ： 4 的三角形是直角三角形 (3) 对角互补的平行四边形是矩形 (4) 三边之比为 1 ： ： 2 的三角形是直角三角形 A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 知 2 －练 C 2 如图，顺次连接四边形 ABCD 各边中点得四边形 EFGH ，要使四边形 EFGH 为矩形，应添加的条件是 (    ) A ． AB ∥ DC B ． AC ＝ BD C ． AC ⊥ BD D ． AB ＝ DC 知 2 －练 C 3 【 中考 · 上海 】 已知平行四边形 ABCD ， AC 、 BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是 (    ) A ．∠ BAC ＝∠ DCA B ．∠ BAC ＝∠ DAC C ．∠ BAC ＝∠ ABD D ．∠ BAC ＝∠ ADB 知 2 －练 C 1 知识小结 1. 有一个角是直角的 平行四边形 2. 对角线相等的 平行四边形 3. 有三个角是直角的 四边形 矩形 . 矩形的判定方法： 矩形 . 矩形 . 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 第 3 课时 菱形及其性质 1 课堂讲解 菱形的定义 菱形边的性质 菱形对角线的性质 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 平行四边形的性质： 边 平行四边形的对边 平行 ； 平行四边形的对边 相等 ； 角 平行四边形的对角 相等 ； 平行四边形的邻角 互补 ； 对角线 平行四边形的对角线 互相平分 ； 温故知新 1 知识点 菱形的定义 知 1 －导 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？ 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 菱形 邻边相等 知 1 －讲 有一组 的 叫做 邻边相等 平行四边形 A D C B ∵ 四边形 ABCD 是平 行四边形 AB=BC ∴ 四边形 ABCD 是菱形 菱形 . 知 1 －讲 感受生活 你能举出生活中你看到的菱形吗？ 知 1 －讲 生活 感受 例 1 已知：如图，在 △ ABC 中， CD 平分 ∠ ACB 交 AB 于点 D ， DE ∥ AC 交 BC 于点 E ， DF ∥ BC 交 AC 于 点 F . 四边形 DECF 是菱形吗？为什么？ 知 1 －讲 因为 DE ∥ FC ， DF ∥ EC ，所 以四边形 DECF 为平行四边 形，再根据有一组邻边相等 的平行四边形是菱形求证即 可． 导引： 知 1 －讲 四边形 DECF 是菱形．理由如下： ∵ DE ∥ FC ， DF ∥ EC ， ∴ 四边形 DECF 为平行四边形． 由 AC ∥ DE ，知 ∠2 ＝ ∠3. ∵ CD 平分 ∠ ACB ， ∴∠1 ＝ ∠2 ， ∴∠1 ＝ ∠3 ， ∴ DE ＝ EC ， ∴ 平行四边形 DECF 为菱形 ( 有一组邻边相等的平 行四边形是菱形 ) ． 解： 总 结 知 1 －讲 本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可 以作为菱形的判定方法． 1 如图，在△ ABC 中， AB ≠ AC ， D 是 BC 上一点， DE ∥ AC 交 AB 于点 E ， DF ∥ AB 交 AC 于点 F ，要使四边形 AEDF 是菱形，只需添加的条件是 (    ) A ． AD ⊥ BC B ．∠ BAD ＝∠ CAD C ． BD ＝ DC D ． AD ＝ BD 知 1 －练 B 2 知识点 菱形的边的 性质 知 2 －导 菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形 还具有哪些特殊性质呢 ? 根据菱形的轴对称性，你 发现菱形的四条边具有什么大小关系 ? 问 题 菱形的四条边都相等 . 知 2 －讲 例 2 如图所示，菱形 ABCD 中，∠ B ＝ 60 °， AB ＝ 2 ， E 、 F 分别是 BC 、 CD 的中点，连接 AE 、 EF 、 AF ，则△ AEF 的周长为 ( ) A ． B ． C ． D ． 3 在菱形 ABCD 中，因为∠ B ＝ 60 °，连接 AC ，则 △ ABC 是等边三角形，又因为 E 分别是 BC 的中点， 所以 AE 垂直于 BC ，因此 AE ＝ ，所以 △ AEF 的周长为 ，故选 B. B 分析： 总 结 知 2 －讲 在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造 三角形来做题，能够迎刃而解 . 1 边长为 3 cm 的菱形的周长是 (    ) A ． 6 cm B ． 9 cm C ． 12 cm D ． 15 cm 知 2 －练 C 2 【 中考 · 兰州 】 如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝ 4 ，∠ B ＝ 60° ， AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ，垂足分别为 E ， F ，连接 EF ，则△ AEF 的面积是 (    ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D. 知 2 －练 B 3 【 中考 · 重庆 】 如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，∠ DAB ＝ 60° ，以点 D 为圆心，菱形的高 DF 为半径画弧，交 AD 于点 E ，交 CD 于点 G ，则图中阴影部分的面积是 (    ) A ． 18 － 9π B ． 18 － 3π C ． 9 － D ． 18 － 3π 知 2 －练 A 4 【 中考 · 鄂州 】 如图，菱形 ABCD 的边 AB ＝ 8 ，∠ B ＝ 60° ， P 是 AB 上一点， BP ＝ 3 ， Q 是 CD 边上一动点，将梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠， A 的对应点为 A ′. 当 CA ′ 的长度最小时， CQ 的长为 (    ) A ． 5 B ． 7 C ． 8 D. 知 2 －练 B 3 知识点 菱形 的 对角线的 性质 知 3 －导 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的 所有性质 . 由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行 四边形不具有的一些特殊性质呢？ 思考 菱形的两条对角线 AC 与 BD 之间具有什么位置关系 ? 归 纳 知 3 －导 对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研 究 . 可以发现并证明 ( 请你自己完成证明 ) ，菱形还有以 下性质： 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角 . （来自 《 教材 》 ） 知 3 －导 问 题 菱形的面积如何计算呢？ 菱形的面积有两种计算方法： 一种是底乘以高的积； 另一种是对角线乘积的一半 . 所以在求菱形的面积 时，要灵活运用使计算简单 . 由于菱形的四条边都相等， 所以要求其周长就要先求 出其边长．由菱形的性质 可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角 三角形中利用勾股定理来进行计算． 知 3 －讲 例 3 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 点 O ， BD ＝ 12 cm ， AC ＝ 6 cm. 求菱形的周长． 导引： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD ， AO ＝ AC ， BO ＝ BD . ∵ AC ＝ 6 cm ， BD ＝ 12 cm ， ∴ AO ＝ 3 cm ， BO ＝ 6 cm. 在 Rt△ ABO 中，由勾股定理， 得 AB ＝ ∴ 菱形的周长＝ 4 AB 知 3 －讲 解： 总 结 知 3 －讲 菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角 形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为 求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来 计算． （来自 《 教材 》 ） 知 3 －讲 如 图 ， 菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m， ∠ ABC =60° ，沿着菱形的对角线修建了两条小 路 AC 和 BD . 求两条小路的长 ( 结果保留小数点后 两位 ) 和花坛的面积 ( 结果保留小数点后一位 ). 例 4 ∵ 花坛 ABCD 的形状是菱形， ∴ AC ⊥ BD ，∠ ABO = ∠ ABC = × 60° = 30°. 在Rt △ OAB 中， AO = AB = ×20=10 ， ∴ 花坛的两条小路长 AC = 2 AO =20 (m)， BD = 2 BO =20 ≈ 34. 64 (m). 花坛的面积 S 四边形 ABCD =4× S △ OAB = AC · BD =200 ≈ 346. 4 (m 2 ). （来自 《 教材 》 ） 知 3 －讲 解： 总 结 知 3 －讲 菱形的面积有三种计算方法： (1) 将其看成平行四边形，用底与高的积来求； (2) 对角线分得的四个全等直角三角形面积之和； (3) 两条对角线乘积的一半． 说明： 读者可利用 (1)(2) 两种方法试一试；注意应 用 (3) 这种方法时不要忽视 “ 一半 ” ． 1 四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 相交于 点 O ，且 AB = 5 ， AO = 4. 求 AC 和 BD 的长 . 知 3 －练 （来自 《 教材 》 ） 如图所示，因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 AC ⊥ BD ，且 AO ＝ CO ， OB ＝ OD . 又因为 AB ＝ 5 ， AO ＝ 4 ， 所以在 Rt△ AOB 中， OB ＝ 所以 BD ＝ 2 OB ＝ 2×3 ＝ 6 ， AC ＝ 2 AO ＝ 2×4 ＝ 8. 解： 2 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8 ， 求菱形的周长和面积 . 知 3 －练 （来自 《 教材 》 ） 如图，由已知得，在菱形 ABCD 中， AC ＝ 8 ， BD ＝ 6. 所以 OA ＝ OC ＝ 4 ， OB ＝ OD ＝ 3. 又由题意知 AC ⊥ BD ，所以在 Rt△ OAB 中， AB ＝ 又因为 AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ，所以菱形的周长为 AB ＋ BC ＋ CD ＋ AD ＝ 4 AB ＝ 4×5 ＝ 20 ， 菱形的面积为 AC·BD ＝ ×8×6 ＝ 24. 解： 3 【 中考 · 南充 】 已知菱形的周长为 4 ，两条对角线的和为 6 ，则菱形的面积为 (    ) A ． 2 B. C ． 3 D ． 4 知 3 －练 D 4 【 中考 · 河北 】 求证：菱形的两条对角线互相垂直． 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，对 角线 AC ， BD 交于点 O . 求证： AC ⊥ BD . 以下是排乱的证明过程： ①又 BO ＝ DO ；②∴ AO ⊥ BD ，即 AC ⊥ BD ； ③∵四边形 ABCD 是菱形；④∴ AB ＝ AD . 证明步骤正确的顺序是 (    ) A ．③→②→①→④ B ．③→④→①→② C ．①→②→④→③ D ．①→④→③→② 知 3 －练 B 5 【 中考 · 长沙 】 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 的长分别为 6 cm ， 8 cm ，则这个菱形的周长为 (    ) A ． 5 cm B ． 10 cm C ． 14 cm D ． 20 cm 知 3 －练 D 我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此菱形是 中心对称图形 ，想一想 菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？ 菱形是轴对称图形，对称轴有两条 . 拓展延伸 归 纳 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴 . 对 称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线． 例 5 如图 ① ，在菱形 ABCD 中， E ， F 分 别是 CB ， CD 上的点，且 BE ＝ DF . (1) 求证： AE ＝ AF . (2) 若 ∠ B ＝ 60° ，点 E ， F 分 别是 BC ， CD 的中点，求证： △ AEF 为等边三角形 . (1) 要证 AE ＝ AF ，只需证 △ AEB ≌△ AFD ，由 BE ＝ DF 及菱形的相关性质进行证明即可． (2) 如图 ② ，要 证 △ AEF 为等边三角形，由 AE ＝ AF 知，只需证 ∠ EAF ＝ 60° 即可，要证 ∠ EAF ＝ 60° ，只需证 ∠1 ＝ ∠2 ＝ 30° 即可，这可由菱形及等边三角形相关知识证出． 导引： (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝ AD ， ∠ B ＝ ∠ D . 又∵ BE ＝ DF ， ∴△ ABE ≌△ ADF ， ∴ AE ＝ AF . (2) 如图 ② ，连接 AC . ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝ BC . 又 ∵∠ B ＝ 60° ， ∴△ ABC 为等边三角形． ∴∠ BAC ＝ 60°. ∵ E 为 BC 的中点， ∴∠1 ＝ ∠ BAC ＝ 30°. 同理 ∠2 ＝ 30° ， ∴∠ EAF ＝ 60°. 又 ∵ AE ＝ AF ， ∴△ AEF 为等边三角形． 证明： 总 结 菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三 角形 ( 特殊时为两个全等的等边三角形 ) ，两条对角线 把菱形分成四个全等的直角三角形．所以有关菱形的 一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题 综合在一起． 1 菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为 (    ) A ． 2 条 B ． 4 条 C ． 6 条 D ． 8 条 A 2 【 中考 · 益阳 】 下列性质中菱形不一定具有的性质是 (    ) A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直 C ．对角线相等 D ．既是轴对称图形又是中心对称图形 C 1 ． 菱形的定义 ： 有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形 2 ． 菱形的性质： (1) 它具有平行四边形的一切性质 . (2) 菱形的四条边相等 . (3) 菱形的对角线互相垂直， 并且一条对角线平分 一组对角 . 1 知识小结 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 第 3 课时 菱形的判定 1 课堂讲解 由对角线的位置关系判定菱形 由边的数量关系判定菱形 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 A B C D O (1) 菱形具有平行四边形的一切性质； (2) 菱形的四条边都相等； (3) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角 线平分一组对角； 菱形的性质 1 知识点 由对角线的位置关系判定菱形 知 1 －导 同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？ 根据定义得：一组 邻边 相等的 平行四边形 是菱形 . 知 1 －导 平行四边形 菱形 一组邻边相等 还有其它的方法吗？ 知 1 －导 用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形 . 转动木条，这个四边形什么时候变成菱形 ? 猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 知 1 －导 证明 ： 判定一：对角线 互相垂直 的 平行四形 是菱形 . D C B A 已知：在 ABCD 中有对角线 AC ⊥ BD ， 且相交于点 O 求证： ABCD 是菱形 ∵四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ BO=DO 又∵ AO=AO ， ∠ AOD =∠ AOB ∴△ AOD ≌△ AOB . ∴ AD=AB ∴ ABCD 是菱形 O 归 纳 知 1 －导 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 提示： 此方法包括两个条件—— (1) 是一个平行四边形； (2) 两条对角线互相垂直 . 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 . 例 1 如图 ， □ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 且 AB =5 ， AO =4 ， BO =3. 求证 ： □ ABCD 是菱形 . 知 1 －讲 ∵ AB =5 ， AO =4 ， BO =3 ， ∴ AB 2 = AO 2 + BO 2 . ∴△ OAB 是直角三角形， AC ⊥ BD. ∴ □ ABCD 是菱形 . （来自 《 教材 》 ） 证明： 总 结 知 1 －讲 证明一个四边形是菱形的方法： 若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要 考虑证明这个四边形是平行四边形． 1 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构 成的四边形 ABCD 是一个菱形吗？为什么？ 知 1 －练 （来自 《 教材 》 ） 四边形 ABCD 是一个菱形． 理由：由题意易得 AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ， 所以四边形 ABCD 是菱形． 解 ： 2 【 2016· 海南 】 如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴， BD 与 AC 交于点 O ， AB ∥ CD ，则下列结论： ① AC ⊥ BD ；② AD ∥ BC ； ③四边形 ABCD 是菱形； ④△ ABD ≌△ CDB . 其中正确的是 ____________( 只填写序号 ). 知 1 －练 ①②③④ 3 【 2017· 泰安 】 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 CD 上一点，且 BC ＝ EC ， CF ⊥ BE 交 AB 于点 F ， P 是 EB 延长线上一点，下列结论：① BE 平分∠ CBF ；② CF 平分∠ DCB ；③ BC ＝ FB ；④ PF ＝ PC ，其中正确结论的个数为 (    ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 知 1 －练 D 2 知识点 由边的数量关系判定菱形 知 2 －导 我们知道，菱形的四条边相等 . 反过来，四条边 相等的四边形是菱形吗? 思考 知 2 －讲 例 2 如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ＝ CD ， 点 E ， F ， G ， H 分别是 AD ， BD ， BC ， AC 的中 点．试说明：四边形 EFGH 是菱形． 由于点 E ， F ， G ， H 分别是 AD ， BD ， BC ， AC 的中点，可知 EH ， HG ， GF ， FE 分别是 △ ACD ， △ ABC ， △ BCD ， △ ABD 的中位线，又 ∵ AB ＝ CD ， ∴ EH ＝ HG ＝ GF ＝ FE ， 根据 “ 四条边相等的四边形是菱形 ” 可得四边形 EFGH 是菱形． 导引： 知 2 －讲 ∵ 点 E ， H 分别为 AD ， AC 的中点， ∴ EH 为 △ ACD 的中位线， ∴ EH ＝ CD . 同理可证： EF ＝ AB ， FG ＝ CD ， HG ＝ AB . ∵ AB ＝ CD ， ∴ EH ＝ EF ＝ FG ＝ HG ， ∴ 四边形 EFGH 是菱形． 解： 总 结 知 2 －讲 有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明 四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也 可以通过先证四边形 EFGH 是平行四边形，再证一组 邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试． 要证明一个四边形是菱形， 一般先证明它是平行四边 形，再证明它的一组邻边 相等或对角线互相垂直． 知 2 －讲 例 3 如图，在 △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， AD 平分 ∠ BAC 交 BC 于点 D ， CH ⊥ AB 于点 H ，交 AD 于点 F ， DE ⊥ AB 于点 E ，那么四边形 CDEF 是菱形吗？说说你的 理由． 导引： 四边形 CDEF 是菱形．理由如下： ∵ CH ⊥ AB ， DE ⊥ AB ，∴ CF ∥ DE ， ∠4 ＋ ∠5 ＝ 90°. ∵∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠2 ＋ ∠3 ＝ 90° ， DC ⊥ AC . 又 ∵ AD 平分 ∠ BAC ， DE ⊥ AB ， ∴∠3 ＝ ∠4 ， DC ＝ DE ， ∴∠2 ＝ ∠5. 又 ∵∠1 ＝ ∠5 ， ∴∠1 ＝ ∠2. ∴ CF ＝ CD ， ∴ CF ＝ DE ，即 CF DE . ∴ 四边形 CDEF 是平行四边形． 又 ∵ DC ＝ DE ， ∴ 四边形 CDEF 是菱形． 知 2 －讲 ∥ ＝ 解： 总 结 知 2 －讲 判定菱形的方法： ① 若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形， 再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角 线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再 证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都 相等． 知 2 －练 一个平行四边形的一条边长是 9 ，两条对角线的长分别是 12 和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什 么？求出它的面积 . （来自 《 教材 》 ） 1 这是一个特殊的平行四边形，是菱形． 如图，在平行四边形 ABCD 中， AB ＝ 9 ， BD ＝ 12 ， AC ＝ 所以 OB ＝ OD ＝ 6 ， OA ＝ OC ＝ 解 ： 知 2 －练 （来自 《 教材 》 ） 因为 6 2 ＋ ( ) 2 ＝ 9 2 ，即 OB 2 ＋ OA 2 ＝ AB 2 ， 所以 △ AOB 是直角三角形， 所以 AO ⊥ BO ，即 AC ⊥ BD ， 所以平行四边形 ABCD 是菱形． S 菱形 ABCD ＝ AC · BD ＝ ×6 ×12 ＝ 36 . 2 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形 ABCD 为菱形的是 (    ) A ． BA ＝ BC B ． AC ， BD 互相平分 C ． AC ＝ BD D ． AB ∥ CD 知 2 －练 B 3 【 2017· 河南 】 如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加下列条件不能判定▱ ABCD 是菱形的只有 (    ) A ． AC ⊥ BD B ． AB ＝ BC C ． AC ＝ BD D ．∠ 1 ＝∠ 2 知 2 －练 C 4 【 2016· 雅安 】 如图，四边形 ABCD 的四边相等，且面积为 120 cm 2 ，对角线 AC ＝ 24 cm ，则四边形 ABCD 的周长为 (    ) A ． 52 cm   B ． 40 cm C ． 39 cm D ． 26 cm 知 2 －练 A 5 如图，在△ ABC 中， AD 是角平分线， DE ∥ AC 交 AB 于点 E ， DF ∥ AB 交 AC 于点 F . 如果 AE ＝ 4 cm ，那么四边形 AEDF 的周长为 (    ) A ． 12 cm B ． 16 cm C ． 20 cm D ． 22 cm 知 2 －练 B 6 如图，分别以 Rt△ ABC 的斜边 AB 和直角边 AC 为边向△ ABC 外作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE ， F 为 AB 的中点， DE 与 AB 交于点 G ， EF 与 AC 交于点 H ，∠ BAC ＝ 30°. 给出以下结论： ① EF ⊥ AC ；    ②四边形 ADFE 为菱形； ③ AD ＝ 4 AG ; ④ FH ＝ BD . 其中正确的结论是 (    ) A ．①②③  B ．①②④  C ．①③④  D ．②③④ 知 2 －练 C 1 知识小结 一组邻边相等 对角线互相垂直 四条边相等 五种判定方法 四边形 平行四边形 菱形 菱形的判定方法： 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 第 3 课时 正方形及其 性质 1 课堂讲解 正方形 的定义 正方形 的性质 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 平行四边形 边: 角 : 对角线 : 对边平行且相等 对角相等 ， 邻角互补 对角线互相平分 矩形 角 : 四个角是直角 对角线 : 对角线相等且互相平分 边： 对边平行且相等 具有平行四边形所有性质 回顾旧知 菱形的性质 菱形的性质 边 : 四条边相等 对角线 : 互相垂直平分 分别平分两组对角 对角相等,邻角互补 具有平行四边形一切性质 角： 1 知识点 正方形的定义 知 1 －导 正方形 菱形 正方形 有一个角是直角 正方形是特殊的菱形 知 1 －讲 正方形的概念： __________________________________ 的平行四边形是正方形 . _______________ 的菱形是正方形 . _________________ 的矩形是正方形 . 定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的 有一个角是直角 有一组邻边相等 例 1 如图，已知点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，点 F 是 CB 的延长线上一点，且 EA ⊥ AF . 求证： DE = BE. 知 1 －讲 本题要证明两条线段相等，而证明 线段相等的方法有很多，根据题中 所给的条件，由正方形 ABCD ，我们可以得到边 相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得 到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去 解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题 即可解决． 分析： 知 1 －讲 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD = AB ，∠ D = ∠ ABF = ∠ BAD =90 °． ∴∠ BAE + ∠ EAD =90 °． ∴ EA ⊥ AF ， ∴∠ BAE + ∠ FAB =90 °． ∴∠ EAD = ∠ FAB ． ∴△ ABF ≌△ ADE ． ∴ DE = BF . 证明： 总 结 知 1 －讲 知道正方形就说明它的四边都相等，四个角 都是直角 . 下面四个定义中不正确的是 (    ) A ．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B ．有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C ．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行 四边形叫做正方形 D ．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 知 1 －练 1 B 【 中考 · 兰州 】▱ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，且 AC ⊥ BD ，请添加一个条件： ________ ，使得▱ ABCD 为正方形． 知 1 －练 2 AC ＝ BD 2 知识点 正方形的 性质 知 2 －讲 正方形 边 的性质： 具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即 四条边相等，邻边垂直，对边平行； 知 2 －讲 例 2 已知：如图，在正方形 ABCD 中，对角线的交 点为 O ， E 是 OB 上的一点， DG ⊥ AE 于 G ， DG 交 AO 于 F ，求证： EF ∥ AB . 要证 EF ∥ AB ，由于 ∠ OBA ＝ 45° ， ∠ EOF ＝ 90° ，即需证 ∠ OEF ＝ 45° ，即要证明 OE ＝ OF ，而 OE ＝ OF 可通过证明 △ AEO ≌△ DFO 获得． 导引： 知 2 －讲 ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ AOE ＝ ∠ DOF ＝ 90° ， AO ＝ DO ， ∠ OBA ＝ 45°. 又 ∵ DG ⊥ AE ， ∴∠ EAO ＋ ∠ AEO ＝ ∠ EDG ＋ ∠ GED ＝ 90°. ∵∠ AEO ＝ ∠ GED ， ∴∠ EAO ＝ ∠ EDG ＝ ∠ FDO . ∴△ AEO ≌△ DFO (ASA) ． ∴ OE ＝ OF . ∴∠ OEF ＝ 45°. ∴∠ OEF ＝ ∠ OBA . ∴ EF ∥ AB . 证明： 总 结 知 2 －讲 通 过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步 得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最 常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直 角为证明三角形全等提供了条件． (1) 把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可 以裁出正方形纸片 . 为什么？ (2) 如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正 方形木板呢？ 知 2 －练 （来自 《 教材 》 ） 1 略 . 解 ： 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (    ) A ．四个角都相等 B ．四条边相等 C ．对角线相等 D ．对角线互相平分 知 2 －练 2 B 【 中考 · 宁波 】 一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中 n 个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则 n 的最 小值是 (    ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 知 2 －练 3 A 【 中考 · 广东 】 如图，正方形 ABCD 的面积为 1 ，则以相邻两边中点连线 EF 为边的正方形 EFGH 的周长为 (    )   A. B ． 2 C. ＋ 1 D ． 2 ＋ 1 知 2 －练 4 B 【 中考 · 毕节 】 如图，正方形 ABCD 的边长为 9 ，将正方形折叠，使顶点 D 落在 BC 边上的点 E 处，折痕为 GH . 若 BE ∶ EC ＝ 2∶1 ，则线段 CH 的长是 (    ) A ． 3     B ． 4     C ． 5     D ． 6 知 2 －练 5 B 知 2 －讲 正方形 角 的性质： 四 个角 相等， 且都是直角 ； 知 2 －讲 例 3 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm ， AC 为对角线， AE 平分 ∠ BAC ， EF ⊥ AC ，求 BE 的长． 线段 BE 是 Rt△ ABE 的一边，但由 于 AE 未知，不能直接用勾股定理 求 BE ， 由条件可证 △ ABE ≌△ AFE ，问 题转化为求 EF 的长，结合已知条 件易获解． 导引： ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴∠ B ＝ 90° ， ∠ ACB ＝ 45° ， AB ＝ BC ＝ 1 cm. ∵ EF ⊥ AC ， ∴∠ EFA ＝ ∠ EFC ＝ 90°. 又 ∵∠ ECF ＝ 45° ， ∴△ EFC 是等腰直角三角形， ∴ EF ＝ FC . ∵∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∠ B ＝ ∠ EFA ＝ 90° ， AE ＝ AE ， ∴△ ABE ≌△ AFE . ∴ AB ＝ AF ＝ 1 cm ， BE ＝ EF ， ∴ FC ＝ BE . 在 Rt△ ABC 中， AC ∴ FC ＝ AC － AF ＝ ( － 1)(cm) ， ∴ BE ＝ ( － 1) cm. 知 2 －讲 解： 总 结 知 2 －讲 解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边 相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正 方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解 决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙． 如图， ABCD 是一块正方形场地 . 小华和小芳在 AB 边上取定了一点 E ，测量知， EC=30 m ， EB = 10 m. 这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 知 2 －练 （来自 《 教材 》 ） 1 A D 知 2 －练 （来自 《 教材 》 ） 连接 AC ， BD 相交于点 O . 在 Rt△ BCE 中， BC 因为 AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ， 所以 S 正方形 ABCD ＝ BC 2 ＝ (20) 2 ＝ 800(m 2 ) ． 因为 AC 又 BD ＝ AC ，所以 BD ＝ 40 m ． 所以这块场地的面积是 800 m 2 ，对角线长是 40 m. 解 ： 【 中考 · 河北 】 如图是边长为 10 cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下 四种剪法中，裁剪线长度所标的数 据 ( 单位： cm) 不正确的是 (    ) 知 2 －练 2 A 【 中考 · 河南 】 我们知道：四边形具有不稳定性 . 如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上， AB 的中点是坐标原点 O ，固定点 A ， B ，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D ′ 处，则点 C 的对应点 C ′ 的坐标为 (    ) A ． ( ， 1) B ． (2 ， 1) C ． (1 ， ) D ． (2 ， ) 知 2 －练 3 D 1. 正方形是中心对称图形，轴对称图形 . 2. 正方形的四条边都相等 . 3. 正方形的四个角都相等 . 4. 正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条 对角线平分一组对角 . 有 一组邻边相等 并且 有一个角是直角 平行四边形 是 正方形 的 1 知识小结 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 第 3 课时 正方形的判定 1 课堂讲解 正方形 的对称性 正方形的判定 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 菱形的判别方法： 矩形的判别方法： 1 知识点 正方形的对称性 知 1 －讲 O A B C D (A) (B) (C) (D) 正方形的 对称性： 正方形是 中心对称图形，对称中心为点 O ； 又是 轴对称图形 ，有 四条 对称轴 . 例 1 如图，点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且 EC ＝ 2 AE ，直角三角形 FEG 的两直角边 EF 、 EG 分别 交 BC 、 DC 于点 M 、 N . 若正方形 ABCD 的边长为 a ， 则重叠部分四边形 EMCN 的面积为 (    ) A. a 2    B. a 2     C. a 2     D. a 2 知 1 －讲 D 作 EP ⊥ BC 于点 P ， EQ ⊥ CD 于点 Q ，易得 △ EPM ≌△ EQN ，利用四边形 EMCN 的面积等于正方形 PCQE 的面积求解． 作 EP ⊥ BC 于点 P ， EQ ⊥ CD 于点 Q ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠ BCD ＝ 90° ， 又 ∵∠ EPM ＝ ∠ EQN ＝ 90° ， ∴∠ PEQ ＝ 90° ， ∴∠ PEM ＋ ∠ MEQ ＝ 90° ， ∵ 三角形 FEG 是直角三角形， ∴∠ NEF ＝ ∠ NEQ ＋ ∠ MEQ ＝ 90° ， ∴∠ PEM ＝ ∠ NEQ ， ∵ CA 是 ∠ BCD 的角平分线， ∠ EPC ＝ ∠ EQC ＝ 90° ， ∴ EP ＝ EQ ，四边形 PCQE 是正方形， 知 1 －讲 导引： 在 △ EPM 和 △ EQN 中， ∴△ EPM ≌△ EQN (ASA) ，∴ S △ EQN ＝ S △ EPM ， ∴ 四边形 EMCN 的面积等于正方形 PCQE 的面积， ∵ 正方形 ABCD 的边长为 a ， ∴ AC ＝ a ， ∵ EC ＝ 2 AE ， ∴ EC ＝ a ， ∴ EP ＝ PC ＝ a ， ∴ 正方形 PCQE 的面积＝ a × a ＝ a 2 ， ∴ 四边形 EMCN 的面积＝ a 2 . 知 1 －讲 总 结 知 1 －讲 本例解法在于巧用 割补法 ，将分散的图形拼合在 一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中， 再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了 割补法 及 转化思想 ． 1 【 2016· 台州 】 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了 (    ) A ． 1 次  B ． 2 次 C ． 3 次 D ． 4 次 知 1 －练 B 2 将五个边长都为 2 cm 的正方形按如图所示方式摆放，点 A ， B ， C ， D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为 (    ) A ． 2 cm 2 B ． 4 cm 2 C ． 6 cm 2 D ． 8 cm 2 知 1 －练 B 2 知识点 正方形的判定 知 2 －导 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形 . 正方形的性质 = 菱形性质 矩形性质 知 2 －导 正方形 矩形 有一组邻边相等 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 平行四边形 有一个角是直角 有一组邻边相等 知 2 －讲 例 2 如图，在 △ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， CD 平分 ∠ ACB ， DE ⊥ BC ， DF ⊥ AC ，垂足分别为 E ， F . 求证：四边形 CFDE 是正方形． 要证四边形 CFDE 是正方形， 首先要确定这个正方形建立 在哪种四边形的基础上，即 先证它是什么四边形；再证 这种四边形是正方形需要补 充的条件． 导引： 知 2 －讲 证法一： ∵ DE ⊥ BC ， AC ⊥ BC ， ∴ DE ∥ CF . 同理 DF ∥ CE ， ∴ 四边形 CFDE 是平行四边形． ∵ CD 平分 ∠ ACB ， DE ⊥ BC ， DF ⊥ AC ， ∴ DE ＝ DF ， ∴ ▱ CFDE 是菱形． ∵∠ ACB ＝ 90° ， ∴ 菱形 CFDE 是正方形． 证法二： ∵∠ ECF ＝ ∠ CFD ＝ ∠ CED ＝ 90° ， ∴ 四边形 CFDE 是矩形． ∵ CD 平分 ∠ ACB ， DE ⊥ BC ， DF ⊥ AC ， ∴ DE ＝ DF ， ∴ 矩形 CFDE 是正方形． 总 结 知 2 －讲 证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种 方法： 方法 1 ： 证： “ 四边形＋四边相等＋四个直角 ” ； 方法 2 ： 证： “ 平行四边形＋一组邻边相等＋一个直 角 ” ； 方法 3 ： 证： “ 矩形＋一组邻边相等 ” ； 方法 4 ： 证： “ 菱形＋一个直角 ” ． 知 2 －讲 例 3 如图，已知在 ▱ ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ， E 是 BD 的延长线上的点，且 EA ＝ EC . (1) 求证：四边形 ABCD 是菱形； (2) 若 ∠ DAC ＝ ∠ EAD ＋ ∠ AED ， 求证：四边形 ABCD 是正方形． 要证 ▱ ABCD 是正方形，有三种途径可走：即在平行四 边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的 条件进行证明；若要证明 ▱ ABCD 是菱形，由于题中条 件与对角线相关，则需证 AC ⊥ BD . 导引： 知 2 －讲 (1) 首先根据平行四边形的性质可得 AO ＝ CO ，再由 EA ＝ EC 可得 △ EAC 是等腰三角形，然后根据等腰三角 形 三线合一的性质可得 EO ⊥ AC ，根据对角线互相 垂直的平行四边形是菱形可证出结论； (2) 首先根据角的关系得出 AO ＝ DO ，进而得到 AC ＝ BD ，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结 论． 知 2 －讲 (1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO ＝ CO ， ∵ EA ＝ EC ， ∴ EO ⊥ AC ，即 BD ⊥ AC ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形． (2)∵∠ ADO ＝ ∠ EAD ＋ ∠ AED ， ∠ DAC ＝ ∠ EAD ＋ ∠ AED ， ∴∠ ADO ＝ ∠ DAC ， ∴ AO ＝ DO ， ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ＝ 2 AO ， BD ＝ 2 DO ， ∴ AC ＝ BD ， ∴ 四边形 ABCD 是正方形 . 证明： 总 结 知 2 －讲 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法： (1) 证： “ 四边形＋对角线互相垂直、平分且相等 ” ； (2) 证： “ 平行四边形＋对角线互相垂直且相等 ” ； (3) 证： “ 矩形＋对角线互相垂直”； (4) 证： “ 菱形＋对角线相等 ” ． 1 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ (1) 对角线互相垂直且相等的平行四边形； (2) 对角线互相垂直的矩形； (3) 对角线相等的菱形； (4) 对角线互相垂直平分且相等的四边形 知 2 －练 （来自 《 教材 》 ） (1) 是； (2) 是； (3) 是； (4) 是．原因略． 解 ： 2 【 中考 · 黑龙江 】 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ___________________________ ，使四边形 ABCD 是正方形． 知 2 －练 ∠ BAD ＝ 90°( 答案不唯一 ) 3 【 2016· 益阳 】 下列判断错误的是 (    ) A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B ．四个内角都相等的四边形是矩形 C ．四条边都相等的四边形是菱形 D ．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正 方形 知 2 －练 D 5 【 中考 · 日照 】 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：① AB ＝ BC ；②∠ ABC ＝ 90° ；③ AC ＝ BD ；④ AC ⊥ BD 中选两个作为补充条件，使▱ ABCD 为正方形 ( 如图 ) ，现有下列四种选法，你认为其中错误的是 (    ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④ 知 2 －练 B 6 在△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别在 BC ， AB ， CA 上，且 DE ∥ CA ， DF ∥ BA ，连接 EF ， AD ，则下列三种说法： ①如果 EF ＝ AD ，那么四边形 AEDF 是矩形； ②如果 EF ⊥ AD ，那么四边形 AEDF 是菱形； ③如果 AD ⊥ BC 且 AB ＝ AC ，那么四边形 AEDF 是正方形，其中正确的有 (    ) A ． 3 个 B ． 2 个 C ． 1 个 D ． 0 个 知 2 －练 B 1 知识小结 5 种识别方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或 对角线相等 一组邻边相等 或 对角线垂直 一组邻边相等 或 对角线垂直 一个角是直角 或 对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形