山东省（新高考）2021 届高三第二次模拟考试卷
数 学（四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ( , ) 1B x y y x ，则 A B 中元素的个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2． 31 i （ ）
A． 2 2i B． 2 2i C． 2 2i D． 2 2i
3．已知直线 m ，n ，平面 ， ， n ，m ∥ ，m n ，那么“ m ^ ”是“ ^ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设约束条件
1
5
1 22
y x
y x
y x
，则 1y
x
的最大值为（ ）
A． 1
2 B．1 C． 2 D． 4
5．从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，
每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．300 种 B．240 种 C．144 种 D．96 种
6．已知函数 f x 的定义域为 R ，且 6f x f x ，当 0x 时， 2 2 3f x x x ，
若 3 5 0f m ，则实数 m 的取值范围为（ ）
A． ,2 B． 2, C． ,3 D． 3,
7．在 ABC△ 中，点 M 是 AB 的中点， 2
3AN AC ，线段CM 与 BN 交于点O ，动点 P 在 BOC△
内部活动（不含边界），且 AP AB AN ，其中 、 R ，则 的取值范围是（ ）
A． 3
4
11, 8
B． 3 3,4 2
C． 111, 8
D． 31, 2
8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数
之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3 除余 2 的正整数从小到大组成数
列 na ，所有被 5 除余 2 的正整数从小到大组成数列 nb ，把数 na 与 nb 的公共项从小到大得
到数列 nc ，则下列说法正确的是（ ）
A． 1 2 2a b c B． 8 2 4b a c C． 22 8b c D． 6 2 9a b c
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线 3 4 3 3 0m x y m m R 恒过定点 3, 3
B．圆 2 2 4x y 上有且仅有 3 个点到直线 : 2 0l x y 的距离都等于 1
C．曲线 2 2
1 : 2 0C x y x 与曲线 2 2
2 : 4 8 0C x y x y m 恰有三条公切线，则 4m
D．已知圆 2 2: 4C x y ，点 P 为直线 14 2
x y 上一动点，过点 P 向圆C 引两条切线 PA 、PB ，
A 、 B 为切点，则直线 AB 经过定点 1,2
10．在 ABC△ 中，下列说法正确的是（ ）
A．若 A B ，则sin sinA B
此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
B．存在 ABC△ 满足 cos cos 0A B
C．若sin cosA B ，则 ABC△ 为钝角三角形
D．若 π
2C ，则 2 2sin sin sinC A B
11．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标
志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”．过去 10 日，A、B、C、D 四地新增疑似病例数
据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（ ）
A．A 地：中位数为 2，极差为 5 B．B 地：总体平均数为 2，众数为 2
C．C 地：总体平均数为 1，总体方差大于 0 D．D 地：总体平均数为 2，总体方差为 3
12．已知函数
2
2
2 , 0( ) log , 0
x x xf x x x
，若 1 2 3 4x x x x ，且 1 2 3 4f x f x f x f x ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 1 2 1x x B． 3 4 1x x C． 41 2x D． 1 2 3 40 1x x x x
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知双曲线
2 2
: 14 3
x yC 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 4,3M ，则 1 2F MF 的角平分线
所在直线的斜率为______．
14．对于三次函数 3 2 0f x ax bx cx d a ，给出定义：设 f x 是函数 y f x 的导数，
f x 是 f x 的导数，若方程 0f x 有实数解 0x ，则称点 0 0,x f x 为函数 y f x 的“拐
点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐
点”就是对称中心．若 3 21 1 533 2 12f x x x x ，则函数 f x 的对称中心为________，
1 2 3 4 2018
2019 2019 2019 2019 2019f f f f f ________．
15．函数 ( ) cos2 3sin 2f x x x ， xR ，有下列命题：
① ( )y f x 的表达式可改写为 2cos 2 π
3y x
；
②直线 π
12x 是函数 ( )f x 图象的一条对称轴；
③函数 ( )f x 的图象可以由函数 2sin 2y x 的图象向右平移 π
6
个单位长度得到；
④满足 ( ) 3f x 的 x 的取值范围是 3ππ π,12 4
πx k x k k
Z ．
其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）
16．在棱长为 4 2 的正四面体 A BCD 中，点 ,E F 分别为直线 ,AB CD 上的动点，点 P 为 EF 中
点，Q 为正四面体中心（满足QA QB QC QD ），若 2PQ ，则 EF 长度为_________．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分） ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ．已知 2 2 2sin sin sin sin sinB A C A C ．
（1）求 B ；
（2）若 3b ，当 ABC△ 的周长最大时，求它的面积．
18．（12 分）如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AB 侧面 1 1BB C C ，已知 1
π
3BCC ， 1BC ，
1 2AB C C ，点 E 是棱 1C C 的中点．
（1）求证： BC ⊥平面 1ABC ；
（2）求二面角 1 1A B E A 的余弦值．
19．（12 分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于 1974
年发明的．魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而
魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹．通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为3 3 3 的正方体
结构，由 26 个色块组成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．截至 2020 年，
三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018 年11 月24 日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475
秒．
（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度 y (秒)与训练天数 x (天)
有关，经统计得到如下数据：
x （天） 1 2 3 4 5 6 7
y （秒） 99 99 45 32 30 24 21
现用 by a x
作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长
期训练后最终每天魔方还原的平均速度 y 约为多少秒(精确到1) ?
参考数据（其中 1
i
i
z x
）
7
1
i i
i
z y
z
7
2 2
1
7i
i
z z
184.5 0.37 0.55
参考公式：
对于一组数据 1 1,u v ， 2 2,u v ，…， ,n nu v ，其回归直线 ˆˆ ˆv a u 的斜率和截距的最小二乘估
计公式分别为： 1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u v nuv
u nu
， ˆˆa v u ．
（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面．某人按规定将魔方随
机扭动两次，每次均顺时针转动 90 ，记顶面白色色块的个数为 X ，求 X 的分布列及数学期望
E X ．
20．（12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的上、下顶点分别为 ,A B ，P 为直线 2y 上的动
点，当点 P 位于点 1,2 时， ABP△ 的面积 1ABPS △ ，椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点 1F 的最
短距离为 2 1 ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）连接 ,PA PB ，直线 ,PA PB 分别交椭圆于 ,M N （异于点 ,A B ）两点，证明：直线 MN 过定
点．
21．（12 分）已知正三角形 ABC ，某同学从 A 点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一
次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若
掷出骰子的点数大于 3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于 3，则按顺时针方向移动．设
掷骰子 n 次时，棋子移动到 A ， B ，C 处的概率分别为： nP A ， nP B ， nP C ，例如：掷骰
子一次时，棋子移动到 A ， B ，C 处的概率分别为 1 0P A ， 1
1
2P B ， 1
1
2P C ．
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到 A ， B ，C 处的概率 3P A ， 3P B ， 3P C ；
（2）记 n nP A a ， n nP B b ， n nP C c ，其中 1n n na b c ， n nb c ，求 8a ．
22．（12 分）已知函数 21 1 ln2f x x a x a x ．
（1）当 0a 时，求函数 f x 的单调区间；
（2）设函数 2 2 ln 1 2xg x e a x a x f x ，若 g x 在 1,2 内有且仅有一个零点，
求实数 a 的取值范围．
数 学答 案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】依题意 1,7 , 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2 , 7,1A ，
其中满足 1y x 的有 1,7 ， 2,6 ， 3,5 ，
所以 1,7 , 2,6 , 3,5A B ，有 3个元素，故选 B．
2．【答案】B
【解析】 3 21 i 1 i 1 i 2i 1 i 2 2i ，故选 B．
3．【答案】C
【解析】若 m ^ ，过直线 m 作平面 ，交平面 于直线 m，
∵ m ∥ ，∴ m m∥ ，
又 m ^ ，∴ m ，
又∵ m ，∴ ^ ；
若 ^ ，过直线 m 作平面 ，交平面 于直线 m，
∵ m ∥ ，∴ m m∥ ，
∵ m n ，∴ m n ，
又∵ ^ ， n = ，
∴ m ，∴ m ，
故“ m ^ ”是“ ^ ”的充要条件，故选 C．
4．【答案】D
【解析】画出约束条件
1
5
1 22
y x
y x
y x
所表示的平面区域，如图所示，
设目标函数 1 1
0
y yz x x
，则 1
0
y
x
表示平面区域内一动点到定点 (0, 1)M 连线的斜率，
结合图象可得，取点 A 时，能使得 z 取得最大值，
又由
1
1 22
y x
y x
，解得 2 5( , )3 3A ，
所以 1y
x
的最大值为
5 13 42 03
，故选 D．
5．【答案】B
【解析】分两步：首先从 4 人中选 1 人去巴黎游览，共有 1
4C 4 种，
其次从剩余 5 人中选 3 人到其它三个城市游览，共有 3
5A 60 种，
共有 1 3
4 5C A 240 种，故选 B．
6．【答案】B
【解析】令 0x ，则 0x ， 2 2 3f x x x ，
因为 6f x f x ，所以 2 2 3 6f x x x ， 2 2 3x x xf ，
即当 0x 时， 2 2 3x x xf ，
取 0x ，则 0 0 6f f ， 0 3f ，
当 0x 时， 22 2 3 1 2f x xx x ，此时 0f x 无解；
当 0x 时， 0 3f ，此时 0f x 无解；
当 0x 时， 22 2 3 1 4f x x x x ，
若 0f x ，则 21 4 0x ，解得 1x ，
故 3 5 0f m ，即3 5 1m - ³ ，解得 2m ，
实数 m 的取值范围为 2, ，故选 B．
7．【答案】D
【解析】如下图所示，连接 BP 并延长交 AC 于点G ，
设 NG mAN ， PG nBG ，则 10 2m ， 0 1n ，
1AG m AN ，
1 1AP AG GP m AN nGB m AN n AB AG
1 1 1m AN nAB nAG m AN nAB n m AN
1m mn n AN nAB ，
又 AP AB AN
， n ， 1m mn n ，
1 1 1m mn m n ，
10 2m ， 0 1 1n ，则 10 1 2m n ，
即 31 1 1 2m n ，即 31 2
，
因此， 的取值范围是 31, 2
，故选 D．
8．【答案】C
【解析】根据题意数列 na 是首项为 2，公差为 3 的等差数列， 2 3( 1) 3 1na n n ；
数列 nb 是首项为 2，公差为 5 的等差数列， 2 5( 1) 5 3nb n n ；
数列 na 与 nb 的公共项从小到大得到数列 nc ，故数列 nc 是首项为 2，公差为 15 的等
差数列， 2 15( 1) 15 13nc n n ．
对于 A， 1 2 2 2 5 3 9a b ， 2 15 2 13 17c ， 1 2 2a b c ，错误；
对于 B， 8 2 5 8 3 3 2 1 32b a ， 4 15 4 13 47c ， 8 2 4b a c ，错误；
对于 C， 22 5 22 3 107b ， 8 15 8 13 107c ， 22 8b c ，正确；
对于 D， 6 2 3 6 1 5 2 3 119a b ， 9 15 9 13 122c ， 6 2 9a b c ，错误，
故选 C．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．【答案】BCD
【解析】对于选项 A：由 3 4 3 3 0m x y m m R
可得 3 3 4 3 0m x x y ，
由 3 0
3 4 3 0
x
x y
，可得 3
3
x
y
，所以直线恒过定点 3,3 ，故选项 A 不正确；
对于选项 B：圆心 0,0 到直线 : 2 0l x y 的距离等于1，圆的半径 2r = ，
平行于 : 2 0l x y 且距离为 1 的两直线分别过圆心以及和圆相切，
故圆上有且仅有 3 个点到直线的距离等于1，故选项 B 正确；
对于选项 C：由 2 2
1 2 0C : x y x ，可得 2 21 1x y ，圆心 1 1,0C ， 1 1r ，
由 2 2
2 4 8 0C : x y x y m ，可得 2 22 4 20 0x y m ，
圆心 2 2,4C ， 2 20r m ，
由题意可得两圆相外切，所以 1 2 1 2C C r r ，
即 2 21 2 4 1 20 m ，解得 4m ，故选项 C 正确；
对于选项 D：设点 P 坐标为 ,m n ，所以 14 2
m n ，即 2 4m n ，
因为 PA 、 PB 分别为过点 P 所作的圆的两条切线，所以CA PA ，CB PB ，
所 以 点 ,A B 在 以 OP 为 直 径 的 圆 上 ， 以 OP 为 直 径 的 圆 的 方 程 为
22 2 2 2
2 2 2
m n m nx y
，
整理可得 2 2 0x y mx ny ，与已知圆 2 2: 4C x y 相减可得 4mx ny+ = ，
消去 m ，可得 4 2 4n x ny ，即 2 4 4 0n y x x ，
由 2 0
4 4 0
y x
x
，可得 1
2
x
y
，
所以直线 AB 经过定点 1,2 ，故选项 D 正确，
故选 BCD．
10．【答案】ACD
【解析】对于 A 选项，若 A B ，则 a b ，则 2 sin 2 sinR A R B ，即 sin sinA B ，
故 A 选项正确；
对于 B 选项，由 πA B ，则 πA B ，且 , π 0, πA B ， cosy x 在 0,π 上递减，
于是 cos cosA B ，即 cos cos 0A B ，故 B 选项错误；
对于 C 选项，由sin cosA B ，得 cos cosπ
2 A B
， cosy x 在 0,π 上递减，
此时：若 π0 2A ，则 π
2 A B ，则 π
2A B ，于是 π
2C ；
若 π
2A ，则 πcos cos2A B
，则 π
2A B ，
于是 π
2A B ，故 C 选项正确；
对于 D 选项，由 π
2C ，则 π
2A B ，则 π π0 2 2A B ， siny x 在 0, π
2
递增，
于是 πsin sin 2A B
，即 0 sin cosA B ，同理 0 sin cosB A ，
此时，sin sin( ) sin cos cos sin sin sin sin sinC A B A B A B A A B B
2 2sin sinA B ，
所以 D 选项正确，
故选 ACD．
11．【答案】AD
【解析】对 A，因为 A 地中位数为 2，极差为 5，故最大值不会大于 2 5 7 ．故 A 正确；
对 B，若 B 地过去 10 日分别为 0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足总体平均数为 2，众数为 2，
但不满足每天新增疑似病例不超过 7 人，故 B 错误；
对 C，若 C 地过去 10 日分别为 0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足总体平均数为 1，总体方差大于
0，
但不满足每天新增疑似病例不超过 7 人，故 C 错误；
对 D，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过 7 人，则方差大于 21 8 2 3.6 310
，
与题设矛盾，故连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人，故 D 正确，
故选 AD．
12．【答案】BCD
【解析】由 ( )f x 函数解析式可得图象如下：
∴由图知： 1 2 2x x ， 12 1x ，而当 1y 时，有 2| log | 1x ，即 1
2x 或 2，
∴ 3 4
1 1 22 x x ，
而 3 4( ) ( )f x f x ，知 2 3 2 4| log | | log |x x ： 2 3 2 4log log 0x x ，
∴ 3 4 1x x ， 2
1 2 3 4 1 2 1( 1) 1 (0,1)x x x x x x x ，
故选 BCD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】1
【解析】由题意知，C 的半焦距 7c ， 1 7,0F ， 2 7,0F ，
故 2 2
1 4 7 3 2 2 7MF ， 2 2
2 4 7 3 2 7 2MF ．
设 1 2F MF 的角平分线与 x 轴交于 ,0N x ，
由角平分线定理可知 1 1
2 2
NF MF
NF MF
，故 7 2 2 7
7 2 7 2
x
x
，解得 1x ，
即 1,0N ，
故 1 2F MF 的角平分线所在直线的斜率 3 0 14 1MNk
，故答案为 1．
14．【答案】 1 ,12
，2018
【解析】因为 3 21 1 533 2 12f x x x x ，所以 2 3f x x x ， 2 1f x x ，
由 0f x ，即 2 1 0x ，解得 1
2x ，
3 21 1 1 1 1 1 53 12 3 2 2 2 2 12f
，
由题中给出的结论，所以函数 f x 的对称中心为 1 ,12
．
所以 1 1 22 2
f x f x ，即 1 2f x x ．
故 1 2018 22019 2019f f
， 2 2017 22019 2019f f
， 3 2016 22019 2019f f
，
…，
2018 1 22019 2019f f
，
所 以
1 2 3 4 2018 1
2019 2019 2019 20 2 201819 2019 82 201f f f f f
，
故答案为 1 ,12
，2018．
15．【答案】①④
【解析】 π( ) cos2 3sin 2 2cos(2 )3f x x x x ，故①正确；
当 π
12x 时， π π( ) 2cos 012 2y f ，故②错误；
因为函数 2sin 2y x 的图象向右平移 π
6
个单位长度得到 π π)2sin 2( 2sin(2 )6 3y x x ，
而 π π2sin(2 ) 2cos(2 )3 3x x ，故③错误；
由 ( ) 3f x 可得 π2cos(2 ) 33x ，解得 π 3cos(2 )3 2x ，
所以 π π 11π2 π 2 2 π,6 3 6k x k k Z ，解得 3ππ π,12 4
π k x k k Z ，
故④正确，
故答案为①④．
16．【答案】 2 6
【解析】将正四面体放在棱长为 4 的正方体中，则 AB CD ，Q 为正方体的中心，
设 ,M N 分别是 ,AB CD 的中点，则Q 是 MN 的中点， MN AB ， MN CD ，
连接 EN ，设 EN 的中点为 S ，连接 , ,QS SP PQ ，
因为QS 是 NME△ 的中位线，所以 //QS ME ， 1
2QS ME ，
同理 //SP NF ， 1
2SP NF ，
因为 AB CD ，所以 ME NF ，所以QS SP ，即 90QSP ，
则 2 2 2 2 21 24QS SP ME NF PQ ，所以 2 2 8ME NF ，
因为 MN ME ，所以 2 2 2 216NE MN ME ME ，
因为 NF ME ， NF MN ， MN ME M ，
所以 NF 平面 MNE ，所以 NF NE ，
在 NEFRt△ 中， 2 2 2 2 16 2 6EF NF NE NF ME ，
故答案为 2 6 ．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．【答案】（1） 2π
3B ；（2） 9 3
4ABCS △ ．
【解析】（1）由正弦定理得 2 2 2b a c ac ，
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
，
0,πB ， 2π
3B ．
（2）由余弦定理得 2 22 2 2 2 cos 2 9b a c ac B a c ac ac a c ac ，
2
2 9 2
a cac a c
（当且仅当 a c 时取等号）， 6a c ，
当 3a c 时， ABC△ 取得最大值，此时 1 9 3 9 3sin2 2 2 4ABCS ac B △ ．
18．【答案】（1）证明见解析；（2） 2 5
5
．
【解析】（1）证明： 1
π
3BCC ， 1BC ， 1 2CC ，
由余弦定理可知 2 2
1 11 2 3BC BC C CCBCC ，
2 2 2
1 1BC BC CC ， 1BC BC ，
AB Q 侧面 1 1BB C C ，且 BC 面 1 1BB C C ， AB BC ，
又 1AB BC BQ I ， 1,AB BC 平面 1ABC ， BC 平面 1ABC ．
（2）由（1）知，以 B 为坐标原点，BC 为 x 轴， 1BC 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，
则 0,0,2A ， 1,0,0C ， 1 0, 3,0C ， 1 3, ,02 2E
， 1 1, 3,0B ， 1 1, 3,2A ，
1 3, ,22 2EA
， 1
3 3, ,02 2EB
，
设平面 1AEB 的法向量为 , ,x y zn ，由
1
0
0
EA
EB
n
n
，得 1, 3,1n ；
同理，设平面 1 1A EB 的法向量为 1 1 1, ,x y zm ， 1
3, ,22 2
3EA
，
由 1
1
0
0
EA
EB
m
m
，得 1, 3,0m ，
故 1 3 2 5cos , 55 2
m nm n m n
，
由题意二面角 1 1A B E A 是锐二面角，故二面角 1 1A B E A 的余弦值为 2 5
5
．
19．【答案】（1） 100ˆ 13y x
，每天魔方还原的平均速度 y 约为13秒；（2）分布列见解析，
50
9
．
【解析】（1）由题意，根据表格中的数据，可得 99 99 45 32 30 24 21 507y ，
可得
7
1
7 22
1
7 184.5 7 0.37 50 55ˆ 1000.55 0.557
i i
i
i
i
z y z y
b
z z
，
所以 50 100 0.37 13a y bz ，
因此 y 关于 x 的回归方程为 100ˆ 13y x
，
所以最终每天魔方还原的平均速度 y 约为13秒．
（2）由题意，可得随机变量 X 的取值为 3,4,6,9 ，
可得
1
4 1( 3) 6 6 9
AP X
，
1
42 A 2( 4) 6 6 9P X
，
1 1 1 1
4 2 2 41 A A A 20 5( 6) 6 3
A
6 6 9P X
，
1 1
2 2A A 1( 9) 6 6 9P X
，
所以 X 的分布列为：
X 3 4 6 9
P 1
9
2
9
5
9
1
9
所以 1 2 5 1 50( ) 3 4 6 99 9 9 9 9E X ．
20．【答案】（1）
2
2 12
x y ；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为椭圆的上、下顶点分别为 ,A B ，点 1,2P ，
ABP△ 的面积 1ABPS △ ，
所以 1 2 12ABPS b △ ，基底 1b ，
又因为椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点 1F 的最短距离为 2 1 ，
设 , M x y 是椭圆上任意一点， ( ,0)F c ，
则
2
2 2 2 2 2
2( ) 2cMF x c y x cx aa
，对称轴
2ax ac
，
所以在区间 [ , ]x a a 上递增，
则 x a 时， minMF a c ，即 2 1a c ，
又 2 2 2a b c ，解得 2a ，
所以椭圆方程为
2
2 12
x y ．
（2）设 ( ,2)P t ，由题意得，直线 PA，PB 的斜率存在，
设 1: 1PAl y xt
， 3: 1PBl y xt
，
由 2
2
1 1
12
y xt
x y
，得
2
2 2
4 2,2 2
t tM t t
；
由 2
2
3 1
12
y xt
x y
，得
2
2 2
12 18,18 18
t tN t t
，
所以
2 2
2 2 2
2 2
2 2
18 2
2 418 2: 12 42 2
18 2
MN
t t
t tt tl y xt tt t
t t
，化简得
26 1
8 2
ty xt
，
所以直线 MN 过定点 10, 2
．
21．【答案】（1） 3
1
4P A ， 3
3
8P B ， 3
3
8P C ；（2） 8
43
128a ．
【解析】（1） A B C A ； A C B A ，
所以 3
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 4P A ；
A B A B ； A C A B ； A B C B ，
所以 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3+ +2 2 2 2 2 2 2 2 2 8P B ；
A B A C ； A C A C ； A C B C ，
所以 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3+ +2 2 2 2 2 2 2 2 2 8P C ．
（2）∵ n nb c ，即 1 1n nb c ， 2n ，
又 1 1
1
2n n nb a c ，
∴ 2n 时， 1 1 1 1
1 1
2 2n n n n nb a c a b ，
又∵ 1 1 1 1n n na b c ，可得 12 1n nb b ，
由 1 1
1 1 1 1 1 1
3 2 2 3 2 3n n nb b b
，
可得数列 1
3nb
是首项为 1
6
，公比为 1
2
的等比数列，
11 1 1
3 6 2
n
nb
，即
11 1 1
3 6 2
n
nb
，
又
1 11 1 1 1 11 2 1 2 13 6 2 3 2
n n
n na b
，
故 8
43
128a ．
22．【答案】（1）见解析；（2）
25 ,22
e e
．
【解析】（1）函数 f x 的定义域为 0, ，
所以 2 111 aa x x a xf a x
ax xx x
x
．
（ⅰ）当 0 1a 时，由 0f x ，得 1 a x ，则 f x 的减区间为 ,1a ；
由 0f x ，得 x a 或 1x ，则 f x 的增区间为 0,a 和 1, ．
（ⅱ）当 1a 时， 0f x ，则 f x 的增区间为 0, ．
（ⅲ）当 1a 时，由 0f x ，得1 x a ，则 f x 的减区间为 1,a ；
由 0f x ，得 1x 或 x a ，则 f x 的增区间为 0,1 和 ,a ．
（2） 22 2 ln 1 2 1x xg x e a x a x f x e x ax ，
g x 在 1,2 内有且仅有一个零点，
即关于 x 方程
2 1xx ea x
在 1,2 上有且仅有一个实数根．
令
2 1xx eh x x
， 1,2x ，则
2
1 1 xx x e
h x x
，
令 1 xp x x e ， 1,2x ，则 1 0xp x e ，
故 p x 在 1,2 上单调递减，所以 1 2 0p x p e ，
即当 1,2x 时， 0h x ，所以 h x 在 1,2 上单调递减．
又 1 2h e ，
252 2
eh ，则
25 22
e h x e ，
所以 a 的取值范围是
25 ,22
e e
．
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