2021 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八
省联考）数学试题考后仿真系列卷一
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答
案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.设 1A x x ， 2 2 0B x x x ，则 RC A B =（ ）
A． 1x x B． 1 1x x C． 1 1x x D． 1 2x x
【答案】B
【解析】 | 1 RC A x x ，
2 2 0 = | 2 1 0 | 1 2B x x x x x x x x ，
则 RC A B I 1 1x x ，故选：B．
【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
2.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、
兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八卦中任取
一卦，这一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的概率为（ ）
A． 1
8 B． 1
4 C． 3
8 D． 1
2
【答案】C
【解析】先算任取一卦的所有等可能结果共 8 卦，
其中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的基本事件有 3 卦，
∴概率为 3
8 .故选：C.
【点睛】本题考查了有关古典概型的概率问题，关键是弄清基本事件的总数以及所求事件包
含的基本事件数，需注意当基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要
做到不重复、不遗漏，还需注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用，属于基础题.
3. 设 ,m n 是两条直线， ， 表示两个平面，如果 m ， / / ，那么“ n ”是
“ m n ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】如果 m ， / /a ，那么由 n 则可得到 n 即可得到 m n ；反之
由 m n ， m ， / /a ，不能得到 n ，故，如果 m ， / /a ，那么“ n ”
是“ m n ”的
充分不必要条件.故选:A.
【点睛】本题考查分充分不必要条件的判定，属于基础题.
4.设双曲线 C：
2 2
2 2 1x y
a b
（a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5 ．P 是
C 上一点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】 5c
a
， 5c a ，根据双曲线的定义可得 1 2 2PF PF a ，
1 2 1 2
1 | | 42PF F PF FS P △ ，即 1 2| | 8PF PF ，
1 2F P F P ， 2 22
1 2| | 2PF PF c ，
2 2
1 2 1 22 4PF PF PF PF c ，即 2 25 4 0a a ，解得 1a ，故选：A.
【点睛】本题考查了双曲线的定义以及焦点三角形,属于基础题.
5.已知向量 a
与b
的夹角为 120°，| a
|＝3，| a
＋b
|＝ 13 ，则 b
等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】B
【解析】∵向量 a
与b
的夹角为 120°，| a
|＝3，| a
＋b
|＝ 13 ，
∴ 3= cos120 2a b a b b
,
∵ 2 2 2
2a b a b a b ，∴ 2
13= 3 9b b ，
∴ b
＝﹣1（舍去）或 b
＝4，故选：B．
【点睛】本题考查了向量数量积公式以及向量模的平方处理,属于基础题.
6. 101 (2 1)x x 的展开式中 10x 的系数为（ ）
A． 512 B．1024 C．4096 D．5120
【答案】C
【解析】 10 10 101 (2 1) (2 1) (2 1)x x x x x ，
二项展开式 10(2 1)x x 的通项为 10 10 11
10 10(2 ) 2r r r r rxC x C x ，
二项展开式 10(2 1)x 的通项为 10 10 10
10 10(2 ) 2k k k k kC x C x ，
则 11 10 110 10
r rk
，解得 ， 0k ，
所以，展开式中 10x 的系数为 1 9 0 10
10 102 2 5120 1024 4096C C ．故选:C．
【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项求项的系数,属于基础题.
7.已知圆 2 2 2 ( 0)x y r r 与抛物线 2 2y x 交于 ,A B 两点，与抛物线的准线交于 ,C D 两
点，若四边形 ABCD 是矩形，则 r 等于 ( )
A． 2
2
B． 2 C． 5
2
D． 5
【答案】C
【解析】由题意可得，抛物线的准线方程为 1
2x ．画出图形如图所示．
在 2 2 2 ( 0)x y r r 中，当 1
2x 时，则有 2 2 1
4y r ．①
由 2 2y x 得
2
2
yx ，代入 2 2 2x y r 消去 x 整理得 4 2 24 4 0y y r ．②
结合题意可得点 ,A D 的纵坐标相等，故①②中的 y 相等，
由①②两式消去 2y 得 2 2 221 14( ( ) 0) 44 4r r r ，
整理得 4 28 15 016r r ，解得 2 5
4r 或 2 3
4r （舍去），
∴ 5
2r ．故选:C．
【点睛】本题考查了圆与抛物线,解答本题的关键是画出图形并根据图形得到 AD 与 x 轴平行，
进而得到两点的纵坐标相等;然后将几何问题转化代数问题求解;考查圆锥曲线知识的综合和
分析问题解决问题的能力，属于中档题．
8.已知 4ln3a ， 3ln 4b ， 34lnc ，则 a ，b ， c 的大小关系是（）
A． c b a B． b c a C．b a c D． a b c
【答案】B
【解析】对于 ,a b 的大小： 44ln3 ln3 ln81a ， 33ln 4 ln ln 644b ，明
显 a b ；
对于 ,a c 的大小：构造函数 ln( ) xf x x
，则 '
2
1 ln( ) xf x x
，
当 (0, )x e 时， '( ) 0, ( )f x f x 在 (0, )e 上单调递增，
当 ( , )x e 时， '( ) 0, ( )f x f x 在 ( , )e 上单调递减，
3 , ( ) (3)e f f 即
3 3ln ln3, 3ln ln3, ln ln3 , 33
a c
对于 ,b c 的大小： 3ln 4 ln 64b ， 3 4 34ln ln[( ) ]c ， 64 4 3[( ) ] ， c b
故选 B．
【点睛】本题考查了将 , ,a b c 两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，
对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，属于中档题．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.对于函数 2( ) 16ln(1 ) 10f x x x x ，下列正确的是（ ）
A． 3x 是函数 ( )f x 的一个极值点
B． ( )f x 的单调增区间是 ( 1,1) ， (2, )
C． ( )f x 在区间 (1,2) 上单调递减
D．直线 16ln3 16y 与函数 ( )y f x 的图象有 3 个交点
【答案】ACD
【解析】由题得
2
' 16 2 8 6( ) 2 10 , 11 1
x xf x x xx x
，
令 22 8 6 0x x ，可得 1, 3x x ，
则 ( )f x 在 1,1 ， 3, 上单调递增，在 1,3 上单调递减，
3x 是函数 ( )f x 的一个极值点，故 AC 正确，B 错误；
因为 2(1) 16ln(1 1) 1 10 16ln 2 9f ， 2(3) 16ln(1 3) 3 10 3 16ln 4 21f ，
又 16ln3 16 2y f ，根据 ( )f x 在 1,3 上单调递减得 1 2 3f f f
得16ln3 16 16ln 2 9,16ln3 16 16ln 4 21 ，
所以直线 16ln3 16y 与函数 ( )y f x 的图象有 3 个交点，故 D 正确. 故选：ACD.
【点睛】本题考查了函数的单调性，极值的综合应用，是基础题.
10.任何一个复数 z a bi （其中 a 、b R ，i 为虚数单位）都可以表示成：
cos sinz r i 的形式，通常称之为复数 z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：
ncos sin co is snn nz i nr i r n n N ，我们称这个结论为棣莫弗定理.
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A． 22z z
B．当 1r ，
3
时， 3 1z
C．当 1r ，
3
时， 1 3
2 2z i
D．当 1r ，
4
时，若 n 为偶数，则复数 nz 为纯虚数
【答案】AC
【解析】对于 A 选项， cos sinz r i ，则 2 2 cos2 sin 2z r i ，可得
2 2 2cos2 sin 2z r i r ， 22 2cos sinz r i r ，A 选项正确；
对于 B 选项，当 1r ，
3
时，
33 cos sin cos3 sin3 cos sin 1z i i i ，B 选项错误；
对于 C 选项，当 1r ，
3
时， 1 3cos sin3 3 2 2z i i ，则 1 3
2 2z i ，C 选项
正确；
对于 D 选项， cos sin cos sin cos sin4 4
nn n nz i n i n i ，
取 4n ，则 n 为偶数，则 4 cos sin 1z i 不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，
属于中档题.
11.如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
A．AF 与 BM 成 60°角．
B．AF 与 CE 是共面直线．
C．BN⊥DE ．
D．平面 ACN∥平面 BEM．
以上四个命题中，正确命题是（ ）
【答案】ACD
【解析】展开图复原的正方体 ABCD﹣EFMN 如图，
由正方体 ABCD﹣EFMN 的结构特征，得：
①由 AN∥BM，可得 AF 与 BM 所成角即为∠NAF，在等边三角形 NAF 中，
∠NAF＝60°，故①正确；
②由异面直线的判定可得 AF 与 CE 是异面直线，故②正确；
③由 ED⊥AN，ED⊥AB 可得 ED⊥平面 ABN，即有 BN⊥DE，故③正确；
④由 AC∥EM，AN∥BM，以及面面平行的判定定理可得
平面 ACN∥平面 BEM，故④正确． 故选：ACD
【点评】本题考查了异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线、平面与
平面之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，属于基础题．
12.关于函数 ( ) sinxf x e a x ， ,x ，下列结论正确的有（ ）
A．当 1a 时， ( )f x 在 0, (0)f 处的切线方程为 2 1 0x y
B．当 1a 时， ( )f x 存在惟一极小值点 0x
C．对任意 0a ， ( )f x 在 , 上均存在零点
D．存在 0a ， ( )f x 在 , 有且只有一个零点
【答案】ABD
【解析】对于选项 A：当 1a 时， ( ) sinxf x e x ， ,x ，
所以 (0) 1f ，故切点为 0,1 ，
( ) cosxf x e x ，所以切线斜 (0) 2k f ，
故直线方程为 1 2 0y x ，即切线方程为： 2 1 0x y ，故选项 A 正确；
对于选项 B：当 1a 时， ( ) sinxf x e x ， ,x ，
( ) cosxf x e x ， ( ) sin 0, ,xf x e x x 恒成立，
所以 ( )f x 单调递增，又 2 02f
，
3 3
4 43 3 2cos 04 4 2f e e
，
所以存在 0
3 ,4 2x
，使得 0 0f x ，
即 0
0cos 0xe x ，则在 0, x 上， ( ) 0f x ， ( )f x 单调递减，
在 0,x 上， ( ) 0f x ， ( )f x 单调递增，所以存在惟一极小值点 0x ，故选项 B 正确；
对于选项 C、D： ( ) sinxf x e a x , ,x ，
令 ( ) sin 0xf x e a x 得： 1 sin
x
x
a e
，则令 sin( ) x
xF x e
， ,x ，
2 sin( )cos sin 4( ) x x
xx xF x e e
，令 ( ) 0F x ，得：
4x k ， 1k ，k Z ，
由函数 2 sin( )4y x 图象性质知：
52 , 24 4x k k
时， 2 sin( ) 04x ， sin( ) x
xF x e
单调递减，
5 2 , 2 24 4x k k
时， 2 sin( ) 04x ， sin( ) x
xF x e
单调递增，
所以当 5 24x k ， 1k ， k Z 时， ( )F x 取得极小值，
即当 3 5, ,4 4x 时， ( )F x 取得极小值，
又
3 5
4 4
3 5sin sin4 4
e e
，即 3 5
4 4F F ,
又因为在 3, 4
， sin( ) x
xF x e
单调递减，所以
3
43 2( ) 4 2F x F e
，
所以 2 4x k ， 0k ， k Z 时， ( )F x 取得极大值，
即当 9
4 4x 、 ， 时， ( )F x 取得极大值.
又
9
4 4
9sin sin4 4
e e
，即
4
2
4 2
F x F
e
，
当 ,x 时，
3
4
4
2 2( )2 2
e F x
e
，
所以当
3
41 2
2 ea
，即 3
4
2a
e
时，
( )f x 在 , 上无零点，所以选项 C 不正确；
当
3
41 2
2 ea
时，即 42a e
时，
1 y a
与 sin
x
xy e
的图象只有一个交点，
即存在 0a ， ( )f x 在 , 有且只有一个零点，故选项 D 正确,故选：ABD
【点睛】本题考查了对含三角函数的复杂函数导数的研究，考查了导数的综合应用,属于中档
题.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形
边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半径为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
【答案】12 3 2
【解析】正六棱柱体积为 236 2 2=12 34
，圆柱体积为 21( ) 22 2
所求几何体体积为12 3 2
,故答案为： 12 3 2
【点睛】本题考查了棱柱与圆柱的相嵌问题，解题的关键在于确定正六棱柱与圆柱的关系，
然后求得其体积 ,属于基础题.
14.若直线 m 、l 将圆 2 2 4 2 0x y x y 平分，若直线 m 过点 )2,3( ，则直线 m 的方程为
_____________,若直线l 且不通过第四象限，则直线l 斜率的取值范围是____________
A． 0,1 B． 10, 2
C． 1 ,12
D． 0,2
【答案】 01 yx 10, 2
【解析】由圆的方程 2 2 4 2 0x y x y ，可知圆心坐标为 (2,1) ，若直线 m 过圆心 (2,1) 且
过点 )2,3( ，则直线 m 的斜率为 123
12
,所以直线 m 的方程为 01 yx ;
若直线l 将圆平分，则直线 l 过圆心 (2,1) ，又由直线l 不经过第四象限，
所以直线l 的斜率的最小值为 0 ，斜率的最大值为 max
1 0 1
2 0 2k
，
所以直线l 的斜率的取值范围是 1[0, ]2
，故答案为: 10, 2
【点睛】本题考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中
解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属于圆
的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
15.写出一个以
2
为周期且在区间(
4
，
2
)单调递增函数 ( )f x ________．
【答案】 xxf 2cos)(
【解析】由最小正周期为
2
，可考虑三角函数中的正弦型函数 )0(,sin)( AxAxf ，或
者
余弦型函数 )0(,cos)( AxAxf 满足；根据最小正周期
2
T ，可得 2 .
故函数可以是 xxf 2sin)( 或者 ,2cos)( xxf 中任一个，又 )(xf 在区间(
4
，
2
)上单调
递增函数,所以可取 xxf 2cos)( ;
故答案为： xxf 2cos)( .
【点睛】本题考查了三角函数图像与性质,利用周期和单调性定函数解析式,属于中档题.
16. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风
险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布
20.1,0.3N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间 0.4,0.7 内
的概率为_______________
（附：若随机变量 服从正态分布 2,N ，则 68.27%P ，
2 2 95.45%P ）
A．31.74% B． 27.18% C． D． 4.56%
【答案】13.59%
【解析】由题意可知 0.1, 0.3 则 ( 0.2 0.4) 68.27%P ，
( 0.5 0.7) 95.45%P
即 ( 0.5 0.7) ( 0.2 0.4) 95.45% 68.27%0.4 0.7 13.59%2 2
P PP ，
故答案为：13.59%
【点睛】本题考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17.从条件① 2 1n nS n a ，② 1 2n n nS S a n ，③ 0na ， 2 2n n na a S 中任
选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a ，________．若 1a ， ka ， 2kS 成等比数列，求 k 的值．
【答案】答案件解析
【解析】若选择①，因为 2 1n nS n a ， *n N ，所以 1 12 2n nS n a ， *n N ，
两式相减得 1 12 2 1n n na n a n a ，整理得 1 1n nna n a ．
即 1
1
n na a
n n
， *n N ．
所以 na
n
为常数列． 1 11
na a
n
，所以 na n ．
（或由 1 1n
n
a n
a n
，利用相乘相消法，求得 na n ）
所以 ka k ，
2
2 1 2 2 3
2 2k
k k k kS
，
又 1a ， ka ， 2kS 成等比数列，所以 22 3 2k k k ，
所以 2 5 6 0k k ，解得 6k 或 1k （舍），
所以 6k ．
若选择②，由 1 2n n nS S a n 变形得， 1 1n n n nS S S S ，
所以 1 1 1n n n n n nS S S S S S ，
易知 0nS ，所以 1 1n nS S ，
所以 nS 为等差数列，又 1 1 1S a ，所以 nS n ， 2
nS n ，
∴ 1 2 1n n na S S n 2n ，
又 1n 时， 1 1a 也满足上式，
所以 2 1na n .
因为 1a ， ka ， 2kS 成等比数列，∴ 2 22 2 1k k ，
∴ 3k 或 1
3k ，又 *k N ，∴ 3k ．
若选择③，因为 2 *2n n na a S n N ，所以 2
1 1 12 2n n na a S n ，
两式相减得 2 2
1 1 12 2 2 2n n n n n n na a a a S S a n ，
整理得 1 1 1 2n n n n n na a a a a a n ，
因为 0na ，∴ 1 1 2n na a n ，所以 na 是等差数列，
所以 1 1 1na n n ，
2
2 1 2 2 3
2 2k
k k k kS
，
又 1a ， ka ， 2kS 成等比数列，∴ 22 3 2k k k ，
∴ 6k 或 1k ，又 *k N ，∴ 6k ．
【点睛】本题的关键在于构造等差数列,以及利用等比中项列出方程求解,若选择①，利用
1 1n n na S S 可得 1
1
n na a
n n
，可得 na n ，再根据等比中项列方程解得 k 即可；若选择②，
根据 1 1 1 2n n n n n n na S S S S S S n 可得 1 1n nS S ，可得
nS n ， 2 1na n ，再根据等比中项列方程解得 k 即可；若选择③，利用 1 1n n na S S
可得 1 1 2n na a n ， na n ，再根据等比中项列方程解得 k 即可,属于基础题.
18.在 ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ， B ，C 对边，且 ABC 同时满足下列四个条件中
的三个：① 2 2 2 2 3
3a c b ac ；② 21 cos2 2sin 2
AA ；③ 3a ；④ 2b .
（1）满足 ABC 有解的序号组合有哪些？
（2）在（1）的组合中任选一组，求 ABC 的面积.
【答案】答案件解析
【解析】（1）由条件①得
2 2 2 2 3 1 3cos 2 3 2 3
a c bB acac ac
，
由条件②得 21 2cos 1 1 cosA A ，即 22cos cos 1 0A A ，
解得 1cos 2A 或 cos 1A （舍），因为 (0,π)A ，所以 π
3A .
因为 3 1 2πcos cos3 2 3B ， (0,π)B ，而 cosy x 在 (0,π) 单减，所以 2π π3 B .
于是 π 2π π3 3A B ，与 πA B 矛盾.所以 ABC 不能同时满足①②.
当①③④作为条件时：
有 2 2 2 2 cosb a c ac B ，即 2 2 1c c ，解得 2 1c .所以 ABC 有解.
当②③④作为条件时：有
sin sin
a b
A B
，即
3 2
sin3
2
B
.解得sin 1B .
因为 (0,π)B ，所以 π
2B ， ABC 为直角三角形，所以 ABC 有解.
综上所述，满足有解三角形的所有组合为：①③④或②③④.
（2）若选择组合①③④：
因为 (0,π)B ，所以
2
2 3 6sin 1 cos 1 3 3B B
.
所以 ABC 的面积 1 1 6 2 2sin 3 ( 2 1)2 2 3 2S ac B .
若选择组合②③④：因为 π
2B ，所以 2 22 ( 3) 1c
所以 ABC 的面积 1 31 32 2S .
【点睛】本题考查了正余弦定理.在解三角形的问题中，对式子中含有正弦的齐次式，应优先
考虑正弦定理“角化边”；若式子中含有 a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”比如这里条件①;含有面积公式的
问题，应优先考虑结合余弦定理求解；属于基础题.
19.已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，
则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得
该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立．现有甲、乙、丙三名考生报
名参加该高校的综合评价，假设甲、乙、丙三名考生材料初审合格的概率分别是 1
3
， 1
2
，1
4
；
面试合格的概率分别是 1
2
， 1
3
， 2
3
．
（1）求甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（2）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；
（3）记随机变量 X 为甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数，求 X 的概率
分布与数学期望．
【答案】（1） 5
18
；（2） 91
216
；（3）分布列见解析， 1( ) 2E X
【解析】（1）设事件 A 表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，
事件 B 表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，
则 1 1 1
3 2 6P A ， 1 1 1
2 3 6P B ，
甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
( ) ( ) ( )P P AB AB P A P B P A P B 1 1 1 1 5(1 ) (1 )6 6 6 6 18
．
（2）设事件C 表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，
则 1 2 1
4 3 6P C ，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评
价录取资格，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：
1 1 1 911 ( ) 1 (1 )(1 )(1 )6 6 6 216P P ABC ．
（3）记随机变量 X 为甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数，
则 X 的可能取值为 0，1，2，3，
1 1 1 125( 0) (1 )(1 )(1 )6 6 6 216P X ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 75( 1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )6 6 6 6 6 6 6 6 6 216P X ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 15( 2) (1 ) (1 ) (1 )6 6 6 6 6 6 6 6 6 216P X ，
1 1 1 1( 3) 6 6 6 216P X ，
X 的概率分布为：
X 0 1 2 3
P 125
216
75
216
15
216
1
216
数学期望 125 75 15 1 1( ) 0 1 2 3216 216 216 216 2E X ．
【点睛】本题考查了概率、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法，考查了相互独立
事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算
求解能力，属于基础题．
20. 设 P 为 多 面 体 M 的 一 个 顶 点 ， 定 义 多 面 体 M 在 点 P 处 的 离 散 曲 率 为
，其中 Qi（i＝1，2，…，k，k
≥3）为多面体 M 的所有与点 P 相邻的顶点，且平面 Q1PQ2，平面 Q2PQ3，…，平面 Qk﹣1PQk
和平面 QkPQ1 遍历多面体 M 的所有以 P 为公共点的面．
(1)如图 1，已知长方体 A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1， ，点 P 为底面 A1B1C1D1 内
的一个动点，则求四棱锥 P﹣ABCD 在点 P 处的离散曲率的最小值；
(2)图 2 为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干
采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域
α
和区域
β
中点的离
散曲率的平均值更大的是哪个区域?（确定“区域
α
”还是“区域
β
”）
【答案】（1）
3
1 ；（2）区域β．
【解析】(1)计∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠QnPQ1＝θ，则离散曲率为 1﹣ ，θ越大离散曲率越
小．
P 在底面 ABCD 的投影记为 H，通过直观想象，当 H 点在平面 ABCD 中逐渐远离正方形 ABCD 的
中心，以至于到无穷远时，θ逐渐减小以至于趋近于 0．所以当 H 点正好位于正方形 ABCD 的
中心时，θ最大，离散曲率最小．此时 HA＝HB＝ ＝PH，所以 PA＝PB＝1＝AB，所以∠APB
＝60°，θ＝ ，
离散曲率为 1﹣ × ＝ ；故答案为:
（2）区域β比区域α更加平坦，所以θ更大，离散曲率更小．故答案为:区域β．
【点睛】本题考查了立体几何的新定义问题,其中(2)问列代数式计算离散曲率不是不可行，但
是无法得到最小值的情形，这里
θ
越大离散曲率越小,此题对空间想象能力考察要求较高．
21.已知抛物线C 的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点 1,2A 为抛物线C 上一点.
（1）求C 的方程；
（2）若点 1, 2B 在C 上，过 B 作C 的两弦 BP 与 BQ ，若 2BP BQk k ，求证:直线 PQ 过
定点.
【答案】（1） 2 4y x 或 2 1
2x y ；（2） 3,2 ．
【解析】（1）当焦点在 x 轴时，设C 的方程为 2 2x py ，代人点 1,2A 得 2 4p ，即 2 4y x .
当焦点在 y 轴时，设C 的方程为 2 2x py ，代人点 1,2A 得 12 2p ，即 2 1
2x y ，
综上可知：C 的方程为 2 4y x 或 2 1
2x y .
（2）因为点 1, 2B 在C 上，所以曲线 C 的方程为 2 4y x .
设点 1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，
直线 :PQ x my b ，显然 m 存在，联立方程有：
2 2
1 2 1 24 4 0, 16 , 4 , 4y my b m b y y m y y b .
1 2
1 2 1 2
2 2 4 42, 2, 21 1 2 2BP BQ
y yk k x x y y
,
即 1 2 1 22 12 0, 4 8 12 0y y y y b m 即 3 2b m .
直线 :PQ 即 3 2 ,x m y 直线 PQ 过定点 3,2 .
【点睛】本题考查了抛物线方程的求法以及直线过定点问题,属于中档题.
22.已知函数 ln xf x xe a x x ， 0x ，若 f x 在 0x x 处取得极小值．
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）若 0 0f x ，求证： 0
3
0 0
2f x
x x
．
【答案】（1） 0, ；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意， ln xf x xe a x x ， 0x ，
1 11 1x xxf x x e a xe ax x
．
①当 0a 时，则 0f x ，函数 y f x 在 0, 上单调递增，函数 y f x 无极小值，
所以 0a 不符题意；
②若 0a ，令 xg x xe a ， 0x ， 1 0xg x x e ，
故函数 y g x 在 0, 上单调递增，
又 0 0g a ， 1 0ag a a e ，
据零点存在性定理可知，存在 0 0,x a ，使得 0 0g x ， 0 0f x ，
且当 00 x x 时， 0g x ， 0f x ，函数 y f x 在 00, x 上单调递减；
当 0x x 时， 0g x ， 0f x ，函数 y f x 在 0,x 上单调递增.
所以 f x 在 0x x 处取得极小值，所以 0a 符合题意．
综上所述，实数 a 的取值范围是 0, ；
（2）由（1）可知，当 0a 时，存在 0 0,x a ，使得 0 0g x ，即 0
0
xx e a ．
又 0 0f x ，即 0
0 0 0ln 0xx e a x x ，所以 0
0 0 01 ln 0xx e x x ．
因为 0 0x ， 0 0xe ，所以 0 01 ln 0x x ，即 0 0ln 1 0x x ．
令 ln 1h x x x ， 0x ， 11 0h x x
，
故函数 y h x 在 0, 上单调递增，又 1 0h ，据 0 0h x ，可得 00 1x ．
令 ln 1p x x x ， 0 1x ， 1 1 0p x x
，
故函数 y p x 在 0,1 上单调递增，
所以 1 0p x p ，故 ln 1x x ，其中 0 1x ．
令 1xq x e x ， 0 1x ， 1 0xq x e ．
故函数 y q x 在 0,1 上单调递增，
所以 0 0q x q ，故 1xe x ，其中 0 1x ．
所以 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 ln 1 1 1 2 1xf x x e x x x x x x x x ，
结合 00 1x ，可得 0
3
0 0
2f x
x x
．
【点睛】本题考查了导数的综合应用,(1)考查了利用极值求参数范围,注意含参分类讨论;(2)关
于利用导数证明不等式,常见的求解策略如下：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单
调性，求出最值;
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；③由恒成立求解参数
的取值时，一般涉会考虑分离参数法，但在压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能
直接求岀最值点的情况就能解决问题,通常需要设出导数的零点，再进一步研究.本题属于偏
难题.
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