北京市丰台区2021届高三下学期3月综合练习（一）（一模）数学试题（Word版附解析）

丰台区 2021 年高三年级第二学期综合练习（一） 数 学 2021.03 本试卷满分共 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项： 1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签 字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好 条形码。 2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小 题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑 色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。 3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试 卷、草稿纸上答题无效。 4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 { | 2 1}A x x   ≤ ， { | 0 3}B x x  ≤ ，则 A B  （A）{ | 2 0}x x   （B）{ | 0 1}x x ≤ （C）{ |1 3}x x ≤ （D）{ | 2 }3x x  ≤ （2）在复平面内，复数 3 4iz   ，则 z 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）已知双曲线 2 2 2 1( 0)x y aa    的离心率是 5 2 ，则 a  （A） 2 （B） 2 （C） 2 2 （D） 4 （4）在平面直角坐标系 xOy 中，角 以Ox 为始边，且 2sin 3   .把角 的终边绕端点 O 逆时 针方向旋转  弧度，这时终边对应的角是  ，则 sin   （A） 2 3  （B） 2 3 （C） 5 3  （D） 5 3 （5）若直线 1y kx  是圆 2 2 2 0x y x   的一条对称轴，则 k 的值为 （A） 1 2  （B） 1 （C）1 （D） 2 （6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为 （A）2 （B） 2 2 （C） 2 3 （D）4 （7）P 为抛物线 2 2 ( 0)y px p  上一点，点 P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为 10 和 6， 则 p  （A）2 （B）4 （C） 4 或 9 （D） 2 或18 （8）大气压强 p  压力 受力面积 ，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强 p （Pa） 随海拔高度 h（m）的变化规律是 0e khp p  （ 0.000126k  m-1）， 0p 是海平面大气压强．已 知在某高山 1 2,A A 两处测得的大气压强分别为 1 2,p p ， 1 2 1 2 p p  ，那么 1 2,A A 两处的海拔高度 的差约为（参考数据： ln 2 0.693 ） （A）550m （B）1818m （C）5500m （D）8732m （9）已知非零向量 , ,a b c 共面，那么“存在实数  ，使得 a c 成立”是“( ) ( ) a b c = a b c ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）已知函数 2 | |, ,( ) , , x m x mf x x x m    ≤ 若存在实数b ，使得关于 x的方程 ( )f x b 有三个不同 的根，则实数 m 的取值范围是 （A） (0,2) （B） ( , 2) (0,2)   （C） ( 2,0) （D） ( 2,0) (2, )  第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）函数 ( ) ln(2 ) 1f x x x   的定义域为_____． （12）在 62( )x x  的展开式中，常数项为_____．（用数字作答） （13）在 ABC△ 中， 3, 2 2, 2a b B A   ，则 cos A _____． （14）设等比数列 na 满足 1 2 4 548, 6a a a a    ，则 2 1 2 3log ( )na a a a 的最大值为_____． （15）如图，从长、宽、高分别为 , ,a b c 的长方体 AEBF GCHD 中截去部分几何体后，所得 几何体为三棱锥 A BCD ．下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____． ①三棱锥 A BCD 的体积为 1 3abc ； ②三棱锥 A BCD 的每个面都是锐角三角形； ③三棱锥 A BCD 中，二面角 A CD B  不会是直 二面角； ④三棱锥 A BCD 中，三条侧棱与底面所成的角分 别记为 , ,   ，则 2 2 2sin sin sin 2    ≤ . 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 已知函数 ( ) sin 3cos ( 0)f x x x     . （Ⅰ）当 1  时，求 π( )6f 的值； （Ⅱ）当函数 )(xf 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 π 2 时， . 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答. ①求 ( )f x 在区间 π[0, ]2 上的最小值； ②求 ( )f x 的单调递增区间； ③若 ( )f x ≥0 ，求 x的取值范围. 注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分. （17）（本小题 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， 3BAD   ，M 是棱 PB 上的点，O 是 AD 中点，且 PO  底面 ABCD ， 3OP OA ． （Ⅰ）求证： BC  OM ； （Ⅱ）若 3 5PM PB ，求二面角 B OM C  的余弦值． （18）（本小题 14 分） 某电影制片厂从 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分 钟）如下图所示. （Ⅰ）从 2011 年至 2020 年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率； （Ⅱ）从 2011 年至 2020 年中任选两年，设 X 为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时 长的年数，求 X 的分布列和数学期望 ( )E X ； （Ⅲ）将 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为 2 2 2 1 2 3, ,s s s ，试比较 2 2 2 1 2 3, ,s s s 的大小.（只需写出结论） （19）（本小题 15 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     长轴的两个端点分别为 ( 2,0), (2,0)A B ，离心率为 2 3 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）P 为椭圆 C 上异于 ,A B 的动点，直线 ,AP PB 分别交直线 6x   于 ,M N 两点，连接 NA 并延长交椭圆 C 于点 Q . （ⅰ）求证：直线 ,AP AN 的斜率之积为定值； （ⅱ）判断 , ,M B Q 三点是否共线，并说明理由. （20）（本小题 15 分） 已知函数 3 2( ) 3 ( )f x x x b b   R ． （Ⅰ）当 1b  时，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数 ( )f x 存在三个零点，分别记为 1 2 3, ,x x x 1 2 3( )x x x  . （ⅰ）求 b 的取值范围； （ⅱ）证明： 1 2 0x x  ． （21）（本小题 14 分） 已知数列 * 1 2 2: , , , ( )nA a a a nN ，现将数列 A 的项分成个数相同的两组，第一组为 1 2: , , , nB b b b ， 满 足 1( 1,2, , 1)i ib b i n  ≥ L ； 第 二 组 为 1 2: , , , nC c c c ， 满 足 1( 1,2, , 1)i ic c i n  ≤ L ，记 1 n i i i M b c    ． （Ⅰ）若数列 :1,2,4,8A ，写出数列 A的一种分组结果，并求出此时 M 的值； （Ⅱ）若数列 :1,2,3, ,2A n ，证明：  max , 1( 1,2, , )i ib c n i n ≥ L ；（其中  max ,i ib c 表示 ,i ib c 中较大的数） （Ⅲ）证明： M 的值与数列 A的分组方式无关. 丰台区 2021 年高三年级第二学期综合练习（一） 数 学 2021.03 本试卷满分共 150 分 考试时间 120 分钟 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 { | 2 1}A x x   ≤ ， { | 0 3}B x x  ≤ ，则 A B  （A）{ | 2 0}x x   （B）{ | 0 1}x x ≤ （C）{ |1 3}x x ≤ （D）{ | 2 }3x x  ≤ 解析：画数轴，选 D. （2）在复平面内，复数 3 4iz   ，则 z 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解析： 3 4iz   ，对应点 (3,4) ，选 A. （3）已知双曲线 2 2 2 1( 0)x y aa    的离心率是 5 2 ，则 a  （A） 2 （B） 2 （C） 2 2 （D） 4 解析： 2 1 5 2 c ae a a    ， 2 24 4 5a a  ， 2a  ，选 B. （4）在平面直角坐标系 xOy 中，角 以Ox 为始边，且 2sin 3   .把角 的终边绕端点 O 逆时 针方向旋转  弧度，这时终边对应的角是  ，则 sin   （A） 2 3  （B） 2 3 （C） 5 3  （D） 5 3 解析： 2sin sin( ) sin 3          ，选 A. （5）若直线 1y kx  是圆 2 2 2 0x y x   的一条对称轴，则 k 的值为 （A） 1 2  （B） 1 （C）1 （D） 2 解析：圆心 (1,0) 在直线上，即 1 0k   ，解得 1k   .选 B. （6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为 （A）2 （B） 2 2 （C） 2 3 （D）4 解析：右后提点，最长的棱长为体对角线 2 3 ，选 C. （7）P 为抛物线 2 2 ( 0)y px p  上一点，点 P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为 10 和 6， 则 p  （A）2 （B）4 （C） 4 或 9 （D） 2 或18 解析：其中一个 P 点坐标为 (10 ,6)2 p ，即 36 2 (10 )2 pp  ，解得 2p  或 18p  ，选 D. （8）大气压强 p  压力 受力面积 ，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强 p （Pa） 随海拔高度 h（m）的变化规律是 0e khp p  （ 0.000126k  m-1）， 0p 是海平面大气压强．已 知在某高山 1 2,A A 两处测得的大气压强分别为 1 2,p p ， 1 2 1 2 p p  ，那么 1 2,A A 两处的海拔高度 的差约为（参考数据： ln 2 0.693 ） （A）550m （B）1818m （C）5500m （D）8732m 解析： 1 1 2 1 2 2 01 2 0 1= = 2 k h k h k h k h k h k h p ep e ep p e e               ，故 1 2 ln 2 0.693 55000.000126h h mk     ，选 C. （9）已知非零向量 , ,a b c 共面，那么“存在实数  ，使得 a c 成立”是“( ) ( ) a b c = a b c ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解析：前后都是 a  与 c  共线，选 C. （10）已知函数 2 | |, ,( ) , , x m x mf x x x m    ≤ 若存在实数b ，使得关于 x的方程 ( )f x b 有三个不同 的根，则实数 m 的取值范围是 （A） (0,2) （B） ( , 2) (0,2)   （C） ( 2,0) （D） ( 2,0) (2, )  解析：特值排除即可. 当 1m  时，符合题意，排除 C、D；当 3m   时，符合题意，排除 A. 选 B. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）函数 ( ) ln(2 ) 1f x x x   的定义域为_____． 解析：联立 2 0, 1 0, x x     ，解得 0 1x  ，故函数 ( )f x 的定义域为 (0,1] . （12）在 62( )x x  的展开式中，常数项为_____．（用数字作答） 解析： 3 3 3 6 2( ) 20 8 160C x x      . （13）在 ABC△ 中， 3, 2 2, 2a b B A   ，则 cos A _____． 解析：由正弦定理 sin sin a b A B  ，即 3 2 2 sin 2sin cosA A A  ，解得 2 6cos 33 A   . （14）设等比数列 na 满足 1 2 4 548, 6a a a a    ，则 2 1 2 3log ( )na a a a 的最大值为_____． 解析： 3 34 5 1 1 2 1 (1 ) 1 (1 ) 8 a a a q q qa a a q      ，解得 1 2q  ，列出前几项 32，16，8，4，2，1， 1 2 ，， 故 2 1 2 3log ( )na a a a 的最大值为 15 2 2log (32 16 8 4 2 1) log 2 15       . （15）如图，从长、宽、高分别为 , ,a b c 的长方体 AEBF GCHD 中截去部分几何体后，所得 几何体为三棱锥 A BCD ．下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____． ①三棱锥 A BCD 的体积为 1 3abc ； ②三棱锥 A BCD 的每个面都是锐角三角形； ③三棱锥 A BCD 中，二面角 A CD B  不会是直二面角； ④三棱锥 A BCD 中，三条侧棱与底面所成的角分 别记为 , ,   ，则 2 2 2sin sin sin 2    ≤ . 解析： 对于①， 1 1 143 2 3A BCDV abc abc abc       ，①正确； 对于②，三棱锥 A BCD 的每个面三边长都是 2 2a b 、 2 2a c 、 2 2b c ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b a c b c     ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b b c a c     ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a c b c a b     ，②正确； 对于③，举出反例即可. 以 F 为坐标原点建系，经计算，平面 BCD 的法向量可取 1 ( , , )n ac bc ab  ,平民 ACD 的法向量 可取 2 ( , , )n ac bc ab  ,当 2 2 2 2 2 2 1 2 0n n a c b c a b       ，化简得 2 2 2 2 2( )a b a b c   ， 随便代一组符合题意的解即可，如 2, 2, 1a b c   ，③错误. 对于④，由③，平面 BCD 的法向量可取 1 ( , , )n ac bc ab  ， (0, , )AC a c ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin abc a c a c a b b c       ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8sin ( ) ( ) ( ) [( ) ( )( )] a b c a b c a c a c a b b c a c a c a b a b b c a c b c              ， 2 2 2 2 2 2 8 2 2 (2 2 2 ) a b c b a b cac a bc ab c abc       ， 同理可推出， 2 2 2 2 2 2sin sin sin a b c a b c          ，当且仅当 a b c  时取等.④正确 填①②④. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 已知函数 ( ) sin 3cos ( 0)f x x x     . （Ⅰ）当 1  时，求 π( )6f 的值； （Ⅱ）当函数 )(xf 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 π 2 时， . 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答. ①求 ( )f x 在区间 π[0, ]2 上的最小值； ②求 ( )f x 的单调递增区间； ③若 ( )f x ≥0 ，求 x的取值范围. 注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分. 解：（Ⅰ）当 1  时， π π π 1 3( ) sin 3cos 3 26 6 6 2 2f       . （Ⅱ） π( ) sin 3cos 2sin( )3f x x x x      . 因为函数 )(xf 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 π 2 ， 所以 2ππ ( 0)| |T    ，解得 2  . 所以 π( ) 2sin(2 )3f x x  . 选①：因为 π0 2x≤ ≤ ，所以 π π 4π23 3 3x ≤ ≤ . 当 π 4π2 3 3x   ，即 2x  时， ( )f x 在区间 π[0, ]2 上有最小值为 3 . 选②：令 π π π2 π 2 2 π ,2 3 2k x k k   Z≤ ≤ ， 解得 5π ππ π ,12 12k x k k  Z≤ ≤ ， 所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 5π π[ π , π ],12 12k k k  Z . 选③：因为 ( )f x ≥0 ，所以 πsin(2 ) 03x  ≥ . 所以 π2 π 2 2 π π,3k x k k  Z≤ ≤ . 解得 π ππ π ,6 3k x k k  Z≤ ≤ . （17）（本小题 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， 3BAD   ，M 是棱 PB 上的点，O 是 AD 中点，且 PO  底面 ABCD ， 3OP OA ． （Ⅰ）求证： BC  OM ； （Ⅱ）若 3 5PM PB ，求二面角 B OM C  的余弦值． （Ⅰ）证明：在菱形 ABCD 中， 3BAD   ， ABD 为等边三角形． 因为O 为 AD 的中点， 所以OB AD ． 因为 AD // BC ，所以OB BC ． 因为 PO  底面 ABCD ， BC  平面 ABCD ，所以OP BC ． 因为OP OB O ， OP OB , 平面 POB ， 所以 BC  平面 POB ． 因为 M 是棱 PB 上的点，所以OM  平面 POB ． 所以 BC  OM ． （Ⅱ）解： 因为 PO  底面 ABCD ， OB AD ， 建立如图所示空间直角坐标系O xyz ， 设 1OA  ，则 3OP OB  ． 因为 (0,0,0)O ， (1,0,0)A ， (0, 3,0)B ， ( 2, 3,0)C  ， (0,0, 3)P ，所以 ( 2, 3,0)OC   ． 由 3 5PM PB ，得 3 3 3 2 3(0, , )5 5 5OM OP PB     . 设 ( , , )x y zm 是平面OMC 的法向量， 由 0 0 OM OC        m m ，得 3 2 0, 2 3 0, y z x y     令 2y  ，则 3, 3x z   ，则 ( 3,2, 3) m ． 又因为平面 POB 的法向量为 (1,0,0)n ， 所以 3cos , 4   m nm n m n . 由题知，二面角 B OM C  为锐二面角， 所以二面角 B OM C  的余弦值为 3 4 ． （18）（本小题 14 分）某电影制片厂从 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录 影片的时长（单位：分钟）如下图所示. （Ⅰ）从 2011 年至 2020 年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率； （Ⅱ）从 2011 年至 2020 年中任选两年，设 X 为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时 长的年数，求 X 的分布列和数学期望 ( )E X ； （Ⅲ）将 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为 2 2 2 1 2 3, ,s s s ，试比较 2 2 2 1 2 3, ,s s s 的大小.（只需写出结论） 解：（Ⅰ）从 2011 年至 2020 年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是 2011 年，2015 年，2017 年，2018 年，2019 年和 2020 年，共 6 年. 记从 2011 年至 2020 年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件 A ， 则 6 3( ) 10 5P A   . （Ⅱ） X 的所有可能取值为 0,1,2. 2 4 2 10 2( 0) 15 CP X C    ； 1 1 4 6 2 10 8( 1) 15 C CP X C    ； 2 6 2 10 5 1( 2) 15 3 CP X C     . 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 2 15 8 15 1 3 数学期望 2 8 1 6( ) 0 1 215 15 3 5E X        . （Ⅲ） 2 2 2 1 2 3s s s  . （看图，科教影片时长的波动最大，方差最大; 再将动画影片、纪录影片时长从小到大排列： 动画影片：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430 纪录影片：100，130，150，190，210，240，270，300，330，380 纪录影片的每个数都比动画影片小 50，波动一样，故方差相同）小强数学 （19）（本小题 15 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     长轴的两个端点分别为 ( 2,0), (2,0)A B ，离心率为 2 3 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）P 为椭圆 C 上异于 ,A B 的动点，直线 ,AP PB 分别交直线 6x   于 ,M N 两点，连接 NA 并延长交椭圆 C 于点 Q . （ⅰ）求证：直线 ,AP AN 的斜率之积为定值； （ⅱ）判断 , ,M B Q 三点是否共线，并说明理由. 常规类型：定值问题+三点共线问题 解：（Ⅰ）由题意 32, 2 ca e a    ，所以 2 2 23, 1c b a c    . 所以椭圆 C 的方程为 14 2 2  yx . （Ⅱ）（ⅰ）证明：设 0 0( , )P x y ， 因为 P 在椭圆C 上，所以 2 20 0 14 x y  . 因为直线 AP 的斜率为 0 0 2 y x  ，直线 BP 的斜率为 0 0 2 y x  ， 所以直线 BP 的方程为 0 0 ( 2)2 yy xx   .所以 N 点的坐标为 0 0 8( 6, )2 yN x   . 所以直线 AN 的斜率为 0 0 0 0 8 2 2 6 2 2 y x y x      . 所以直线 ,AP AN 的斜率之积为 2 02 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2(1 )2 2 14 2 2 4 4 2 x y y y x x x x          . （ⅱ） , ,M B Q 三点共线. 设直线 AP 斜率为 k ，易得 ( 6, 4 )M k  . 由（ⅰ）可知直线 AN 斜率为 1 2k  ，所以直线 AN 的方程为 1 ( 2)2y xk    . 联立 2 24 4 0, 2 2, x y x ky         可得 2 2(4 4 ) 8 0k y ky   . 解得Q 点的纵坐标为 2 2 1 k k   ，所以 Q 点的坐标为 2 2 2 2 2 2( , )1 1 k kQ k k     . 所以，直线 BQ 的斜率为 2 2 2 2 01 2 2 221 k kk k k     ，直线 BM 的斜率为 4 0 6 2 2 k k    . 因为直线 BQ 的斜率等于直线 BM 的斜率， 所以 , ,M B Q 三点共线. （20）（本小题 15 分）已知函数 3 2( ) 3 ( )f x x x b b   R ． （Ⅰ）当 1b  时，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数 ( )f x 存在三个零点，分别记为 1 2 3, ,x x x 1 2 3( )x x x  . （ⅰ）求 b 的取值范围； （ⅱ）证明： 1 2 0x x  ． 极值点偏移，暂时北京卷考的概率很小 解：（Ⅰ）当 1b  时， 3 2( ) 3 1f x x x   ，得 2( ) 3 6f ' x x x  ， 因为 (1) 1f   ， (1) 3f '   ， 所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 ( 1) 3( 1)y x     ，即 3 2 0x y   ．…4 分 （Ⅱ）因为 2( ) 3 6f ' x x x  ， 所以令 ( ) 0f ' x  ，得 0x  ， 2x  ． ( )f ' x ， ( )f x 随 x 的变化如下： x ( ,0) 0 (0,2) 2 (2, ) ( )f ' x + 0 - 0 + ( )f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 ( )f x 的极大值为 (0)f b ，极小值为 (2) 4f b  ． （ⅰ）若函数 ( )f x 存在三个零点，分别记为 1 2 3, ,x x x 1 2 3( ),x x x  则 (0) 0 (2) 0 f f    ， 所以 0 4b  ． 当 0 4b  时， ( 1) 4 0f b    ， (3) 0f b  ， 此时 ( 1) (0) 0f f   ， (0) (2) 0f f  ， (2) (3) 0f f  ，故 ( )f x 存在三个零点， 所以若函数 ( )f x 存在三个零点， b 的取值范围是 0 4b  ． （ⅱ）证明：因为 1 2 3, ,x x x 1 2 3( )x x x  是函数 ( )f x 的零点， 所以 1 2 30x x x   . 因为 3 2 2 2 2( ) 3 0f x x x b    ， 所以 3 2 3 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 3( ) 3f x x x b x x b          3 3 2 3 2 2 2 22 ( 3 ) 2 0x x x b x        . 因为 1( ) 0f x  ，所以 2 1( ) ( )f x f x  ． 又因为 1 2, ( ,0)x x   ，且 ( )f x 在区间 ( ,0) 上单调递增， 所以 2 1x x  ，即 1 2 0x x  ． （另：一元三次方程的韦达定理， 1 2 3 bx x x a     ， 1 2 3 dx x x a     ， 1 2 2 3 1 3 cx x x x x x a       得 1 2 3 3 31x x x      ，则要证 1 2 0x x  ，即证 33 0x  ，即 3 3x  ， 又 ( )f x 在 (2, ) 上单调递增，则 (2) 4 0 (3) 3 0 f b f b        ，故 32 3x  ，即 3 3x  得证.）小强数学 （21）（本小题 14 分） 已 知 数 列 * 1 2 2: , , , ( )nA a a a nN ， 现 将 数 列 A 的 项 分 成 个 数 相 同 的 两 组 ， 第 一 组 为 1 2: , , , nB b b b ， 满 足 1( 1,2, , 1)i ib b i n  ≥ L ； 第 二 组 为 1 2: , , , nC c c c ， 满 足 1( 1,2, , 1)i ic c i n  ≤ L ，记 1 n i i i M b c    ． （Ⅰ）若数列 :1,2,4,8A ，写出数列 A的一种分组结果，并求出此时 M 的值； （Ⅱ）若数列 :1,2,3, ,2A n ，证明：  max , 1( 1,2, , )i ib c n i n ≥ L ；（其中  max ,i ib c 表示 ,i ib c 中较大的数） （Ⅲ）证明： M 的值与数列 A的分组方式无关. 解：第一问，送分问，读题就会做；第二问注意  max ,i ib c 大于等于 1n  个数；第三问， 每一组都是大-小，这样可以调节成两个新数列的前 n 项和的差，即后 n 项和-前 n 项和. （Ⅰ）可将数列 A分成： :8,4B ； :1,2C . 此时 8 1 4 2 9M      ． （Ⅱ）因为 1i ib b ≥ ， 1i ic c ≤ ( 1,2, , 1)i n L ， 所以   1 2max ,i i i i i nb c b b b b ≥ ≥ ≥ ≥ ≥L ( 1,2, , )i n L ，   1 2 1max ,i i i i ib c c c c c ≥ ≥ ≥ ≥ ≥L ． 所以    1 2 1 2 1max , max ,i i i i i n i i ib c b b b b c c c c   ≥ ， ， ， ， ， ， ， ，L L . 因为 1 2i i i nb b b b  L， ， ， ， 1 2 1i i ic c c c  L， ， ， ， ， 共 1n  项， 所以  1 2 1 2 1max , 1i i i n i i ib b b b c c c c n    ， ， ， ， ， ， ， ， ≥L L . 所以  max , 1i ib c n ≥ ． （Ⅲ）不妨将数列 * 1 2 2: , , , ( )nA a a a nNL 重新排序得到 数列 * 1 2 2': ', ', , '( )nA a a a nNL ，满足 1' '( 1,2, ,2 1)i ia a i n  ≤ L . 因为 1i ib b ≥ ， 1i ic c ≤ ( 1,2, , 1)i n L ， 所以   1 2max ,i i i i i nb c b b b b ≥ ≥ ≥ ≥ ≥L ( 1,2, , )i n L ，   1 2 1max ,i i i i ib c c c c c ≥ ≥ ≥ ≥ ≥L ． 所以    1 2 1 2 1max , max ,i i i i i n i i ib c b b b b c c c c   ≥ ， ， ， ， ， ， ， ，L L . 因为 1 2i i i nb b b b  L， ， ， ， 1 2 1i i ic c c c  L， ， ， ， ， 共 1n  项， 所以  max ,i ib c 恰为 * 1 2 2', ', , '( )n n na a a n  NL 中某一项． 同理  min ,i ib c 恰为 * 1 2', ', , '( )na a a nNL 中某一项（其中  min ,i ib c 表示 ,i ib c 中较小的数）. 因为    max , min ,i i i i i ib c b c b c   , 所以    1 2 2 1 2 1 ' ' ' ' ' ' n i i n n n n i M b c a a a a a a             L L . 所以 M 的值与数列 A的分组方式无关.