陕西省宝鸡市2021届高三下学期高考模拟检测（二）文科数学试题（Word版附答案）

绝密考试结束前 姓名 准考证号 2021 年宝鸡市高考模拟检测（二） 数学（文科) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和 选考题两部分，选考题为二选一．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题 无效．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项: 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号;非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书 写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1.已知集合  2 2 0A x x x  ≤ ，集合  1B x x  ，则 A B  （ ） A. 1,2 B. C. ,0 D. 0,1 2.已知复数 2 1 iz i   （ i 为虚数单位），则复数 z 对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.某校甲、乙课外活动小组（两小组人数相等）20 次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的 茎叶图，若甲、乙两组平均成绩分别用 1x ， 2x 表示，标准差分别用 1s ， 2s 表示，则（ ） A. 1 2x x ， 1 2s s B. 1 2x x ，1 2s s C. 1 2x x ，1 2s s D. 1 2x x ，1 2s s 4.已知向量  , 2a m  与  4,b n 共线，且 2a b  ，则 m n 的值为（ ） A.8 B. 8 C.4 D. 4 5.已知 na 是等差数列，满足    1 5 3 6 93 2 18a a a a a     ，则该数列前 8 项和为（ ） A.36 B.24 C.16 D.12 6.函数   1 ln x x x ef ex    的图像大致为（ ） A B C D 7. ABC 中，已知 13AC  ， 60ABC   ， AB BC ，且 ABC 的面积为3 3 ，则 AB 边上的高等于（ ） A. 2 3 B. 2 C. 3 D.2 8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A.8  B. 8 3  C. 8 2 3  D.16 6  9.设抛物线C ： 2 4x y 的焦点为 F ，准线l 与 y 轴的交点为 M ，P 是C 上一点，若 5PF  ， 则 PM  （ ） A. 21 B.5 C. 2 7 D. 41 10.已知函数    2 22sin cos 3 sin cosf x x x x x   ，判断下列给出的四个命题，其中错误 的命题有（ ）个. ①对任意的 x  R ，都有  2 3f x f x      ； ②将函数  y f x 的图像向右平移 12  个单位，得到偶函数  g x ； ③函数  y f x 在区间 7,12 12       上是减函数； ④“函数  y f x 取得最大值”的一个充分条件是“ 12x  ” A.0 B.1 C.2 D.3 11.已知双曲线C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，O 为坐标原 点，P 是双黄线上在第一象限内的点，直线 PO ， 2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点 M 、 N ， 1 23PF PF ， 2 60MF N   ，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 7 2 12.如图是一个底面半径和高都是 1 的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积V 是 水面高度 x 的函数  V f x ，若正数 a ， b 满足 1a b  ，则    f a f b 的最小值为 （ ） A. 12  B. 6  C. 4  D. 3  第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.（注：16 题第一空 3 分，第二空 2 分） 13.已知曲线C ： 9y x x   （ 0x  ），若过曲线C 上点 P 的切线与直线 2 0x y  平行，则 点 P 的坐标为______________. 14.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举. 这个伟大是举与古希腊算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除 法”，若输入 288a  ， 123b  ，输出结果时，循环体被执行了______________次. 15.若函数   3 2 , , x x t x x f t x    ≤ 是 R 上的增函数，则实数t 的取值范围是______________. 16.一个多面体的顶点是四个半径为 3 且两两外切的球的球心，则该多面体内切球的半径为 ______________；内切球的体积为______________. 三、解答题：共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 的公差 2d  ，且 1 2 6a a  ，数列 nb 是各项均为正数的等比数列，且 满足 1 1 2b  ， 3 5 1 256b b  . （1）求数列 na 与 nb 的通项公式； （2）设数列 nc 满足 1 2n n nc a b ，其前 n 项和为 nT .求证： 2nT  . 18.（本小题满分 12 分） 某社区组织了以“共同保护生态环境，共建绿色生态环境家园”为主题的垃圾分类、环境保 护宣传咨询服务活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取 120 名群众，按他们的年龄分组： 第 1 组 20,30 ，第 2 组 30,40 ，第 3 组 40,50 ，第 4 组 50,60 ，第 5 组 60,70 ，得 到的频率分布直方图如下所示： （1）若电视台记者要从抽取的群众中选 1 人进行采访，求被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的 概率； （2）已知第 1 组群众中男性有 2 人，组织方要从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成宣传志愿者 服务小组，求至少有 1 名男性的概率. 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四边形 ABCD 中， 2AB  ， 1PD DC BC   ，AB DC∥ ， 90BCD  ，F 为 AB 上的点且 1 2AF  ，若 PD  平面 ABCD ， E 为 PC 的中点. （1）求证： EF ∥ 平面 PAD ； （2）求四棱锥 P ABCD 的侧面积. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，离心率为 3 2 ，点 G 是椭圆上一点， 1 2GF F 的周长为 6 4 3 . （1）求椭圆C 的方程； （2）直线l ： y kx m  与椭圆C 交于 A ， B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证： OAGB 的面积为定值. 21.（本小题满分 12 分） 已知   214ln 2f x x x a   ，    2 14 4 xg x x x e e     （1）求函数  g x 的单调区间； （2）若    f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题 计分.作答时请选涂题号. 22.（选修 4-4 坐标系与参数方程）（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的方程为 4cos cos 3sin sin x y          （ R  ， 为参数）. （1）求曲线 1C 的普通方程并说明曲线 1C 的形状. （2）以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin 04       ，求曲线 1C 的对称中心到曲线 2C 的距离的最大值. 23.（选修 4-5 不等式选进）（本小题满分 10 分） 已知函数   2 4 1f x x x    （1）求不等式   8f x ≥ 的解集； （2）设 a ， b ， c R ，且 1a b c   .证明： 3 3 3 1a b c bc ac ab   ≥ . 2021 年宝鸡市高考模拟检测（二） 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C B D B A B D A D A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.（注：16 题第一空 3 分，第二空 2 分） 13. 3,4 3 14.4 15. 0,1 16. 2 2 ， 2 3  三、解答题：共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17.【答案解析】（1）解：由 2d  ，且 1 2 6a a  . ∴ 12 2 6a   ，解得 1 2a  . 故  2 2 1 2na n n    . ∵ nb 为等比数列， 0nb  ，设公比为 q ，则 0q  ， ∴ 2 3 5 4 1 256b b b   ，∴ 3 4 1 1 16b b q  ，∴ 1 2q  ， 11 1 1 2 2 2 n n nb             即 na n ， 1 2 n nb      ； （2）证明：由（1）得 1 1 2 2 n n n nc a b n       ， ∴   2 3 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 n n nT n n                                  ①， ∴   2 3 11 1 1 1 11 2 12 2 2 2 2 n n nT n n                                ②， ∴由①  ②得： ∴ 2 3 11 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 n n nT n                             1 1 1 112 2 1 11 ( 2)1 2 21 2 n n n n n                           ， ∴   12 2 2 n nT n        ， ∴ 2nT  . 18.【答案解析】（1）设第 2 组 30,40 的频率为  1 0.005 0.01 0.02 0.03 10 0.35      第 4 组的频率为 0.02 10 0.2  所以被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率为 0.35 0.2 0.55  （2）解：设第 1 组 30,40 的频数为120 0.005 10 6   记第 1 组中的男性为 1x ， 2x ，女性为 1y ， 2y ， 3y ， 4y 随机抽取 2 名群众的基本事件是： 1 2,x x ，  1 1,x y ， 1 2,x y ，  1 3,x y ， 1 4,x y ，  2 1,x y ， 2 2,x y ， 2 3,x y ， 2 4,x y ，  1 2,y y ， 1 3,y y ， 1 4,y y ， 2 3,y y ， 2 4,y y ， 3 4,y y 共有 15 种 其中至少有 1 名男性的基本事件是：  1 2,x x ，  1 1,x y ， 1 2,x y ，  1 3,x y ， 1 4,x y ，  2 1,x y ， 2 2,x y ， 2 3,x y ， 2 4,x y 共 9 种 所以至少有 1 名男性的概率为 9 3 15 5  19.【答案解析】（1）证明：设CD 中点为 H ，连接 EH 、 FH ∵ E 为 PC 的中点∴ EH PD∥ ， 又∵ PD  平面 PAD ， EH  平面 PAD ∴ EH ∥平面 PAD 又∵ 1CD  ， AB DC∥ ， 1 2AF  ，∴ 1 2DH AF ∥ ， ∴四边形 AFHD 为平行四边形 ∴ FH AD∥ ，又∵ AD 平面 PAD ， FH  平面 PAD ∴ FH ∥平面 PAD 又∵ EH FH H ， EH  平面 EFH ， FH  平面 EFH ∴平面 PAD ∥ 平面 EFH 又∵ EF  平面 EFH ∴ EF ∥ 平面 PAD （2）解：∵ 90BCD   ∴CD BC 又∵ PD  平面 ABCD ∴ PD BC 又∵ PD CD D PD  平面 PDC CD  平面 PDC ∴ BC  平面 PDC ∴ BC PC ∴ PDC 、 PDA 、 PCB 为直角三角形 ∵ 2AB  ， 1DC BC  ， AB DC∥ 90BCD   ∴ 2PC  ， 2AD  ， 3PA  ， 3PB  ， ∴ 2 2PBCS  ， 1 2PDCS  ， 2 2PDAS  ， 2PABS  ∴ 4 2 1 2PBC PDC PDA PABS S S S        ∴四棱锥 P ABCD 的侧面积为 4 2 1 2  20.【答案解析】（1）解：因为 1 2GF F 的周长为 6 4 3 ， 所以 2 2 6 4 3a c   ，即 3 2 3a c   . 又离心率 3 2 ce a   ，解得 2 3a  ， 3c  ， 2 2 2 3b a c   . ∴椭圆C 的方程为 2 2 112 3 x y  . （2）解：设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  0 0,G x y ， 将 y kx m  代入 2 2 112 3 x y  消去 y 并整理得 2 2 21 4 8 4 12 0k x kmx m     ， 则 1 2 2 8 1 4 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 12 1 4 mx x k    ，  1 2 1 2 2 22 1 4 my y k x x m k       ， ∵四边形 OAGB 为平行四边形， ∴  1 2 1 2,OG OA OB x x y y       ，得 2 2 8 2,1 4 1 4 km mG k k      ， 将G 点坐标代入椭圆C 方程得  2 23 1 44m k  ， 点O 到直线 AB 的距离为 21 md k   ， 2 1 21AB k x x   ， ∴平行四边形 OAGB 的面积为   2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 124 4 1 4 m m kS d AB m x x m x x x x k           2 2 2 2 34 4 3 3 31 4 1 4 m m m k k     . 故平行四边形 OAGB 的面积为定值为3 3 . 21.【答案解析】（1）解：因为  y g x 的定义域为 R 又            222 4 4 4 2 2 2 2x x x x xg x e x x e x e x e x xx e           ， 由   0g x  得 2x  或 0x  . x  ,0 0  0,2 2  2,  g x  0  0   g x 增 极大 减 极小 增 所以  g x 的单调递增区间为 ,0 和 2, ，递减区间为 0,2 . （2）解：因为  y f x 定义域为  0, ，  y g x 的定义域为 R 令        2 21 14 4 4ln 2 xF x g x f x x x e x x ae          （ 0x  ）      4 22 2x x xF x x x e x x xex x            所以当  0,2x  时，   0F x  ；当  2,x   时，   0F x  所以    min 12 2 4ln 2F x F ae       则 1 2 4ln 2 0ae      ，所以 12 4ln 2a e    故实数 a 的取值范围为 1,2 4ln 2 e       （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题 计分.作答时请选涂题号. 22.【答案解析】（1）解：曲线 1C 的方程为 4cos cos 3sin sin x y          （ R  ， 为参数）可知 4cos cos 3sin sin x y          （ R  ， 为参数） 消去参数 得曲线 1C 的普通方程为    2 24cos 3sin 1x y     ∴曲线 1C 是以 4cos ,3sin  为圆心，1 为半径的圆. （2）解：将曲线 2C 的极坐标方程为 sin 04       化为直角坐标方程为 0x y  曲线 1C 的对称中心即为圆心  4cos ,3sin  ∴曲线 1C 的对称中心到曲线 2C 的距离  5sin4cos 3sin 2 2 d      ∵  1 sin 1  ≤ ≤ ∴曲线 1C 的对称中心到曲线 2C 的距离的最大值为 5 2 2 . 23.【答案解析】（1）解：依题意，   3 3 , 1 2 4 1 5 , 1 2 3 3, 2 x x x x x x x f x x              ≤ ≤ ， 不等式   8f x ≥ 可转化为 3 3 8 1 x x     ≥ 或 5 8 1 2 x x   ≥ ≤ ≤ 或 3 3 8 2 x x    ≥ ， 解得 5 3x ≤ 或 11 3x≥ ， 故不等式的解集为 5 11 3 3x x x     ≤ 或 ≥ . （2）解： 4 4 2 22a b a b ≥ ， 4 4 2 22b c b c ≥ ， 4 4 2 22c a c a ≥ ， 三式相加得 4 4 4 2 2 2 2 2 2a b c a b b c c a   ≥ ， 又 2 2 2 2 22a b b c ab c ≥ ， 2 2 2 2 22a b c a a bc ≥ ， 2 2 2 2 22b c c a abc ≥ ， 三式相加得  2 2 2 2 2 2a b b c c a abc a b c   ≥ ， 又因为 1a b c   ，所以 2 2 2 2 2 2a b b c c a abc  ≥ ， 即 4 4 4a b c abc  ≥ ，又 0abc  ， 所以 4 4 4 1a b c abc   ≥ ，即 3 3 3 1a b c bc ac ab   ≥ ，当且仅当 1 3a b c   时，等号成立.