高三理科数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知 a，b∈R，复数 z1＝a＋i，z2＝2－bi(i 为虚数单位)，若 z1＝ 2z ，则 a＋b＝
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2－6x＋5≤0}，则(∁RA)∩B＝
A.[1，3] B.(3，5] C.[3，5) D.[1，3)
3.若双曲线 x2－
2y
b
＝1(b>0)的虚轴长为 3 ，则其渐近线的方程是
A.y＝±3x B.y＝± 3 x C.y＝± 3
2
x D.y＝± 3
2
x
4.下列说法正确的是
A.“∀x1”的否定为“∃x0≥1， 2
1
x
≤1”
B.“A>B”是“sinA>sinB”的必要条件
C.若 x2”的充分条件，则 a≤4
5.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝2x－1。若 f(x0)>－1，则 x0 的取值范围
是
A.(－2，＋∞) B.(－∞，－2) C.(－1，＋∞) D.(－∞，－1)
6.为了计算 S＝3＋33＋333＋3333＋33333，设计了如图所示的程序框图，则①和②处的框内
可以分别填入
A.S＝S＋3×10i－1 和 i＝i＋2 B.S＝S＋(10i －1)÷3 和 i＝i＋1
C.S＝S＋3×10 i 和 i＝i＋3 D.S＝S＋(10i－1－1)÷3 和 i＝i＋1
7.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节
气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧。“二十四节气”已经被列
入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录。我国古代天文学和数学著作《周髀算
经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，
晷长即为所测量影子的长度)。二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增
加的量相同，周而复始。已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈
等于十尺，一尺等于十寸)，则晷长为七尺五寸时，对应的节气为
A.春分、秋分 B.雨水、处暑 C.立春、立秋 D.立冬、立夏
8.函数 f(x)＝ln|x＋1|－x2－2x 的图象大致为
9.在△ABC 中，∠C＝
2
，AC＝3，BC＝4，点 D，G 分别在边 AC，BC 上，点 E，F 在 AB
上，且四边形 DEFG 为矩形(如图所示)，当矩形 DEFG 的面积最大时，在△ABC 内任取一点，
该点取自矩形 DEFG 内的概率为
A. 1
2
B. 2
3
C. 3
4
D. 4
5
10.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<
2
)的部分图象如图所示，给出下列结论：
①A＝2，ω＝1，b＝－1； ②A＝ω＝2，b＝－1；
③点( 2
3
，－1)为 f(x)图象的一个对称中心； ④f(x)在[－ 23
12
，－17
12
]上单调递减。
其中所有正确结论的序号是
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
11.已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，
与 l 交于点 D，若 DB 4BF ，|AF|＝4，则 p＝
A.2 B.3 C.4 D.6
12.《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四
棱锥”。现有阳马 P－ABCD(如图)，PA⊥平面 ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点 E，F 分别在
AB，BC 上，当空间四边形 PEFD 的周长最小时，直线 PA 与平面 PFD 所成角的正切值为
A. 3 5
5
B. 5
5
C. 3 3
2
D. 3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知向量 a，b，满足|a|＝1，|b|＝2，当|2a－b|＝2 3 时，向量 a，b 的夹角为 。
14.已知(1＋x)(2－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a1＋a2＋…＋a9＝ 。
15.已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，底面半径为 3 ，高为 1，E 和 F 是底面圆周上两点，
则圆锥 PO 的侧面展开图的圆心角为 ；△PEF 面积的最大值为 。(本小题
第一空 2 分，第二空 3 分)
16.已知数列{an}是公差为 d 的等差数列，设 cn＝ 31 2 naa a a2 2 2 2 ，若存在常数 m，使
得数列{cn＋m}为等比数列，则 m 的值为
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(本小题满分 12 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝2，b＝ 5 ，B＝2A。
(1)求 sinA 的值：
(2)求△ABC 的面积。
18.(本小题满分 12 分)
下图是 M 市旅游局宣传栏中的一幅标题为“2012～2019 年我市接待游客人次”的统计图。根
据该统计图提供的信息解决下列问题：
(1)求 M 市在所统计的这 8 年中所接待游客人次的平均数和中位数；
(2)在所统计的 8 年中任取两年，记其中接待游客人次不低于平均数的年份数为 X，求 X 的分
布列和数学期望 E(X)；
(3)从该统计图上看，从 2016 年开始，M 市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归
分析的方法预测到 2021 年 M 市接待游客的人次。
①参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线 y bx a 的斜率和
截距的最小二乘法估计分别为 1 1
2 2 2
1 1
( )( )
ˆ ˆˆ,
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b a y bx
x x x nx
。
②参考数据：
19.(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 是梯形，AB//CD，CD＝2AB，点 E 是棱 PC 上
的动点(不含端点)，F，Q 分别为 BE，AD 的中点。
(1)求证：QF//平面 PCD；
(2)若 PD⊥平面 ABCD，AD⊥DC，PD＝AD＝AB＝1， PC 3PE ，求二面角 P－BD－E 的
余弦值。
20.(本小题满分 12 分)
已知点小(－2，0)，B(2，0)。对点 S(x，y)满足直线 AS 与 BS 的斜率之积为－ 3
4
。记动点 S
的轨迹为曲线 C。
(1)求曲线 C 的方程，并说明曲线 C 是什么样的曲线：
(2)设 M，N 是曲线 C 上的两个动点，直线 AM 与 NB 交于点 P，且∠MAN＝90°。
①求证：点 P 在定直线上；
②求证：直线 NB 与直线 MB 的斜率之积为定值。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ex－2ae－x－(2＋a)x(a∈R)。
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)求证：当 2
5
≤a≤ 1
2
时，函数 f(x)有且只有三个零点。
(参考数据：e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.01)
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线 l 过点 P(4，0)，倾斜角为α。以直角坐标系的坐标原点为极点、x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝8sinθ。
(1)写出直线 l 的一个参数方程，并求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)设直线 l 与曲线 C 交于不同两点 M，N，求|PM|＋|PN|的最大值。
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
设不等式|x－1|＋2|x＋1|≤x＋7 的解集为 M。
(1)求集合 M；
(2)设 m 是 M 中元素的最大值，正数 a，b，x，y 满足 a＋b＝
3
m ，x＋y＝m。求证： ax by
≤ m 。
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