重庆市 2021 届高三下学期 3 月联考数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答
案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 2 4 5 0|1 7 RA x x B x x x A B ， ， （ ）ð （ ）
A． 5 7（ ，） B． 15（，） C． 11（ ，） D． 11 5 7 （ ，）（ ，）
2．已知复数 2 4 ,ai bi a b Ri
, ，则 a b （ ）
A．2 B． 2 C．4 D．6
3．已知 2sin 3sin 2
，则 2 2 21sin sin cos2
（ ）
A． 5
13
B． 5
13
C． 5
13
D． 1
13
4．函数 cos 1
xf x x
的部分图象大致是（ ）
A ． B ． C ．
D．
5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党
的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）
班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下
列说法正确的是（ ）
A．高三（2）班五项评价得分的极差为 1.5
B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分
C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高
D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大
6．已知抛物线 2: 8C y x 的焦点为 F，P 为 C 在第一象限上一点，若 PF 的中点到 y 轴的距
离为 3，则直线 PF 的斜率为（ ）
A． 2 B． 2 2 C．2 D．4
7．设 1 2,F F 是双曲线
2 2
: 14 8
x yC 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在 C 的左支上，且
1 1 2 3OF OP F P OP
OP OP
，则 1 2PF E 的面积为（ ）
A．8 B．8 3 C．4 D． 4 3
8．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方
法，最早见于
《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”
为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在
内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与
“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（ ）
A．960 B．1024 C．1296 D．2021
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．函数 22 3sin cos 2sin 1f x x x x 的图象向右平移
24
个单位长度后得到函数
g x 的图象，对于函数 g x ，下列说法正确的是（ ）
A． g x 的最小正周期为 B． g x 的图象关于直线 5
24x 对称
C． g x 在区间 ,4 4
上单调递增 D． g x 的图象关于点 13 ,024
对称
10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形
攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建
筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正
四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 ，这个角接近 30 ，若取 30 ，侧棱长为 21 红
米，则（ ）
A．正四棱锥的底面边长为 6 米 B．正四棱锥的底面边长为 3 米
C．正四棱锥的侧面积为 24 3 平方米 D．正四棱锥的侧面积为12 3 平方米
11．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向 2020 级本科生开放．该校学生小华
选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的
不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制
西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一
个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内
容（ ）
A．可能是家常菜青椒土豆丝 B．可能是川菜干烧大虾
C．可能是烹制西式点心 D．可能是烹制中式面食
12 ． 已 知 函 数 2 2, 2 1
ln 1,1
x xf x x x e
, 若 关 于 x 的 方 程 f x m 恰 有 两 个 不 同 解
1 2 1 2x x x x， （ ），则 2 1 2x x f x 的取值可能是（ ）
A． 3 B． 1 C．0 D．2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线
上．
13．已知平面向量 3 4a （ ，），非零向量b
满足b a ，则b
_____．（答案不唯一，写出满
足条件的一个向量坐标即可）
14．已知 0 0 4 4a b a b ， ， ，则 4 9
a b
的最小值为_______．
15．已知函数 2 lnf x ax x 满足
0
1 1 2lim 23x
f f x
x
，则曲线 y f x 在点
1 1,2 2f
处的切线斜率为__________．
16．在正四棱锥 P ABCD 中， 2 5PA AB ，若四棱锥 P ABCD 的体积为 256
3
，则该
四棱锥外接球的体积为_________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤
17．（10 分）已知各项均为正数的等差数列 na 的公差为 4，其前 n 项和为 nS ，且 22a 为 2 3S S，
的等比中项．
（1）求 na 的通项公式；
（2）设
1
4
n
n n
b a a
，求数列 nb 的前 n 项和 nT ．
18．（12 分）设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 3cos cos 5a B b A c ．
（1）求 tan
tan
A
B
的值；
（2）若点 D 为边 AB 的中点， 10 5AB CD ， ，求 BC 的值．
19．（12 分）
为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖
区内某一个县的 27 个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金
属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、
中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．
（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取 6 个，求在轻度、
中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；
（2）规定：轻度污染记污染度为 1，中度污染记污染度为 2，重度污染记污染度为 3．从（1）
中抽取的 6 个行政村中任选 3 个，污染度的得分之和记为 X，求 X 的数学期望．
20．（12 分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，底面 ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中
点．
（1）证明： 1 / /AB 平面 1BC D ．
（2）若 1 2AA AB ，求二面角 1 1B AC C 的余弦值．
21．（12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
（ ）的左、右焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 2
2 ,
且点 2 3 3,3 3
在 C 上．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设过 2F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，若 1 1
10
3AF BF ，求 AB ．
22．（12 分）已知函数 xf x x m e ．
（1）若 f x 在 ,1 上是减函数，求实数 m 的取值范围；
（2）当 0m 时，若对任意的 0, , ln 2x nx nx f x 恒成立，求实数 n 的取值范围．
高三数学试卷参考答案
1．A 【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力．
因为 1| 5B x x ，所以 5 7RA B x x （ ）ð ．
2．D 【解析】本题考查复数的概念与运算，考查运算求解能力．
因为 2 4ai bii
，所以 2 4 6ai b i a b ， ．
3．B 【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．
由 2sin 3sin 2
（ ） （ ），得 2sin 3cos ，所以 3tan 2
，
从而
2 2 2
2 2
2 2 2
1 sin sin cos cos tan tan 1 1sin sin 2 cos2 sin cos tan 1 13
4．D 【解析】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力．
因为 cos 1 0x ，所以 f x 的定义域为 2 ,x x k k Z ，则 0x ，故排除 C；而
cos 1 cos 1
x xf x f xx x
，所以 f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故
排除 B；当 0, 2x
时， cos 1 0, 0cos 1
xx f x x
，所以排除 A．故选 D．
5．C 【解析】本题考查统计图表的相关知识，考查数据处理能力和应用意识．
对于 A，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为 9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.5 8.5 1 ，
A 错误；对于 B，两班的德育分相等，B 错误；对于 D，两班的劳育得分相差最大，D 错误，
从而 C 正确．
6．B 【解析】本题考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想．
由抛物线的定义知 PF 的中点到 y 轴的距离等于 32
PF ，又 2 6PF xp ，解得 4xp ，
代入抛物线方程可得 4 4 2P（ ， ）．因为 F 点的坐标为 2 0（ ，），所以直线 PF 的斜率为
4 2 0 2 24 2
．
7．A 【解析】本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合的数学思想和运算求解能力．
由 1 1 2 3OF OP F P OP
OP OP
，可得 2 3OP ，不妨设 1 22 3,0 , 2 3,0F F ，所以
1 2
1
2OP F F ，所以点 P 在以 1 2FF 为直径的圆上，即 1 2PFF 是以 P 为直角顶点的直角三角
形，故 2 2 2
1 2 1 2PF PF F F ，即 2
22
1 48PF PF ．又 1 2 2 4PF PF a ，
所 以 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 216 2 48 2PF PF PF PF PF PF PF PF ， 解 得
1 2 16PF PF ，
所以
1 2 1 2
1 82PF FS PF PF ．
8．C 【解析】本题考查排列组合知识的应用，考查数据处理能力和应用意识．
排 课 可 分 为 以 下 两 大 类 ： （ 1 ） “ 丝 ” 被 选 中 ： 不 同 的 方 式 种 数 为
2 2 3 2 2 2 2 2
1 4 2 3 4 4 2 2 3 720N C A A A C A A A 种 ； （ 2 ） “ 丝 ” 不 被 选 中 ： 不 同 的 方 式 种 数 为
3 2 3 2
2 4 2 3 4 576N C A A A 种．故共有 720 576 1296N 种．
9．ABD 【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力．
因为 22 3sin cos 2sin 1 2sin 2 6f x x x x x
，其图象向右平移
24
个单位长度
后得到函数 2sin 2 2sin 224 6 12g x x x
的图象，所以 g x 的最小正周
期 为 ， A 正 确 ； 当 5
24x 时 ， 2 12 2x ， B 正 确 ； 当 ,4 4x
时 ，
5 72 ,12 12 12x
， g x 在区间 ,4 4
上单调递增是不正确的，C 错误；当
13
24x 时， 2 12x ，函数 g x 的图象关于点 13 ,024
对称，D 正确．
10．AC 【解析】本题考查立体几何知识，考查空间想象能力．
如图，在正四棱锥 S ABCD 中，O 为正方形 ABCD 的中心，SH AB ，设底面边长为 2a ．因
为 30SHO ， 所 以 3 2 3
3 3OH a OS a SH a ， ， ． 在 Rt SAH 中 ，
2
2 2 3 213a a
，所以 3a ，底面边长为 6 米， 1 6 2 3 4 24 32S 平方米．
11．BD 【解析】本题考查逻辑推理知识，考查推理论证能力．
若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；
若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件；
若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除；
若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件．
故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食，所以选 BD．
12．BC 【解析】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想与推理论证能力．
因 为 f x m（ ） 的 两 根 为 1 2 1 2x x x x, （ ）， 所 以 1
1 2
2 , , 1,02
mmx x e m ， 从 而
2
1 1
2 1 2
2
2 2
m mm mx x f x e m me m
． 令
1 21 , 1,02
xg x xe x x x ， 则 11 1, 1,0xg x x e x x 因 为
1,0x ，所以 1 01 0 1 1 0xx e e x ， ， ，所以 0g x 在 1,0 上恒成立，
从而 g x 在 1,0 上单调递增．又 50 0, 1 2g g ，所以 5 ,02g x
，即
2 1 2x x f x 的取值范围是 5 ,02
，故选 BC．
13． 4 3（ , ），答案不唯一 【解析】本题考查平面向量的垂直，考查运算求解能力．
设 ,b x y （ ），因为b a ，所以3 4 0x y ，可取 4 3b （ ， ）．
14．16 【解析】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力．
因为 4 9 1 4 9 1 16 9 16 9 16 94 40 , 2 244 4
b a b a b aa ba b a b a b a b a b
，所以
4 9 16a b
．
15．3 【解析】本题考查导数的概念及几何意义，考查运算求解能力．
由
0
1 1 2lim 23x
f f x
x
，可得
0
1 2 1lim 32x
f x f
x
，因为 12f x ax x
，
所以 1 2 1= 3f a ，即 1a ，则 2 lnf x x x ，所以 1 12 , 32f x x fx
．
16． 500
3
【解析】本题考查四棱锥的外接球问题，考查空间想象能力和运算 3 求解能力．
如图，作 PH 平面 ABCD ，垂足为 H．连接 BD ，则 H 为 BD 的中点．设 2mAB ，则
10m 2mPB PA BH ， ， 从 而 2 2PH m ， 故 四 棱 锥 P ABCD 的 体 积 为
3
21 8 2 2562m 2 2m3 3 3
m ，解得 2 2m ．由题意可知正四棱锥 P ABCD 外接
球 的 球 心 O 在 PH 上 ， 连 接 OB ． 设 正 四 棱 锥 P ABCD 外 接 球 的 半 径 为 R ， 则
2 2 2 2R BH OH PH OH （ ） ， 解 得 5R ， 故 该 四 棱 锥 外 接 球 的 体 积 为
34 500
3 3R ．
17．解：（1）因为数列 na 是公差为 4 的等差数列，
所 以
2 1 2 1 3 1 1
3 24, 2 2 , 3 + 4 3 42a a S a S a a ． 2 分
又 2
2 2 34a S S ，所以 2
1 1 14 a 4 6 2 4a a ，即 1 14 2 0a a ，
解得 1 2a 或 1 4a （舍去）， 4
分
所以 2 4 1 4 2na n n （ ） ． 5
分
（2）因为 1
4 4 1 1
4 2 4 2 4 2 4 2n
n n
b a a n n n n
， 7 分
所以 1 2 1n n nT b b b b
1 1 1 1 1 1 1 1
2 6 6 10 4 6 4 2 4 2 4 2n n n n
8 分
1 1
2 4 2n
9 分
2 1
n
n
10 分
评分细则：
法二：（1）因为数列 na 是公差为 4 的等差数列，且 22a 为 2 3S S， 的等比中项，
所 以 2
2 2 34a S S ， 从 而
2
2 2 24 3a S a ． 2 分
因为 2 0a ，所以 2 24 3a S ，即 1 14 4 3 2 4a a （ ） （ ）， 3 分
解得 1 2a ， 4 分
所以 2 4 1 4 2na n n （ ） ． 5 分
（2）第二问解法同上．
18 ． 解 ： （ 1 ） 3cos cos 5a B b A c ， 所 以
2 2 2 2 2 2 3
2 2 5
c a b b c aa b cca bc
，
2 分
即 2 2 23
5a b c ． 3 分
又
2 2 2
2 2 2
tan sin cos 2
tan cos sin
2
a c baA A B ac
b c aB A B bbc
． 4 分
所以
2 2 2 2
2 2 2 2
tan 8 5 4tan 5 2
A a c b c
B b c a c
5 分
（2）作 AB 边上的高 CE ，垂足为 E（图略），因为 tan tanCE CEA BAE BE
， ，所以
tan
tan
A BE
B AE
7 分
又 tan 4tan
A
B
， 所 以
4BE AE ． 8 分
因 为 点 D 为 边 AB 的 中 点 ， 10AB ， 所 以
5 2 3BD AE DE ， ， ． 9 分
在 直 角 三 角 形 CDE 中 ， 5CD ， 所 以
2 25 3 4CE ． 11 分
在 直 角 三 角 形 BCE 中 ， 8BE ， 所 以
2 24 8 4 5BC ． 12 分
评分细则：
（1）第一问中，应用正弦定理或余弦定理得出部分关键结论的给 2 至 3 分，全部正确的得 5
分．
（2）第二问中，写到 tan
tan
A BE
B AE
这一步累计得 7 分，写出 4BE AE 累计得 8 分，算出
2 25 3 4CE 累计得 11 分，算出 2 24 8 4 5BC 累计得 12 分．
（3）其他情况根据评分标准依步骤给分．
19．解：（1）轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共9 6 3 18 个， 1
分
所以从轻度污染的行政村中抽取 6 9 318
个，从中度污染的行政村中抽取 6 6 218
个，从
重 度 污 染 的 行 政 村 中 抽 取 6 3 118
个． 4 分
（2）X 的所有可能取值为 3，4，5，6，7． 5
分
3
3
6
3
13 20
CP X C
（ ） ,
6 分
2 1
3 2
3
6
34 10
C CP X C
（ ） ，
7 分
2 1 2
3 3 2
3
6
35 10
C C CP X C
（ ） ，
8 分
1 1
3 2
3
6
36 10
C CP X C
（ ） ． 9 分
2
2
3
6
17 20
CP X C
（ ） 10 分
所以 X 的分布列为
X 3 4 5 6 7
P 1
20
3
10
3
10
3
10
1
20
11
分
所以 1 3 3 3 13 4 5 6 7 520 10 10 10 20E X ． 12
分
评分细则：
（1）第一问中，分别算出所抽取的轻度污染、中度污染、重度污染行政村的个数各得 1 分．
（2）第二问中，写出 X 的所有可能取值得 1 分，每算出一个概率得 1 分，最后算出 5E X ，
累计得 12 分．
（3）其他情况根据评分标准按步骤给分．
20．（1）证明：记 1 1BC BC E ，连接 DE ．
由 直 棱 柱 的 性 质 可 知 四 边 形 1 1BCC B 是 矩 形 ， 则 E 为 1BC 的 中
点． 1 分
因 为 D 是 AC 的 中 点 ， 所 以
1/ /DE AB ． 2 分
因 为 1AB 平 面 1BC D DE ， 平 面 1BC D ， 所 以 1 / /AB 平 面 1BC D
4 分
（2）解：因为底面 ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点，所以 BD AC ，由直棱柱的性
质 可 知 平 面 ABC 平 面 1 1ACC A ， 则 BD 平 面
1 1ACC A ． 5 分
取 1 1AC 的中点 F，连接 DF ，则 DB DC DF， ， 两两垂直，故以 D 为原点，分别以 DB DC DF
， ，
的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ．
设 2AB ， 则 10 10 010 3 0 4A C B, , , ,, , , , ， 从 而 0,2,0 , 3,1,4AC AB
6 分
设平面 1AB C 的法向量为 n x y x （ , , ），
则
1
2 0
3 4 0
n AC y
n AB x y z
，令 4x ．得 4,0, 3n ． 8
分
平面 1ACC 的一个法向量为 10 0m （，，）， 9 分
则 4 4 19cos , 1919
m nm n m n
． 11 分
设 二 面 角 1 1B AC C 为 ， 由 图 可 知 为 锐 角 ， 则
4 19cos cos , 19m n ． 12 分
评分细则：
（1）第一问中，没有写出 1AB 平面 1BC D ，直接得到 1 / /AB 平面 1BC D ，不予扣分．
（2）第二问中，可以用传统做法，先找出二面角 1 1B AC C 的平面角 ，结合题中的等量
关系，由余弦定理求出 cos ，即得出二面角 1 1B AC C 的余弦值，只要计算正确，不予扣
分．若空间直角坐标系建立不同，只要建系正确，计算正确，不予扣分．
（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．
21．解：（1）因为椭圆 C 过点 2 3 3,3 3
，
所以 2 2
4 1 13 3a b
．① ·1 分
又椭圆 C 的离心率为 2
2
，所以
2
2
1
2
c
a
， 2 分
故
2 2 2 2
2 2 2
11 2
b a c c
a a a
．② 3 分
联立①②得
2 2
2
2
4 1 13 3
1
2
a b
b
a
，解得
2
2
2
1
a
b
，故椭圆 C 的标准方程为
2
2 12
x y ． 5
分
（2）当直线 l 的斜率不存在时，
2
1 1
2
2
bAF BF a
，所以 1 1
1 10
2 3AF BF ，
6 分
故直线 l 的斜率存在，设直线 1 1 2 2: 1 , ,l y k x A x y B x y , , ．
联立
2
2
1
12
y k x
x y
，消去 y 并整理得 2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k ，
则
2 2
1 2 1 22 2
4 2 2,2 1 2 1
k kx x x xk k
7
分
22
2 2 12 1 1
1 1 1 1
2 21 1 1 2 2 2
xx xAF x y x ．
9 分
同 理
2
1
2
2
xBF ． 10
分
因 为 2
1 2 1 2
1 1 2
4 2 18 2 10
2 4 2 3
x x x x kAF BF k
， 解 得 2 1k ，
11 分
所以 1 2
1 1
4 8 2
32
x xAF BF ，
又因为 1 1 4 2AF BF AB ，所以 4 2
3AB ． 12
分
评分细则：
（1）第一问共 5 分，将点 2 3 3,3 3
代入椭圆方程，得 1 分，得出 2
2
c
a
得 1 分，转化
为 a，b 之间的关系得 1 分，联立方程得 1 分，正确写出椭圆的标准方程得 1 分．
（2）第二问总共 7 分，未讨论直线 l 斜率不存在的情况，直接设直线 : 1l y k x （ ）扣 1 分，
联立方程并由韦达定理求出 1 2 1 2x x x x ， 的式子得 1 分，求得 1
1
2
2
xAF 得 2 分，同理得
出 2
1
2
2
xBF 得 1 分，求出 2 1k 得 1 分，求出 4 2
3AB 得 1 分．
（3）第二问中，直线 l 的方程为也可以设为 1x my ，参照上述步骤酌情给分．
22．解：（1）因为 xf x x m e ，所以 1 xf x x m e 1
分
令 0f x ， 得 1x m ， 则 f x 的 单 调 递 减 区 间 为 1m ，
3 分
因为 f x 在 1，上是减函数，所以 1 1m ，解得 2m ，即m的取值范围是 2 ，
5 分
（2）由 ln 2nx nx f x ，得 22 lnxxe nx nx ．
因 为 0 0x n ， ， 所 以
22 ln ln 0
xe x nn
对 于 任 意 的 0x （ ， ）恒 成
立． 6 分
设 22 ln ln , 0, 0xh x e x n x nn
（ ） ，则 24 1xh x en x
（ ） ．
因为函数 2xy e 和 1y x
在 0 （ ， ）上均为单调递增函数，所以函数 h x 在 0 （ ， ）上单
调递增．
当 0x 时， ' 0h x （ ） ；当 x 时， ' 0h x （ ） ．
故存在 0 0x （ ， ），使得 02
0
0
4 1 0xh x en x
，即 02
0
2 1
2
xen x
8
分
当 00x x ， 时， ' 0h x （ ） ；当 0x x （ ， ）时， ' 0h x （ ） ．
所以 h x（ ）在 00 x（ ， ）上单调递减，在 0x （ ， ）上单调递增，
故 02
min 0 0 0
0
2 1ln ln ln ln 02
xh x h x e x n x nn x
（ ） （ ） 恒成立． 9
分
又由 02
0
4 1 0xen x
，得 02
04 xn x e ，
所以 0 0 0
0
1 2 2ln 2ln 2 02h x x xx
恒成立． 10 分
因为 1 22y xx
和 2lny x 在 0 （ ， ）上单调递减，
所以函数 0h x（ ）在 0 （ ， ）上单调递减．
因为 1 02h
，所以 0
10, 2x 11 分
因为函数 4y x 和 2xy e 在 0 （ ， ））上单调递增，且 24 0 0xx e ， ．
所以函数 02
04 xn x e 在 10, 2
上单调递增，
所以 0 2m e ，即实数 n 的取值范围是 0,2e ． 12 分
评分细则：
法二：（1）同上面解法（1）．
（2）对任意的 0, , ln 2x nx nx f x 恒成立，即 2ln 2 xnx nx xe 恒成立，亦即
ln 2ln 2nx xe nx xe 恒成立 6 分
因为 xf x xe（ ） ，所以 1 xf x x e ，易知 xf x xe 在 0 （ ， ）上单调递增，且在
,0 （ ）上
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