2021 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八
省联考）数学试题考后仿真系列卷九
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答
案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集为 R，集合 0 1A x x ， 2B x x ，则（ ）
A． A B B． B A
C． A B R D． ABCA R )(
【答案】D
【解析】对于选项 A，显然集合 A 并不是集合 B 的子集，错误．
对于选项 B，同样集合 B 并不是集合 A 的子集，错误．
对于选项 C， (0,1) (2, )A B ，错误．
对于选项 D，由 2B x x ，则 }2{ xxBCR ， ABCA R )( ，正确．
故选:D．
【点睛】本题考查了子集、集合的运算，属于基础题.
2.设向量 ,1a a ， ( )1, 0b b ab ，若 a b ，则直线 2 0 b x y 与直线 2 0x a y 的
位置关系是（ ）
A．平行 B．相交且垂直
C．相交但不垂直 D．重合
【答案】B
【解析】因为向量 ,1a a ， ( )1, 0b b ab ，若 a b ，则 0a b ，即 b a ，
所以直线 2 0 b x y 可化为 2y a x ，直线 2 0x a y 可化为 2
1y xa
，
两直线斜率之积为 2
2
1 1a a
，所以两直线相交且垂直．故选:B．
【点睛】本题考查了向量的垂直以及直线之间的位置关系,属于基础题.
3.已知平面 ， ，直线 l，m，且有l ，m ，给出下列命题：①若 // ，则l m ；
②若 //l m ，则 ；③若 ，则 //l m ；④若l m ，则 // .其中正确命题的个数是
（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】对于①：因为 // ，l ，所以l ，又 m ，所以l m ，故正确；
对于②：因为 //l m ，l ，所以 m ，又 m ，所以 ，故正确；
对于③：因为 ，l ，所以l 与 m 可能平行或异面，故错误；
对于④：因为 l m ，l ，所以 / /m 或 m ，所以 // 不一定成立，故错误；
故选：B.
【点睛】本题考查了空间中线面位置关系,属于基础题.
4.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、
4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行
动”，则不同的选取方法有（ ）
A．48 种 B．36 种
C．24 种 D．12 种
【答案】B
【解析】由题意可知，分三步完成：第一步，从 2 种主食中任选一种有 2 种选法；
第二步，从 3 种素菜中任选一种有 3 种选法；第三步，从 6 种荤菜中任选一种有 6 种选法，
根据分步计数原理，共有 2 3 6 36 不同的选取方法，故选:B．
【点睛】本题考查了分步计数原理,属于基础题.
5.德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘
的进程并不是均匀的．最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”
他用无意义音节（由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节）作为记
忆材料．用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，
即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线（如图所示）．若一名学生背了 100 个英语单词，一天后，该
学生在这 100 个英语单词中随机听写 2 个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则
该学生恰有 1 个单词不会的概率大约为（ ）
A．0.43 B．0.38
C．0.26 D．0.15
【答案】B
【解析】根据艾宾浩斯记忆遗忘曲线得 100 个英语单词，一天后，忘记了 74 个，还记得 26
个，则该学生恰有 1 个单词不会的概率
1 1
74 26
2
100
0.38C CP C
．故选:B．
【点睛】本题考查了古典概型的求解，考查阅读和理解能力，属于基础题．
6.已知函数 ( ) sinf x x 和直线 :l y x a ，那么“ 0a ”是“直线 l 与曲线 ( )y f x 相切”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设函数 ( ) sinf x x 和直线 :l y x a 的切点坐标为( )0 0,x y ，
则 0 0
0 0
' cos 1
sin
f x x
x x a
，可得 2 ,a k k Z ，所以 0a 时，直线l 与曲线 ( )y f x 相切；
直线l 与曲线 ( )y f x 相切不能推出 0a ．
因此“ 0a ”是“直线l 与曲线 ( )y f x 相切”的充分不必要条件,故选: A ．
【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断,需注意：首先弄清条件 p 和结论 q分别是什
么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 ,p q q p ．对于带有否定性的命题或比较难判
断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题
的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理,属于基础
题.
7. ABC 中， 1AB ， 2AC ，面积 1ABCS △ ， m AB CA ， n AB CA ，若
m n ，则实数 （ ）
A．0 B．3
C． 3 D．2
【答案】B
【解析】因为 1AB ， 5AC ， 1ABCS △ ，
所以 1 1 5 sin 12 A ，所以 2sin
5
A ，所以 1cos
5
A ，
所以 cos π 1AB CA AB CA A
．
因为 m n ，所以 0m n ，即 2 2
1 0AB AB CA CA ．
若 1AB CA ，则 1 5 0 ，所以 3 ；
若 1AB CA ，则 1 5 0 ，无解．综上， 3 ，故选 B．
【点睛】本题考查了三角形面积公式、同角三角函数关系以及向量的数量积，属于中档题.
8.已知函数
2
4
( 1) ,( 0)( ) log , 0
x xf x x x
，若 f x a 有四个不同的解 1x ， 2x ， 3x ， 4x 且
1 2 3 4x x x x< < < ，则 3 1 2 2
3 4
1x x x x x
的取值范围为（ ）
A． 1, B． 71, 2
C． 7, 2
D． 1,3
【答案】B
【解析】由题意，当 0x 时， 2( ) ( 1)f x x ；当 0 1x 时， 4( ) logf x x ；当 1x 时，
4( ) logf x x ．作出函数 f x 的图象，如下图所示，
易知 f x 与直线 1y 有四个交点，分别为 2,1 ， 0,1 ， 1 ,14
， 4,1 ，
因为 f x a 有四个不同的解 1x ， 2x ， 3x ， 4x 且 1 2 3 4x x x x< < < ，
所以 1 22 1 0x x ，且 1 2 2x x ， 3 4
1 1 44 x x ，
又 3 4 3( ) logf x x a ， 4 4 4( ) logf x x a ，
所以 4 3 4 4log logx x ，即 4 3 4 4 4 3 4log log log 0x x x x ，则 3 4 1x x ．
所以 3 1 2 32
3 4 3
1 12x x x xx x x
，且 3
1 14 x ，
构造函数 12g x x x
，且 1 14 x ，
可知 g x 在 1 ,14
上单调递减，且 1 1 72 44 4 2g
， 1 2 1 1g ，
所以 g x 71, 2
，即 3
3
12x x
71, 2
．
所以 3 1 2 2
3 4
1x x x x x
的取值范围为 71, 2
．故选:B．
【点睛】本题考查了函数与方程,考查了通过画出分段函数的图像研究方程根的情况,进而求取
值范围,属于中档题.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）
A．若复数 3 iz ，则 1 3
10 10
i
z
B．复数 z 满足 2 1z i ， z 在复平面内对应的点为 ,x y ，则 22 2 1x y
C．若复数 1z ， 2z 满足 21z z ，则 1 2 0z z
D．复数 1 3z i 的虚部是 3
【答案】ABC
【解析】对于选项 A,由
1 1 3 3
3 i 3 i 3 i 10 10
i i
z
，故 A 正确；
对 于 选 项 B, 由 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为 ,x y ， 则 2 2 1z i x y i ， 即
22 2 1x y ，
则 22 2 1x y ，故 B 正确；
对于选项 C,设复数 1z a bi ，则 2z a bi ，所以 2
1
2
2 0a bi a bz biz a ，
故 C 正确；
对于选项 D,复数 1 3z i 的虚部是-3，故 D 错误．故选：ABC．
【点睛】本题考查了通过直接运算可判断 A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断 B；由
共轭复数的概念，运算后可判断 C；由复数虚部的概念可判断 D；即可得解,属于基础题.
10.已知函数 x xf x e e ，给出以下四个结论正确的是（ ）
A． f x 是偶函数
B． f x 的最小值为 2
C．当 f x 取到最小值时对应的 0x
D． f x 在 ,0 单调递增，在 0, 单调递减
【答案】ABC
【解析】对于选项 A，函数 x xf x e e 的定义域为 R ，
x xf x e e f x ，函数 f x 为偶函数，A 选项正确；
对于选项 D，任取 1x 、 2 0,x ，且 1 2x x ，即 1 2 0x x ，则
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 21 2
1 1 1 1 x x
x x x x x x
x x x x x x
e ef x f x e e e e e ee e e e e
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
111
x x x x
x x
x x x x
e e e
e e e e
，
1 2 0x x ， 则 1 2 0x x ， 1 2x xe e ， 1 2 1x xe ， 1 2 0f x f x ，
1 2f x f x ，所以，函数 f x 在区间 0, 上为增函数，由于该函数为偶函数，则
函数 f x 在 ,0 上为减函数，D 选项错误；
对于选项 B、C，函数 f x 在区间 0, 上为增函数，在 ,0 上为减函数，
当 0x 时，函数 f x 取得最小值，即 min 0 2f x f ，B、C 选项均正确．故选:ABC．
【点睛】本题考查了函数的性质,属于基础题.
11.将函数 2sin 2 3f x x
的图象向右平移
4
个单位长度后，所得图象对应的函数为
y g x ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 g x 的图象关于直线
3x 对称
B．函数 g x 的图象关于点 ,03
对称
C．函数 g x 在 5,24 24
上单调递减
D．函数 g x 在 0,2 上恰有 4 个极值点
【答案】AD
【解析】将函数 2sin 2 3f x x
的图象向右平移
4
个单位长度后得
2sin 2( ) cos(2 )4 3 3g x x x
因为 ( ) 13g ，所以函数 g x 的图象关于直线
3x 对称，即 A 正确；
因为 1( )3 2g ，所以函数 g x 的图象不关于点 ,03
对称，即 B 错误；
因为 5 3, ,2 ,24 24 3 4 4x x
，所以函数 g x 单调递增，即 C 错误；
因为 0,2 ,2 [ ,4 ]3 3 3x x ，所以当 2 ,2 ,3 ,43x 时函数 g x 取得极
值，即函数 g x 在 0,2 上恰有 4 个极值点，D 正确；故选：AD
【点睛】本题考查了平移变换以及三角函数图像与性质,属于基础题.
12.已知抛物线 2: 4x y 的焦点为 F，过 F 与 y 轴垂直的直线交抛物线 于点 M，N，则下列
说法正确的有（ ）
A．点 F 坐标为 (1,0) B．抛物线 的准线方程为 1y
C．线段 MN 长为 4 D．直线 2y x 与抛物线 相切
【试题来源】江苏省泰州市 2020-2021 学年高三上学期期未
【答案】BC
【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定 A 不正确，B 正确；令 1y ，可得求得
4MN ，可判定 C 正确；联立方程组，根据 ，可判定 D 不正确．
【解析】由抛物线 2: 4x y ，可得 2 4p ，即 2p ，且焦点在 y 轴上，所以焦点为 (0,1)F ，
准线方程为 1y ，所以 A 不正确，B 正确；
令 1y ，可得 2 4x ，解得 2x ，所以 4MN ，所以 C 正确；
联立方程组 2
2
4
y x
x y
，整理得 2 4 8 0x x ，可得 2( 4) 4 8 0 ，
所以直线 2y x 与抛物线没有公共点，所以 D 不正确．故选 BC．
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,其中常见求解直线与抛物线的位置关系问题的
方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几
何的知识，利用数形结合法的思想来求，属于中档题.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知 6 5 6
0 1 5 63 1 1 1x a a x a x a x ，则 5a ___________
【答案】12
【解析】因为 66 5 6
0 1 5 63 2 1 1 1 1x x a a x a x a x ，
此二项式的展开式的通项为 6
1 6 2 1 rr r
rT C x
，
当 = 5r 时 55
6 6 2 1T C x ，所以 5
5 6 2 12a C ,故选：C．
【点睛】本题考查了由二项式的展开式的通项 6
1 6 2 1 rr r
rT C x
求指定项系数,属于基
础题.
14. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据
明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种
玩法中，用 na 表示解下 *9,n n n N 个圆环所需的移动最少次数，若 1 1a ．且
1
1
2 1,
2 2,
n
n
n
a na a n
为偶数
为奇数，则解下 6 个环所需的最少移动次数为_____________
【答案】31
【解析】 1 1a ， 1
1
2 1,
2 2,
n
n
n
a na a n
为偶数
为奇数，
2 12 1 1a a ， 3 22 2 4a a ， 4 32 1 7a a ， 5 42 2 16a a ，
6 52 1 31a a ，所以解下 6 个环所需的最少移动次数为 31．故答案为:31．
【点睛】本题考查了通过已知的递推关系求 6a ，属于基础题．
15.如图所示，已知椭圆 E 经过点 2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点 1F ， 2F 在 x 轴上，离心率
e 1
2
．直线 l 是 1 2F AF 的平分线，则椭圆 E 的方程是__________，l 所在的直线方程是
__________．
【答案】
2 2
116 12
x y 2 1 0x y ．
【解析】设椭圆方程为
2 2
2 2 1x y
a b
，（a＞b＞0）
因为椭圆 E 经过点 2,3A ，离心率 e 1
2
，所以
2 2a b
a
e 1
2
， 2 2
4 9
a b
1，
所以 a2＝16，b2＝12，所以椭圆方程 E 为
2 2
116 12
x y ；
由椭圆方程可得 1 2,0F ， 2 2,0F ，因为 2,3A ，
1
3 0 3=2+2 4AFk ，
所以 AF1 方程为3 4 +6=0x y ，AF2 方程为 x＝2，
设角平分线上任意一点为 P（x，y），则 3 4 6
5
x y 2x ．
得 2 1 0x y 或 2 8 0x y ，因为斜率为正，所以直线方程为 2 1 0x y ；
故答案为:
2 2
116 12
x y ； 2 1 0x y ．
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及角平分线的运用,属于中档题.
16.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的
三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 为一个“堑堵”，底面 ABC 是以 AB
为斜边的直角三角形，且 5AB ， 3AC ，点 P 在棱 1BB 上，且 1PC PC ，当 1APC
的面积取最小值时，三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 .
【答案】 45
【解析】由“堑堵”的定义可知， ABC 为直角三角形，故 422 ACABBC ，
易知 1PCAC ，又 1PCPC ，所以 1PC 平面 APC ，于是得 1PCAP
设 zBB 1 ， tBP ，则 tzPB 1 ，
则 222 25 tBPABAP ， 22
1
2
111 16 tzPBCBPC ，
22
1
2
1 9 zCCACAC ，
由 1PCAP ，得 222 16259 tztz ，整理得
ttz 16 ，
所以 2
2
22
1
161616 ttzPC
所以
2
22
2
2
1
4004122516162
1
2
1
1 ttttPCAPS APC
184002412 2
2
tt ，当且仅当 2
2 400
tt ，即 52t 时 1APC 的面积取得最
小值18，此时 535225 22 AP ，
设三棱 ABCP 锥的外接球半径为 R ，由图可知，线段 AP为外接球的直径
故所求外接球的表面积 454
454 S .故答案为: 45
【点睛】本题考查了空间线面位置关系、基本不等式求最值以及空间几何体外接球的表面积，
属于中档题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17.在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2B A ， 9
4c a ， .在
① 2a ；② 13b ；③ ABC 的面积为 9 39
16
.这三个条件中任选一个，补在上面条件中，
若问题中三角形存在，求 ABC 的周长；若问题中三角形不存在，说明理由.注：如果选择多
个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【解析】
若选①，由 2a ，知 9
2c ，
由 2B A 得sin sin 2B A ，即sin 2sin cosB A A ，即 2 cos 4cosb a A A ，
在 ABC 中由余弦定理得： 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
即 2 81 94 (4cos ) 2 (4cos ) cos4 2A A A ，所以 2 13cos 16A ，
由 0, 2A
，故 13cos 4A ，
所以 4cos 13b A ，
所以三角形周长为 9 132 13 132 2l
若选②，由 2B A 得sin sin 2B A ，即 sin 2sin cosB A A ，即 2 cosb a A ，
而 13b ，所以 13 2 cosa A ，即 13cos 2A a
，
在 ABC 中由余弦定理得： 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
即
2
2 29 9 13( 13) 2 134 4 2a a a a
，
即 2 4a ，即 2a ，所以 9 924 2c ，
所以三角形周长为 9 132 13 132 2l
若选③，由 2B A 得sin sin 2B A ， sin 2sin cosB A A ，即 2 cosb a A ，
三角形 ABC 面积 21 1 9 9 9 39sin 2 cos sin sin cos2 2 4 4 16S bc A a A a A a A A
由 9
4c a ，得 9sin sin4C A ，而sin sin( 2 ) sin3C A A A ，
即 9sin sin cos2 cos sin 2 sin4C A A A A A ，
而sin A 0 ，即 29 cos2 2cos4 A A ，
所以 2 94cos 1 4A ，所以 2 13cos 16A ，
由 0, 2A
，所以 13cos 4A ， 3sin 4A ，
于是 29 3 13 9 39
4 4 4 16a ，
所以 2 4a ，即 2a ，所以 9 924 2c ，
所以三角形周长为 9 132 13 132 2l .
【点睛】本题考查了解三角形的问题，考查了余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换，属于
基础题.
18.已知等差数列 na 的前 n 项和为 2
nS pn n q ，p，q R ，n N ，且 3 6a .数列 nb
满足 22logn na b .
（1）求 p､q 的值；
（2）设数列 ( 1)n
n na b 的前 2n 项和为 2nT ，证明： 2 3nT .
【答案】（1） 1p ， 0q ；（2）证明见解析.
【解析】（1） 1 1 1a S p q ， 2 2 1 4 2 ( 1 ) 3 1a S S p q p q p ，
3 3 2 5 1a S S p ， 3 6 5 1a p ，解得 1p .
由 2 1 32a a a 得 2 4 2 6q ，解得 0q .
1p ， 0q .
（2）等差数列 na 的公差 2 1 4 2 2d a a ， 2 2( 1) 2na n n ∴ .
22logn na b ， 22 2log nn b ，解得 2n
nb .
( 1) ( 1) 2 ( 2)n n n
n na b n .
∴数列 ( 1)n
n na b 的前 2n 项和
2 2[( 1 2) ( 3 4) ( 2 1 2 )]nT n n
2 2 1
2 2 2 1 ( 2) 2 22 ( 2) ( 2) 2 21 ( 2) 3
n n
n n n
，
又
2
22
1
1 2 2 0n
nnT T
，
2nT 关于 n 递增， 2 2 2 2 4 3nT T .
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、并项求和以及利用数列单调性证明不等式，属于
基础题.
19.“硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造
等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才
能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.在华为的影响下，我
国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某
种产品的研发费用，需了解年研发费用 x(单位：千万元)对年销售量 y(单位：千万件)的影响，
统计了近 10 年投入的年研发费用 x，与年销售量 iy (i 1,2,3, ,10 )的数据，得到如图所示的
散点图.
（1）利用散点图判断， y a bx 和 lny c d x (其中 a，b，c，d 为大于 0 的常数)哪一个
更适合作为年研发费用 x 和年销售量 y 的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由)
（2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
x y w
10
2
i
i 1
( )x x
10
2
i
i 1
( )w w
10
i i
i 1
( )( )x x y y
10
i i
i 1
( )( )w w y y
9.4 29.7 2 366 5.5 439.2 55
其中令 1 ilnw x ，
10
i
i 1
1
10w w
.
根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程，并预测投入的年研发费用 28 千万
元时的年销售量；
（3）从这 10 年的数据中随机抽取 3 个，记年销售量超过 30(千万件)的个数为 X，求 X 的分布
列和数学期望.
参考数据和公式： ln2 0.69 ， ln7 1.95 .对于一组数据 1 1( , )u v ， 2 2( , )u v ，…， ( , )n nu v ，
其回归直线 v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
1 1
22 2
1 1
( )( )
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
u v nuv u u v v
u nu u u
， v u .
【答案】（1） lny c d x 更适合；（2）回归方程为 9.7 10lny x ，预报值 43(千万件)；
（3）分布列见解析，期望为 6
5 .
【解析】
（1）由散点图知，结合对数函数的图象与性质，选择回归类型， lny c d x 更适合；
（2）令 lnw x ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程 ˆˆ ˆy c dw ，
由
10
1
10
2
1
( )( ) 55 105.5( )
i i
i
i
i
w w y y
d
w w
，则 29.7 10 2 9.7c y dw ，
所以 y 关于 w 的线性回归方程为 9.7 10ˆy w ，
因此 y 关于 x 的回归方程为 9.7 10lny x ，
当年研发费用 28 千万元，即 28x 时，
年销售量 y 的预报值 9.7 10ln28 9.7 10 (2ln2 ln7) 43y (千万件).
（3）由散点图可知这 10 年的数据中，年销售量超过 30(千万件)的个数有 4 个，
所以 X 的取值为 0，1，2，3，
3 0
6 4
3
10
C C 1( 0) C 6P X ；
2 1
6 4
3
10
C C 1( 1) C 2P X ；
1 2
6 4
3
10
C C 3( 2) C 10P X ；
0 3
6 4
3
10
C C 1( 3) C 30P X ，
则随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
6
1
2
3
10
1
30
所以 1 1 3 1 6( ) 0 1 2 36 2 10 30 5E X .
【点睛】此题考查了离散型随机变量的分布列及期望的求法，线性回归方程的应用，属于中
档题.
20.如图，已知四棱锥 S ABCD 的底面为直角梯形，且满足 / /AB CD ，
, 9, 6, 12BC AB AB BC CD SD SB ，平面 SCD 平面 SBC . M 为线段 SC 的
中点， N 为线段上的动点.
（1）求证：平面 SCD 平面 ABCD ；
（2）设 ( 0)AN NB ，当二面角C DM N 的大小为 60°时，求 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 7
2 .
【解析】证明：（1） SD CD . SDC 为等腰三角形.
又∵ M 为 SC 的中点， DM SC .
又∵平面 SCD 平面 SBC ，平面 SCD 平面 SBC SC 且 DM 平面 SCD ，
由平面与平面垂直的性质定理可知， DM 平面 SBC .
又 BC 平面 SBC ，由直线与平面垂直的性质可知 DM BC
又 , ,BC CD DM DC D DM 平面 SCD ， CD 平面 SCD .
BC 平面 SCD
又 BC 平面 ABCD ，
∴平面 SCD 平面 ABCD
（2）(方法一)由（1）可知， BC ⊥平面 SDC ， BC SC .
在 ΔRt SCB 中， 2 2SC SB BC 2 212 6 108 6 3 .
在 ΔSDC 中，由余弦定理可知，
2 2 2 2 2 26 6 (6 3) 1cos 2 2 6 6 2
SD DC SCSDC SD DC
，
0 00 ,180 , 120SDC SDC .
过点 N 作 NG CD 于点G ，G 为垂足，则 / /NG BC ，
BC 平面 SCD , NG 平面 SCD ，
DM 平面 SCD ， DM NG .
过点G 作GK DM 于点 K ， K 为垂足，连接 NK .
,DM GK DM ,NG NG GK G ，
DM 平面 NGK .
又 NK 平面 NGK ， DM NK ，
GKN 即为二面角C DM N 的平面角
在 ΔRt NGK 中 0 6 660 , tan 60 ,
3
NGNKG GKGK GK
2 3
在
0
Δ
2 3 2 3, 60 ,sin 60 , 4
3
2
KGRt DKG KDG DGDG DG
6 4 2, 2, 9 2 7GC CD DG NB GC AN AB NB
7
2
AN
NB
(方法二)由（1）可知， BC ⊥平面 SDC ，
BC SC .在 ΔRt SCB 中， 2 2SC SB BC 2 212 6 108 6 3
在 ΔSDC 中，由余弦定理可知
2 2 2
cos 2
SD DC SCSDC SD DC
2 2 26 6 (6 3) 1
2 6 6 2
0 00 ,180 , 120SDC SDC
过 S 点作线段 CD 的延长线的垂线，垂足为 O ，
120SDC 0 160 , 3, 92SDO OD SD OC ，
四边形 ABCO 为矩形.
由平面 SCD 平面 ABCD 可知， SO 平面 ABCD
以OA所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴，OS 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系.
则 9 3 3(0,3,0), (0,0,3 3), (0,9,0), 0, ,2 2D S C M
设 ( 3)AN a a ，则 3 3 3(6, ,0), (6, 3,0), 0, ,2 2N a DN a DM
，
设平面 DMN 的法向 1 ( , , )n x y z ，由
1
1
6 ( 3) 0
3 3 3 02 2
n DN x a y
n DM y z
，
令 3z ，得 33, 2
ay x
1
3 , 3, 32
an
又 平面 CDM 的法向量 2 (1,0,0)n
1 2 0
1 2 2
1 2
3
12cos , cos60 23 9 32
a
n n
n n
n n a
∣∣
2
2 2
2
3
1 3 32 , 4 124 2 23 122
a
a a
a
2 23 3 33 12, 4, 3, 2, 72 2 2
a a aa a
即 7, 9 7 2AN NB AB AN
7
2
AN
NB
.
【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和空间向量法求二面角的平面角,考查
逻辑推理能力和运算求解能力,属于中档题.
21. 在圆 2 2 4x y 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足， 3
2DM DP .
当点 P 在圆上运动时，点 M 的轨迹为曲线 E.
（1）求曲线 E 的方程；
（2）过点 1,0Q 的两条相互垂直的直线分别交曲线 E 于 A，B 和 C､D，求四边形 ABCD 面
积的取值范围.
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2） 288 649 S .
【解析】（1）设点 M 的坐标为 ,x y ，点 P 的坐标为 0 0,x y ，
∵ 3
2DM DP ，
∴ 0x x ， 0
3
2y y ，∴ 0 0
2,
3
x x y y ，
∴点 P 在 2 2 4x y 上，∴ 2 2
0 0 4x y ，∴
2
2 2 4
3
x y
，
∴曲线 C 的方程为
2 2
14 3
x y .
（2）①当直线 AB 的倾斜角为 0°，| | 4AB ，| | 3CD ，
1 | || | 62ABCDS AB CD 四边形 .
同理直线 AB 的倾斜角为 90 ，
1 | || | 62ABCDS AB CD 四边形 .
②当直线 AB 的倾斜角不为 0°和 90°，
设直线 AB 的方程： 1x my ，
则直线 CD 的方程为： 1 1( 0)x y mm
，
联立 1x my 和
2 2
14 3
x y ，得 2 23 4 6 9 0m y my ，
1 2 2
6
3 4
my y m
， 1 2 2
9
3 4y y m
，
22 2
1 2 1 2 1 2| | 1 1 4AB m y y m y y y y
2
2
2 2
6 361 3 4 3 4
mm m m
2 2
2
2 2
4 4 11 6 123 4 3 4
m mm m m
，
用 1
m
换 m 得
2
2
1| | 12 4 3
mCD m
，
∴四边形 ABCD 面积
2 2
2 2
1 1 1 1| || | 12 122 2 3 4 4 3
m mS AB CD m m
，
令 2 1t m ， 0m ，
∴ 1t ，∴ 10 1t
，
2
1 1 172 72 721 1 1 13 1 4 1 3 4 12
t tS t t
t t t t
2
172
1 1 1 122 4t
，
∴ 288 649 S .
∴综上所述， 288 649 S .
【点睛】本题考查了轨迹方程的求法、直线与椭圆的位置关系以及利用基本不等式研究最
值．考查分析问题与运算求解能力，属于中档题.
22.已知函数 2ln 2 ,f x x ax a x a R .
（1）求 2a 时函数 f x 的单调区间；
（2）当 1
2a 时，若对于任意 1 2 1 2, (1, )( )x x x x ，都存在 0 1 2( , )x x x ，使得
2 1
0
2 1
( ) ( )( ) f x f xf x x x
，证明： 1 2
02
x x x .
【答案】（1）在 1(0, )2
上单调递增， 1( , )2
上单调递减；（2）证明见解析.
【解析】（1） 2a 时， (1 2 )(1 2 )( ) x xf x x
1( ) 0,0 2f x x ，则在 1(0, )2
上单调递增， 1( , )2
上单调递减
（2）由题意，得 1 2 2f x ax ax
(2 1)( 1) , 0x ax xx
.
当 1
2a 时，
∵ 2 1 2
2 1
2 1 2 1 1
1 ln (2 )f x f x x a x x ax x x x x
，
0 0
0
1 2 2f x ax ax
，
∴ 2
2 1 0
2 1 1 0
1 1ln 2x a x x axx x x x
，
∵ 1 2
02
x xf f x
2 1 0
2 1 0
2 1 2a x x axx x x
2
2 1 2 1 1
2 1 ln x
x x x x x
2 1 2
2 1 2 1 1
21 lnx x x
x x x x x
2
1 2
22 1 1
1
2 1
1 ln
1
x
x x
xx x x
x
，
令 2
1
xt x
， 2( 1)( ) ln1
tg t tt
， 1t ，
则
2
2
1 0
1
tg t
t t
，∴ 1 0g t g ，
∴ 1 2
0 02
x xf f x
，∴ 1 2
02
x xf f x
，
设 1 2 2 , 1h x f x ax a xx
，
则 2
1 2 1 1 0h x ax
，
∴ h x f x 在 1, 上单调递增，
∴ 1 2
02
x x x .
【点睛】本题考查了导数研究函数的最值，导数解决恒成立问题以及构造函数利用其导数证
明不等式，属于偏难题.
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