山东省（新高考）2021 届高三第二次模拟考试卷
数 学（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知 ， N 均为 R 的子集，且 M N Rð ，则 M N R ð （ ）
A． B． M C． N D． R
2．若复数 z 满足 1 32i i2 2z ，则 z （ ）
A． 1
2 B． 1
2
C． 1 i2
D． 1 i2
3． ABC△ 中，A，B，C 是 ABC△ 的内角，则“ π
3A ”是“ 1cos 2A ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．实数 x、y 满足 2 23 2 6x y x ，则 2 2x y 的最大值为（ ）
A． 7
2 B．4 C． 9
2 D．5
5．若过点 4,3A 的直线 l 与曲线( ) ( )2 22 3 1x y- + - = 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为
（ ）
A． 3, 3 B． 3, 3 C． 3 3,3 3
D． 3 3,3 3
6．在 ABC△ 中， 9AC ， 60A ，D 点满足 2CD DB ， 37AD ，则 BC 的长为（ ）
A．3 7 B．3 6 C．3 3 D．6
7．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 3
6 61 2019 1 1a a ， 3
2015 20151 2019 1a a
1 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 2020 2020S ， 2015 6a a B． 2020 2020S ， 2015 6a a
C． 2020 2020S ， 2015 6a a D． 2020 2020S ， 2015 6a a
8．在探索系数 A ， ， ，b 对函数 sin 0, 0y A x b A 图象的影响时，我们发
现，系数 A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数 对其影响
是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数 对其影响是图象上所有点向左
或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称
为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数 sinf x x 的图象经过四步变换得到函数
π2sin 2 13g x x
的图象，且已知其中有一步是向右平移 π
3
个单位，则变换的方法共有
（ ）
A．6种 B．12 种 C．16种 D． 24 种
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．如图，正四棱锥 S BCDE 底面边长与侧棱长均为 a，正三棱锥 A SBE 底面边长与侧棱长均为
a，则下列说法正确的是（ ）
A． AS CD
B．正四棱锥 S BCDE 的外接球半径为 2
2 a
C．正四棱锥 S BCDE 的内切球半径为 21 2 a
此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
D．由正四棱锥 S BCDE 与正三棱锥 A SBE 拼成的多面体是一个三棱柱
10．一个等腰直角三角形 ABC 内有一个内接等腰直角三角形 PQR ，(即 P ，Q ， R 三点分别在三
角形 ABC 三边或顶点上)，则两三角形面积比 PRQ
ABC
S
S
△
△
的值可能为（ ）
A． 1
4 B． 1
5 C． 1
6 D． 1
7
11．已知双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
， A 、 B 分别为双曲线的左、右顶点， 1F 、 2F 为左、
右焦点， 1 2 2F F c ，且 a ，b ， c 成等比数列，点 P 是双曲线C 的右支上异于点 B 的任意一点，
记 PA ， PB 的斜率分别为 1k ， 2k ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 2PF x 轴时， 1 2 30PF F
B．双曲线的离心率 1 5
2e
C． 1 2k k 为定值 1 5
2
D．若 I 为 1 2PF F△ 的内心，满足 1 2 1 2IPF IPF IF FS S xS x R△ △ △ ，则 5 1
2x
12．若存在实常数 k 和b ，使得函数 F x 和 G x 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足： F x
kx b 和 G x kx b 恒成立，则称此直线 y kx b 为 F x 和 G x 的“隔离直线”，已知函数
2f x xx R ， 1 0g x xx
， 2 lnh x e x （ e 为自然对数的底数），则（ ）
A． m x f x g x 在 3
1 ,0
2
x
内单调递增
B． f x 和 g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为 4
C． f x 和 g x 之间存在“隔离直线”，且 k 的取值范围是 4,1
D． f x 和 h x 之间存在唯一的“隔离直线” 2y ex e
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．
5
2
2
12 1x x
的展开式的常数项是________．
14．2020 年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研
制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟
颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用．甲
因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人
选取药方完全不同的概率是______．
15．已知三棱锥 A BCD ， 5AB AD BC CD ， 8BD ， 3AC ，则以点 C 为球心，
2 2 为半径的球面与侧面 ABD 的交线长为______．
16．任取一个正整数 m，若 m 是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若 m 是偶数，就将该数除以 2．反
复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹
猜想”（又称“角谷猜想”等），若 5m ，则经过________次步骤后变成 1；若第 5 次步骤后变成 1，
则 m 的可能值之和为________．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 ．（ 10 分 ） 在 ① 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C ； ② sin sin2
B Cb a B ； ③
sin cos( π)6a B b A ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题： ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 2 2a b c ，______，求 A 和C ．
注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．
18．（12 分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每
件获利 a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为 n 千元时比广告费为 1n 千元时多
卖出
2n
b 件． *nN ．
（1）求当 1n 时，销售量 1a ；当 2n 时，销售量 2a ；
（2）试写出当广告费为 n 千元时，销售量 na ；
（3）当 10a ， 4000b 时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？
19．（12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为等腰梯形，且 2 2AB CD ，
60ABC ，四边形 ACFE 为矩形，且 2FB ，M，N 分别为 EF ， AB 的中点．
（1）求证： MN∥平面 FCB ；
（2）若直线 AF 与平面 FCB 所成的角为 60°，求平面 MAB 与平面 MAC 所成锐二面角的余弦值．
20．（12 分）《中华人民共和国道路交通安全法》第 47 条规定：机动车行经人行横道时，应当减速
慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所
抓拍的 6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：
月份 x 1 2 3 4 5 6
不“礼让行人”驾驶员人数 y 120 105 100 85 90 80
（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数 y 与月份 x 之间的回归直线方
程 ˆˆ ˆy bx a ；
（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路
口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断 6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？
（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距
罚单日天数记为 X ，若 X 服从正态分布 ~ 8,9X N ，求该月没能在14 天内缴纳人数．
参考公式：
1 1
22
1 1
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
， ˆˆa y bx ．
0.6826P Z ， 2 2 0.9544P Z ，
3 3 0.9974P Z ．
21．（12 分）已知函数 3 22 3 1f x ax ax ， 3 04 2
ag x x a ．
（1）若对任意给定的 0
51, 4x
，总存在唯一一个 1
51, 4x
，使得 1 0f x g x 成立，
求实数 a 的取值范围；
（2）若对任意给定的 0
51, 4x
，在区间 51, 4
上总存在两个不同的 ( 1,2)ix i ，使得
1 2 0f x f x g x 成立，求实数 a 的取值范围．
22．（12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右顶点分别为 A ， B ，上顶点为 D ，过右
焦点 (1,0)F 的直线交椭圆 C 于 P ， Q 两点，点 P 在 x 轴上方，当 PQ x 轴时， //OP AD （O 为
坐标原点）．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线 AP 交直线 BQ 于点 M ，直线 BP 交直线 AQ 于点 N ，则 MFN 是否为定值？若是，
求出该定值；若不是，请说明理由．
数 学答 案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】用图示法表示题意，如下图，
故 M N NR ð ，故选 C．
2．【答案】C
【解析】因为 1 3 i 12 2
，所以 2i 1z ，所以 1 1 i2i 2z ，故选 C．
3．【答案】C
【解析】若 π
3A ，则 1cos 2A 成立，所以“ π
3A ”是“ 1cos 2A ”的充分条件；
若 1cos 2A ，因为 (0,π)A ，所以 π
3A ，
所以“ π
3A ”是“ 1cos 2A ”的必要条件，
所以“ π
3A ”是“ 1cos 2A ”的充分必要条件，故选 C．
4．【答案】B
【解析】由题意得 2 233 02y x x ， 0 2x ，
因此 22 2 21 1 93 32 2 2x y x x x ，
令 21 932 2xf x ， f x 的对称轴为 3x ，开口向下，
则 f x 在区间 0,2 单调递增，
所以当 2x 时， 2 2x y 取得最大值 4，
故 2 2x y 的最大值为 4 ，故选 B．
5．【答案】C
【解析】由题意，易知，直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为 3 4y k x ，即 3 4 0kx y k ，
曲线( ) ( )2 22 3 1x y- + - = 表示圆心 2,3 ，半径为 1 的圆，
圆心 2,3 到直线 3 4 0kx y k 的距离应小于等于半径1，
2
2 3 3 4 1
1
k k
k
，即 22 1k k ，解得 3 3
3 3k ，故选 C．
6．【答案】A
【解析】因为 2CD DB ，
所以 1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ，
设 AB x ，则
2
2 2 1
3 3AD AB AC
，得 2 24 4 137 9cos60 99 9 9x x ，
即 22 9 126 0x x ，
因为 0x ，故解得 6x ，即 6AB ，
所以 2 2 2 2 12 cos60 6 9 2 6 9 3 72BC AB AC AB AC ，故选 A．
7．【答案】A
【解析】令 3( ) 2019f x x x ，知 ( )f x 在定义域内为递增函数，
∴由题意知 6 20151 1a a ，即 2015 6a a ，
又 ( ) ( ) 0f x f x- + = ，知 6 1a ， 2015 1a 关于原点对称，
∴ 6 2015 2a a ，
而 2020 1 2020 1 2020 6 20151010( ) 1010( ) 2020S a a a a a a ，故选 A．
8．【答案】B
【解析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变
换共四步，
因为左右平移变换是向右平移 π
3
个单位，
所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有
4
4
2
2
A 12A
种，故选 B．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．【答案】ABD
【解析】如图所示：
A 选项：取 BE 中点 H 连接 ,AH SH ，
正三棱锥 A SBE 中， AH BE ， SH BE ，
又 AH SH H ，所以 BE 平面 SAH ，则 BE AS ，
又 //BE CD ，所以 AS CD ，故 A 正确；
B 选项：设底面中心为 1O ，球心为O 半径为 R ，
因为正四棱锥 S－BCDE 外接球球心在 1O S 上，所以OS OB R ，
因为，正四棱锥 S－BCDE 底面边长与侧棱长均为 a，所以 1 1
2
2O B O S a ，
由 22 2
1 1OB O B O S OS ，得
2 2
2 2 2
2 2R a a R
，解得 2
2R a ，
故 B 正确；
C 选项：设内切球半径为 r ，易求得侧面面积为 2 21 π 3sin2 3 4S a a ，
由等体积法得 2 2 21 2 1 1 343 2 3 3 4a a a r a r ，解得 6 2
4
a
r
，故 C 错；
D 选项：取 SE 中点 F ，连接 AF ， DF ， BF ，
则 BFD 和 BFA 分别是 D SE B 和 A SE B 的二面角的平面角，
由
2 2
2
2 2 2
2
3 3 22 2 1cos 2 332 2
a a a
BF DF BDBFD BF DF
a
，
2 2
2
2 2 2
2
3 3
2 2 1cos 2 332 2
a a a
AF BF BAAFD AF BF
a
，
故 BFD 与 BFA 互补，所以 ASDE 共面，
又因为 AS AE ED SD ，则 ASDE 为平行四边形，故 // //AS ED BC ，
故正四棱锥 S BCDE 与正三棱锥 A SBE 拼成的多面体是一个三棱柱，所以 D 正确，
故选 ABD．
10．【答案】AB
【解析】如图，有两种方式：
（1）左图中 R 为 AB 中点，设 ABC△ 的直角边长 a ，为 PQR△ 的直角边长为 x ，
PQC ，
在 QBR△ 中，由正弦定理得
π sinsin 4
QR QB
，所以 sin
πsin 4
xQB ，
所以 sin2 cos 2 cos sinπsin 4
xa CQ QB x x ，
所以
1 1
π2 cos sin 2sin 4
x
a
，
所以
2 1
4
PRQ
ABC
S x
S a
△
△
．
（2）右图中，在 QBR△ 中，由正弦定理得
π πsin sin4 4
QR QB
，
所以
πsin 4
πsin 4
x
QB
，
πsin 4cos 2cos sinπsin 4
x
a CQ QB x x
，
所以 1 1 , tan 22cos sin 5 sin
x
a
，
所以
2 1
5
PRQ
ABC
S x
S a
△
△
，
综上：最小值为 1
5
，最大值显然为 1，故选 AB．
11．【答案】BCD
【解析】∵a，b，c 成等比数列，∴ 2b ac ，
如图，
对于 A，当 2PF x 轴时，点 P 为
2
, bc a
，
2
2
1 2
1 2
| | 1tan | | 2 2 2
b
PF acaPF F F F c ac
，显然 1 2 30PF F ，即选项 A 错误；
对于 B， 2 2 2ac ab c ， 1ce a
，
∴ 2 1 0e e ，解得 1 5
2e （负值舍去），即选项 B 正确；
对于 C，设 ( , )P x y ，则 1
yk x a
， 2
yk x a
，所以
2
1 2 2 2+
y y yk k x a x a x a
，
由点 ( , )P x y 在双曲线上可得
2 2 2
2 2
x a y
a b
，
代入
22 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2
1 51 1 2
1 5
2
y b y b ck k x a a y a a
，故 C 正确；
对于 D，设圆 I 的半径为 r，
1 2 1 2IPF IPF IF FS xSS △ △ △ ， 2 1 2
1 1 1| | | | | |2 2 2r PF r PF x r F F ，
即 1 2 1 2| | | | | |PF PF x F F ，
由双曲线的定义知 1 2| | | | 2PF PF a ， 2 2a x c ，即 1 5 1
2
ax c e
，
故选项 D 正确，
故选 BCD．
12．【答案】ABD
【解析】对于 A， 2 1m x f x g x x x
，
2
12m x x x
， 3 3
2 12 2 1m x x x
，
当 3
1 ,0
2
x
时， 0m x ， m x 单调递增，
2 2
3 3 3
3 3
1 2 4 2 2 0
2 2
m x m
， m x 在 3
1 ,0
2
x
内单调递增，
A 正确；
对于 B、C，设 f x ， g x 的隔离直线为 y kx b ，
则
2
1
x kx b
kx bx
对任意 ,0x 恒成立，即
2
2
0
1 0
x kx b
kx bx
对任意 ,0x 恒成立．
由 2 1 0kx bx 对任意 ,0x 恒成立，得 0k ．
①若 0k ，则有 0b 符合题意；
②若 0k ，则有 2 0x kx b 对任意 ,0x 恒成立，
2y x kx b 的对称轴为 02
kx ， 2
1 4 0kΔ b ， 0b ；
又 2 1y kx bx 的对称轴为 02
bx k
， 2
2 4 0Δ b k ，
即
2
2
4
4
k b
b k
， 4 216 64k b k ， 4 0k ，
同理可得 4 216 64b k b ， 4 0b ，
综上所述： 4 0k ， 4 0b ，B 正确，C 错误；
对于 D， 函数 f x 和 h x 的图象在 x e 处有公共点，
若存在 f x 和 h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为 k ，则隔离直线方程为 y e k x e ，
即 y kx k e e ，
则 0f x kx k e e x 恒成立，
若 0k ，则 2 0 0x e x 不恒成立；
若 0k ，令 2 0u x x kx k e e x ，对称轴为 02
kx ，
2u x x kx k e e 在 0, e 上单调递增，
又 0u e e k e k e e ，故 0k 时， 0f x kx k e e x 不恒成立；
若 0k ， u x 对称轴为 02
kx ，
若 0u x 恒成立，则 22
3 4 2 0Δ k k e e k e ，解得 2k e ，
此时直线方程为 2y ex e ，
下面证明 2h x ex e ，
令 2 2 2 lnG x ex e h x ex e e x ，则 2 e x e
G x x
，
当 x e 时， 0G x ；当 0 x e 时， 0G x ；当 x e 时， 0G x ，
当 x e 时， G x 取到极小值，也是最小值，即 min 0G x G e ，
2 0G x ex e h x ，即 2h x ex e ，
函数 f x 和 h x 存在唯一的隔离直线 2y ex e ，D 正确，
故选 ABD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】3
【解析】
5 5 5
2 2
2 2 2
1 1 12 1 1 2 1x xx x x
，
5
2
1 1x
的展开式通项为
5
2 10
1 5 52
1C 1 C 1
r
r rr r r
rR xx
，
所以，
5
2
2
12 1x x
的展开式通项为 2 2 10 2 10
1, 1 5 5C 1 2C 1k rk k r r
k rT x x x
2 8 2 10
5 5C 1 2C 1k rk k r rx x ，
由 2 8 0
2 10 0
k
r
，可得 4
5
k
r
，
因此，
5
2
2
12 1x x
的展开式的常数项为 4 54 5
5 5C 1 2C 1 3 ，
故答案为 3．
14．【答案】 4
9
【解析】将三药分别记为 A ， B ，C ，三方分别记为 a ，b ， c ，选择一药一方的基本事件
如表所示，共有 9 个组合，
A B C
a ,A a ,B a ,C a
b ,A b ,B b ,C b
c ,A c ,B c ,C c
则两名患者选择药方完全不同的情况有 1 1
6 4C C 24 (种)，
两名患者可选择的药方共有 1 1
9 6C C 54 (种)，
所以 24 4
54 9P ，故答案为 4
9
．
15．【答案】 5π
【解析】作 BD 的中点 E ，连接 AE ，CE ，作 AE 的中点 F ，连接 CF ，
因为 AB AD BC CD ，
所以 AE BD ，CE BD ，所以 2 2 3CE AE BC BE AC ，
又 AF EF ，则 3 3 3cos30 3 2 22 2CF CE ，
设C 到 AB 边的距离为 h ，
则
2
21 1
2 2 2ABC
ACS AB h AC AB △ ，解得 3 91 2 210h ，
所以以点 C 为球心， 2 2 为半径作球与面 ABD 相交构成一个圆，圆心为 F ，
设半径为 r ，
设球的半径为 2 2R ，所以
2
22 2 3 3 52 2 2 2r R CF
，
所以圆的周长为 2π 5πr ，
故答案为 5π ．
16．【答案】5，41
【解析】（1）当 5m 时， 1 5a ， 2 5 3 1 16a ， 3 8a ， 4 4a ， 5 2a ， 6 1a ，
所以需 5 次步骤后变成 1；
（2）若第 5 次步骤后变成 1，则 6 1a ， 5 2a ， 4 4a ， 3 8a 或1，
当 3 8a ， 2 16a ， 1 32a 或 1 5a ；
当 3 1a 时， 2 2a ， 1 4a ，
所以 m 的可能值是 4,5,32 ， m 的可能值的和是 4 5 32 41 ，
故答案为 5，41．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．【答案】选择见解析， π
3A ， 5π
12C ．
【解析】（1）选择条件①，由 2 2sin sin sin sin sinB C A B C 及正弦定理知，
2 2b c a bc ，整理得 2 2 2b c a bc ，
由余弦定理可得
2 2 2 1cos 2 2 2
b c a bcA bc bc
，
又因为 0,πA ，所以 π
3A ．
又由 2 2a b c ，得 2 sin sin 2sinA B C ，
由 2
3
πB C ，得 2π2 sin sin 2sin3 3
π C C
，整理得 2sin 2
π
6C
，
因为 2π0, 3C
，所以 π π π,6 6 2C
，
从而
4
π π
6C ，解得 5π
12C ．
（2）选择条件②，因为 πA B C ，所以 π
2 2 2
B C A ，
由 sin sin2
B Cb a B ，得 cos sin2
Ab a B ，
由正弦定理知 sin cos sin sin 2sin cos sin2 2 2
A A AB A B B ．
又sin 0B ，sin 02
A ，可得 1sin 2 2
A ，
又因为 0,πA ，所以， π
2 6
A ，故 π
3A ．
又由 2 2a b c ，得 2 sin sin 2sinA B C ，
由 2
3
πB C ，得 2π2 sin sin 2sin3 3
π C C
，整理得 2sin 2
π
6C
，
因为 2π0, 3C
，所以 π π π,6 6 2C
，
从而
4
π π
6C ，解得 5π
12C ．
（3）选择条件③，由 sin cos 6
πa B b A
及正弦定理知，
sin sin sin c πos 6A B B A
，
又sin 0B ，从而 3 1sin cos cos sin6
π
2 2A A A A
，解得 tan 3A ．
又因为 0,πA ，所以 π
3A ．
又由 2 2a b c ，得 2 sin sin 2sinA B C ，
由 2
3
πB C ，得 2π2 sin sin 2sin3 3
π C C
，整理得 2sin 2
π
6C
，
因为 2π0, 3C
，所以 π π π,6 6 2C
，
从而
4
π π
6C ，解得 5π
12C ．
18．【答案】（1） 1
3
2
ba ， 2
7
4
ba ；（2） 1(2 )2n na b ；（3）厂家应生产 7875 件产品，
做 5 千元的广告，能使获利最大．
【解析】（1）设 0a 表示广告费为 0 千元时的销售量，则 0a b ，
1 0 2
ba a ，所以 1
3
2a b ；
2 1 22
ba a ，所以 2
7
4a b ．
（2）设 0a 表示广告费为 0 千元时的销售量，则 0a b ，
由题：
1 0
2 1 2
1
2
2
2n n n
ba a
ba a
ba a
，相加得 0 2 32 2 2 2n n
b b b ba a ，
即 2 3
1(2 )2 2 2 2 2n n n
b b b ba b b ．
（3） 4000b 时， 14000(2 )2n na ，
设获利为 nT ，则有 110 1000 40000(2 ) 10002n n nT a n n ，
欲使 nT 最大，则 1
1
n n
n n
T T
T T
，
1
1
1 14000(2 ) 1000 4000(2 ) 1000( 1)2 2
1 14000(2 ) 1000 4000(2 ) 1000( 1)2 2
n n
n n
n n
n n
，解得 5
5
n
n
，
故 5n ，此时 7875na ，
即该厂家应生产 7875 件产品，做 5 千元的广告，能使获利最大．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） 2 57
19
．
【解析】（1）取 BC 的中点 Q，连接 NQ ， FQ ，
则 1
2NQ AC∥ ，且 1
2NQ AC ，
又 1
2MF AC∥ ，且 1
2MF AC ，所以 MF NQ∥ 且 MF NQ ，
所以四边形 MNQF 为平行四边形，所以 MN FQ∥ ，
因为 FQ 平面 FCB ， MN 平面 FCB ，所以 MN∥平面 FCB ．
（2）由四边形 ABCD 为等腰梯形，且 2 2AB CD ， 60ABC ，
可得 1BC ， 3AC ，所以 90ACB ，所以 AC BC ．
因为四边形 ACFE 为矩形，所以 AC CF ，所以 AC 平面 FCB ，
所以 AFC 为直线 AF 与平面 FCB 所成的角，
即 60AFC ，所以 1FC ．
因为 2FB ，所以 2 2 2FB FC CB ，所以 FC BC ．
则可建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz ，
∵ ( 3,0,0)A ， (0,1,0)B ， 3( ,0,1)2M ，∴ 3( ,0, 1)2MA ， ( 3,1,0)AB ，
设 ( , , )x y zm 为平面 MAB 的法向量，则 0
0
MA
AB
m
m
，即
3 02
3 0
x z
x y
，
取 2 3x ，则 (2 3,6,3)m 为平面 MAB 的一个法向量；
又 (0,1,0)n 为平面 MAC 的一个法向量，
所以 6 6 57 2 57cos , | || | 57 1957 1
m nm n m n
，
故平面 MAB 与平面 MAC 所成锐二面角的余弦值为 2 57
19
．
20．【答案】（1） ˆ 8 124y x ；（2）达到“理想状态”；（3）2 人．
【解析】（1）请根据表中所给前 5 个月的数据，计算 1 (1 2 3 4 5) 35x ，
1 (120 105 100 85 90) 1005y ，
1
2 2 2 2 2
2
1
( )( ) ( 2) 20 ( 1) 5 0 0 1 ( 15) 2 ( 10)ˆ 8( 2) ( 1) 0 1 2( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
，
ˆˆ 100 ( 8) 3 124a y bx ，
y 与 x 之间的回归直线方程 ˆ 8 124y x ．
（2）由（1）知 ˆ 8 124y x ，当 6x 时， ˆ 8 6 124 76y ，
且80 76 4 5 ，
6 月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．
（3）因为 X 服从正态分布 ~ 8,9X N ，所以 2 14 0.9544P X ，
该月没能在14 天内缴纳人数为 1 0.954490 22
人．
21．【答案】（1） 2 8,5 75
；（2） 162, 15
．
【解析】（1）由题意知， ( )6 1f x ax x ，
因为 51 4x ，所以由 0f x ，解得 1 0x 或 51 4x ；
由 0f x ，解得 0 1x ，
故 f x 的单调递增区间为( )0,1 ，单调递减区间为 1,0 和 51, 4
，
5( 1 1)f a ， 0 1f ， 1 1f a ， 5 2514 32
af
，
所以 f x 的值域为 1,1 5a ．
又因为 g x 在 51, 4
上单调递增，所以 g x 的值域为 3 3 5,2 4 2 16
a a
．
问题转化为直线 3 3 5, ,2 4 2 16
a ay t t
和曲线 51, 4y f x x
的图象只有一个
交点，
结合图象，有
31 2 4
3 51 5 2 16
aa
aa
，解得 a 的取值范围是 2 8,5 75
．
（2）由（1）可知，问题转化为 3 3 5, ,2 4 2 16
a ay t t
与曲线 y f x ， 51, 4x
二者的图象有两个不同的交点，
结合图象，有
31 2 4
25 3 51 32 2 16
a
a a
，解得 a 的取值范围是 162, 15
．
22．【答案】（1）
2
2 12
x y ；（2）是，定值为 π
2
．
【解析】（1）当 PQ x 轴时，点 P 的横坐标 Px c 代入椭圆 C 的方程，
可得点 P 的纵坐标
2
P
by a
，
由题意知 1c ， ( ,0)A a ， (0, )D b ，
又当OP x 轴时， //OP AD ，
2b b
a a
，得 1b ，
且 2 22a cb ， 2a ，
∴椭圆C 的标准方程为
2
2 12
x y ．
（2） MFN 为定值，且定值为 π
2
，理由如下：
由（1）得 2,0A ， (0,1)D ， 2,0B ，
设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ， 3,M t y ，
直线 PQ 的方程为 1x my ，
联立方程可得 2 2
1
2 2 0
x my
x y
，整理得 2 22 2 1 0m y my ，
则 1 2 2
2
2
my y m
， 1 2 2
1
2y y m
，
由 A ， P ， M 三点共线可得 3 1
12 2
y y
t x
，①
2
21
1 12
x y ， 2 2
1 1 1 12 2 2 2y x x x ， 1 1
11
2
22
y x
yx
，②
由①②得 3 1
1
2
22
y x
yt
③
由 B ，Q ， M 三点共线可得 3 2
22 2
y y
t x
④
由③④可得 1 2
1 2
2 22
22
x xt
y yt
，
分别将 1 1 1x my ， 2 2 1x my 代入，
得 2
1 2 1 2
1 2
2 1 3 2 22
22
m y y m y yt
y yt
，
将 1 2 2
2
2
my y m
， 1 2 2
1
2y y m
代入并整理，
可得 2 3 2 2
2
t
t
， 2t ，
设 4,N t y ，同理可得 2t ，
由 B ， P ， N 三点共线可得 4 1
12 2
y y
t x
，⑤
由③⑤得 3 4 1y y ，
3 4 3 42 1, 2 1, 1 0FM FN y y y y ，
2
πMFN 为定值．
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