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长郡中学 2021 届高三月考试卷(七)
数学
本试卷共 8 页，22 小题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡-并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A= ( , ) 8, , , ( , ) 1x y x y x y N B x y y x ， B,则 A B 中元素的个
数为
A. 2 B.3 C.4 D.5
2.1943 年 19 岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共
产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》.2021 年是中国
共产党建党 100 周年，仅从逻辑学角度来看，“ 没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了
“有共产党”是“有新中国”的
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算
具有了几何意义，例如， z OZ ，也即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到原点的距
离.在复平面内，复数 0
2
1
a iz i
(i 是虚数单位，a∈R)是纯虚数，其对应的点为 Z0，Z 为曲线
z =1 上的动点，则 Z0 与 Z 之间的最小距离为
A.1 B.2 C. 1
2
D. 3
2
4.已知定义在 R 上的函数
1
5 2
3 3( ) 2 , (log ), (log ), (ln3)xf x x a f b f c f ，则 a，b, c
的大小关系为
A. c>b>a B. b>c>a C. a>b>c D. c>a>b
5.学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成.某班级从 3 名男生 A1,
A2，A3 和 4 名女生 B1，B2，B3，B4 中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行
羽毛球混合双打比赛，则 A1 和 B1 两人组成一队参加比赛的概率为
A. 1
18
B. 2
9
C. 1
6
D. 4
9
6.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自
行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A (前轮)，圆 D (后轮)的半径均为 3 ，△ABE，△BEC，
△ECD 均是边长为 4 的等边三角形.设点 P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，
AC BP
的最大值为
A.36 B.48 C.24 D.18
7.素数在密码学、生物学等方面应用广泛，下表为森德拉姆(Sundaram， 1934) 素数筛法
矩阵:
其特点是每行每列的数均成等差数列，如果正整数 n 出现在矩阵中，则 2n+1 一定是合
数，反之如果正整数 n 不在矩阵中，则 2n+1 一定是素数，下 面结论中不正确的是
A.第 4 行第 10 列的数为 94 B.第 7 行的数构成公差为 15 的等差数列
C.592 不会出现在此矩阵中 D.第 10 列中前 10 行的数之和为 1255
8.如图，已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,侧棱长为 2，点 P，Q 分
别在半圆弧 1C C
⌒
， 1A A
⌒
(均不含端点)上，且 C1，P， Q,，C 在球 O 上，则
A.当点 Q 在 1A A
⌒
的三等分点处，球 O 的表面积为 (11 3 3)
B.当点 P 在 1C C
⌒
的中点处，过 C1，P， Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形
状都是四边形
C.球 O 的表面积的取值范围为(4π,8π)
D.当点 P 在 1C C
⌒
的中点处，三棱锥 C1- PQC 的体积为定值
二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9.下列函数是奇函数，且在[-1，1]上单调递增的是
A. ( ) sinf x x B. ( ) 1f x x
C. ( ) 2
x xe ef x
D. ( ) sin( )cos( )6 3f x x x
10.若△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,且满足 22 4sin 02
A Bb a ，则下列
结论正确的是
A.角 C 一定为锐角 B. a2+2b2-c2=0 C.3tan 4+tan C=0 D. tanB 的最小值为 3
3
11. 设点 A，B 的坐标分别为(0,1)，(1, 0)，P，Q 分别是曲线 y=ex 和 y=lnx 上的动点，记
1 2,I AQ AB I BP BA
，则下列命题不正确的是
A.若 I1=I2，则 ( )PQ AB R
B.若 I1=I2,则 AP BP
C.若 ( )PQ AB R ，则 I1=I2 D.若 AP BQ ，则 I1=I2
12.意大利画家列奥纳多●达●芬奇(1452.4- 1519.5)的画作《抱银貂
的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一
样的美与光泽，达●芬奇提出:固定项链的两端，使其在重力的作用
下自然下垂，项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问
题”，后人给出了悬链线的函数解析式: ( ) cosh xf x a a
, 其中 a
为悬链线系数，cos hx 称为双曲余弦函数，其函数表达式为
+cosh 2
x xe ex
相 应 地 双 曲 正 弦 函 数 的 表 达 式 为
sinh 2
x xe ex
若直线x=m与双曲余弦函数C1与双曲正弦函数C2的图象分别相交于点A, B,
曲线 C1 在点 A 处的切线 l1 与曲线 C2 在点 B 处的切线 l2 相交于点 P,则下列结论正
确的为
A. cos( ) cosh cosh sinh sinhx y x y x y
B. sinh coshy x x 是偶函数
C. 'cos h sinhx x
D.若△PAB 是以 A 为直角顶点的直角三角形，则实数 m=0
三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 若某商品的广告费支出 x (单位:万元)与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数
据:
根据上表，利用最小二乘法求得 y 关于 x 的回归直线方程为 1.5y b x
，据此预测，
当投入 10 万元时，销售额的估计值为_____万元.
14.二项式 2( )2
nx
x
的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值，则展开式中 x
项的系数是_________
15.已知函数 ( ) 2sin( )f x x h 的最小正周期为π，若 ( )f x 在[0, ]4
上的最大值为
M，则 M 的最小值为________
16.2021 年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物
线 Z: 2 4x y 的焦点为 F,圆 F: 2 2( 1) 4x y 与抛物线 Z 在第一象限的交点为 P ( , )4
mm 直
线 l:x=t (0
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