2021 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八
省联考）数学试题考后仿真系列卷七
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答
案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 2| 2 3 0A x x x ，集合 }1)3(log{ 2 xxB ，则 CB A （ ）
A. [3, ) B. (3, )
C. ( , 1] [3, ) D. ( , 1) (3, )
【答案】A
【解析】 2| 2 3 0 { | 1 3}A x x x x x ， }1{}1)3(log{ 2 xxxxB ，
C | 3 [3, )B A x x ，故选 A．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础
题.
2.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满
了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小
灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有
一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ）
A. 119
1077
B. 160
359
C. 958
1077
D. 289
359
【答案】C
【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为 ,x y ，则 360
2 4 1200
x y
x y
，解得 120
240
x
y
，
若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为
2
120
2
360
9581 1077
C
C
.故选:C
【点睛】本题考查了以古文化为背景，涉及古典概型公式以及对立事件的概念，考查了逻辑
推理能力与运算能力，属于基础题．
3.
81 22 x
的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A. 235x B. 220x C. 470x D. 435x
【答案】C
【解析】由二项式系数的性质，当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，
所以二项式系数最大的项是
4
44 4
5 8
1 2 702T C x x
,故选：C.
【点睛】本题考查了二项式系数的性质，考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.
4.过抛物线C ： 2 4y x 的焦点 F 的直线交抛物线C 于 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 两点，且
1 2
4
3x x ，则弦 AB 的长为（ ）
A. 16
3
B. 4 C. 10
3
D. 8
3
【答案】C
【解析】抛物线的焦点弦公式为： 1 2x x p ，
由抛物线方程可得： 2p ，则弦 AB 的长为 1 2
4 1023 3x x p .故选：C.
【点睛】本题考查了有关直线与抛物线的弦长问题，因为过抛物线的焦点，所以可直接使用
公式|AB|＝x1＋x2＋p，属于基础题．
5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.函数
( ) (1 )sine 1
2
xf x x
在区间 π π( , )2 2
上的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 e sin e sin( ) (1 ( 1)2 ()sin ( )e 1 e 1 e 1
1)x x
x x x
x xf x x f x
，
所以 ( )f x 在区间 π π(- , )2 2
上是偶函数，故排除 B、D，又 (1) (1 )sin1 0e 1
2f
，故排除 C；
故选 A。
【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧，
属于中档题.
6.7 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，
另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三
角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个
顶角为36 的等腰三角形(另一种是顶角为 108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形
与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 ABC 中， 5 1
2
BC
AC
.根据这些信息，
可得sin234 （ ）
A. 1 2 5
4
B. 3 5
8
C. 5 1
4
D.
4 5
8
【答案】C
【解析】由题意可得： 72ACB ，且
1
5 12cos 4
BC
ACB AC
，
所以
2
2 5 1 5 1cos144 2cos 72 1 2 14 4
，
所以 5 1sin234 sin 144 90 cos144 4
，故选：C
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.
7.双曲线 C :
2
2 13
yx 的左顶点为 A ，右焦点为 F ，过点 F 作一条直线与双曲线C 的右支
交于点 ,P Q ，连接 ,PA QA 分别与直线l ： 1
2x 交于点 ,M N ，则 MFN （ ）
A. 6
B.
3
C. 2
D. 2
3
【答案】C
【解析】由双曲线的方程可知双曲线的焦点坐标为 2,0F ，
设过焦点的直线方程为： 2x my ，P,Q 点的坐标为 1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，
联立直线方程与双曲线方程可得： 2 23 1 12 9 0m y my ，
则： 1 2 1 22 2
12 9,3 1 3 1
my y y ym m
，
由 1,0A ， 1 1,P x y 可得直线 AP 的方程为： 1
1
11
yy xx
，
令 1
2x 可得：
1
1
3
2 1
yy x
，即
1
1
31 ,2 2 1
yM x
，
同理可得：
2
2
31 ,2 2 1
yN x
，
结合点 F 的坐标 2,0F 可得：
1
1
33 ,2 2 1
yMF x
，
2
2
33 ,2 2 1
yNF x
，
则：
1 2
1 2
9 9
4 4 1 1
y yMF NF x x
，其中：
1 2
1 2
2
1 2 1 2
2 2
2 2
2
1 1
3 3
3 9
9 36 93 1 3 1
9 ,3 1
x x
my my
m y y m y y
m m
m m
m
据此可得：
2
2
9 9 9 3 19 04 4 3 1 9
mMF NF m
，
故 ,MF NF MF NF ，故
2MFN . 故选：C
【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，通过向量研究夹角,属于中档题.
8.设是定义在 R 上的偶函数，且 ( 2) (2 )f x f x 时，当 [ 2,0]x 时， 2( ) 12
xf x ，
若 ( )2,6 在区间内关于 x 的方程 ( ) log ( 2) 0( 0af x x a 且 1)a 有且只有 4 个不同的
根，则实数 a 的范围是（ ）
A. (1 ,14 ) B. (1,4) C. (1,8) D. (8, )
【答案】D
【解析】∵ ( )f x 是偶函数，∴ (2 ) ( 2)f x f x ，
∴对于任意的 xR ，都有 2 2f x f x ，
所以 4 2 2 2 2f x f x f x f x ，所以函数 f x 是一个周期函数，
且 4T ，
又因为当 2 0x ， 时， 2( ) 12
xf x ，且函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，
若在区间 2,6 内关于 x 的方程 log 2 0af x x 恰有 4 个不同的实数解，
则函数 y f x 与 log 2 1ay x a 在区间 2,6 上有四个不同的交点，作函数
y ( )f x 和 log ( 2)ay x 的图象，只能如下图所示：
又 2 2 6 1f f f ，则对于函数 log 2ay x ，由题意可得，当 6x 时的函
数值小于 1，即 log 8 1a ，由此解得 8a ，所以 a 的范围是 8 ， ， 故选：D.
【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的分布问题，通过把问题转化为函数图象的交点个
数，利用数形结合思想求解，属于中档题.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.已知复数 3 2 z a i i a R 的实部为 1 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 复数 z 的虚部为 5 B. 复数 z 的共轭复数 1 5 z i
C. 26z D. z 在复平面内对应的点位于第三象
限
【答案】ACD
【解析】 23 2 3 2 3 2 3 2 2 3z a i i a ai i i a a i ，
因为复数的实部是-1，所以 3 2 1a ，解得： 1a ，所以 1 5z i ，
对于选项 A,复数 z 的虚部是-5，A 正确；对于选项 B,复数 z 的共轭复数 1 5z i ，B 错误；
对于选项 C, 2 21 5 26z ，C 正确；对于选项 D, z 在复平面内对应的点是
1, 5 ，位于第三象限，D 正确. 故选：ACD
【点睛】本题考查了复数的运算以及复数几何意义,属于基础题.
10.下列命题中所有真命题的选项为（ ）
A.两个随机变量线性相关性越强，相关系数 r 越接近 1；
B.回归直线一定经过样本点的中心 ( , )x y ；
C.线性回归方程 0.2 10ˆy x ，则当样本数据中 10x 时，必有相应的 12y ；
D.回归分析中，相关指数 2R 的值越大说明残差平方和越小.
【答案】BD
【解析】对于选项 A,两个随机变量线性相关性越强，相关系数 r 越接近 1，A 错误；
对于选项 B,回归直线一定经过样本点的中心 ,x y ，B 正确；
对于选项 C,线性回归方程 0.2 10ˆy x ，则当样本数据中 10x 时，可以预测 12y ，但是
会存在误差，C 错误；
对于选项 D,回归分析中，相关指数 2R 的值越大说明残差平方和越小，D 正确. 故选:BD.
【点睛】本题考查了线性相关以及线性回归方程，属于基础题.
11.一副三角板由一块有一个内角为 60的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，
90 ,B F 60 , 45 ,A D BC DE ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱
锥 F CAB ，取 BC 中点O 与 AC 中点 M ，则下列判断中正确的是（ ）
A. 直线 BC ⊥面OFM
B. AC 与面 OFM 所成的角为定值
C. 设面 ABF 面 MOF l ，则有l ∥ AB
D. 三棱锥 F COM 体积为定值.
【答案】ABC
【解析】对于 A，由 BC 中点 O 与 AC 中点 M ，得 / /MO AB ,
90 ,B F 得 BC MO ，
由 BCF△ 为等腰直角三角形得 BC FO ，由 MO FO O ，
MO FO ， 面OFM ，
得直线 BC ⊥面OFM ，故 A 正确；
对于 B，由 A 得， AC 与面OFM 所成的角为 C ，为定值 30°，故 B 正确；
对于 C，由 A 得， / /MO AB ，故 / /AB 面OFM ，由 AB Ì面 ABF ，
面 ABF 面 MOF l ，所以l ∥ AB ，故 C 正确；
对于 D， COMV 的面积为定值，
但三棱锥 F COM 的高会随着 F 点的位置移动而变化，
故 D 错误. 故选：ABC.
【点睛】本题考查了立体几何中关于线面垂直，线面角，线面平行的判定与性质，属于中档
题.
12.在单位圆 O：x2+y2＝1 上任取一点 P（x，y），圆 O 与 x 轴正向的交点是 A，设将 OA 绕原
点 O 旋转到 OP 所成的角为θ，记 x，y 关于θ的表达式分别为 )(fx ， )(gy ，则下列
说法正确的是（ ）
A. )(fx 是偶函数， )(gy 是奇函数
B. )(fx 在
2 2
， 为增函数， )(gy 在
2 2
， 为减函数
C. )()( gf ≥1 对于 0 2
， 恒成立
D. 函数 t＝ )2()(2 gf 的最大值为 3 2
2
【答案】AC
【解析】对于选项 A， ( ) cosx f ， ( ) siny g ，即 A 正确；
对于选项 B, ( ) cosx f 在[ ,0)2
上为增函数，在[0, ]2
上为减函数； ( ) siny g 在
[ , ]2 2
上为增函数，即 B 错误；
对于选项 C, ( ) ( ) cos sin 2 sin( )4f g ， [0, ]2
， 3[ , ]4 4 4
，
2 sin( ) [1, 2]4
，即C 正确；
对于选项 D,函数 2 ( ) (2 ) 2cos sin 2t f g ， [0,2 ] 则
22sin 2cos2 2sin 2(1 2sin ) 2(2sin 1)(sin 1)t ，
令 0t ，则 11 sin 2
；令 0t ，则 1 sin 12
，
函数 t 在 0 6,
和 5 ,26
上单调递增，在 5,6 6
上单调递减，当
6
即 1sin 2
，
3cos 2
时，函数 t 取得极大值，为 3 1 3 3 32 22 2 2 2t ，
又当 2 即sin 0 ， cos 1 时， 2 1 2 0 1 2t ，所以函数t 的最大值为 3 3
2
，
即 D 错误．
故选： AC ．
【点睛】本题考查了正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性以及三角恒等变换，利用导数研
究函数的单调性与最值等，考查灵活运用知识的能力、推理论证能力和运算能力，属于中档
题．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.设随机变量 2,N ，且 3 1 0.2P P ，则 1 1P ______.
【答案】 0.3.
【解析】因为 2,N ，且 3 1 0.2P P ，
所以 1 ， 1 1 0.5 0.2 0.3P ，故答案为： 0.3.
【点睛】本题考查了正态分布在指定区间上的概率，需充分利用正态密度曲线的对称性求解，
考查了分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
14.如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折
者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈=10 尺），现被风折断尖端落在地上，竹尖
与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角（锐
角）为 ，则 tan 4
________.
【答案】 151
31
【解析】由题意，设折断处离地面的高为 x 尺
则由勾股定理得 2 2 23 (10 x)x ，化简得 20 91x ，解得 4.55x .
∴ 4.55 91tan 3 60
，∴
tan tan 1514tan 4 311 tan tan 4
.
故答案为： 151
31
【点睛】本题考查了以古文化为背景,考查了勾股定理、锐角三角函数的定义以及两角和的正
切公式，属于基础题.
15.已知等比数列 na 的公比为 q，且 10 1a ， 2020 1a ，则 q 的取值范围为______；能使
不等式 1 2
1 2
1 1 1 0m
m
a a aa a a
成立的最大正整数 m ______.
【答案】 (1, ) 4039
【解析】由已知 2019
1 1 2019
11a q a q
，
结合 10 1a 知 2019
10 1q
，解得 1q ，
故 q 的取值范围为 (1, ) .
由于 na 是等比数列，所以 1
na
是首项为
1
1
a ，公比为 1
q
的等比数列.
要使 1 2
1 2
1 1 1 0m
m
a a aa a a
成立
则 1 2
1 2
1 1 1
m
m
a a a a a a
即 1 1
1 111
11 1
m ma q a q
q
q
，
将 1 2019
1a q
代入整理得： 4039 4039mq q m 故答案为： 4039m 。
【点睛】本题考查了等比数列通项公式以及前 n 项和公式，考查了不等式恒成立求参，属于
中档题.
16.已知三棱锥 S ABC 的三条侧棱 SA， SB ， SC 两两互相垂直且 13AC ，此三棱锥
的外接球的表面积为14 ．设 AB m ， BC n ，则 m n 的最大值是______．
【答案】 30
【解析】因为三棱锥 S ABC 的三条侧棱 SA， SB ， SC 两两互相垂直且 13AC ，
设 SA a ， SB b ， SC c ，
则在 Rt SAB 中，由勾股定理得 2 2 2AB SA SB ，即 2 2 2m a b ；①
在 Rt SAC△ 中，由勾股定理得 2 2 2AC SA SC ，即 2 2 213 a c ，
即 2 213 a c ；②
在 Rt SBC△ 中，由勾股定理得 2 2 2BC SB SC ，即 2 2 2n b c ；③
由①+②+③，可得得 2 2 2 2 2 2 2 213m n a b a c b c ，
即 2 2 2 2 213 2m n a b c ．④
因为易知三棱锥 S ABC 的外接球即为以 SA， SB ， SC 过同一顶点三条棱的长方体的外接
球，又因为此三棱锥的外接球的表面积为14 ，
设外接球的半径为 R ，则
2
22 2 2
4 14
2
R
a b c R
，所以 2 2 2 14a b c 且 2 1b ，
代入④中，得 2 2 13 28m n ，即 2 2 15m n ，
由
2 2 2
2 2
m n m n
，得
2 15
2 2
m n
，即 2 30m n ，所以 30m n ，
当且仅当 30
2m n 时等号成立，所以 m n 的最大值为 30 ．
故答案为： 30
【点睛】本题考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的表面积公式的应用，考查空间想
象能力，以及计算能力,属于中档题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17. 如图，在梯形 ABCD 中， 90A D o ， M 为 AD 上一点， 2 2AM MD ，
60BMC ∠ .
（1）若 60AMB ，求 BC ；
（2）设 DCM ，若 4MB MC ，求 tan .
【答案】（1） 2 3BC （2） 3tan 2
【解析】（1）由 60BMC ， 60AMB ，得 60CMD .
在 Rt ABM 中， 2 4MB AM ；
在 Rt CDM 中， 2 2MC MD ．
在 MBC 中，由余弦定理得，
2 2 2 2 cos 12BC BM MC BM MC BMC ，
2 3BC ．
（2）因为 DCM ，所以 60ABM ， 0 60 ．
在 Rt MCD 中， 1
sinMC ；
在 Rt MAB 中，
2
sin 60
MB
，
由 4MB MC 得， 2 60sin sin ，
所以 3cosθ sinθ sinθ ，即 2sinθ 3cosθ ，
整理可得 3tan 2
．
【点睛】本题考查了解三角形的问题，考查了余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换，属于
基础题.
18.给出以下两个条件，①4a3，3a4，2a5 依次成等差数列；②Sn＝an＋1-1，请选择一个补充在下
列题目条件中，并完成解答．特别说明：若选择多个条件分别解答，按照选择的第一个解答
进行给分．
已知数列{an}为递增的等比数列，a2＝2，Sn 为{an}的前 n 项和，{bn}为公差不为 0 的等差数列，
b1＝1， 2
2 1 5b b b ．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记
1
n
n
n
bc a
，求{cn}的前 n 项和 Tn．
【答案】答案件解析
【解析】（1）{ }nb 的公差为 d ，
2 2
2 1 5 1 1 1( ) ( 4 ) 2b bb b d b b d d ，
2 1nb n ∴ ， 设数列{ }na 的公比为 q ，
若选择条件①，
3 2
2 2 24 2 6 2a q a q a q q 或 1q （舍），
12n
na ∴ ；
若选择条件②， 1 1n nS a ，
1n ∴ 时， 2 1 1 2a S ， 2n∴ ≥ 时， 1 2 1n nS a ，两式相减得 2 12n na a ，
12 .n
na ∴
（2）法 1： 1
1
2 1 2 1 2 3
2 2 2
n
n n n n
n
b n n nc a
，
1
3 5 5 7 2 1 2 3 2 33 .1 2 2 4 2 2 2n n n n
n n nT
∴
法 2：
1
2 1
2
n
n n
n
b nc a
，
1
1 3 2 3 2 1
2 4 2 2n n n
n nT
∴ ，
2 1
1 3 2 3 2 12 1 2 2 2n n n
n nT
，
两式相减得
1 2 2
2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 31 1 1 3 3 .2 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n n n
n n n nT
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式、数列递推关系以及错位相减法求和，考
查分析问题求解能力，属于基础题.
19.如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD ， BC / / AD ， 2
3
πBAD ，
2PA AB BC ， 4AD ，点 M 是棱 PD 的中点.
（1）求证： / /CM 平面 PAB ；
（2）求二面角 M AC D 的大小.
【答案】（1）答案见解析（2）
6
【解析】证明：（1）如图，取 AP 的中点 E ，连接 BE 、 EM .
∵ M 是 PD 的中点，∴ 1
2EM AD ， / /EM AD ，
又 1
2BC AD ， / /BC AD ，所以 EM BC ， / /EM BC ，
∴四边形 BCME 为平行四边形，
∴ / /CM BE ，
又 BE 平面 PAB ， CM 平面 PAB ，
∴ / /CM 平面 PAB .
（2）在平面 ABCD 内过点 A 作 AD 的垂线 Ax ，由题意知 PA ， Ax ， AD 两两垂直，以
A 为坐标原点， Ax ， AD ， AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，由题意知 2PA AB BC ， 4AD ， 2
3
πBAD ，
可得 0,0,0A ， 3,1,0C ， 0,2,1M ，∴ 3,1,0AC
， 0,2,1AM ，
设平面 MAC 的法向量为 , ,n x y z
，
则由 0
0
n AC
n AM
，即 3 0
2 0
x y
y z
，令 3y ，则 3x ， 6z ，
∴ 3, 3,6n
为平面 MAC 的一个法向量.
∵ PA 底面 ABCD ，∴可取平面 ACD 的一个法向量为 0,0,1m ，
∴
6 3cos , 248
n mn m
n m
，
∵二面角 M AC D 为锐二面角，
∴二面角 M AC D 的大小为
6
.
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了空间向量数量积的运算，属于基础题.
20.某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共 5000 人参
加复试，复试共三道题，第一题考生答对得 3 分，答错得 0 分，后两题考生每答对一道题得 5
分，答错得 0 分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.
（1）通过分析可以认为考生初试成绩 X 服从正态分布 2( , )N ，其中 64 ， 2 169 ，
试估计初试成绩不低于 90 分的人数；
（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为 3
4
，后两题答对的概率均为 2
3
，
且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望.
附：若随机变量 X 服从正态分布 2( , )N ，则 0.6826P X ，
2 2 0.9544P X ， 3 3 0.9974P X ．
【答案】（1）114 人；（2）分布列见解析，107
12 .
【解析】（1）∵学生笔试成绩 X 服从正态分布 2,N ，其中 64 ， 2 169 ，
2 64 2 13 90
∴ 190 2 1 0.9544 0.02282P X P X
∴估计笔试成绩不低于 90 分的人数为 0.0228 5000 114 人
（2）Y 的取值分别为 0，3，5，8，10，13，
则 23 2 10 (1 ) (1 )4 3 36P Y
23 2 3 13 (1 )4 3 36 12P Y
1
2
3 2 2 15 (1 ) (1 )4 3 3 9P Y C
1
2
3 2 2 3 18 (1 )4 3 3 9 3P Y C
23 2 110 (1 ) ( )4 3 9P Y
23 2 3 113 ( )4 3 9 3P Y
Y 的分布为
故 的分布列为：
Y 0 3 5 8 10 13
P 1
36
1
12
1
9
1
3
1
9
1
3
1 1 1 1 1 1 321 1070 3 5 8 10 1336 12 9 3 9 3 36 12E Y
【点睛】本题考查了利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题，通过利用对
称轴 =x 确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，其
中对于正态分布 2( )N ， ，由 =x 是正态曲线的对称轴可以确定以下结论：①对任意的 a ，
有 ( ) ( )P X a P X a ＝ ；
② 0 01 ;( )P X x P X x ③ = ( )P a X b P X b P X a ．属于中档题.
21. 已知中心在原点O 的椭圆 C 的左焦点为 1 1,0F ，C 与 y 轴正半轴交点为 A ，且
1 3AFO .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点 A 作斜率为 1k 、 2 1 2 0k k k 的两条直线分别交 C 于异于点 A 的两点 M 、 N .证
明：当 1
2
1 1
kk k
时，直线 MN 过定点.
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2）答案见解析.
【解析】（1）在 1Rt AFO 中， OA b ， 1 1OF c ， 2 2
1 1AF OA OF a ，
1 3AFO ， 1 6OAF ， 1 12 2a AF OF ， 2 2 3b a c ，
因此，椭圆C 的标准方程为
2 2
14 3
x y ；
（2）由题不妨设 :MN y kx m ，设点 1 1,M x y ， 2 2,N x y
联立
2 2
14 3
x y
y kx m
，消去 y 化简得 2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m ，
且 1 2 2
8
4 3
kmx x k
，
2
1 2 2
4 12
4 3
mx x k
，
1
2
1 1
kk k
， 1 2 1 2k k k k ， 1 2 1 2
1 2 1 2
3 3 3 3y y y y
x x x x
，
∴代入 1,2i iy kx m i ，化简得
2 2
1 2 1 22 1 3 2 3 3 0k k x x k m x x m m ，
化简得 2
8 3 3 3 3k m m ，
3m ， 8 3 3 3k m ， 8 3 33
km ，
直线 8 3: 33
kMN y kx ，因此，直线 MN 过定点 8 3 , 33
.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及椭圆中直线过定点的问题，考查分析问题与运算能
力，属于中档题.
22.已知 ( ) xf x e ，当 0x 时 (2 ) 1f x ax 恒成立．
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）当 0, 2x
时，求证： 2 23 sin xx x xe ．
【答案】（1） 2a ；（2）证明见解析.
【解析】（1） (2 ) 1f x ax 即 2 1 0xe ax 恒成立，
令 2( ) 1( 0)xh x e ax x ，则 2( ) 2 xh x e a
当 2a 时 ( ) 0h x ，则 ( )h x 在 0, 是增函数， (0) 0h ， ( ) 0h x 成立．
当 2a 时， 0x 使 0 0h x
00,x x ， ( ) 0h x ， ( )h x 为减函数， 0,x x ， ( ) 0h x ， ( )h x 为增函数．
所以 0 (0) 0h x h 不合题意．所以 2a ．
（2）由（1）得当 0, 2x
时 2 2 1xe x ，所以要证 2 23 sin xx x xe 只要证
23 sin (2 1)x x x x
即证： 2 sin 0x x x ，设 2( ) sinh x x x x ， 0, 2x
，
( ) 2 1 cosh x x x ， ( ) 2 sin 0h x x
所以 ( )h x 在 0, 2
是增函数，
(0) 2h ， 1 02h
，所以存在 0 0, 2x
使 0 0h x ．
故 00,x x 时， ( ) 0h x ，则 ( )h x 为减函数， 0 , 2x x
时 ( ) 0h x 则 ( )h x 为增函数
(0) 0h ，
2 2 2 414 42 02h
，
所以 0, 2x
时 ( ) 0≤h x ，故命题成立．
【点睛】本题考查了导数的综合应用，其中利用导数求参数范围常见方法：（1）变量分离，
构造函数，转化为恒成立问题处理，求导数进步求新函数的最值;（2）移项后，构造函数，求
导讨论函数的单调性及极值;
属于偏难题.
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