2021 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八
省联考）数学试题考后仿真系列卷二
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答
案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 2{ | log 0}A x x ， { |1 3 27}xB x ，则 ( )RC A B （ ）
A． (0,1) B． (1,3] C． (1,3) D．[1,3)
【答案】C
【解析】由题得， (0,1]A ， (0,3)B ，∴ ( ,0] (1, )RC A ，∴ (1,3)RC A B ，
故选:C．
【点睛】本题考查了对数不等式、指数不等式、集合的补集运算以及交集运算，属于基础题.
2.有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2
支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A． 4
5
B． 3
5
C． 2
5
D． 1
5
【答案】C
【解析】选取两支彩笔的方法有 2
5C 种，含有红色彩笔的选法为 1
4C 种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为
1
4
2
5
4 2
10 5
Cp C
,故选择:C.
【点睛】本题考查了有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包
含的基本事件数,注意区分排列与组合,属于基础题.
3.已知 ,i ia b R 且 ,i ia b 都不为 0（ 1,2i ），则“ 1 2
1 2
a a
b b
”是“关于 x 的不等式 1 1 0a x b
与 2 2 0a x b 同解”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 1 2
1 2
a a
b b
，取 1 1 1a b ， 2 2 1a b ，则解 1 1 0a x b 得 1x ，解 2 2 0a x b
得 1x ，所以关于 x 的不等式 1 1 0a x b 与 2 2 0a x b 不同解；
若关于 x 的不等式 1 1 0a x b 与 2 2 0a x b 同解，则方程 1 1 0a x b 与 2 2 0a x b 必同
解，又 ,i ia b 都不为 0（ 1,2i ），所以 1 2
1 2
a a
b b
所以“ 1 2
1 2
a a
b b
”是“关于 x 的不等式 1 1 0a x b 与 2 2 0a x b 同解”的必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
4.已知 1F ， 2F 是椭圆C 的两个焦点， P 是C 上的一点，若 1 2PF PF ，且 2 1 60PF F ，
则C 的离心率为（ ）
A. 31 2
B. 2 3 C. 3 1
2
D. 3 1
【答案】D
【解析】在 1 2F PF 中， 1 2 2 190 , 60F PF PF F
设 2PF m ，则 1 2 12 2 , 3c F F m PF m ，又由椭圆定义可知
1 22 ( 3 1)a PF PF m
则离心率 2 2 3 12 ( 3 1)
c c me a a m
，故选:D.
【点睛】本题考查了在焦点三角形 1 2F PF△ 应用椭圆的定义求离心率,属于基础题.
5.若非零向量 ,a b ，满足 2 2| | | |3a b ，且 ( ) (3 2 )a b a b ，则 a 与b 的夹角为（ ）
A.
4
B.
2
C. 3
4
D.
【答案】A
【解析】设向量 a 与 b 的夹角为θ，∵ 2 2| | | |3a b ，不妨设| | 3b m ，则 2 2a m
，
∵ ( ) (3 2 )a b a b ，∴ ( ) (3 2 ) 0a b a b ，∴ 2 23| | 2 | | 0a b a b ，
26a b m ，
26 2cos 2| | | | 3 2 2
a b m
a b m m
，
0 ，∴
4
.故选：A.
【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的垂直，考查了学生的运算能力，属于中档题.
6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.
甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为 2 的正方
形，上棱 3
2EF ，EF//平面 ABCD，EF 与平面 ABCD 的距离为 2，该刍甍的体积为（ ）
A. 6 B. 11
3 C. 31
4 D. 12
【答案】B
【解析】如图，作 FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
因为 EF 与平面 ABCD 的距离为 2，所以四棱锥 F-NBCM 的高为 2，
所以 V 四棱锥 F-NBCM= 1
3 SNBCM
1 3 22 2 2 23 2 3
V 棱柱 ADE-NMF=S 直截面
3 1 32 2 32 2 2
所以该刍甍的体积为 V=V 四棱锥 F-NBCM +V 棱柱 ADE-NMF= 2 11+3=3 3 . 故选：B
【点睛】本题考查了空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.
7.如图所示，直线l 为双曲线C ：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的一条渐近线， 1F ， 2F 是双曲线C
的左、右焦点， 1F 关于直线l 的对称点为 1F，且 1F是以 2F 为圆心，以半焦距 c 为半径的圆上
的一点，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
【答案】C
【 解 析 】 设 焦 点 1 ,0F c 关 于 渐 近 线 : bl y xa
的 对 称 点 为 1 ' ,F m n ， 则
2 2
2 2
2
n b m c b ama c
n a abnm c b c
， 又 点 1 ' ,F m n 在 圆 2 2 2x c y c 上 ，
2 22 2
22b a abc cc c
2 2 24 4, 2a c e e ，故选 C.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质以及点关于直线对称,考查了方程思想和运算能力,属
于中档题.
8. 函数 2sin 0, 2 2f x x
的部分图象如图中实线所示，图中圆C
与 f x 的图象交于 M ， N 两点，且 M 在Y 轴上，下列说法：①函数 f x 的最小正周期
是 2 ；②函数 f x 的图象关于点 5 ,03
成中心对称；③点 M 的坐标是 0, 3 ，其中正
确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】①中，根据函数 2sinf x x 的图象以及圆 C 的对称性，
可得 M ， N 两点关于圆心 ,0C c 对称，所以
3c ，
于是
2 6 2
T c ，所以
2
，解得 2 ，函数的周期为T ，所以①错误；
②中，由函数图象关于点 ,03C
对称，及周期T 知，函数图象的对称中心为
,03 2
k
k Z ，
而 5
3 2 3
k 不存在 k Z 的解，所以②错误；
③中，由 2 及
6x 的相位为 0，得 03 3
，
所以 2sin 2 3f x x
， 0 3f = ，从而 0, 3M ，所以③正确.故选：B.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，解答的关键是三角函数的对称性和函数的周期
性的判定，考查分析问题和解答问题的能力，属于中档题.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.下列四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数 z 满足 z R ，则 z R B．若复数 z 满足 1 Rz
，则 z R
C．若复数 z 满足 2z R ，则 z R D．若复数 1z ， 2z 满足 1 2z z R ，则 1 2z z
【答案】AB
【解析】对于选项 A，若复数 z 满足 z R ，设 z a ，其中 a R ，则 z R ，则选项 A 正
确；
对于选项 B，若复数 z 满足 1 Rz
，设 1 az
，其中 a R ，且 0a ，
则 1z Ra
，则选项 B 正确；
对于选项 C，若复数 z 满足 2z R ，设 z i= ，则 2 1z R ，
但 z i R ，则选项 C 错误；
对于选项 D，若复数 1z ， 2z 满足 1 2z z R ，设 1z i ， 2z i ，则 1 2 1z z R ，
而 2 1z i z ，则选项 D 错误；故选：AB
【点睛】本题考查了命题的真假,考查了复数的概念以及运算,属于基础题.
10.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，E ，F 分别是 1AA ， 1CC 的中点，过 E ，F 的
平面 与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面 截该正方体得到的截面为底面，以 1B
为顶点的棱锥记为棱锥 ，则（ ）
A. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球的体积为 4 3
B. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球的表面积为 4
3
C. 棱锥 的体积为 3
D. 棱锥 的体积为 3
2
【答案】AC
【解析】因为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，
所以正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球的直径为 4 4 4 2 3 ，内切球的半径为 1，
所以正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球的体积为 34 ( 3) 4 33
，
内切球的表面积为 24 1 4 ，故 A 正确，B 错误.
如图， , , ,M N S T 分别是棱 1 1 1 1, , ,AB BC C D A D 的中点.
因为 EMNFST 在同一个平面内，并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等，
所以平面 被此正方体所截得的截面图形为正六边形 EMNFST ，边长为 2 .
因为正六边形 EMNFST 的面积 1 2 2 sin 6 3 32 3S ，
1B 到平面 的距离为 4 4 4 32
，
所以棱锥 的体积为 1 3 33
3 3 .故 C 正确，D 错误,故选：AC.
【点睛】本题考查了与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时需要认真分
析图形，明确切点和接点的位置，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，半径为
棱长一半；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，此时正方体的体对角线长等于球的
直径,棱锥 的底面为边长为 2 的正六边形，属于基础题.
11.已知抛物线 2 4x y 的焦点为 F ， 1 1,A x y ， 2 2,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正
确的是（ ）
A．点 F 的坐标为 1,0
B．若 A ， F ， B 三点共线，则 3OA OB
C．若直线OA与OB 的斜率之积为 1
4
，则直线 AB 过点 F
D．若 6AB ，则 AB 的中点到 x 轴距离的最小值为 2
【答案】BCD
【解析】由抛物线 2 4x y ，可得 2p ，则焦点 F 坐标为 (0,1) ，故 A 错误；
设直线 AB 的方程为 1y kx ，
联立方程组 2
1
4
y kx
x y
，可得 2 4 4 0x kx ，所以 1 2 1 24 , 4x x k x x ，
所以 2
1 2 1 2 1 2( ) 1 1y y k x x k x x ，
所以 1 2 1 2 4 1 3OA OB x x y y ，故 B 正确；
设直线 AB 的方程为 y kx m ，联立方程组 2 4
y kx m
x y
，可得 2 4 4 0x kx m ，
所以 1 2 1 24 , 4x x k x x m ，
所以 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 4 4y y k x x k x x m k m mk m m ，
因为直线OA与OB 的斜率之积为 1
4
，即 1 2
1 2
1
4
y y
x x
，可得
2 1
4 4
m
m
，解得 1m ，
所以直线 AB 的方程为 1y kx ，即直线过点 F ，故 C 正确；
因为 2 2 2 2
1 2 1 21 ( ) 4 1 16 16 6AB k x x x x k k m ，
所以 2 24(1 )( ) 9k k m ，所以 2
9 94(1 )m k
，
因为 2
1 2 1 2( ) 2 4 2y y k x x m k m ，
所以 AB 的中点到 x 轴的距离： 2 2 2 2
2 2
9 92 2 4(1 ) 4(1 )d k m k k kk k
2
2
91 14(1 )k k
2
2
92 ( 1) 1 3 1 24(1 )k k
，当且仅当 2 1
2k 时等号成立，
所以 AB 的中点到 x 轴的距离的最小值为 2，故 D 正确，
综上所述，正确命题为 BCD. 故选：BCD.
【点睛】本题考查了抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系,属于中档题.
12.已知函数 y f x 在 R 上可导且 0 1f ，其导函数 f x 满足
( 1) ( ) ( ) 0x f x f x ，对于函数 ( )( ) x
f xg x e
，下列结论正确的是（ ）
A．函数 g x 在 , 1 上为增函数 B． 1x 是函数 g x 的极小值点
C．函数 g x 必有 2 个零点 D． 2 ( ) (2)ee f e e f
【答案】BD
【解析】对于选项 A,函数 ( )( ) x
f xg x e
，则
x
f x f xg x e
，
当 1x 时， 0f x f x ，故 ( )g x 在 1, 上为增函数，A 错误；
对于选项 B,当 1x 时， 0f x f x ，故 ( )g x 在 , 1 单调递减，故 1x 是函
数 g(x)的极小值点，B 正确；
对于选项 C,若 1 0g ，则 ( )y g x 有两个零点，若 1 0g ，则 ( )y g x 有一个零点，
若 1 0g ，则 ( )y g x 没有零点，故 C 错误；
对于选项 D, ( )g x 在 1, 上为增函数，则 2g g e ，即
2
2
e
f f e
e e
，化简得
2 ( ) (2)ee f e e f ，D 正确；故选：BD
【点睛】本题考查了导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查
利用单调性比较大小，属于中档题．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和．已知 4 0S ， 5 10a ，则 nS =__________
【答案】 22 8nS n n
【解析】设等差数列{ }na 的公差为 d ． 4 0S ， 5 10a ，
14 6 0a d ， 1 4 10a d ，解得： 1 6a ， 4d ,
2( 6 4 10) 2 82n
n nS n n ．故答案为： 22 8nS n n ．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及前 n 项和公式,考查了数列基本量思想,属于基础
题.
14.已知角 的终边经过点 (1,3) ，则
2 22cos sin
cos2
___________.
【答案】 7
8
【解析】因为角 的终边经过点 (1,3) ，所以 tan 3 ，
则
2 2 2 2
2 2
2cos sin 2cos sin
cos2 cos sin
2 2
2 2
2 tan 2 3 7
1 tan 1 3 8
，故答案为： 7
8
【点睛】本题考查了三角函数定义、同角三角函数关系以及二倍角余弦公式，属于基础题.
15.定义方程 f x f x 的实数根 0x 叫做函数 f x 的“新驻点”．
（1）设 sinf x x ，则 f x 在 0, 上的“新驻点”为 _________
（2）如果函数 ln 1g x x 与 xh x x e 的“新驻点”分别为 、 ，那么 和 的大
小关系是_________．
【答案】
4
【解析】（1） sinf x xQ ， cosf x x ，令 f x f x ，即sin cosx x ，得
tan 1x ，
0,x ，解得
4x ，所以，函数 y f x 在 0, 上的“新驻点”为
4
；
（2） ln 1g x x ， xh x x e ，则 1
1g x x
， 1 xh x e ，
令 1ln 1 1x x x
，则 2
1 1 01 1
x x x
对任意的 1,x 恒成立，
所以，函数 1ln 1 1x x x
在定义域 1, 上为增函数，
0 1 0 ， 11 ln 2 ln 2 ln 02 e ，由零点存在可得 0,1 ，
令 h x h x ，可得 1x ，即 1 ，所以， .
故答案为：（1）
4
；（2） .
【点睛】本题考查了函数新定义以及构造函数研究单调性比较大小,属于中档题.
16.已知圆 2 2: 2 0C x y y 与直线 : 2( 0)l y kx k ，l 上任意一点 P 向圆 C 引切线，切
点为 A，B，若线段 AB 长度的最小值为 2 ，则实数 k 的值为____________．
【答案】 14
2
【解析】圆 C： 22 ( 1) 1yx ，则圆心 (0 1)C ， ， 1r ，
设 π0 2ACP
，则| | 2 sinAB r 2sin ，
min min
π 1| | 2 | |4 cos cos
rAB CP 有最小值 2 ，
即圆心 (0 1)C ， 到直线 : 2( 0)l y kx k 的距离为 2
即 2C ld 2
| 3| 14
21
k
k
(舍负)．
故答案为： 14
2
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和
计算能力，属于中档题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17.在① 3a c b 且 22sin 3sin sinB A C ，② 2 2(sin sin ) sin sin sinA C B A C ，
③ ABC 的面积 2 2 23
4
a c b
S
这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.
问题：在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且______.
（1）求sin B ；
（2）若 2a c ，且 ABC 的面积为 2 3 ，求 ABC 的周长.
【答案】选择见解析；（1） 3sin 2B ；（2） 6 2 3 .
【解析】（1）若选①， 22sin 3sin sinB A C ， 22 3b ac .
3a c b ， 2 2 22 3a c ac b ，
2 2 2 2 2 23 2 2 2 1cos 2 2 2 2
a c b b ac b b acB ac ac ac
，
0 B ， 3sin 2B
若选②， 2 2(sin sin ) sin sin sinA C B A C ，
2 2( )a c b ac ， 2 2 2b a c ac
2 2 2
cos 2
a c bB ac
， 1cos 2 2
acB ac
，
故 3sin 2B .
若选③， 2 2 23 1 sin4 2
a c b
S ac B
，
2 2 23 2 sina c b ac B ，
2 2 2 2 cosb a c ac B ， 2 2 2 2 cosa c b a B ，
3 2 cos 2 sinac B ac B ，
tan 3B ，故 3sin 2B .
（2） ABC 的面积为 1 sin 2 32 ac B ， 8ac ，
2a c ， 2c ， 4a
2 2 2 2 cosb a c ac B ， 2 116 4 2 2 4 122b ，即 2 3b
故 ABC 的周长为 2 4 2 3 6 2 3a b c .
【点睛】本题考查了利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理求解或者利用三角形面积公
式以及余弦定理进行求解,属于基础题.
18.设 nS 为数列 na 的前 n 项和，已知 2 3a ， 1 2 1n na a .
（1）证明 1na 为等比数列；
（2）判断 n ， na ， nS 是否成等差数列？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析 （2）成等差数列，理由见解析
【解析】（1）证明：∵ 2 3a ， 2 12 1a a ，∴ 1 1a ，
由题意得 1 0na ， 1 1 2 2 21 1
n n
n n
a a
a a
，
∴ 1na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.
（2）由（1） 1 2n
na ，∴ 2 1n
na .
∴
1
12 2 2 21 2
n
n
nS n n
，
∴ 12 2 2 2 2 1 0n n
n nn S a n n ，
∴ 2n nn S a ，即 n ， na ， nS 成等差数列.
【点睛】本题考查了根据递推关系证明等比数列，考查分组求和法，考查等差数列的证明，
属于基础题.
19.为提供市民的健身素质，某市把 , , ,A B C D 四个篮球馆全部转为免费民用
（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从 , , ,A B C D 四
场馆的使用场数中依次抽取 1 2 3 4, , ,a a a a 共 25 场，在 1 2 3 4, , ,a a a a 中随机取两数，求这两数和
的分布列和数学期望；
（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为 x ，其相应维修费用为 y 元，根据统计，得
到如下表的数据：
x 10 15 20 25 30 35 40
y 10000 11761 13010 13980 14771 15440 16020
43430.1 2
y
z e
2.99 3.49 4.05 4.50 4.99 5.49 5.99
①用最小二乘法求 z 与 x 的回归直线方程；
②
40
y
x
叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时 x 的值
参考数据和公式：
7 7
2 3
1 1
4.5, ( ) 700, ( )( ) 70, 20i i i
i i
z x x x x z z e
7
1
7
2
1
( )( )
( )
i i
i
i
i
x x z z
b
x x
，
a z bx
【答案】（1）见解析，12.5（2）① 0.1 2z x $ ②20
【解析】（1）抽样比为 25 1
100 4
，所以 1 2 3 4, , ,a a a a 分别是，6，7，8，5
所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15
110 6p ， 112 3p ， 113 3p ， 115 6p
所以分布列为
期望为 1 1 1 1( ) 10 12 13 15 12.56 3 3 6E
（2）因为
7 7
2
1 1
( ) 700, ( )( ) 70,i i i
i i
x x x x z z
所以
7
1
7
2
1
( )( )
( )
i i
i
i
i
x x z z
b
x x
， 70 1 , 4.5 0.1 25 2700 10 a ，
0.1 2z x ；
② 43430.1 2
y
z e 0.1 2x ，设
2
401 ln4343ln( ) , ( ) 434340 40 ( 40)
xy x xg x g xx x x
，
所以当 [0,20], ( ) 0, ( )x g x g x 递增，当 [20, ), ( ) 0, ( )x g x g x 递减
所以约惠值最大值时的 x 值为 20
【点睛】本题考查了直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关
键是要读懂题意，属于中档题.
20.如图，在三棱台 ABC DEF 中，二面角 B AD C 是直二面角， AB AC ， 3AB ，
1 12AD DF FC AC ．
（1）求证： AB 平面 ACFD ；
（2）求二面角 F BE D 的平面角的余弦值．
【答案】（1）答案见解析；（2） 3
4
【解析】（1）连接 CD ，在等腰梯形 ACFD 中，过 D 作 DG AC 交 AC 于点 G ，
因为 1 12AD DF FC AC ，所以 1
2AG ， 3
2DG ， 3
2CG ，
所以 3CD ，所以 2 2 2AD CD AC ，即 CD AD ，
又二面角 B AD C 是直二面角，CD 平面 ACFD ，
所以CD 平面 ABED ，
又 AB 平面 ABED ，所以 AB CD ，
又因为 AB AC ， AC CD C ， AC 、CD 平面 ACFD ，
所以 AB 平面 ACFD ．
（2）如图，在平面 ACFD 内，过点 A 作 AH AC ，由（1）可知 AB AH ，以 A 为原点，
AB ， AC ， AH 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 A xyz ．
则 3,0,0B（ ）， 1 30, ,2 2D（ ）， 3 30 2 2F（ ，， ）， 0,2,0C（ ），
所以 = 3,2,0)BC （ ， 1 30, ,2 2CF
，设 , ,n x y z 是平面 FBE 的一个法向量，
则 n BC
n CF
，所以
3 2 0
3 0
x y
y z
，
取 2x ，则 3y ， 3z ，即 =(2,3, 3)n ，
由（1）可知CD 平面 BED ，
所以 3 30, ,2 2CD （ ）是平面 BED 的一个法向量，
所以 cos , n CDn CD
n CD
3 3
44 3
，
又二面角 F BE D 的平面角为锐角，
所以二面角 F BE D 的平面角的余弦值为 3
4
．
【点睛】本题考查了证明线面垂直以及利用空间向量求二面角，其中空间向量解答立体几何
问题的一般步骤为①观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；②写出相应点的坐标，求出相
应直线的方向向量；③设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出
法向量；④将空间位置关系转化为向量关系；⑤根据定理结论求出相应的角和距离,属于中档
题.
21.已知椭圆C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，离心率为 1
2
，点 P 是
椭圆C 上的一个动点，且 1 2PF F 面积的最大值为 3 .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设斜率不为零的直线 2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且 PQ 的垂直平分线交 y 轴于点
1(0, )8T ，求直线 PQ 的斜率.
【答案】（1）
2 2
14 3
x y （2） 1
2
或 3
2
【解析】(1)因为椭圆离心率为 1
2
，当 P 为 C 的短轴顶点时， 1 2PF F△ 的面积有最大值 3 .
所以 2 2 2
1
2
1 2 32
c
a
a b c
c b
，所以
2
3
1
a
b
c
，故椭圆 C 的方程为:
2 2
14 3
x y .
（2）设直线 PQ 的方程为 1y k x ，
当 0k 时， 1y k x 代入
2 2
14 3
x y ，得: 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k .
设 1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，线段 PQ 的中点为 0 0,N x y ，
2
1 2
0 2
4
2 3 4
x x kx k
， 1 2
0 0 2
312 3 4
y y ky k x k
即
2
2 2
4 3,3 4 3 4
k kN k k
因为TN PQ ，则 1TN PQk k ，所以
2
2
2
3 1
4 3 8 14
4 3
k
k kk
k
，
化简得 24 8 3 0k k ，解得 1
2k 或 3
2k = ，即直线 PQ 的斜率为 1
2
或 3
2 .
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，考查分析推理能力和
运算能力,属于中档题.
22.已知函数 ( ) 1 e cosxf x x .
（1）求 f x 的单调区间；
（2）若 1 2, ( , )x x ， 1 2x x ，且 1 2
1 2e e 4x xf x f x ，证明： 1 2 0x x .
【 答 案 】（ 1 ） 单 调 递 减 区 间 为 32 ,2 ,4 4k k k Z ； 单 调 递 增 区 间 为
52 ,2 ,4 4k k k Z .（2）答案见解析
【解析】（1） f x 的定义域为 ( , ) ，
( ) cos sin 2 sin 4
x x xf x e x e x e x
，
由 ( ) 0f x ，得sin 04x
，从而 32 2 ,4 4k x k k Z ；
由 ( ) 0f x ，得sin 04x
，从而 52 2 ,4 4k x k k Z ；
所以， f x 的单调递减区间为 32 ,2 ,4 4k k k Z ；
单调递增区间为 52 ,2 ,4 4k k k Z .
（2） 1 2
1 2 4x xe f x e f x ，即 1 2
1 2cos cos 4x xe x e x ，
令 ( ) cosxg x e x ，则 1 2 4g x g x ， ( ) sinxg x e x .
当 0x 时， ( ) 1 sin 0g x x
；当 0x 时， sin 0x ， ( ) sin 0xg x e x ，
故 ( , )x 时， ( ) 0g x 恒成立，所以 g x 在 , 上单调递增，
不妨设 1 2x x ，注意到 0(0) cos0 2g e ，所以 1 20x x ，
令 ( ) ( ) ( ), ( ,0)G x g x g x x ，则 ' ( ) 2sinx xG x e e x ，
令 ( ) 2sinx xx e e x ，则 ( ) 2cos 2(1 cos ) 0x xx e e x x
，
所以 x 在 ,0 上单调递增，从而 ( ) (0) 0x ，
即 ( ) 0 G x ，所以 ( )G x 在 ,0 上单调递减，于是 ( ) (0) (0) ( 0) 4G x G g g ，
即 ( ) ( ) 4g x g x ，又 1 ( ,0)x ，所以 1 1 4g x g x ，于是
1 1 24g x g x g x ，
而 g x 在 ,0 上单调递增，所以 1 2x x ，即 1 2 0x x .
【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于含三角函数与指数函数的极值点偏移
问题，难点在于选取合适的函数求导以及通过放缩对不等式进行转换，属于偏难题
微信/支付宝扫码支付