高二数学月考试卷 2021.3
一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有
一项是符合题意要求的.）
1．复数 3 1+3i5
（ ）的模为（ ）
A． 3 10
5
B． 9
10 C． 3 10
10 D．2
2． 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b 平
面 ，直线 a 平面 ，直线b ∥平面 ，则直线b ∥直线 a ”的结论显然是错误的，这是
因为 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
3．一个物体的运动方程为 21s t t ，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒
末的瞬时速度是（ ）
A．7 米/秒 B．6 米/秒 C．5 米/秒 D．8 米/秒
4．用数学归纳法证明
2
2 3 1 *11+ ( 1, )1
n
n aa a a a a n Na
，在验证 n=1 成立时，
等式左边是
（ ）
A．1 B．1 a C． 21 a a
D． 2 31 a a a
5．设
△
ABC 的三边长分别为 a,b,c,
△
ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r＝ 2S
a＋b＋c
,类比这个结
论可知：四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球半径为 r,四面体 SABC 的体积
为 V,则 r＝( )
A. V
S1＋S2＋S3＋S4
B. 2V
S1＋S2＋S3＋S4
C. 3V
S1＋S2＋S3＋S4
D. 4V
S1＋S2＋S3＋S4
6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是（ ）。
A．假设三内角都不大于 60 度； B. 假设三内角至多有两个大于 60 度；
C. 假设三内角至多有一个大于 60 度； D.假设三内角都大于 60 度.
7．若 Cz ，且 1z ，则 3iz 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知定义域为 R 的函数 f x 的导函数为 f x ，且 3 2xxf x x e f x ，若
22 4 4f e ，则
函数 4g x f x 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多项选择题：（本题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有
选错的得 0 分.）
9．设 1 2 3, ,z z z 为复数， 1 0z ．下列命题中正确的是（ ）
A. 若 2 3z z ，则 2 3z z B. 若 1 2 1 3z z z z ，则 2 3z z
C.若 2
1 2 1z z z ，则 1 2z z D. 若 2 3z z ，则 1 2 1 3z z z z
10．已知点 2(1 )A ， 在函数 3f x ax 的图象上，则过点 A 的曲线 :C y f x 的切线方程是
（ ）
A． 6 4 0x y B． 4 7 0x y
C． 4 7 0x y D．3 2 1 0x y
11．以下命题正确的是（ ）
A． 0a 是 ( , )z a bi a b R 为纯虚数的必要不充分条件
B．若把 4 封不同的信投入 3 个不同的信箱,则不同的投法种数共有 81 种
C．“在区间 ,a b 内 0f x ”是“ f x 在区间 ,a b 内单调递增”的充分不必要条件
D．已知 f x x x x ，则
1
87
8f x x
12. 已知函数 sin( ) ex
xf x x
，则 （ ）
A． ( )f x 是奇函数 B． ( )f x ＜1
C． ( )f x 在(﹣1，0)单调递增 D． ( )f x 在(0，
2
)上存在一个极值点
三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知复数 3 4z i ，那么 z 的虚部是________.
14．有一项活动，要从 4 名老师、7 名男同学和 8 名女同学中选人参加，若需要 1 名老师、1
名学生参加，则有 种不同的选法．
15. 在正三棱锥 A BCD 中，侧棱长为 3，底面边长为 2，则点 A 到平面 BCD 的距离为
_________；
AB 与面 ACD 所成角的余弦值为__________．
16．若存在 0,x ，使得不等式 0ln 1xae x 成立，则实数 a 的最大值为___________.
四、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
17.（1） (1 )(1 ) ( 1 )i i i ； （2） 20201 2 1( )3 4 1
i i
i i
18. 已知函数 3 2( ) 3 9f x x x x a .
（1）当 2a 时，求 ( )f x 的极值；
（2）若 ( )f x 在区间 2,2 上的最小值为 5 ，求它在该区间上的最大值．
19．已知 z C ， 2z i 和
2
z
i
都是实数．
（1）求复数 z ；
（2）若复数 2( )z ai 在复平面上对应的点在第四象限，试求实数 a 的取值范围．
20．如图，在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形，AB∥CD, AB＝2, BC＝
CD＝1, 顶点 D1 在底面 ABCD 内的射影恰为点 C.
(1)求异面直线 AD1 与 BC 所成角的大小；
(2)若直线 DD1 与直线 AB 所成的角为π
3
，求二面角 1D AB C 的正弦值．
21．已知函数 21ln 2f x x ax .
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 有两个零点，求实数 a 的取值范围.
．
22．已知函数 e cos 2xf x x ， f x 为 f x 的导数.
（1）当 0x 时，求 f x 的最小值；
（2）当 π
2x 时， 2e cos 2 0xx x x ax x 恒成立，求 a 的取值范围.
高二数学月考试卷答案 2021.3
1．A 2．A 3．C 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B
9．BD 10．AD 11．ABC 12.BCD
13．.4 14． 60 15． 69 7 2,3 12 16． 1
e
17．解：（1）原式 21 1 1 1 1 1i i i i .
（2）原式
202021 2 3 4 1
3 4 3 4 1 1
i i i
i i i i
50545 10
25
i i 1 2 15 5 i 4 2
5 5 i .
18．解：（1） ( )f x 的极大值为 25，极小值为-7；
（2）令 ( )f x ＝－3x2＋6x＋9=0,得 3x （舍）或 1x
当 ( 2, 1)x 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 ( 2, 1)x 时单调递减，当 ( 1,2)x 时
( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 ( 1,2)x 时单调递增，又 ( 2)f ＝ 2 a ， (2)f ＝ 22 a ，
所以 (2)f > ( 2)f ．因此 (2)f 和 ( 1)f 分别是 ( )f x 在区间 2,2 上的最大值和最小值，
于是有 5 5a ，解得 0a ．
故 3 2( ) 3 9f x x x x ，因此 (2) 22f
即函数 ( )f x 在区间 2,2 上的最大值为 22 ．
19.解：（1）设 ( , )z a bi a b R ， 则 2 ( 2)z i a b i ，
( )(2 ) 2 2
2 2 (2 )(2 ) 5 5
z a bi a bi i a b a b ii i i i
，
∵ 2z i 和
2
z
i
都是实数，∴ 2 0
2 05
b
a b
，解得 4
2
a
b
，
∴ 4 2z i ．
（2）由（1）知 4 2z i ，
∴ 2 2 2( ) [4 ( 2) ] 16 ( 2) 8( 2)z ai a i a a i ，
∵ 2( )z ai 在复平面上对应的点在第四象限，
∴ 216 ( 2) 0
8( 2) 0
a
a
，
即
2 4 12 0
2
a a
a
，∴ 2 6
2
a
a
， ∴ 2 2a ，
即实数 a 的取值范围是 ( 2,2) ．
20.解： (1)连接 D1C，则 D1C⊥平面 ABCD，∴D1C⊥BC. 在等腰梯形 ABCD 中，连接 AC，
∵AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面 AD1C，∴AD1⊥BC.∴异面直线 AD1 与 BC 所成角为 090 .
(2) ∵AB∥CD，∴∠D1DC＝π
3
，∵CD＝1，∴D1C＝ 3.
在底面 ABCD 中作 CM⊥AB，连接 D1M，则 D1M⊥AB，
∴∠D1MC 为二面角 1D AB C 的平面角．
在 Rt
△
D1CM 中，CM＝ 3
2
，D1C＝ 3，
∴D1M＝ CM2＋D1C2＝ 15
2
，∴sin∠D1MC＝ 2 5
5
，
即二面角 1D AB C 的正弦值为 2 5
5
.
21．解（1） f x 的定义域为 0, ，且
21 axf x x
，
当 0a 时， 0f x ，此时， f x 在 0, 上单调递增，
当 0a 时， 0 0 af x x a
， 0 af x x a
，
即 f x 在 0, a
a
上单调递增，在 ,a
a
上单调递减，
综上可知：当 0a 时， f x 在 0, 上单调递增，
当 0a 时， f x 在 0, a
a
上单调递增，在 ,a
a
上单调递减.
（2）由（1）知当 0a 时， f x 在 0, 上单调递增，函数 f x 至多有一个零点，不合
题意，
当 0a 时， f x 在 0, a
a
上单调递增，在 ,a
a
上单调递减，
2
max
1 1 1 1 1( ) ln (ln 1)2 2f x f a a
a a a
，
当 1a e
时， max
1 1( ) (ln 1) 02f x f a
a
，
函数 f x 至多有一个零点，不合题意；
当 10 a e
时， max
1 1( ) (ln 1) 02f x f a
a
由于 11 0,
a
，且 21 1(1) ln1 1 02 2f a a ，
由零点存在性定理知： f x 在 10,
a
上存在唯一零点，
由于 2 1
a a
，且
22 2 1 2 2 2 2 2ln ln 02f aa a a a a a a
（由于 ln x x ）
由零点存在性定理知： f x 在 1 ,
a
上存在唯一零点，
所以实数 a 的取值范围是 10 a e
.
22.解:（1） e sinxf x x ，
令 e sinxg x x ， 0x ，则 e cosxg x x .
当 0x 时， e 1 cosx x ，
故 0x 时， 0g x ， g x 为增函数，
故 min 0 1g x g ，即 f x 的最小值为 1.
（2）令 e cos 2xh x x ax ，则 e sinxh x x a ，
则本题即证当 π
2x 时， 0x h x 恒成立.
当 1a 时，若 0x ，则由（1）可知， 1 0h x a ，
所以 h x 为增函数，故 0 0h x h 恒成立，即 0x h x 恒成立；
若 π[ ,0)2x ，令 ( ) e sinxs x h x x a ，则 ( ) e cosxs x x ，
令 ( ) ( ) e cosxt x s x x ，则 ( ) e sinxt x x 在 π[ ,0]2
上为增函数，
又 0 1t ，
π
2π( ) e 1 02t
，故存在唯一 0
π( ,0)2x ，使得 0 0t x .
当 0
π( , )2x x 时， 0t x ， s x 为减函数； 0 ,0x x 时， 0t x ， s x 为增
函数.
又
π
2π( ) e 02s
， 0 0s ，故存在唯一 1
π( ,0)2x 使得 1 0s x .
故 1
π( , )2x x 时， 0s x ， h x 为增函数； 1,0x x 时， 0s x ， h x 为减
函数.
又
π
2π( ) e 1 02h a
， 0 1 0h a ，
所以 π[ ,0)2x 时， 0h x ， h x 为增函数，
故 0 0h x h ，即 0x h x 恒成立.（10 分）
当 1a 时，由（1）可知 e sinxh x x a 在 0, 上为增函数，
且 0 1 0h a ， 11 e 1 0ah a a ，故存在唯一 2 0,x ，使得
2 0h x .
则当 20,x x 时， 0h x ， h x 为减函数，
所以 0 0h x h ，此时 0x h x ，与 0x h x 恒成立矛盾.
综上所述， 1a
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