吉林省吉林市2021届高三下学期第三次调研测试（3月）数学（理）（Word版附答案）

吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第三次调研测试 理科数学 本试卷共 23 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效. 4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀. 第 I 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求. 1. 已知集合  1 xNxA ，  2,1,0,1B ，则 BA 的子集的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且 )()2( xfxf  ，则  8f 的值为 A. 1 B. 2 C. 0 D. 1 3. 已知直线 l 经过点 )1,1(  ，且与直线 052  yx 垂直，则直线 l 的方程为 A. 012  yx B. 032  yx C. 012  yx D. 032  yx 4. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、 谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三 ★ 启封前保密 ★ 个节 气日影长之和为 5.28 尺，最后三个节气日影长之和为 5.1 尺，今年 3 月 20 日 17 时 37 分 为春分时节，其日影长为 A. 5.4 尺 B. 5.3 尺 C. 5.2 尺 D. 5.1 尺 5. 若圆C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 034  yx 和 x 轴都相切，则该圆的标 准方程是 A.     113 22  yx B.     132 22  yx C.     112 22  yx D.     123 22  yx 6. 6)1)(11( xx  的展开式中 x 的系数为 A. 6 B. 5 C. 9 D. 15 7. 已知圆锥 SO 的底面半径为 r ，当圆锥的体积为 3 6 2 r 时，该圆锥的母线与底面所成角 的正弦值为 A. 3 3 B. 3 2 C. 2 3 D. 2 2 8. 已知函数  0sin  abaxy 的图象如图所示，则函数  bxy a  log 的图象可能是 9. 已知 m 是1 和 9 的等比中项，则圆锥曲线 1 2 2  m yx 的离心率为 A. 3 6 B. 3 6 或 2 C. 3 32 D. 3 6 或 3 32 10. 如图， ABCΔ 和 DEFΔ 是同一圆 O 的两个内接正三角形，且 EFBC // . 一个质点 P 在 该圆内运动，用 M 表示事件“质点 P 落在扇形 OEF (阴影区域） 内”， N 表示事件“质 点P 落在 DEFΔ 内”，则  MNP A. 4 33 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2 11. 已知 A 、 B 为平面上的两个定点，且  2  AB ，该平面上的动线段 PQ 的端点 P 和Q ， 满足  5  AP ， 6 ABAP ， PAAQ 2 ，则动线段 PQ 所形成图形的面积为 A. 36 B. 60 C. 72 D. 108 12. 对于 0x ， 0lnln  axae x 恒成立，则 a 的取值范围为 A. ),2 1[  e B. 2[ , )2e  C. 3[ , )2e  D. ),1[  e 第 II 卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 其中第 16 题的第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分. 13. 己知 i 是虚数单位，复数 || 1 i iz  ，则 z 的虚部为____________. 14. 设 5.1ea  ， eb 3log ， ,5log 3 1c 则 a ，b ，c 按从小到大的顺序为______________. 15. 辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进 人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇，“时代楷模”毛相林、张连刚、林占 禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的 代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有 种. 16. 已知圆 C ： 16)1( 22  yx ， P 是圆 C 上任意点，若 )0,1(A ，线段 AP 的垂直平分 线与直线 CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是 ；若 A 是圆C 所在平面 内的一定点，线段 AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹是：①一个 点 ②圆 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线，其中可能的结果有 . 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 已知 ABCΔ 的内角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，若向量 )2,1( am  ， )cos,( Ban  ,且 nm  . （Ⅰ）求角 B ； （Ⅱ）若 22b , 32a ，求角 A ． 18.（本小题满分 12 分） 2020 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾 害的考验，党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实 干，取得了积极成效. 某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地， 已知土地的使用面积 x 与相应的管理时间 y 的关系如下表所示： 土地使用面积 x （单位：亩 ） 1 2 3 4 5 管理时间 y（单位：月 ） 8 11 14 24 23 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 140 60 女性村民 40 （Ⅰ）做出散点图，判断土地使用面积 x 与管理时间 y 是否线性相关；并根据相关系数 r 说明相关关系的强弱.（若 75.0r ，认为两个变量有很强的线性相关性，r 值精确到 0.001）. （Ⅱ）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，且每位村民参 与管理的意愿互不影响，则从该贫困县村民中任取 3 人，记取到不愿意参与管理的女 性村民的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望． 参考公式： 2 1 2 1 1 )()( ))((        n i i n i i i n i i yyxx yyxx r 参考数据： 16y ， 206)( 2 5 1   yy i i ， 7.22515  19.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 CBAABC  中，侧棱 1AA  底面 111 CBA ,  90BAC , ,4AB 2AC , M 是 AB 中点，N 是 11BA 中点，P 是 1BC 与 CB1 的交点，点Q 在线段 NC1 上. （Ⅰ）求证： //PQ 平面 CMA1 ； （Ⅱ）若二面角 ACMA 1 的余弦值是 3 3 ， 求点 B 到平面 CMA1 的距离. 20.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 )0(2: 2  ppyxC 上的点 )1,( 0x 到其焦点 F 的距离为 2 3 ，过点 F 的直线 l 与抛物线C 相交于 BA, 两点，过原点O 垂直于 l 的直线与抛物线C 的准线相交于Q 点. (Ⅰ)求抛物线C 的方程及 F 的坐标； (Ⅱ)设 OABΔ , QABΔ 的面积分别为 1S , 2S ，求 21 11 SS  的最大值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 xxexf x sin2)(  ， )cossin()( axxexg x  . （Ⅰ）求函数 )(xf 的单调区间； （Ⅱ） ]2,0[, 21  xx ，使得不等式 )()( 21 xfxg  成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）不等式 xx mxf ln)(  在 ),1(  上恒成立，求整数 m 的最大值. （二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 并用 2B 铅笔将所选题 号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为         ty tx 2 21 2 2 （ t 为参数），以坐标原点为 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为  sin4 ． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点 P 的直角坐标为 )1,0( ， l 与曲线C 交于 A ， B 两点，求 |||| PBPA  . 23. [选修 4—5：不等式选讲] 已知函数 |1||4|)( xxxf  ， Rx . (Ⅰ)解不等式： 5)( xf ； (Ⅱ)记 )(xf 的最小值为 M ，若正实数 a ， b 满足 Mba  ，试求： 1 1 2 1  ba 的 最小值. 吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第三次调研测试 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分，共 20 分. 其中第 16 题的第一个空填对得 2 分， 第二个空填对得 3 分. 13. 1 14. , ,c b a 15. 38 16. 2 2 14 3 x y  (2 分)， ①②③④ （3 分） 17．【解析】 （1） nm   0cos2  Baanm  .  0a .........................................3 分 2 2cos  B  ,0B 4 B ....................................................... 6 分 （2）由正弦定理得 B b A a sinsin  2 2 22 sin 32  A 2 3sin  A .......................................... 9 分  ,0A 3  A 或 3 2 ......................................... 12 分 [注：①只写出一种情形且算对，扣 2 分；②未说明角范围各扣 1 分.] 18.【解析】 （Ⅰ）散点图如右图....................1 分 由散点图可知，管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关............................ 2 分 依题意: 35 54321 x ，又 16y 437281)2(0)5()1()8()2())(( 5 1   yyxx i i i .......... 3 分 10210)1()2()( 222222 5 1   xx i i ， 206)( 2 5 1   yy i i .................4 分 则 947.04.45 43 5152 43 20610 43 )()( ))(( 2 1 2 1 1           n i i n i i i n i i yyxx yyxx r ................ 5 分 由于 75.0947.0  ，故管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关性较强..................... 6 分 （Ⅱ）由题知调查的 300 名村名中不愿意参与管理的女性村民人数为 60)6040140(300  该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性村民的概率 5 1 300 60 p ............. 7 分 则 X 可取 3,2,1,0 ............................................................. 8 分 125 64)5 4()0( 30 3  CXP 125 48)5 4(5 1)1( 21 3  CXP 125 12 5 4)5 1()2( 22 3  CXP 125 1)5 1()3( 33 3  CXP ............... 10 分 也可以写如下形式： )5 1,3(~ BX 3,2,1,0,)5 4()5 1()( 3 3   kCkXP kkk X 的分布列为 .............. 11 分 5 3 125 13125 122125 481125 640)( XE .............................. 12 分 (或 5 3 5 13)(  nPXE ) 19.【解析】 （１）证明：连 .BN 连 ,11 HCAAC  连 MH MHBCMBAMHCAH //, 11  又 MH 面 CMA1 ， 1BC 面 CMA1 //1BC 面 CMA1 ................. 2 分 四边形 NBMA1 是平行四边形， MABN 1// BN 面 CMA1 ， MA1 面 CMA1 //BN 面 CMA1 ..........................................................4 分  BNBCBBNBC ,, 11 面 NBC1  面 //1CMA 面 NBC1 .......................................................5 分 【注：也可以利用 CAPNCMNC 11 //,// 证明】 PQ 面 NBC1  //PQ 面 CMA1 ..........................................6 分 （２）以 A 为原点， 1,, AAABAC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系..........................................7 分 设 ),0,0(1 hA )0( h )0,4,0(),0,0,2(),0,2,0( BCM 所以 ),2,0(1 hMA  ， ),0,2(1 hCA  设平面 CMA1 的法向量  zyxn ,, 则      02 02 1 1 hzxCAn hzyMAn 即       2z hy hx )2,,( hhn  平面 ACM 的法向量 )1,0,0(0 n ............................................... 9 分 由二面角 ACMA 1 的余弦值是 3 3 则 3 3 142 2| |||| )1,0,0()2,,(|| |||| ||,cos| 2 00 0 0    hnn hh nn nnnn 又 0h ， 解得 2h )2,2,2(n ..............................................................1 1 分 又  0,2,0MB ，     3 32 32 2,2,20,2,0    n nMB d 即点 B 到平面 CMA1 的距离为 3 32 ............................................. 12 分 [方法二: 利用传统方法求出 .............................................9 分 再利用等积法求出点 B 到平面 CMA1 的距离为 3 32 ............................ 12 分] [方法三: 利用传统方法求出 ......................................... 9 分 再利用点 B 到平面 CMA1 的距离即为点 A 到平面 CMA1 的距离.由直接法求出距离为 3 32 ................................ 12 分] 20.【解析】 解：(Ⅰ)由抛物线的定义知， 2 3 21  p ，解得 1p ，..........................2 分 所以抛物线C 的方程为 yx 22  ..............................................3 分 焦点 )2 1,0(F ..............................................................4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点 )2 1,0(F ,设 ),(),,( 2211 yxByxA 易知直线 l 存在斜率，设为 k ，直线 l 方程为 2 1 kxy ， 联立      yx kxy 2 2 1 2 ，消去 x 得： 04 1)12( 22  yky 044 24  kkΔ 恒成立，则 12 2 21  kyy ..............................5 分 22|| 2 21  kpyyAB ...............................................6 分 设原点O 到直线 l 的距离为 1d ， 12 1 21   k d 所以 12 1 12 1)1(22 1||2 1 2 2 2 11    k k kdABS .....................7 分 1S 解法二 联立      yx kxy 2 2 1 2 ，消去 y 得： 0122  kxx ， 044 2  kΔ 恒成立， 则 kxx 221  ， 121 xx )1(24414)(1|| 222 21 2 21 2  kkkxxAB 设原点O 到直线 l 的距离为 1d ， 12 1 21   k d 所以 12 1 12 1)1(22 1||2 1 2 2 2 11    k k kdABS 1S 解法三 12 1442 1 2 1 4)(||2 1||||2 1 22 21 2 21211   kk xxxxOFxxOFS 易知 )2 1,2 1( kQ 设Q 到直线 l 的距离为 2d ， 12 2 2 2 2   k kd 所 以 1)2(2 1 12 2)1(22 1||2 1 22 2 2 2 22    kk k kkdABS .....................8 分 故 2 11 1 SS  = 2 12 1)2( )1(2 1)2( 2 1 2 2 2 22 2 222        k k kk k kkk .............. 9 分 设 112  km ， 1 12 2 1 2 1 211 2 21      mmmmm m SS ....................10 分 当 且 仅 当 mm 1 ，即 1m 时，取等号 ...........................................11 分 所以 2 11 1 SS  的最大值为 1 .......................................................12 分 21. 【解析】 （Ⅰ） xxexf x sin2)(  ， xexf x cos2)(  ，且 0)0( f ...................1 分 ① 当 0x 时， 1xe ， 1cos x 02cos  xe x 即 0)(  xf 解 集 为 )0,( )(xf 在 )0,( 上 是 减 函 数...........................2 分 ②当 0x 时，设 xexh x cos2)(  则 xexh x sin)(  而 1xe ， 1sin x ，所以 0)(  xh 因此 )(xh 在 ),0(  上为增函数，且 0)0( h 所 以 0)( xh 在 ),0(  上 恒 成 立 )(xf 在 ),0(  上 是 增 函 数.......................3 分 综上： )(xf 的减区间为 )0,( ，增区间为 ),0(  .....................................4 分 （2）由（1）知，函数 min( ) (0) 1f x f  ]2,0[, 21  xx ，使得不等式 )()( 21 xfxg  成立 等价于不等式 ( sin cos ) 1xe x x a    在 [0, ]2x  时有解 即不等式 sin cos xa x x e   在 [0, ]2x  时有 解................................5 分 设 ( ) sin cos xF x x x e    ， ( ) sin cos xF x x x e     [0, ]2x  时，(sin cos ) [1, 2]x x  ，而 1xe  所以 ( ) 0F x  恒成立.............6 分 即 ( )F x 在 [0, ]2  上 是 增 函 数 ， 则 min( ) (0) 0F x F  ...............................7 分 因此 a 的取值范围是 [0, ) .....................................................8 分 （3） (1, )x   . xx mxe x lncos2  恒成立 等价于  minlncos2 xxxem x  ...........................................9 分 令    1lncos2H  xxxxex x   1lnsinxH  xxe x   xxex x 1cosH   1x  ee x  1cos  x 11  x    02  exH   xH 在  ，1 递增      01111sin1H  eeHx ....................................10 分   xH 在  ，1 上递增      1cos21  eHxH  1cos2  em ...........................................................11 分   2,11cos2 e 且 zm 因此整数 m的最大值为1 ......................................................12 分 22. 【解析】 （ 1 ）  sin4  sin42  .........................................2 分 0422  yyx 即   42 22  yx .......................................4 分 （2）将直线 l 参数方程         ty tx 2 21 2 2 （ t 为参数）代入曲线 C   42 22  yx 中 得： 0322  tt ..................................................... 5 分 设 方 程 的 两 根 为 21,tt 则      3 2 21 21 tt tt .......................................7 分 021 tt 1t 与 2t 异 号 ....................................................8 分 141222121  ttttPBPA .............................. 10 分 [方法二: 也可用 14 ] 23. 【解析】 （ Ⅰ ）          4,52 41,3 1,25 xx x xx xf ...........................................1 分  5)( xf      1 525 x x 或      41 53 x 或      4 552 x x .....................3 分 50  x  不 等 式 解 集 为  50  xx ................................4 分 （注：结果不表示成集合或区间扣 1 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，  xf 在  1, 上单调递减，  ,4 上单调递增，   3min  xf 3M ..............................................5 分 解法 1: 3 ba     612  ba 1 1 2 1  ba     121 1 2 1 6 1       baba   3 2226 1 1 2 2 126 1         b a a b ................................. 8 分 解法 2：由柯西不等式得： 1 1 2 1  ba     121 1 2 1 6 1       baba 3 2 6 4 1 1 12 2 1 6 1 2            b b a a ...................... 8 分 当且仅当      3 12 ba ba 时，即 2,1  ba 时 ............................ 9 分 1 1 2 1  ba 的最小值为 3 2 ...........................................10 分