八省联考2021届高三高考数学适应性仿真试卷六（Word版附解析）

2021 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八 省联考）数学试题考后仿真系列卷六 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答 案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1.设  2A x y x   ，   2ln 1B x y x   ，则  BCA U （ ） A.  2x x   B.  1 2x x  C.  1 1x x   D.  【答案】C 【解析】因为集合 A 中 2y x  ，所以 2 0x  ，解得 2x  ，集合  2A x x  ， 因为集合 B 中  2ln 1y x  ，所以 2 1 0x   ，解得 1x  或 1x   ，集合  1B x x  或 1x   ， 则 }11{  xxBCU ，， }11{  xxBCA U ，故选：C. 【点睛】本题考查了集合的运算，考查补集以及交集的相关性质，考查函数的定义域，考查 运算能力，属于基础题. 2.某胸科医院感染科有 3 名男医生和 2 名女医生，现需要从这 5 名医生中抽取 2 名医生成立 一个临时新冠状病毒诊治小组，恰好抽到的 2 名医生都是男医生的概率为（ ） A. 2 5 B. 7 10 C. 3 10 D. 3 5 【答案】C 【解析】3 名男医生编号为 , ,A B C ，2 名女医生编号为 ,a b ，任选 2 名医生的事件： , , , , , , , , ,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 共 10 个，其中抽到的 2 名医生都是男医生的事件有 , ,AB AC BC 共 3 个，所以所求概率为 3 10P  ．故选：C． 【点睛】本题考查了古典概型，解题关键是用列举法列出所有的基本事件，属于基础题. 3.已知直线 m、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m//n 的一个必要但不充分条件是（ ） A. m//α，n//α B. m⊥α，n⊥α C. m//α，n⊂α D. m、n 与α所成的角相等 【答案】D 【解析】A：m、n 可以都和平面 垂直，不必要 ；B：m、n 可以都和平面 平行，不必要 ； C：n 没理由一定要在平面 内，不必要 ；D：由 m∥n⇒m，n 与α所成的角相等，反之，m， n 与α所成的角相等不一定推出 m∥n. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用线面平行与面面平行的性质定理,解决此类问题的关键是熟练掌握判 断空间中直线与平面位置关系（平行关系、垂直关系）判断定理与性质定理，并且能够灵活 的应用,属于基础题. 4.设 sin 5a  ， 2log 3b  ， 2 31 4c      ，则（ ） A． a c b  B．b a c  C． c a b  D． c b a  【答案】C 【解析】由对数函数 2logy x 在 0,  单调递增的性质得： 2 2log 3 log 2 1b    ， 由指数函数 1 2 x y      在 R 单调递减的性质得： 2 4 13 31 1 1 4 2 2 1 2c                     ， 由三角函数 siny x 在 0, 2      上单调递增的性质得 1sin sin5 6 2a     . 所以 c a b  ，故选 C。 【点睛】本题考查了对数值的大小比较，考查对数函数、指数函数以及三角函数的性质，属 于基础题． 5.已知抛物线 21 2y x 的焦点与椭圆 2 2 12 y x m   的一个焦点重合，则 m  （ ） A. 7 4 B. 127 64 C. 9 4 D. 129 64 【答案】C 【解析】∵ 抛物线 21 2y x 的焦点为 1(0 )2 ， ∴ 21 12 ( )2 4m    ∴ 9 4m  ，故选：C 【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的方程及几何性质，属于基础题. 6.函数 1( ) cos1 x x ef x xe   在 ,  上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】    1 1cos( ) cos1 1 xx x x e ef x x x f xe e           ，所以  y f x 为奇函数，排除 C， D，又   1 1cos 01 1 e ef e e           ，排除 A，故选：B． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，利用函数的性质排除选项是解题关键，属于基础题. 7.已知 ,a b   是两个非零向量，其夹角为 ，若   a b a b      ，且 2a b a b      ，则 cos  （ ） A. 1 2 B. 3 5 C. 1 2  D. 3 2  【答案】B 【解析】由   a b a b      ，得    0a b a b       ，可得 2 2 0a b   ，即 a b r r . 由 2a b a b      ，可得 2 2 4a b a b      ，即  2 2 2 2 +2 4 2a a b b a a b b             整理得 23 5a b a    ， 2 2 3 35cos 5 a a b a a b     r r r r r r ，故选：B 【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质以及求向量的夹角的余弦值，其中将向量模长平 方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题. 8. 已知函数    0, 1xf x a b a a    的图象经过点  1,3P ，  2,5Q ，当 *Nn 时，       1 1n f na f n f n    ，记数列 na 的前 n 项和为 nS ，当 10 33nS  时， n 的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】由题意结合函数的解析式可得： 2 3 5 a b a b      ，求解方程组有： 2 1 a b    . 则函数的解析式为：   2 1xf x   ， 当 *xN 时，          11 1 2 1 1 1 2 1 2 12 1 2 1 n n n nn n f na f n f n          ， 则： 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1n n n nS                                 ， 由 1 1 1 1 3 2 1 33n  可得： 4n  ，故选：D 【点睛】本题考查了指数型函数以及裂项法求和，其中需注意正负项相消时消去了哪些项， 保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，属于中档题． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9.已知复数    3 2   z a i i a R 的实部为 1 ，则下列说法正确的是（ ） A．复数 z 的虚部为 5 B． 26z  C．复数 z 的共轭复数 1 5 z i D． z 在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】ABD 【解析】对于选项 A,       23 2 3 2 3 2 3 2 2 3z a i i a ai i i a a i           ， 因为复数的实部是-1，所以 3 2 1a    ，解得： 1a   ， 所以 1 5z i   ，复数 z 的虚部是-5，A 正确； 对于选项 B,    2 21 5 26z      ，正确； 对于选项 C,复数 z 的共轭复数 1 5z i   ，C 错误； 对于选项 D, z 在复平面内对应的点是  1, 5  ，位于第三象限，D 正确. 故选:ACD。 【点睛】本题考查了复数的运算及其几何意义,考查了数学运算的能力，属于基础题. 10.若函数 sin 2 cos2y x m x  的图象关于直线 6x   对称,则（ ） A. 3 3m   B. 函数的最大值为 2 3 3 C. 7( ,0)12  为函数的一个对称中心 D. 函数在[ , ]6 3   上单调递增 【答案】ABCD 【解析】  2sin 2 cos2 1 sin 2y x m x m x      （其中 tan ,m  ） 因为函数 sin 2 cos2y x m x  的图象关于直线 6x   对称，则  52 6 2 6k k k Z                 ，则 3 3tan ,3 3m m       ，A.正确； 又 3 2 3sin 2 cos2 sin 23 3 6y x x x        ，则函数的最大值为 2 3 3 ，B 正确； 令 2 = , ,6 2 12 kx k x k Z       ，当 71, 12k x   ，则 7( ,0)12  为函数的一个对称中心， C 正确； 令 2 2 2 , ,2 6 2 6 3k x k k x k                 当 0, ,6 3k       为增区间，即 函数在[ , ]6 3   上单调递增，D 正确 故选：ABCD 【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期性，考查综合分析与应用能力，属于基础题． 11.下列命题中，下列说法正确的是（ ） A.已知随机变量 X 服从二项分布 ( , )B n p ，若 ( ) 30, ( ) 20E X D X  ，则 2 3p  ； B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变； C.设随机变量 服从正态分布 (0,1)N ，若 pP  )1( ，则 pP  2 1)01(  ； D.某人在 10 次射击中，击中目标的次数为 , ~ (10,0.8)X X B ，则当 8X  时概率最大. 【答案】BCD 【解析】对于选项 A,根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得 ( ) 30, ( ) (1 ) 20E X np D X np p     ，解得 1 3p  ，所以 A 错误； 对于选项 B,根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差 恒不变，所以 B 正确； 对于选项 C,由正态分布的图像的对称性可得 pP  2 1)01(  ，所以 C 正确； 对于选项 D,由独立重复试验的概率的计算公式可得，由 10 10 1 1 11 10 0.8 0.2( ) 4(11 ) 1( 1) 0.8 0.2 k k k k k k CP X k k P X k C k          ，得 8.8k  ，即 8k  时，    1P X k P x k    ，同理得 9k  时， ( ) ( 1)p X k p x k    ，即 ( 8)P X  最大， 8 8 2 10( 8) (0.8) (1 0.8)P X C   ，所以 D 正确.所以正确命题的序号为 BCD. 故答案为： BCD． 【点睛】本题考查了二项分布，正态分布，随机变量的方差．正态分布曲线具有对称性，常 常出现由对称性求概问题，二项分布中概率公式是 ( ) (1 )k k n k nP X k C p p    ，可用作商法 确定其中的最大值或最小值,属于中档题． 12.已知函数     2 2 sin 1 2 2 xf x x x x     .下列命题为真命题的是（ ） A. 函数  f x 是周期函数 B. 函数  f x 既有最大值又有最小值 C. 函数  f x 的定义域是 R ，且其图象有对称轴 D. 对于任意 ( 1,0)x  ， ( )f x 单调递减 【答案】BC 【解析】由函数       2 2 2 21 2 2 ( 1)( 1) 1 sin x sin xf x x x x x x          对于选项 A,函数 f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大， 所以函数图象无限靠近于 x 轴，故不是周期函数；A 错误 对于选项 B,令  g x    2 21 2 2x x x          ' 3 2 '' 2 '4 6 6 2, 6 2 2 1 0g x x x x g x x x g x         单调递增，又 1 02g      且  g x 对称轴是 x＝ 1 2 ，故  g x 在 1 2x  取得最小值，又   sinh x x 在 1 2x  取得最大值，故函数  f x 有最大值；另一方面，当  0, 0x g x  恒 成立，且因为 siny x  3.841 所以有 95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. （3）由题意知，分层抽样抽取的 10 人中，男性 6 人，女性 4 人 随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3， 其中 0 3 1 2 6 6 4 3 3 1 4 0 10 ( 0) , ( 1)n n n n C C C CP PC C          ， 2 1 3 6 6 3 3 10 10 4( 2) , ( 3)n n n n C C CP PC C          所以随机变量 的分布列为  0 1 2 3 P 0 3 6 4 3 10 n n C C C   1 2 6 4 3 10 n n C C C   2 1 6 4 3 10 n n C C C   3 6 3 10 n n C C   3 1 2 2 1 3 6 6 6 6 3 3 3 3 10 1 4 0 4 0 4 10 1 0 1 2 3 2n n n n n n n n C C C C C C CE C C C C                    1 2 2 1 3 3 6 4 6 4 6 101 2 3 2n n n nC C C C C C         可得， 1 16( 6) 4( 6)( 5) ( 6)( 5)( 4) ( 10)( 9)( 8)2 3n n n n n n n n n             23( 6) 17 72 2( 10)( 9)( 8)n n n n n n       ， 3( 6) 2( 10)n n   ，解得 2n  ， n 的最小值为 2 . 【点睛】本题考查了线性相关以及数学期望,考查数学运算能力和数据分析能力，属于中档题． 21. 已知圆 C 方程为 2 2 8 (6 2) 6 1 0( , 0)x y mx m y m m R m         ，椭圆中心在原 点，焦点在 x 轴上. （1）证明圆 C 恒过一定点 M，并求此定点 M 的坐标； （2）判断直线 4 3 3 0x y   与圆 C 的位置关系，并证明你的结论； （3）当 2m  时，圆 C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点 M，求此时椭圆方程； 在 x 轴上是否存在两定点 A，B 使得对椭圆上任意一点 Q（异于长轴端点），直线 QA ，QB 的 斜率之积为定值？若存在，求出 A，B 坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；定点 (0,1)M （2）直线与圆 C 相切；证明见解析；（3）存在；  2,0A  ，  2,0B 或者  2,0A ，  2,0B  【解析】（1）圆 C 的方程可化为：  2 2 2 1 (8 6 6) 0x y y m x y       ， 由 2 2 2 1 0 8 6 6 0       x y y x y          ，解得 0 1 x y    ，所以圆 C 过定点 (0,1)M . （2）圆 C 的方程可化为： 2 2 2( 4 ) [ (3 1)] 25x m y m m     ， 圆心到直线 l 的距离为 2 2 |4 4 3 (3 1) 3| 4 3 m md       25| | 5| |5 m m r   ， 所以直线与圆 C 相切. （3）当 2m  时，圆 C 方程为    2 28 7 100x y    ，圆心为  8,7 ，半径为 10， 与直线  8 10x   ，即 2x   相切，所以椭圆的左准线为 2x   ， 又椭圆过点 (0,1)M ，则 1b  ，所以 2 2 1 a c b     ，解得 2 1    a b    ， 所以椭圆方程为 2 2 12 x y  . 在椭圆上任取一点  ,Q x y （ 0y  ），设定点  ,0A s ，  ,0B t ， 则 2 1 2 ( )( )QA QB x y yk k kx s x t x s x t         对 ( 2, 2)x  恒成立， 所以 2 21 1 ( )2 x kx k s t x kst      对 ( 2, 2)x  恒成立， 所以 1 2 ( ) 0 1 k k s t kst          ，故 1 2 2 2 k s t          或 1 2 2 2 k s t          ， 所以  2,0A  ，  2,0B 或者  2,0A ，  2,0B  . 【点睛】本题考查了圆过定点，直线和圆的位置关系，椭圆里的定点问题，考查运算能力和 综合应用能力,属于中档题. 22.已知函数    lnxf x xe a x x   . （1）当 0a  时，求  f x 的最小值； （2）若对任意 0x  恒有不等式   1f x  成立.证明：  2 2 ln 2sinxx e x x x   . 【答案】（1） lna a a ；（2）①1；②证明见解析. 【解析】（1）法一：  f x 的定义域为 0,  ， 由题意      1 1 x x a xe af x x e xx x               ， 令 0xxe a  ，得 xa xe ， 令   xg x xe ，    1 0x x xg x e xe x e      ， 所以  g x 在  0,x  上为增函数，且  0 0g  ， 所以 xa xe 有唯一实根， 即   0f x  有唯一实根，设为 0x ， 即 0 0 xa x e ， 所以  f x 在 00, x 上为减函数，在 0,x  上为增函数， 所以      0 0 0 0 0min ln lnxf x f x x e a x x a a a      . 法二：       lnln ln 0xe x xf x x a x x e a x x x       . 设 lnt x x  ，则t R . 记    tt e at t R    .故  f x 最小值即为  t 最小值.    0tt e a a    ， 当  ,lnt a  时，   0t  ，  t 单调递减， 当  ln ,t a  时，   0t  ，  t 单调递增， 所以     ln min ln ln lnaf x a e a a a a a     ， 所以  f x 的最小值为 lna a a . （2）当 0a  时，  f x 单调递增，  f x 值域为 R ，不适合题意， 当 0a  时，由（1）可知  min lnf x a a a  ， 设    ln 0a a a a a    ， 所以   lna a   ， 当  0,1a 时，   0a  ，  a 单调递增， 当  1,a  时，   0a  ，  a 单调递减， 所以    max 1 1a   ，即 ln 1a a a  . 由已知，   1f x  恒成立，所以 ln 1a a a  ， 所以 ln 1a a a  ， 所以 1a  .可知 ln 1xxe x x   ，因此只需证： 2 2ln 2sinx x x x   ， 又因为 ln 1 x x ，只需证 2 2 2 2sinx x x x    ，即 2 2 2sinx x x   ， 当 1x  时， 2 2 2 2sinx x x    结论成立， 当  0,1x 时，设   2 2 2sing x x x x    ，   2 1 2cosg x x x    ， 当  0,1x 时，  g x 显然单调递增.    1 1 2cos1 0g x g     ，故  g x 单调递减，    1 2 2sin1 0g x g    ， 即 2 2 2sinx x x   .综上结论成立. 【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了构造函数研究单调性,考查了逻辑推理能力以及 运算能力,属于偏难题.