山东省（新高考）2021 届高三第二次模拟考试卷
数 学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， 2 2 0B x x x Z ，若 0,1A B ，则 B A ð （ ）
A． 1,1 B． 1,2 C． 1,1,2 D． 1,2
2．已知复数 ( 3i)(3 2i)( )z a a R 的实部与虚部的和为 7，则 a 的值为（ ）
A．1 B． 0 C． 2 D． 2
3．某自来水厂一蓄水池可以用甲､乙两个水泵注水，单开甲泵需 15 小时注满，单开乙泵需 18 小时
注满，若要求 10 小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放
的时间最少需（ ）
A．4 小时 B．7 小时 C．6 小时 D．14 小时
4． 3
3
x
y
是 6
9
x y
x y
成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数 2 23 4xf x x x ，且 2log 3f a f ，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． ,2 8, B． 0,2
C． 0,2 8, D． 8,
6．已知数列 na 中， 1 1a ， 1
1
1n n
n n
a a
a na
N ，若 1
10ma ，则 m （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．已知函数 π8sin 03f x x
的最小正周期为 π ，若 f x 在 ,24 3
π m
上单调递增，
在 2π
2 3
m
上单调递减，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 3π, π2
B． 5 5π, π6 4
C． π ,3
π
2
D． 4, π8
π
3
8．若 , ,a b c 均为单位向量，且 0 a b ， 0 a c b c ，则 a b c 的最大值为（ ）
A． 2 1 B．1 C． 2 D．2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知正方体 1 1 1 1ABC A B C D 的棱长为 4， M 为 1DD 的中点， N 为 ABCD 所在平面上一动点，
则下列命题正确的是（ ）
A．若 MN 与平面 ABCD 所成的角为 π
4
，则点 N 的轨迹为圆
B．若 4MN ，则 MN 的中点 P 的轨迹所围成图形的面积为 2π
C．若点 N 到直线 1BB 与直线 DC 的距离相等，则点 N 的轨迹为抛物线
D．若 1D N 与 AB 所成的角为 π
3
，则点 N 的轨迹为双曲线
10．将 4 男、 4 女共8 位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是（ ）
A． 4 位女同学分到同一组的概率为 1
35
B．男生甲和女生乙分到甲组的概率为 3
14
C．有且只有3位女同学分到同一组的概率为 32
35
D． 4 位男同学不同时分到甲组的概率为 34
35
此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
11．意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑
色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力
的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的
函数解析式： ( ) cosh xf x a a
，其中 a 为悬链线系数，coshx 称为双曲余弦函数，其函数表达式为
cosh 2
x xex e ，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh 2
x xex e ．若直线 x＝m 与双曲余弦函
数 C1 与双曲正弦函数 C2 的图象分别相交于点 A，B，曲线 C1 在点 A 处的切线 l1 与曲线 C2 在点 B 处
的切线 l2 相交于点 P，则下列结论正确的为（ ）
A． cosh cosh cosh sinh s) inh(x y x y x y
B． sinh coshy x x 是偶函数
C． cosh sinhx x
D．若 PAB△ 是以 A 为直角顶点的直角三角形，则实数 0m
12．关于函数 2 lnf x xx
，下列判断正确的是（ ）
A． 2x 是 f x 的极大值点
B．函数 ( )y f x x= - 有且只有 1 个零点
C．存在正实数 k ，使得 f x kx 恒成立
D．对任意两个正实数 1x ， 2x ，且 2 1x x ，若 1 2f x f x ，则 1 2 4x x
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13． 6x y z 的展开式中 2 3xy z 的系数是________．
14．如图，在平面四边形 ABCD 中， 1AD ， 2 6
3BD ， AB AC ， 2AC AB ，则CD 的
最小值为_______．
15．已知函数
2
πcos , 1 1( ) 2
1, | | 1
x xf x
x x
，则关于 x 的方程 2 ( ) 3 ( ) 2 0f x f x 的实根的个数
是_______．
16．已知圆 2 2
1 : 3 1C x y ， 2 2
2 : 3 81C x y ，动圆C 与圆 1C 、 2C 都相切，则动圆C
的圆心轨迹 E 的方程为_____________；直线l 与曲线 E 仅有三个公共点，依次为 P 、Q 、R ，则 PR
的最大值为________．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和， 63
21
9S
S
， 11 21a ．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若
1
1
n
n n
b a a
，求数列 nb 的前 n 项和 nT ．
18．（12 分）在① π
2A C ；②5 4 15cosc a A ；③ ABC△ 的面积 3S ．这三个条件中任选
两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在 ABC△ 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 3b ，且______，______，求 c ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12 分）已知四棱锥 E ABCD 中，四边形 ABCD 为等腰梯形， AB DC∥ ， 2AD DC ，
4AB ，
△
ADE 为等边三角形，且平面 ADE⊥平面 ABCD．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）是否存在一点 F，满足 EF EB ( 0 1 )，且使平面 ADF 与平面 BCE 所成的锐二面角
的余弦值为 65
13
．若存在，求出 的值，否则请说明理由．
20．（12 分）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 *( )n nN 份血液样本，有以
下两种检验方式：①逐份检验，需要检验 n 次；②混合检验，将其 (k k N 且 2k )份血液样木分
别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检
验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐
份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 1k 次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检
验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 0 1p p ．
（1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过 3 次检
验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中 (k k N 且 2k )份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1 ，
采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 ．
①记 E( )为随机变量 的数学期望．若 1 2( ) ( )E E ，运用概率统计的知识，求出 p 关于 k 的函
数关系式 p f k ，并写出定义域；
②若
1
41p e
，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次
数期望值更少，求 k 的最大值．
参考数据： ln 2 0.6931 ， ln 3 1.0986 ， ln 5 1.6094 ．
21．（12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率 1
2e ，且经过点 31, 2
，点 1 2,F F 为椭
圆 C 的左、右焦点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 1F 分别作两条互相垂直的直线 1 2,l l ，且 1l 与椭圆交于不同两点 2, ,A B l 与直线 1x 交于点
P．若 1 1AF FB ，且点 Q 满足QA QB ，求 1PQF△ 面积的最小值．
22．（12 分）已知函数 2( ) xf x e ax x ．
（1）当 1a 时，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程；
（2）若函数 ( ) ( )F x f x x 有两个极值点 1x ， 2x ，求证： 2
1 2 (ln(2 ))x x a ．
数 学答 案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】由不等式 2 2 ( 2)( 1) 0x x x x ，解得 1 2x ，所以 1,0,1,2B ，
又由 0,1A B 且 0,A a ，所以 1a ，即 0,1A ，
由补集的概念及运算，可得 1,2B A ð ，故选 D．
2．【答案】C
【解析】 2( 3i)(3 2i) 3 2 i 9i 6i 3 6 (2 9)iz a a a a a ，
所以复数 z 的实部与虚部分别为3 6a ， 2 9a ，
于是 3 6 2 9 7a a ，解得 2a ，故选 C．
3．【答案】C
【解析】根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案：
方案一：甲､乙两泵同时开放→甲泵开放
方案二：甲､乙两泵同时开放→乙泵开放
如果用方案一注水，可设甲､乙两泵同时开放的时间为 x 个小时，
由题意得方程 1 1 1 (10 ) 118 15 15x x
，解得 6x (小时)；
如果用方案二注水，可设甲､乙两泵同时注水的时间为 y 个小时，
则 1 1 1 (10 ) 118 15 18y y
，解得 60 269 3y (小时)，
所以选方案一注水，可得甲､乙两水泵同时开放注水的时间最少，需 6 个小时，故选 C．
4．【答案】A
【解析】充分性显然成立，
必要性可以举反例： 10x ， 5
2y ，显然必要性不成立，
故选 A．
5．【答案】C
【解析】∵ 22 2 24 3 4 4 4 3 4x xf x x x x x f x ，
∴ f x 的图象关于直线 2x 对称，
∵ 23 xy 和 2 4y x x 都在 ,2 上是减函数，在 2, 上是增函数，
∴ f x 在 ,2 上为减函数，在 2, 上为增函数．
又 2log 3f a f ，∴ 2log 2 3 2 1a ，
即 2log 1a 或 2log 3a ，解得 0 2a 或 8a ，故选 C．
6．【答案】C
【解析】 1
1 1
1 1 1n n
n n n n
a a
a a a a
，
所以 1
na
为以1为首项，公差 1d 的等差数列，
所以 1 1 ( 1) 1
n
n na
，所以 1
na n
，
由 1 1
10ma m
，所以 10m ，故选 C．
7．【答案】B
【解析】由题意可得 2π π ，求得 2 ，
令 π π π2 π 2 2 π ,2 3 2k x k k Z ，求得 π 5ππ π ,12 12k x k k Z ，
由 π π 3π2 π 2 2 π ,2 3 2k x k k Z ，求得 5π 11ππ π ,12 12k x k k Z ，
因为 f x 在 ,24 3
π m
上单调递增，在 2π
2 3
m
上单调递减，
所以
5π
5π 5π3 12
5π 6 4
2 12
m
mm
，
所以实数 m 的取值范围是 5 5π, π6 4
，故选 B．
8．【答案】B
【解析】由题意知， 2 2 2 1 a b c ，
又 0 a b ，
∵ 2 0 a c b c a b a cc b c ，
∴ 2 1 a c b c a cb ，
∴ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 2 1 1 a b c a b c a b a c b c ，
∴ 1 a b c ，即 a b c 的最大值为 1，故选 B．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．【答案】ACD
【解析】如图：
对于 A，根据正方体的性质可知，MD 平面 ABCD ，所以 MND 为 MN 与平面 ABCD 所
成的角，
所以 π
4MND ，所以 1
1 1 4 22 2DN DM DD ，所以点 N 的轨迹为以 D 为圆心，
2 为半径的圆，故 A 正确；
对于 B，在直角三角形 MDN 中， 2 2 2 24 2 2 3DN MN MD ，取 MD 的中点 E ，
因为 P 为 MN 的中点，所以 PE DN∥ ，且 1 32PE DN ，
因为 DN ED ，所以 PE ED ，即点 P 在过点 E 且与 1DD 垂直的平面内，
又 3PE ，所以点 P 的轨迹为以 3 为半径的圆，其面积为 2
π 3 3π ，故 B 不正确；
对于 C，连接 NB ，因为 1BB 平面 ABCD ，所以 1BB NB ，所以点 N 到直线 1BB 的距离
为 NB ，所以点 N 到点 B 的距离等于点 N 到定直线 CD 的距离，
又 B 不在直线 CD 上，所以点 N 的轨迹为以 B 为焦点， CD 为准线的抛物线，故 C 正确；
对于 D，以 D 为原点， 1, ,DA DC DD 分别为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则 (4,0,0)A ， (4,4,0)B ， 1(0,0,4)D ，
设 ( , ,0)N x y ，则 (0,4,0)AB = ， 1 ( , , 4)D N x y ，
因为 1D N 与 AB 所成的角为 π
3
，所以 1
π| cos , | cos 3AB D N ，
所以 2 2
4 1| | 24 16
y
x y
，整理得
2 23 116 16
y x ，所以点 N 的轨迹为双曲线，故 D 正确，
故选 ACD．
10．【答案】AB
【解析】8 位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为 4 4
8 4C C 70 ，
A 选项， 4 位女同学分到同一组的不同分法只有 2 种，其概率为 2 1
70 35
，对；
B 选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为 2 4
6 4C C 15 ，其概率为 15 3
70 14
，对；
C 选项，有且只有3位女同学分到同一组 3 1
4 4C 32C 2 种，
则有且只有3位女同学分到同一组的概率为 32 16
70 35
，错；
D 选项， 4 位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为 1
70
，
则 4 位男同学不同时分到甲组的概率为 1 691 70 70
，错，
故选 AB．
11．【答案】ACD
【解析】 cosh cosh sinh sinh 2 2 2 2
x x y y x x y ye e e e e e e ex y x y
( )2 cosh
x y x y
x ye e ，A 正确；
2 2
sinh c 4osh
x x
y x x e e ，记
2 2
( ) 4
x xe eh x
，
则
2 2
( ) ( )4
x xe eh x h x
， ( )h x 为奇函数，即 sinh coshy x x 是奇函数，B 错误；
( )2 2
x x x xe e e e ，即 cosh sinhx x ，C 正确；
对于 D，因为 AB x 轴，因此若
△
PAB 是以 A 为直角顶点的直角三角形，
则 0PAk ，由 02
m
A
m
P
ek e ，解得 0m ，D 正确，
故选 ACD．
12．【答案】BD
【解析】A：函数 f x 的定义域为( )0,+¥ ， 2 2
2 1 2xf x x x x
，
当 0,2x 时， ( ) 0f x¢ < ， f x 单调递减；当 2,x 时， ( ) 0f x¢ > ， f x 单调
递增，
所以 2x 是 f x 的极小值点，故 A 错误；
B： 2 lny f x x x xx
，
2
2 2
2 1 21 0x xy x x x
，
所以函数在( )0,+¥ 上单调递减，
又 1 1 2 ln1 1 1 0f ， 2 2 1 ln 2 2 ln 2 1 0f ，
所以函数 ( )y f x x= - 有且只有 1 个零点，故 B 正确；
C：若 f x kx ，即 2 ln x kxx
，则 2
2 ln xk x x
．
令 2
2 ln xg x x x
，则 3
4 lnx x xg x x
．
令 4 lnh x x x x ，则 lnh x x ，
当 0,1x 时， 0h x ， h x 单调递增；当 1, x 时， 0h x ， h x 单调递减，
所以 1 3 0h x h ，所以 ( ) 0g x¢ < ，
所以 2
2 ln xg x x x
在( )0,+¥ 上单调递减，函数无最小值，
所以不存在正实数 k ，使得 f x kx 恒成立，故 C 错；
D：因为 f x 在 0,2 上单调递减，在( )2,+¥ 上单调递增，
∴ 2x 是 f x 的极小值点．
∵对任意两个正实数 1x ， 2x ，且 2 1x x ，若 1 2f x f x ，则 1 20 2x x ．
令 2
1
1xt tx
，则 2 1x tx ，
由 1 2f x f x ，得 1 2
1 2
2 2ln lnx xx x
，∴ 2 1
1 2
2 2 ln lnx xx x
，
即 2 1 2
1 2 1
2 lnx x x
x x x
，即 1
1 1
2 1 lnt x tx tx
，解得
1
2 1
ln
tx t t
，
2 1
2 1
ln
t tx tx t t
，
所以
2
1 2
2 2
ln
tx x t t
．
故要证 1 2 4x x ，需证 1 2 4 0x x ，
需证
22 2 4 0ln
t
t t
，需证
22 2 4 ln 0ln
t t t
t t
．
∵ 2
1
1xt x
，则 ln 0t t ，∴证 22 2 4 ln 0t t t ．
令 22 2 4 ln 1H t t t t t ， 4 4ln 4 1H t t t t ，
4 144 0 1tH t tt t
，所以 H t 在( )1,+¥ 上是增函数．
因为 1t 时， 0H t ，则 0H t ，所以 H t 在( )1,+¥ 上是增函数．
因为 1t 时， 0H t ，则 0H t ，所以
22 2 4 ln 0ln
t t t
t t
，
∴ 1 2 4x x ，故 D 正确，
故选 BD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】 60
【解析】 66x y z x y z ，
所以， 6x y z 的展开通项为 6
1 6C rr r
rA x y z
，
ry z 的展开式通项为 1 C C 1k kk r k k r k k
k r rB y z y z
，
所以， 6x y z 的展开式通项可以为 6
1, 1 6C C 1 kr k r r k k
r k rT x y z
，
其中 0 6k r 且 k 、 r N ，
令
6 1
2
3
r
r k
k
，解得 5
3
r
k
，
因此， 6x y z 的展开式中 2 3xy z 的系数是 35 3
6 5C C 1 60 ，故答案为 60 ．
14．【答案】 3
3
【解析】设 ADB ，
在 ABD△ 中，由正弦定理得
sin sin
AB BD
BAD
，即
2 6
3
sin sin
AB
BAD
，
整理得 2 6sin sin3AB BAD ．
由余弦定理得 2 2 2 11 4 62 cos cos3 3AB AD BD AD BD ，
因为 AB AC ，所以 π
2BAD DAC ．
在 ACD△ 中，
由余弦定理得 2 2 2 22 cos 1 2 2 2 sinCD AD AC AD AC DAC AB AB BAD
25 8 6 8 3 25cos sin 8sin( )3 3 3 3
（其中 tan 2 ），
所以当sin( ) 1 时， min
3
3CD ，故答案为 3
3
．
15．【答案】5
【解析】由 2 ( ) 3 ( ) 2 0f x f x ，知 ( ) 2f x 或 ( ) 1f x ，
∴由函数 ( )f x 解析式，知：
当 ( ) 2f x 时，有 2 1 2x ，解得 3x ，满足| | 1x ；
当 ( ) 1f x 时，若 πcos 12
x 且 1 1x ，有 0x ；
若 2 1 1x ，解得 2x ，满足| | 1x ，
∴综上知：方程一共有 5 个根，故答案为 5．
16．【答案】
2 2
125 16
x y 或
2 2
116 7
x y ，15
2
【解析】已知圆 2 2
1 : 3 1C x y ， 2 2
2 : 3 81C x y ，则圆 1C 内含于圆 2C ，
圆 1C 的圆心为 1 3,0C ，半径为 1 1r ；
圆 2C 的圆心为 2 3,0C ，半径为 2 9r ．
设动圆C 的半径为 r ，分以下两种情况讨论：
①圆C 与圆 1C 外切，与圆 2C 内切，
由题意可得 1
2
1
9
CC r
CC r
， 1 2 110 6CC CC CC ，
此时，圆 C 的圆心轨迹 E 是以 1C 、 2C 分别为左、右焦点，长轴长为 12 10a 的椭圆，
1 5a ， 1 3c ，则 2 2
1 1 1 4b a c ，此时，轨迹 E 的方程为
2 2
125 16
x y ；
②圆C 与圆 1C 、 2C 都内切，且 1 2r r r ，
由题意可得 1
2
1
9
CC r
CC r
， 1 2 18 6CC CC CC ，
此时，圆 C 的圆心轨迹 E 是以 1C 、 2C 分别为左、右焦点，长轴长为 22 8a 的椭圆，
2 4a ， 2 3c ， 2 2
2 2 2 7b a c ，此时，轨迹 E 的方程为
2 2
116 7
x y ，
综上所述，轨迹 E 的方程为
2 2
125 16
x y 或
2 2
116 7
x y ．
由于直线l 与曲线 E 仅有三个公共点，则直线l 与椭圆
2 2
116 7
x y 相切．
①若直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 4x ，
可设直线l 的方程为 4x ，联立 2 2
4
125 16
x
x y
，解得
4
12
5
x
y
，此时 24
5PQ ；
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y kx m ，
联立 2 2
116 7
y kx m
x y
，消去 y 并整理得 2 2 216 7 32 16 7 0k x kmx m ，
2 2 2 2 2 2 2 2
1 32 4 16 7 16 7 7 8 16 7 0Δ k m m k k m ，
可得 2 216 7m k ，
设点 1 1,P x y 、 2 2,R x y ，联立 2 2
125 16
y kx m
x y
，
消去 y 并整理得 2 2 225 16 50 25 16 0k x kmx m ，
2 2 2 2 2 2 2 2
2 50 4 25 16 25 16 1600 25 16 14400 1 0Δ k m m k k m k ，
由韦达定理得 1 2 2
50
25 16
kmx x k
， 2
1 2 2
25 16
25 16
m
x x k
，
22 2
1 2 1 2 1 21 1 4PR k x x k x x x x
2 22
2
22 2 2
22
4 25 16 120 150 120 1201 925 1625 16 25 16 25 16 25 11
m kkmk kk k k
kk
，
120 15
25 9 2PR
，当且仅当 0k 时， PR 取得最大值15
2
．
故答案为
2 2
125 16
x y 或
2 2
116 7
x y ，15
2
．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．【答案】（1） 2 1na n ；（2）
2 1n
nT n
．
【解析】（1）等差数列 na 的前 n 项和 1
2
n
n
n a aS
，
得
1 63
63 32
1 2121 11
63
32 921
2
a a
S a
a aS a
，
因为 11 21a ，所以 32 63a ，
等差数列 na 的公差 32 11 63 21 232 11 21
a ad
，
所以， 11 11 21 2 11 2 1na a n d n n ．
（2）由（1）可知
1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1nb n n n n
，
1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n
nT n n n n
．
18．【答案】答案见解析．
【解析】解：方案一：选条件①②．
因为5 4 15cosc a A ， 3b ，所以 5 4 5 cosc a b A ，
由正弦定理得5sin 4sin 5sin cosC A B A ．
因为 sin sin sin cos cos sinC A B A B A B ，所以5cos sin 4sinB A A ．
因为sin 0A ，所以 cos 4
5B ， 2 3sin 1 cos 5B B ．
因为 π
2A C ， πA B C ，所以 π 22B C ，
所以 π 3cos2 cos sin2 5C B B
，所以 2 1 cos2 1sin 2 5
CC ．
因为 0,πC ，所以 5sin 5C ，
在 ABC△ 中，由正弦定理得
53sin 5 53sin
5
b Cc B
．
方案二：选条件①③．
因为 1 sin 32S ab C ， 3b ，所以 sin 2a C ．
因为 π
2A C ， πA B C ，所以 π 22B C ．
在 ABC△ 中，由正弦定理得
π3sinsin 3cos2
πsin cos2sin 22
Cb A Ca B CC
，
所以 3sin cos 2cos2
C C
C
，即3sin 2 4cos 2C C ．
因为
π0 π2
0 π
A C
C
，所以 π0 2C ， 0 2 πC ，
所以sin 2 0C ，所以 cos 2 0C ．
又 2 2sin 2 cos 2 1C C ，所以 3cos2 5C ，
所以 2 1 cos2 1sin 2 5
CC ，所以 5sin 5C ．
在 ABC△ 中，由正弦定理得
53sin sin sin 5 53πsin cos2sin 2 52
b C b C b Cc B CC
．
方案三：选条件②③．
因为5 4 15cosc a A ， 3b ，所以 5 4 5 cosc a b A ，
由正弦定理得5sin 4sin 5sin cosC A B A ，
因为 sin sin sin cos cos sinC A B A B A B ，
所以5cos sin 4sinB A A ．
因为sin 0A ，所以 cos 4
5B ， 2 3sin 1 cos 5B B ．
因为 1 sin 32S ac B ，所以 10ac ．（ⅰ）
在 ABC△ 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
所以 2 2 25a c ．（ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）解得 5c 或 2 5c ．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在 1
2
使得平面 ADF 与平面 BCE 所成的锐二面角的
余弦值为 65
13
．
【解析】（1）取 AB 的中点G ，连接 DG ，
1
2BG AB CD ， BG CD∥ ，
四边形 BCDG 是平行四边形， 2DG BC AG AD ，
ADG△ 为等边三角形， 1
2DG AB ， ABD△ 是直角三角形， AD BD ，
平面 ADE 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ， AD 平面 ADE 平面 ABCD ，
BD 平面 ADE ， AE 平面 ADE ， AE BD ．
（2）F 为 EB 中点即可满足条件．
取 AD 的中点 H ，连接 EH ，则 EH AD ，
取 AD 的中点 H ，连接 EH ，平面 ADE 平面 ABCD ， EH 平面 EAD ，
所以 EH 平面 ABCD ， 3EH ， 2 3BD ，
如图建立空间直角坐标系 D xyz ，
则 0,0,0D ， 2,0,0A ， 0,2 3,0B ， 1, 3,0C ， 1,0, 3E ，
则 2,0,0DA ， 1, 3,0CB
， 1,2 3, 3EB
，
,2 3 , 3EF EB
， 1 ,2 3 , 3 3DF
，
设平面 ADF 的法向量为 1 1 1( , , )x y zm ，平面 BCE 的法向量为 2 2 2( , , )x y zn ．
由 0
0
DF
DA
m
m
，得 1 1 1
1
1 2 3 3 3 0
2 0
x y z
x
，取 0, 1 2 ，m ；
由 0
0
CB
EB
n
n
，得 2 2
2 2 2
3 0
2 3 3 0
x y
x y z
，取 3,1,3 n ，
于是，
2
1 6 65|cos , | 1313 5 2 1
m nm n m n
，
解得 1= 2
或 1
3
（舍去），
所以存在 1
2
使得平面 ADF 与平面 BCE 所成的锐二面角的余弦值为 65
13
．
20．【答案】（1） 3
10
；（2）①
1
11
k
p k
（ *k N 且 2k ）；②8．
【解析】（1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件，
则
3 1 2 1
3 2 2 3
3
5
A A CC 3
1A 0P A ．
（2）①根据题意，可知 1E k ， 2 的可能值为 1， 1k ，
则 2 1 1 kP p ， 2 1 1 1 kP k p ，
所以 2 1 1 1 1 1 1k k kE p k p k k p ，
由 1 2E E ，得 1 1 kk k k p ，
所以
1
11
k
p k
（ *k N 且 2k ）．
②由于
1
41p e
，则 4
2 1
k
E k ke
，
所以 41
k
k ke k
，即 ln 04
kk ，
设 ln 4
xf x x ， 1 1 4
4 4
xf x x x
， 0x ，
当 0,4x 时， 0f x ， f x 在 0,4 上单调递增；
当 4,x 时， 0f x ， f x 在 4, 上单调递减，
ln8 2 3 n 2 2 08 lf ， 9 9ln9 2ln3 049 4f ，
所以 k 的最大值为 8．
21．【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2）6．
【解析】（1）由题意，得
2
2
2
2 2
11 4
9
1 4 1
be a
a b
，解得 2 4a ， 2 3b ，
所以椭圆的方程为
2 2
14 3
x y ．
（2）由（1）可得 1 1,0F ，
若直线 1l 的斜率为 0，则 2l 的方程为 1x 与直线 1x 无交点，不满足条件；
设直线 1 : 1l x my ，若 0m ，则 1 则不满足QA QB ，所以 0m ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 0 0,Q x y ，
由
2 23 4 12
1
x y
x my
，得 2 23 4 6 9 0m y my ，
1 2 2
6
3 4
my y m
， 1 2 2
9
3 4y y m
，
因为 1 1AF F B
QA QB
，即
1 1 2 2
1 0 1 0 2 0 2 0
1 , 1,
, ,
x y x y
x x y y x x y y
，
则 1 2y y ， 1 0 2 0y y y y ，
所以 1 01
2 2 0
y yy
y y y
，解得 1 2
0
1 2
2 3y yy y y m
，
于是 2
1
31FQ m m
，
直线 2l 的方程为 1 1x ym
，
联立
1 1
1
x ym
x
，解得 (1, 2 )P m ，所以 2
1 2 1PF m ．
所以
1
2
1 1
3 11 13 62PQF
m
S FQ F P mm m
△ ，
当且仅当 1m 时， 1 min
6PQFS △ ．
22．【答案】（1） ( 3) 1y e x ；（2）证明见解析．
【解析】（1）当 1a 时， 2( ) xf x e x x ，则 ( ) 2 1xf x e x ，
所以 (1) 3k f e ，
又 (1) 2f e ，所以切线方程为 ( 3)( 1) 2y e x e ，即 ( 3) 1y e x ．
（2）由题意得 2( ) xF x e ax ，则 ( ) 2xF x e ax ．
因为函数 ( )F x 有两个极值点 1x ， 2x ，
所以 ( ) 0F x 有两个不相等的实数根 1x ， 2x ．
令 ( ) 2xh x e ax ，则 ( ) 2xh x e a ．
①当 0a 时， ( ) 0h x 恒成立，则函数 ( )h x 为 R 上的增函数，
故 ( )h x 在 R 上至多有一个零点，不符合题意；
②当 0a 时，令 ( ) 0h x ，得 ln(2 )x a ，
当 ( ,ln(2 )) x a 时， ( ) 0h x ，故函数 ( )h x 在 ( ,ln(2 ))a 上单调递减；
当 (ln(2 ), )x a 时， ( ) 0h x ，故函数 ( )h x 在(ln(2 ), )a 上单调递增，
因为函数 ( ) 0h x 有两个不相等的实数根 1x ， 2x ，
所以 min( ) (ln(2 )) 2 2 ln(2 ) 0h x h a a a a ，得
2
ea ，
不妨设 1 2x x ，则 1 ln(2 )x a ， 2 ln(2 ) 1x a ，
又 (0) 1 0h ，所以 1 (0,ln(2 ))x a ．
令
24( ) ( ) (2ln(2 ) ) 4 4 ln(2 )x
x
aG x h x h a x e ax a ae
，
则
2 24 4( ) 4 2 4 0x x
x x
a aG x e a e ae e
，
所以函数 ( )G x 在 R 上单调递增．
由 2 ln(2 )x a ，可得 2 (ln(2 )) 0G x G a ，即 2 22ln(2 )h x h a x ，
又 1x ， 2x 是函数 ( )h x 的两个零点，即 ( ) ( )1 2h x h x= ，
所以 1 22ln(2 )h x h a x ．
因为 2 ln(2 )x a ，所以 22ln(2 ) ln(2 )a x a ，
又 1 ln(2 )x a ，函数 ( )h x 在 ( ,ln(2 ))a 上单调递减，
所以 1 22ln(2 )x a x ，即 1 2 2ln(2 )x x a ．
又 1 2 1 22x x x x ，所以 1 22 2ln(2 )x x a ，因此 2
1 2 (ln(2 ))x x a ．
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