山东新高考2021届高三第二次模拟考试卷数学(四)(Word版附答案)
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山东新高考2021届高三第二次模拟考试卷数学(四)(Word版附答案)

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资料简介
山东省(新高考)2021 届高三第二次模拟考试卷 数 学(四) 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ,  ( , ) 1B x y y x   ,则 A B 中元素的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2. 31 i  ( ) A. 2 2i  B. 2 2i  C. 2 2i D. 2 2i 3.已知直线 m ,n ,平面 , , n   ,m ∥ ,m n ,那么“ m ^ ”是“ ^ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设约束条件 1 5 1 22 y x y x y x              ,则 1y x  的最大值为( ) A. 1 2 B.1 C. 2 D. 4 5.从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览, 每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有( ) A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 6.已知函数  f x 的定义域为 R ,且     6f x f x   ,当 0x  时,   2 2 3f x x x    , 若  3 5 0f m   ,则实数 m 的取值范围为( ) A. ,2 B. 2, C. ,3 D. 3, 7.在 ABC△ 中,点 M 是 AB 的中点, 2 3AN AC  ,线段CM 与 BN 交于点O ,动点 P 在 BOC△ 内部活动(不含边界),且 AP AB AN     ,其中  、  R ,则   的取值范围是( ) A. 3 4 11, 8      B. 3 3,4 2      C. 111, 8      D. 31, 2      8.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数 之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被 3 除余 2 的正整数从小到大组成数 列 na ,所有被 5 除余 2 的正整数从小到大组成数列 nb ,把数 na 与 nb 的公共项从小到大得 到数列 nc ,则下列说法正确的是( ) A. 1 2 2a b c  B. 8 2 4b a c  C. 22 8b c D. 6 2 9a b c 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.以下四个命题表述正确的是( ) A.直线   3 4 3 3 0m x y m m     R 恒过定点 3, 3  B.圆 2 2 4x y  上有且仅有 3 个点到直线 : 2 0l x y   的距离都等于 1 C.曲线 2 2 1 : 2 0C x y x   与曲线 2 2 2 : 4 8 0C x y x y m     恰有三条公切线,则 4m  D.已知圆 2 2: 4C x y  ,点 P 为直线 14 2 x y  上一动点,过点 P 向圆C 引两条切线 PA 、PB , A 、 B 为切点,则直线 AB 经过定点 1,2 10.在 ABC△ 中,下列说法正确的是( ) A.若 A B ,则sin sinA B 此 卷 只 装 订 不 密 封 班 级 姓 名 准 考 证 号 考 场 号 座 位 号 B.存在 ABC△ 满足 cos cos 0A B  C.若sin cosA B ,则 ABC△ 为钝角三角形 D.若 π 2C  ,则 2 2sin sin sinC A B  11.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标 志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人”.过去 10 日,A、B、C、D 四地新增疑似病例数 据信息如下,一定符合没有发生大规模群体感染标志的是( ) A.A 地:中位数为 2,极差为 5 B.B 地:总体平均数为 2,众数为 2 C.C 地:总体平均数为 1,总体方差大于 0 D.D 地:总体平均数为 2,总体方差为 3 12.已知函数 2 2 2 , 0( ) log , 0 x x xf x x x      ,若 1 2 3 4x x x x   ,且        1 2 3 4f x f x f x f x   , 则下列结论正确的是( ) A. 1 2 1x x   B. 3 4 1x x  C. 41 2x  D. 1 2 3 40 1x x x x  第Ⅱ卷 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知双曲线 2 2 : 14 3 x yC   的左、右焦点分别为 1F , 2F ,点  4,3M ,则 1 2F MF 的角平分线 所在直线的斜率为______. 14.对于三次函数    3 2 0f x ax bx cx d a     ,给出定义:设  f x 是函数  y f x 的导数,  f x 是  f x 的导数,若方程   0f x  有实数解 0x ,则称点   0 0,x f x 为函数  y f x 的“拐 点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐 点”就是对称中心.若   3 21 1 533 2 12f x x x x    ,则函数  f x 的对称中心为________, 1 2 3 4 2018 2019 2019 2019 2019 2019f f f f f                                 ________. 15.函数 ( ) cos2 3sin 2f x x x  , xR ,有下列命题: ① ( )y f x 的表达式可改写为 2cos 2 π 3y x     ; ②直线 π 12x  是函数 ( )f x 图象的一条对称轴; ③函数 ( )f x 的图象可以由函数 2sin 2y x 的图象向右平移 π 6 个单位长度得到; ④满足 ( ) 3f x  的 x 的取值范围是 3ππ π,12 4 πx k x k k          Z . 其中正确的命题序号是__________.(注:把你认为正确的命题序号都填上) 16.在棱长为 4 2 的正四面体 A BCD 中,点 ,E F 分别为直线 ,AB CD 上的动点,点 P 为 EF 中 点,Q 为正四面体中心(满足QA QB QC QD   ),若 2PQ  ,则 EF 长度为_________. 四、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分) ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c .已知 2 2 2sin sin sin sin sinB A C A C   . (1)求 B ; (2)若 3b  ,当 ABC△ 的周长最大时,求它的面积. 18.(12 分)如图,三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, AB  侧面 1 1BB C C ,已知 1 π 3BCC  , 1BC  , 1 2AB C C  ,点 E 是棱 1C C 的中点. (1)求证: BC ⊥平面 1ABC ; (2)求二面角 1 1A B E A  的余弦值. 19.(12 分)魔方,又叫鲁比克方块,最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于 1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议,而 魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方,即指三阶魔方,为3 3 3  的正方体 结构,由 26 个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱,然后在最短的时间内复原.截至 2020 年, 三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018 年11 月24 日于芜湖赛打破的纪录,单次3.475 秒. (1)某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练,每天魔方还原的平均速度 y (秒)与训练天数 x (天) 有关,经统计得到如下数据: x (天) 1 2 3 4 5 6 7 y (秒) 99 99 45 32 30 24 21 现用 by a x   作为回归方程类型,请利用表中数据,求出该回归方程,并预测该魔方爱好者经过长 期训练后最终每天魔方还原的平均速度 y 约为多少秒(精确到1) ? 参考数据(其中 1 i i z x  ) 7 1 i i i z y   z 7 2 2 1 7i i z z    184.5 0.37 0.55 参考公式: 对于一组数据  1 1,u v , 2 2,u v ,…, ,n nu v ,其回归直线 ˆˆ ˆv a u  的斜率和截距的最小二乘估 计公式分别为: 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i u v nuv u nu         , ˆˆa v u  . (2)现有一个复原好的三阶魔方,白面朝上,只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随 机扭动两次,每次均顺时针转动 90 ,记顶面白色色块的个数为 X ,求 X 的分布列及数学期望  E X . 20.(12 分)已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的上、下顶点分别为 ,A B ,P 为直线 2y  上的动 点,当点 P 位于点 1,2 时, ABP△ 的面积 1ABPS △ ,椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点 1F 的最 短距离为 2 1 . (1)求椭圆C 的方程; (2)连接 ,PA PB ,直线 ,PA PB 分别交椭圆于 ,M N (异于点 ,A B )两点,证明:直线 MN 过定 点. 21.(12 分)已知正三角形 ABC ,某同学从 A 点开始,用擦骰子的方法移动棋子,规定:①每掷一 次骰子,把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点;②棋子移动的方向由掷骰子决定,若 掷出骰子的点数大于 3,则按逆时针方向移动:若掷出骰子的点数不大于 3,则按顺时针方向移动.设 掷骰子 n 次时,棋子移动到 A , B ,C 处的概率分别为:  nP A ,  nP B ,  nP C ,例如:掷骰 子一次时,棋子移动到 A , B ,C 处的概率分别为  1 0P A  ,  1 1 2P B  ,  1 1 2P C  . (1)掷骰子三次时,求棋子分别移动到 A , B ,C 处的概率  3P A ,  3P B ,  3P C ; (2)记  n nP A a ,  n nP B b ,  n nP C c ,其中 1n n na b c   , n nb c ,求 8a . 22.(12 分)已知函数    21 1 ln2f x x a x a x    . (1)当 0a  时,求函数  f x 的单调区间; (2)设函数      2 2 ln 1 2xg x e a x a x f x      ,若  g x 在 1,2 内有且仅有一个零点, 求实数 a 的取值范围. 数 学答 案 第Ⅰ卷 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】B 【解析】依题意               1,7 , 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2 , 7,1A  , 其中满足 1y x  的有 1,7 , 2,6 , 3,5 , 所以       1,7 , 2,6 , 3,5A B  ,有 3个元素,故选 B. 2.【答案】B 【解析】       3 21 i 1 i 1 i 2i 1 i 2 2i         ,故选 B. 3.【答案】C 【解析】若 m ^ ,过直线 m 作平面 ,交平面 于直线 m, ∵ m ∥ ,∴ m m∥ , 又 m ^ ,∴ m   , 又∵ m   ,∴ ^ ; 若 ^ ,过直线 m 作平面 ,交平面 于直线 m, ∵ m ∥ ,∴ m m∥ , ∵ m n ,∴ m n  , 又∵ ^ , n  = , ∴ m   ,∴ m  , 故“ m ^ ”是“ ^ ”的充要条件,故选 C. 4.【答案】D 【解析】画出约束条件 1 5 1 22 y x y x y x              所表示的平面区域,如图所示, 设目标函数 1 1 0 y yz x x     ,则 1 0 y x   表示平面区域内一动点到定点 (0, 1)M  连线的斜率, 结合图象可得,取点 A 时,能使得 z 取得最大值, 又由 1 1 22 y x y x      ,解得 2 5( , )3 3A , 所以 1y x  的最大值为 5 13 42 03    ,故选 D. 5.【答案】B 【解析】分两步:首先从 4 人中选 1 人去巴黎游览,共有 1 4C 4 种, 其次从剩余 5 人中选 3 人到其它三个城市游览,共有 3 5A 60 种, 共有 1 3 4 5C A 240 种,故选 B. 6.【答案】B 【解析】令 0x  ,则 0x  ,   2 2 3f x x x     , 因为     6f x f x   ,所以   2 2 3 6f x x x    ,   2 2 3x x xf    , 即当 0x  时,   2 2 3x x xf    , 取 0x  ,则    0 0 6f f  ,  0 3f  , 当 0x  时,    22 2 3 1 2f x xx x      ,此时   0f x  无解; 当 0x  时,  0 3f  ,此时   0f x  无解; 当 0x  时,    22 2 3 1 4f x x x x        , 若   0f x  ,则  21 4 0x    ,解得 1x , 故  3 5 0f m   ,即3 5 1m - ³ ,解得 2m  , 实数 m 的取值范围为 2, ,故选 B. 7.【答案】D 【解析】如下图所示,连接 BP 并延长交 AC 于点G , 设 NG mAN  , PG nBG  ,则 10 2m  , 0 1n  ,  1AG m AN   ,      1 1AP AG GP m AN nGB m AN n AB AG                     1 1 1m AN nAB nAG m AN nAB n m AN               1m mn n AN nAB      , 又 AP AB AN      , n  , 1m mn n     ,  1 1 1m mn m n         , 10 2m  , 0 1 1n   ,则   10 1 2m n   , 即   31 1 1 2m n    ,即 31 2     , 因此,  的取值范围是 31, 2      ,故选 D. 8.【答案】C 【解析】根据题意数列 na 是首项为 2,公差为 3 的等差数列, 2 3( 1) 3 1na n n     ; 数列 nb 是首项为 2,公差为 5 的等差数列, 2 5( 1) 5 3nb n n     ; 数列 na 与 nb 的公共项从小到大得到数列 nc ,故数列 nc 是首项为 2,公差为 15 的等 差数列, 2 15( 1) 15 13nc n n     . 对于 A, 1 2 2 2 5 3 9a b      , 2 15 2 13 17c     , 1 2 2a b c  ,错误; 对于 B, 8 2 5 8 3 3 2 1 32b a        , 4 15 4 13 47c     , 8 2 4b a c  ,错误; 对于 C, 22 5 22 3 107b     , 8 15 8 13 107c     , 22 8b c ,正确; 对于 D,    6 2 3 6 1 5 2 3 119a b        , 9 15 9 13 122c     , 6 2 9a b c ,错误, 故选 C. 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.【答案】BCD 【解析】对于选项 A:由   3 4 3 3 0m x y m m     R 可得  3 3 4 3 0m x x y     , 由 3 0 3 4 3 0 x x y       ,可得 3 3 x y     ,所以直线恒过定点  3,3 ,故选项 A 不正确; 对于选项 B:圆心 0,0 到直线 : 2 0l x y   的距离等于1,圆的半径 2r = , 平行于 : 2 0l x y   且距离为 1 的两直线分别过圆心以及和圆相切, 故圆上有且仅有 3 个点到直线的距离等于1,故选项 B 正确; 对于选项 C:由 2 2 1 2 0C : x y x   ,可得 2 21 1x y   ,圆心  1 1,0C  , 1 1r  , 由 2 2 2 4 8 0C : x y x y m     ,可得    2 22 4 20 0x y m      , 圆心  2 2,4C , 2 20r m  , 由题意可得两圆相外切,所以 1 2 1 2C C r r  , 即  2 21 2 4 1 20 m      ,解得 4m  ,故选项 C 正确; 对于选项 D:设点 P 坐标为  ,m n ,所以 14 2 m n  ,即 2 4m n  , 因为 PA 、 PB 分别为过点 P 所作的圆的两条切线,所以CA PA ,CB PB , 所 以 点 ,A B 在 以 OP 为 直 径 的 圆 上 , 以 OP 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 22 2 2 2 2 2 2 m n m nx y                     , 整理可得 2 2 0x y mx ny    ,与已知圆 2 2: 4C x y  相减可得 4mx ny+ = , 消去 m ,可得  4 2 4n x ny   ,即  2 4 4 0n y x x    , 由 2 0 4 4 0 y x x      ,可得 1 2 x y    , 所以直线 AB 经过定点  1,2 ,故选项 D 正确, 故选 BCD. 10.【答案】ACD 【解析】对于 A 选项,若 A B ,则 a b ,则 2 sin 2 sinR A R B ,即 sin sinA B , 故 A 选项正确; 对于 B 选项,由 πA B  ,则 πA B  ,且  , π 0, πA B  , cosy x 在 0,π 上递减, 于是 cos cosA B  ,即 cos cos 0A B  ,故 B 选项错误; 对于 C 选项,由sin cosA B ,得 cos cosπ 2 A B     , cosy x 在 0,π 上递减, 此时:若 π0 2A  ,则 π 2 A B  ,则 π 2A B  ,于是 π 2C  ; 若 π 2A  ,则 πcos cos2A B     ,则 π 2A B  , 于是 π 2A B  ,故 C 选项正确; 对于 D 选项,由 π 2C  ,则 π 2A B  ,则 π π0 2 2A B    , siny x 在 0, π 2      递增, 于是 πsin sin 2A B     ,即 0 sin cosA B  ,同理 0 sin cosB A  , 此时,sin sin( ) sin cos cos sin sin sin sin sinC A B A B A B A A B B        2 2sin sinA B  , 所以 D 选项正确, 故选 ACD. 11.【答案】AD 【解析】对 A,因为 A 地中位数为 2,极差为 5,故最大值不会大于 2 5 7  .故 A 正确; 对 B,若 B 地过去 10 日分别为 0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,则满足总体平均数为 2,众数为 2, 但不满足每天新增疑似病例不超过 7 人,故 B 错误; 对 C,若 C 地过去 10 日分别为 0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,则满足总体平均数为 1,总体方差大于 0, 但不满足每天新增疑似病例不超过 7 人,故 C 错误; 对 D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过 7 人,则方差大于  21 8 2 3.6 310     , 与题设矛盾,故连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人,故 D 正确, 故选 AD. 12.【答案】BCD 【解析】由 ( )f x 函数解析式可得图象如下: ∴由图知: 1 2 2x x   , 12 1x    ,而当 1y  时,有 2| log | 1x  ,即 1 2x  或 2, ∴ 3 4 1 1 22 x x    , 而 3 4( ) ( )f x f x ,知 2 3 2 4| log | | log |x x : 2 3 2 4log log 0x x  , ∴ 3 4 1x x  , 2 1 2 3 4 1 2 1( 1) 1 (0,1)x x x x x x x      , 故选 BCD. 第Ⅱ卷 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.【答案】1 【解析】由题意知,C 的半焦距 7c  ,  1 7,0F  ,  2 7,0F , 故  2 2 1 4 7 3 2 2 7MF      ,  2 2 2 4 7 3 2 7 2MF      . 设 1 2F MF 的角平分线与 x 轴交于  ,0N x , 由角平分线定理可知 1 1 2 2 NF MF NF MF  ,故 7 2 2 7 7 2 7 2 x x     ,解得 1x  , 即  1,0N , 故 1 2F MF 的角平分线所在直线的斜率 3 0 14 1MNk   ,故答案为 1. 14.【答案】 1 ,12      ,2018 【解析】因为   3 21 1 533 2 12f x x x x    ,所以   2 3f x x x   ,   2 1f x x   , 由   0f x  ,即 2 1 0x   ,解得 1 2x  , 3 21 1 1 1 1 1 53 12 3 2 2 2 2 12f                              , 由题中给出的结论,所以函数  f x 的对称中心为 1 ,12      . 所以 1 1 22 2              f x f x ,即    1 2f x x   . 故 1 2018 22019 2019f f           , 2 2017 22019 2019f f           , 3 2016 22019 2019f f           , …, 2018 1 22019 2019f f           , 所 以 1 2 3 4 2018 1 2019 2019 2019 20 2 201819 2019 82 201f f f f f                                    , 故答案为 1 ,12      ,2018. 15.【答案】①④ 【解析】 π( ) cos2 3sin 2 2cos(2 )3f x x x x    ,故①正确; 当 π 12x  时, π π( ) 2cos 012 2y f   ,故②错误; 因为函数 2sin 2y x 的图象向右平移 π 6 个单位长度得到 π π)2sin 2( 2sin(2 )6 3y x x  , 而 π π2sin(2 ) 2cos(2 )3 3x x   ,故③错误; 由 ( ) 3f x  可得 π2cos(2 ) 33x   ,解得 π 3cos(2 )3 2x   , 所以 π π 11π2 π 2 2 π,6 3 6k x k k     Z ,解得 3ππ π,12 4 π k x k k     Z , 故④正确, 故答案为①④. 16.【答案】 2 6 【解析】将正四面体放在棱长为 4 的正方体中,则 AB CD ,Q 为正方体的中心, 设 ,M N 分别是 ,AB CD 的中点,则Q 是 MN 的中点, MN AB , MN CD , 连接 EN ,设 EN 的中点为 S ,连接 , ,QS SP PQ , 因为QS 是 NME△ 的中位线,所以 //QS ME , 1 2QS ME , 同理 //SP NF , 1 2SP NF , 因为 AB CD ,所以 ME NF ,所以QS SP ,即 90QSP  , 则  2 2 2 2 21 24QS SP ME NF PQ     ,所以 2 2 8ME NF  , 因为 MN ME ,所以 2 2 2 216NE MN ME ME    , 因为 NF ME , NF MN , MN ME M , 所以 NF  平面 MNE ,所以 NF NE , 在 NEFRt△ 中, 2 2 2 2 16 2 6EF NF NE NF ME      , 故答案为 2 6 . 四、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.【答案】(1) 2π 3B  ;(2) 9 3 4ABCS △ . 【解析】(1)由正弦定理得 2 2 2b a c ac   , 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac      ,  0,πB , 2π 3B  . (2)由余弦定理得    2 22 2 2 2 cos 2 9b a c ac B a c ac ac a c ac           ,   2 2 9 2 a cac a c          (当且仅当 a c 时取等号), 6a c   , 当 3a c  时, ABC△ 取得最大值,此时 1 9 3 9 3sin2 2 2 4ABCS ac B   △ . 18.【答案】(1)证明见解析;(2) 2 5 5 . 【解析】(1)证明: 1 π 3BCC  , 1BC  , 1 2CC  , 由余弦定理可知 2 2 1 11 2 3BC BC C CCBCC     , 2 2 2 1 1BC BC CC   , 1BC BC  , AB Q 侧面 1 1BB C C ,且 BC 面 1 1BB C C , AB BC  , 又 1AB BC BQ I , 1,AB BC  平面 1ABC , BC 平面 1ABC . (2)由(1)知,以 B 为坐标原点,BC 为 x 轴, 1BC 为 y 轴,BA 为 z 轴,建立如图所示的空 间直角坐标系, 则  0,0,2A ,  1,0,0C ,  1 0, 3,0C , 1 3, ,02 2E       ,  1 1, 3,0B  ,  1 1, 3,2A  , 1 3, ,22 2EA         , 1 3 3, ,02 2EB        , 设平面 1AEB 的法向量为  , ,x y zn ,由 1 0 0 EA EB        n n ,得  1, 3,1n ; 同理,设平面 1 1A EB 的法向量为  1 1 1, ,x y zm , 1 3, ,22 2 3EA        , 由 1 1 0 0 EA EB        m m ,得  1, 3,0m , 故 1 3 2 5cos , 55 2      m nm n m n , 由题意二面角 1 1A B E A  是锐二面角,故二面角 1 1A B E A  的余弦值为 2 5 5 . 19.【答案】(1) 100ˆ 13y x   ,每天魔方还原的平均速度 y 约为13秒;(2)分布列见解析, 50 9 . 【解析】(1)由题意,根据表格中的数据,可得 99 99 45 32 30 24 21 507y        , 可得 7 1 7 22 1 7 184.5 7 0.37 50 55ˆ 1000.55 0.557 i i i i i z y z y b z z              , 所以 50 100 0.37 13a y bz      , 因此 y 关于 x 的回归方程为 100ˆ 13y x   , 所以最终每天魔方还原的平均速度 y 约为13秒. (2)由题意,可得随机变量 X 的取值为 3,4,6,9 , 可得 1 4 1( 3) 6 6 9 AP X    , 1 42 A 2( 4) 6 6 9P X    ,  1 1 1 1 4 2 2 41 A A A 20 5( 6) 6 3 A 6 6 9P X       , 1 1 2 2A A 1( 9) 6 6 9P X    , 所以 X 的分布列为: X 3 4 6 9 P 1 9 2 9 5 9 1 9 所以 1 2 5 1 50( ) 3 4 6 99 9 9 9 9E X          . 20.【答案】(1) 2 2 12 x y  ;(2)证明见解析. 【解析】(1)因为椭圆的上、下顶点分别为 ,A B ,点  1,2P , ABP△ 的面积 1ABPS △ , 所以 1 2 12ABPS b  △ ,基底 1b  , 又因为椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点 1F 的最短距离为 2 1 , 设  , M x y 是椭圆上任意一点, ( ,0)F c , 则 2 2 2 2 2 2 2( ) 2cMF x c y x cx aa       ,对称轴 2ax ac     , 所以在区间 [ , ]x a a  上递增, 则 x a  时, minMF a c  ,即 2 1a c   , 又 2 2 2a b c  ,解得 2a  , 所以椭圆方程为 2 2 12 x y  . (2)设 ( ,2)P t ,由题意得,直线 PA,PB 的斜率存在, 设 1: 1PAl y xt   , 3: 1PBl y xt   , 由 2 2 1 1 12 y xt x y       ,得 2 2 2 4 2,2 2 t tM t t      ; 由 2 2 3 1 12 y xt x y       ,得 2 2 2 12 18,18 18 t tN t t       , 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 18 2 2 418 2: 12 42 2 18 2 MN t t t tt tl y xt tt t t t            ,化简得 26 1 8 2 ty xt   , 所以直线 MN 过定点 10, 2      . 21.【答案】(1)  3 1 4P A  ,  3 3 8P B  ,  3 3 8P C  ;(2) 8 43 128a  . 【解析】(1) A B C A   ; A C B A   , 所以  3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4P A        ; A B A B   ; A C A B   ; A B C B   , 所以  3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3+ +2 2 2 2 2 2 2 2 2 8P B         ; A B A C   ; A C A C   ; A C B C   , 所以  3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3+ +2 2 2 2 2 2 2 2 2 8P C         . (2)∵ n nb c ,即 1 1n nb c  , 2n  , 又  1 1 1 2n n nb a c   , ∴ 2n  时,    1 1 1 1 1 1 2 2n n n n nb a c a b       , 又∵ 1 1 1 1n n na b c     ,可得 12 1n nb b   , 由 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 2 3n n nb b b             , 可得数列 1 3nb    是首项为 1 6 ,公比为 1 2  的等比数列, 11 1 1 3 6 2 n nb        ,即 11 1 1 3 6 2 n nb       , 又 1 11 1 1 1 11 2 1 2 13 6 2 3 2 n n n na b                                 , 故 8 43 128a  . 22.【答案】(1)见解析;(2) 25 ,22 e e     . 【解析】(1)函数  f x 的定义域为 0,  , 所以         2 111 aa x x a xf a x ax xx x x          . (ⅰ)当 0 1a  时,由   0f x  ,得 1 a x ,则  f x 的减区间为  ,1a ; 由   0f x  ,得 x a 或 1x  ,则  f x 的增区间为 0,a 和 1, . (ⅱ)当 1a  时,   0f x  ,则  f x 的增区间为 0,  . (ⅲ)当 1a  时,由   0f x  ,得1 x a  ,则  f x 的减区间为 1,a ; 由   0f x  ,得 1x  或 x a ,则  f x 的增区间为  0,1 和 ,a  . (2)       22 2 ln 1 2 1x xg x e a x a x f x e x ax          ,  g x 在 1,2 内有且仅有一个零点, 即关于 x 方程 2 1xx ea x   在 1,2 上有且仅有一个实数根. 令   2 1xx eh x x   ,  1,2x ,则      2 1 1 xx x e h x x     , 令   1 xp x x e   ,  1,2x ,则   1 0xp x e    , 故  p x 在 1,2 上单调递减,所以    1 2 0p x p e    , 即当  1,2x 时,   0h x  ,所以  h x 在 1,2 上单调递减. 又  1 2h e  ,   252 2 eh  ,则   25 22 e h x e    , 所以 a 的取值范围是 25 ,22 e e     .

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