2021 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八
省联考）数学试题考后仿真系列卷八
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答
案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 { | ln( 1)}M x y x . | xN y y e ，则 M N （ ）
A. ( 1,0) B. ( 1, ) C. (0, ) D. R
【答案】C
【解析】 { | ln( 1)} ( 1, )M x y x ， | (0, )xN y y e ，
(0, )M N ,故选：C.
【点睛】本题考查了集合的运算，涉及到函数的定义域与值域，属于基础题.
2.已知是i 虚数单位， z 是 z 的共轭复数，若 1 i(1 i) 1 iz
，则 z 的虚部为（ ）
A. 1
2 B. 1
2
C. 1 i2 D. 1 i2
【答案】A
【解析】由题意可得： 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 21
i iz ii ii
，
则 1 1
2 2z i ，据此可得， z 的虚部为 1
2 .故选：A.
【点睛】本题考查了复数的概念及其运算，属于基础题.
3.已知 0.42x ， 2lg 5y ，
0.42
5z
，则下列结论正确的是（ ）
A. x y z B. y z x
C. z y x D. z x y
【答案】B
【解析】 0.4 02 2 1x ， 2lg lg1 05y ，
0.4 02 15
2
5z
，又 0z ，即
0 1z .
因此， y z x , 故选：B.
【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一
般利用中间值法来比较，属于基础题.
4.设 na 为等比数列， nb 为等差数列，且 nS 为数列 nb 的前 n 项和，若 2 1a ， 10 16a ，
且 6 6a b ，则 11S （ ）
A. 20 B. 30 C. 44 D. 88
【答案】C
【解析】 na 为等比数列， 2
6 2 10 16a a a 又 4
6 2 0a a q ，
6 6 4b a ，又 nb 为等差数列，
1 11
11 611 11 442
a aS a .故选：C.
【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.
5.在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布 2(100, )( 0) ，若 在(80,120) 内的
概率为 0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于 80 的概率为（ ）
A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2
【答案】B
【解析】 1 (80 120)( 80) ( 120) 0.12
P XP X P X ,故选:B.
【点睛】本题考查了正态分布,属于基础题.
6.在矩形 ABCD 中， 1AB ， 2AD ， AC 与 BD 相交于点O ，过点 A 作 AE BD ，则
AE EC （ ）
A. 12
25 B. 24
25
C. 12
5 D. 4
5
【答案】D
【解析】建立如图所示直角坐标系：
则 (0,1), (0,0), (2,0), (2,1)A B C D ，设 ( , )E x y 所以 ( , 1), ( , ), 2,1AE x y BE x y BD
AE BD
且 //BE BD
2 1 0
2 0
x y
x y
，解得
2
5
1
5
x
y
, 4 8 1( , ), ,5
2 1 2( , ),5 5 55 5AE ECE
，
8 4 1 4+5 5
2
5 5 5AE EC
.故选：D
【点睛】本题考查了向量平行、垂直以及向量数量积的坐标表示，对于规则图形的向量运算
可以通过建系进行坐标运算比较简便，属于基础题.
7.已知 1f x 是偶函数且在 0, 上是单调递增，且满足 2 0f ，则不等式
2 1 0f x 的解集是（ ）
A. ,0 1, B. 1 3, ,2 2
C. 3 ,2
D. 3 3, ,2 2
【答案】B
【解析】由 1y f x 向右平移 1 个单位得 y f x ，
则由已知可得： y f x 关于直线 1x 对称，且在 1, 上递增，在 ,1 上递减.
所以 0 2 0f f
当 2 1 1x ≥ 时 2 1 0 2f x f ， 2 1 2x ，由此可得 3
2x ；
当 2 1 1x 时 2 1 0 0f x f ， 2 1 0x ，由此可得 1
2x .
综上：x 的取值范围是 1 3, ,2 2x .故选：B
【点睛】本题考查了抽象函数不等式，要根据区间单调性不同分情况求解，考查了分类讨论
思想，属于中档题.
8.正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 3 ，此时四面
体 ABCD 外接球表面积为（ ）
A. 7 7
6
B. 19 19
6
C. 7 D. 19
【答案】C
【解析】根据题意可知三棱锥 B ACD 的三条侧棱 ,BD AD DC DA ，底面是等腰三角
形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的
距离，就是球的半径，
三棱柱中，底面 BDC ， 1, 3BD CD BC ,
120BDC ，
BDC 的外接圆的半径为 1 3 12 sin120 ，
由题意可得：球心到底面的距离为 3
2
.
球的半径为 3 714 2r .
外接球的表面积为： 2 74 4 74S r . 故选：C.
【点晴】本题考查了考查空间几何体外接球的表面积,考查了空间想象能力与运算能力,属于
中档题.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.下列说法中正确的是（ ）
A．“ p q ”是真命题是“ p q ”为真命题的必要不充分条件
B．命题“ x R ， cos 1x ”的否定是“ 0x R ， 0cos 1x ”
C．若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真
D．在 ABC 中， cos cosB A 是 A B 的充要条件
【答案】BCD
【解析】对于 A，由“ p q ”是真命题，则“ p q ”一定为真命题，“ p q ”是真命题，则“ p q ”
不一定为真命题，所以不正确；对于 B，由命题“ x R ， cos 1x ”的否定是“ 0x R ，
0cos 1x ”，所以正确；
对于 C，由一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真假，所以正确；对于 D，因为
, 0,πA B ，函数 cosy x 在 0,πx 时单调递减，所以 cos cosB A B A ，所以
正确，故选:BCD。
【点睛】本题考查了判断命题的真假，涉及了特称命题的否定、否命题、判断充分不必要条
件以及解三角形，属于基础题.
10.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被
调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 4
5
，女生喜欢抖音的人数占女生
人数的 3
5
，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）
附表：
2
0P K k 0.050 0.010
0k 3.841 6.635
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
A． 25 B． 45 C． 60 D． 40
【答案】BC
【解析】设男生的人数为 5n n N ，根据题意列出 2 2 列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢抖音 4n 3n 7n
不喜欢抖音 n 2n 3n
合计 5n 5n 10n
则 2
2 10 4 2 3 10
5 5 7 3 21
n n n n n nK n n n n
，
由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则 23.841 6.632K ，
即 103.841 6.63221
n ，得8.0661 13.9272n ，
n N ，则 n 的可能取值有 9、10、11、12 ，
因此，调查人数中男生人数的可能值为 45 或 60 . 故选:BC.
【点睛】本题考查了 2K 的应用，考查统计表的应用，属于基础题.
11.已知 sin 2f x x ， cos2g x x ，下列四个结论正确的是（ ）
A. f x 的图象向左平移
2
个单位长度，即可得到 g x 的图象
B. 当
8x 时，函数 f x g x 取得最大值 2
C. y f x g x 图象的对称中心是 ,02 8
k
， k Z
D. y f x g x 在区间 3 ,8 2
上单调递增
【答案】CD
【 解 析 】 对 于 选 项 A ， f x 的 图 象 向 左 平 移
2
个 单 位 长 度 可 得
sin 2 sin 2 sin 22y x x x
，而 cos2g x x ，故 A 错误.
对于选项 B，令 h x f x g x ，则 sin 2 cos 2 2 sin 2 4h x x x x
，
当
8x 时， 2 sin 2 08 8 4h
，故 B 错误.
对于选项 C， sin 2 cos2 2 sin 2 4y x x x .令 2 ,4x k k Z ，
,2 8
kx k Z .
函数 y f x g x 图象的对称中心是
8 ,0 ,2
k k Z
，故C 正确.
对于选项 D， 1sin 2 cos2 sin 42y x x x .
当 3 ,8 2x
时， 34 ,22x
，此时函数 1 sin 42y x 单调递增，故 D 正确.故选：CD .
【点睛】本题考查三角函数图象的变换和性质，属于中档题.
12.已知函数 f x 的定义域为 0, ，导函数为 'f x ， ' lnxf x f x x x ，且
1 1f e e
，则（ ）
A． 1' 0f e
B． f x 在 1x e
处取得极大值
C． 0 1 1f D． f x 在 0, 单调递增
【答案】ACD
【解析】∵函数 f x 的定义域为 0, ，导函数为 'f x ， ' lnxf x f x x x
即满足
2
' lnxf x f x x
x x
∵
2
'f x xf x f x
x x
∴ lnf x x
x x
∴可设 21 ln2
f x x bx
（b 为常数）∴ 21 ln2f x x x bx
∵ 21 1 1 1 1ln2
bf e e e e e
，解得 1
2b
∴ 21 1ln2 2f x x x x
∴ 11 2f ，满足 0 1 1f ∴C 正确
∵ 221 1 1ln ln = ln 1 02 2 2f x x x x ，且仅有 1' 0f e
∴B 错误，A、D 正确 故选：ACD
【点睛】本题考查了函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中
档题.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.二项式 61( )x x
的展开式中 4x 项的系数为__________．
【答案】 6 ；
【解析】根据二项定理展开式的通项 1 Cr n r r
r nT a b
则二项式
61x x
的展开通项为 6 6 2
1 6 6
1 1
r rr r r r
rT C x C xx
所以当 1r 时, 4x 的系数为 1 1
61 6C , 故答案为: 6
【点睛】本题考查了二项式定理及通项式的应用,属于基础题.
14. 若 ,2
， 7cos2 25
，则
sin
3sin 2
___________
【答案】 3
4
【解析】根据题意可得
2 2 2
2 2
2 2 2
cos sin 1 tan 7cos2 cos sin cos sin 1 tan 25
，解得
3tan 4
.
,2
， 3tan 4
，因此，
sin sin 3tan3 cos 4sin 2
. 故选：B.
【点睛】本题考查了利用弦化切求值、二倍角的余弦公式以及诱导公式的应用，考查运算能
力，属于基础题.
15.已知点 1F 、 2F 分别为双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的左、右焦点，点
00 0, 0M x xy 为C 的渐近线与圆 2 2 2x y a 的一个交点，O 为坐标原点，若直线 1F M 与
C 的右支交于点 N ，且 2 2MN NF OF ，则双曲线C 的离心率为______．
【答案】 5
4
【解析】
如图所示，直线 1F M 与圆 2 2 2:O x y a 相切于点 M ，可得 1MF b ，
由双曲线的定义可知， 1 2 1 22a NF NF MN MF NF ，
2 2MN NF OF ，且 2OF c ，
所以 2a b c ，即 2b a c ，可得 22 2 22 4 4b a c c ac a ，
又由 2 2 2b c a ，联立解得 4 5c a ，即 5
4
ce a
．
故答案为： 5
4
．
【点睛】本题考查了求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出
方程组，求得 ,a c 得值，进而求离心率 e ；②齐次式法：由已知条件得出关于 ,a c 的二元齐次
方程，然后转化为关于 e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求
出离心率;属于中档题.
16.已知 ABC 的三边分别为 , ,a b c 所对的角分别为 , ,A B C ，且三边满足 1c a
a b b c
，
已知 ABC 的外接圆的面积为3 ，设 ( ) cos2 4( )sin 1f x x a c x .则 a c 的取值范围
为______，函数 ( )f x 的最大值的取值范围为_______ ．
【答案】 (1). (3,6] (2). (12,24]
【解析】由 1c a
a b b c
，可知 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
化简得 2 2 2ac a c b ,由余弦定理可得 cosB= 1
2
,又 B
∈
(0,
π
),B=
3
,
因为 2 3R ,解得 R= 3 ,
由 2 2 3sin 3
2
b b RB
,解得 b=3,
由余弦定理得 22 2 9= 2 9ac a c a c ac ，
由基本不等式可得 2 239=3 4a c ac a c ，解得 a+c
≤
6,根据两边之和大于第三边可得
a+c>3,即 a+c 得取值范围是 3,6 ；
cos2 4 sin 1f x x a c x
=- 22sin x +4（a+c）sinx+2=-2 2 2sin ( ) 2 2x a c a c
又-1
≤
sinx
≤
1,可知 sinx=1 时，函数 f(x)的最大值为 4（a+c）,
函数 f x 的最大值的取值范围为 12,24
故答案为:(1) 3,6 (2) 12,24
【点睛】本题考查了余弦定理的应用以及利用基本不等式求最值，考查分析与推理和计算能
力,属于中档题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17.在数列{ }na 中， 1 1a ， 2a b ，前 n 项之和为 nS .
（1）若{ }na 是等差数列，且 8 22a ，求b 的值；
（2）对任意的 *n N 有： 2 4n
n
a
a
，且 10 102 1S a .试证明：数列{ }na 是等比数列.
【答案】（1） 4b （2）见证明
【解析】（1）设 na 的公差为 d ，则由已知可得： 1
1
1
7 22
a
a d
解得 3d ∴ 4b
（2）由 2 4n
n
a
a
得：数列 na 的奇数项和偶数项依次均构成等比数列，
由已知 10 102 1S a ，得 55
44 14 1 2 4 13 3
b
b
. 解得 2b
∴ 2 1 11
2 1 24 2 , nn
n na a
1 2 12 4 2n n
∴ 12n
na 即 na 是首项为 1，公比为 2 的等比数列.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式以及等比数列前 n 项和公式
的应用，属于基础题.
18.如图， ABC 中的内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ， 8c ， 1cos 7ACB
且 14cosb B ．
（1）求 B
（2）点 D 在 BC 边的延长线上，且 2 21AD ，求 CD 的长．
【答案】（1）
3B ；（2） 7CD .
【解析】（1）因为 1cos 7ACB ， (0, )ACB ，
所以
21 4 3sin 1 7 7ACB
，
在 ABC 中，由正弦定理得：
sin sin
b c
B ACB
，
所以 sin 14 3 sinsin 3
c Bb BACB
，又 14cosb B ，
所以14 3 sin 14cos3 B B ，所以 tan 3B ，
因为 (0, )B ，所以
3B .
（2）由（1）可得 114 72b ，
在 ACD△ 中， 1cos cos 7ACD ACB ，
由余弦定理可得： 2 2 2 2 cosAD AC CD AC CD ACD ，
即 2 2 2 1(2 21) 7 2 7 7CD CD ，即 2 2 35 0CD CD ，
解得： 7CD 或 5 （舍去）， 所以 7CD .
【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，通过正弦定理求出
sin 14 3 sinsin 3
c Bb BACB
，结合 14cosb B ，即可求出角 B，再由 1cos 7ACB 可
得 1cos 7ACD ，从而最终求解，属于基础题.
19.某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生
态环境局统计了某月（30 天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级
与空气质量指数对照如下表：
空气质量
指数
0,50 50,100 100,150 150,200 200,300
300 以上
空气质量
等级
一级
（优）
二级
（良）
三级
（轻度污
染）
四级
（中度污
染）
五级
（重度污
染）
六级
（严重污
染）
（1）根据频率分布直方图估计，在这 30 天中，空气质量等级为优或良的天数；
（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于 90 时，市民甲不宜进行户外体育
运动；当空气质量指数高于 70 时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运
动互不影响）.
①从这 30 天中随机选取 2 天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天
数为 X，求 X 的分布列和数学期望；
②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质
量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择 3 天和 2 天进行户外体育运动，求甲恰有 2
天，且乙恰有 1 天不宜进行户外体育运动的概率.
【答案】（1）28 天；（2）①分布列见解析， 2
5
；② 567
50000 .
【解析】（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在 90,110 的天数为 2 天，所以估计空
气质量指数在 90,100 的天数为 1 天，故在这 30 天中空气质量等级属于优或良的天数为 28
天.
（2）①在这 30 天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共 6 天，
∴
2
24
2
30
920 145
CP X C
，
1 1
6 24
2
30
481 145
C CP X C
，
2
6
2
30
12 29
CP X C
，
∴X 的分布列为
X 0 1 2
P 92
145
48
145
1
29
∴ 92 48 1 2( ) 0 1 2145 145 29 5E X .
②甲不宜进行户外体育运动的概率为 1
10
，乙不宜进行户外体育运动的概率为 3
10
，
∴
2
2 1
3 2
1 9 3 7 567
10 10 10 10 50000P C C
.
【点睛】此题考查了离散型随机变量的分布列及期望的求法，频率分布表的应用，属于中档
题.
20.如图，四棱锥 S ABCD 中，二面角 S AB D 为直二面角， E 为线段 SB 的中点，
3 3 90DAB CBA ASB ABS ， 1tan 2ASD ， 4AB .
（1）求证：平面 DAE 平面 SBC ；
（2）求二面角C AE D 的大小.
【答案】（1）证明见解析 （2） 60
【解析】（1）证明二面角 S AB D 为直二面角，所以平面 SAB 平面 ABCD ，
因为 90DAB ， AD AB ，
平面 ABCD 平面 SAB = AB ， AD 平面 ABCD ，
AD 平面 SAB ，又 BS 平面 SAB ， AD BS ，
ASB ABS ， AS AB ，
又 E 为 BS 的中点， AE BS ，又 AD AE A ， BS 平面 DAE ，
BS 平面 SBC ，平面 DAE 平面 SBC .
（2）如图，
连接 ,CA CE ，在平面 ABS 内作 AB 的垂线，建立空间直角坐标系 A xyz ，
1tan 2ASD ， 2AD ，
(0,0,0)A ， (0,4,0)B ， (0,4,2)C ， (2 3, 2,0)S ， ( 3,1,0)E ，
(0,4,2)AC ， ( 3,1,0)AE
uuur ，
设平面CAE 的法向量为 ( , , )n x y z ，
0,
0,
n AC
n AE
即
4 2 0,
3 0,
y z
x y
令 1x ，则 3y ， 2 3z ，
(1, 3,2 3)n 是平面 CAE 的一个法向量，
SB 平面 DAE ，平面 DAE 的一个法向量为 ( 2 3,6,0)SB ，
2 3 6 3 1cos , 2| | | | 4 4 3
n SBn SB
n SB
，
由图可知二面角C AE D 的平面角为锐角，
故二面角C AE D 的大小为 60 .
【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和空间向量法求二面角的平面角,考查
逻辑推理能力和运算求解能力,属于中档题.
21.已知椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 的离心率为 3
2
，且经过点 3(1, )2
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为 ,A B ， 点 P 是椭圆上异于 ,A B 的任意一点， PQ y 轴，
Q 为垂足， M 为线段 PQ 中点，直线 AM 交直线 : 1l y 于点C ， N 为线段 BC 的中点，
若四边形 MOBN 的面积为 2 ，求直线 AM 的方程．
【答案】（Ⅰ）
2
2 14
x y ；（Ⅱ） 1 12y x ．
【解析】（Ⅰ）由题意 2 2
2 2 2
3
2
1 3 14
c
a
a b
a b c
，解得
2
1
3
a
b
c
，
所以椭圆的标准方程为
2
2 14
x y ．
（Ⅱ）设 0 0,P x y 0( 0)x ，则 00,Q y ，且
2
20
0 14
x y ．因为 M 为线段 PQ 中点，
所以 0
0,2
xM y
．又 0,1A ，所以直线 AM 的方程为 0
0
2 1 1yy xx
．
因为 0 00, 1,x y 令 1y ，得 0
01
xx y
即 0
0
, 11
xC y
．又 0, 1B ，N 为线段 BC
的中点，有
0
0
, 12 1
xN y
．
设直线 MN 与 x 轴交于 ( ,0)RR x ，
由 MN MRk k 得：
0 0
0 0 0
0
1
2 2(1 ) 2 R
y y
x x x xy
，∴ 0
2
02(1 )R
xx y
，
∴ 0 0
02
0 0
11 1 1(1 )2 4 (1 ) 2 1MON M N
x yS OR y y yy y
．
又 0 0
0 0
11 1 1
2 4 (1 ) 2 1BON N
x yS x y y
，∴ 0
0
1 21MOBN
yS y
四边形 ，
解得： 0
3
5y ，代入椭圆方程得： 0
8
5x ，∵ (0,1)A ，∴ 1
2AMk ，
∴直线 AM 的方程为 1 12y x ．
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系．考查分析问题与运算求
解能力，属于中档题.
22.已知函数 lnxf x xe a x x .
（1）当 0a 时，求 f x 的最小值；
（2）若对任意 0x 恒有不等式 1f x 成立.
①求实数 a 的值；
②证明： 2 2 ln 2sinxx e x x x .
【答案】（1） lna a a ；（2）①1；②证明见解析.
【解析】（1）法一： f x 的定义域为 0, ，
由题意 1 1
x
x a xe af x x e xx x
，
令 0xxe a ，得 xa xe ，
令 xg x xe ， 1 0x x xg x e xe x e ，
所以 g x 在 0,x 上为增函数，且 0 0g ，
所以 xa xe 有唯一实根，
即 0f x 有唯一实根，设为 0x ，即 0
0
xa x e ，
所以 f x 在 00, x 上为减函数，在 0,x 上为增函数，
所以 0
0 0 0 0min ln lnxf x f x x e a x x a a a .
法二： lnln ln 0xe x xf x x a x x e a x x x .
设 lnt x x ，则t R .记 tt e at t R .故 f x 最小值即为 t 最小值.
0tt e a a ，
当 ,lnt a 时， 0t ， t 单调递减，
当 ln ,t a 时， 0t ， t 单调递增，
所以 ln
min ln ln lnaf x a e a a a a a ，
所以 f x 的最小值为 lna a a .
（2）①当 0a 时， f x 单调递增， f x 值域为 R ，不适合题意，
当 0a 时，由（1）可知 min lnf x a a a ，
设 ln 0a a a a a ，所以 lna a ，
当 0,1a 时， 0a ， a 单调递增，
当 1,a 时， 0a ， a 单调递减，
所以 max 1 1a ，即 ln 1a a a .
由已知， 1f x 恒成立，所以 ln 1a a a ，
所以 ln 1a a a ，所以 1a .
②由①可知 ln 1xxe x x ，因此只需证： 2 2ln 2sinx x x x ，
又因为 ln 1 x x ，只需证 2 2 2 2sinx x x x ，即 2 2 2sinx x x ，
当 1x 时， 2 2 2 2sinx x x 结论成立，
当 0,1x 时，设 2 2 2sing x x x x ， 2 1 2cosg x x x ，
当 0,1x 时， g x 显然单调递增. 1 1 2cos1 0g x g ，故 g x 单调递减，
1 2 2sin1 0g x g ，即 2 2 2sinx x x .
综上结论成立.
【点睛】本题考查了导数研究函数的最值，导数解决恒成立问题以及导数证明不等式，常常
通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于偏难题.
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