江西省上饶市2021届高三下学期3月第二次高考模拟考试（二模）数学（理）试题（Word版附答案）

上饶市 2021 届第二次高考模拟考试 数学（理科）试题卷 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4． 本试卷共 22 题，总分 150 分，考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知集合  4,3,2,1A ，集合  3|  xxB ， A B =（▲） A. 21， B.  321 ，， C.  21， D.  31， 2．复数 z 满足 (1 2 )z i i   (i 为虚数单位)，则复数 z 在复平面内对应的点位于（▲） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 等比数列 na 中， ，， 644 623  aaa 则 5a （▲） A. 22 B. 8 C. 16 D.32 4．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩 作为 安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱 动下做单摆运动.假设小明坐在点 A 处，“大摆锤”启动后，主轴 OB 在平面 内绕点O 左右摆 动，平面 与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点 A 在平面  内绕点 B 作圆周运动，并且 始终保持OB  ， B  .设 ABOB 3 ，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（▲） A．  与水平地面所成锐角记为 ，直线OB 与水平地面所成角记为 ，则  为定值； B．点 A 在某个定球面上运动； C．可能在某个时刻， AB ； D．直线OA与平面 所成角的余弦值的最大值为 10 10 . 5. 变量 x ， y 满足约束条件 4 2 4 x y y x x        ，则 x yz  的最大值（▲） A． 2 3 B． 2 C．3 D．5 座位号 6. 函数     xxf xx ln22   的部分图象大致是（▲） A B C D 7. 若函数 )3sin()(  xxf 是偶函数，其中 (0, )2   ，则函数 )2sin()(  xxg 的图象 （▲） A．关于点 )0,3(  对称 B．可由函数 xy 2sin 的图象向左平移 6  个单位得到 C．关于直线 12 5x 对称 D．可由函数 xy 2sin 的图象向左平移 12  个单位得到 8. 如图，在圆心角为直角的扇形OAH 中，分别以 OA ，OH 为直径作两个半圆， 在扇形OAH 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（▲） A． 1  B． 1 2 C．  21 D．  2 2 1  9. 函数 )0(,sin2)(  xxxxf 的所有极大值点从小到大排成数列 na ，设 nS 是数列  na 的前 n 项和，则 2021cos S （▲） A．1 B． 2 1 C． 2 1 D. 0 10.如图， AB 是圆O 的一条直径且 2AB ， EF 是圆O 的一条弦， 且 1EF ，点 P 在线段 EF 上，则 PA PB  的最小值是（▲） A． 2 1 B． 4 1 C． 2 1 D． 4 3 11．双曲线 E ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右焦点为 2F ， A 和 B 为双曲线上关于原点对称 的两点，且 A 在第一象限.连结 2AF 并延长交双曲线与点 P ，连结 2BF 、 BP ，若 PBF2 是 等边三角形，则双曲线 E 的离心率为（▲） A． 2 10 B． 10 C． 19 D． 2 19 12.对任意 0x ，不等式 )71828.2(2ln 3  eexax eax x ，则正实数 a 的取值范围是 （▲） A.  30 e， B.      20 3e， C.     3,2 ee D.     2,2 3e e 第Ⅱ卷（非选择题） 本卷包括必考题和选考题两个部分。第 13 题--第 21 题为必考题，每个考生都必须 作 答。第 22 题--第 23 题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分. 请把答案填在答题卡上． 13．曲线     xexxf 1 在点  1,0 处的切线方程为 ▲ . 14. 若   7 7 2 210 712 xaxaxaax   ，则 7321 aaaa   = ▲ （用数字作答） 15. 过抛物线 xy 22  的焦点作两条相互垂直的弦 AB ，CD ，且 AB CD AB CD   ， 则实数  的值为 ▲ 16．点 M 为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球 O 球面上的动点，点 N 为 1 1B C 上一点，且 1 12 ,NB NC DM BN  ，若球O 的体积为 36 ，则动点 M 的轨迹的长度为 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 12 分）请在① 19b ，② 2c ，③ CA sin5sin2  这三个条件中任选 两个，将下面问题补充完整，并作答. 问题：在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 bCBaCAb 2 1sinsincoscos  ， ，计算△ABC 的面积. （注：只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计 分.） 18. （本小题满分 12 分）某市小型机动车驾照“科二” 考试中共有5项考查项目，分别记作①、②、③、④、 ⑤. （1）某教练将所带 6 名学员的“科二”模拟考试成绩 进行统计（如右表所示），从恰有 2 项成绩不合格的学 员中任意抽出 2 人进行补测（只测不合格的项目），求 补测项目种类不超过3项的概率. （2） “科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费， 并进行第一轮测试（按①、②、③、④、⑤的顺序进 行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若 第一轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”； 科目 学员 ① ② ③ ④ ⑤ （1） √ √ √ （2） √ √ √ （3） √ √ √ √ （4） √ √ √ （5） √ √ √ √ （6） √ √ √ 注“√”表示合格，空白表示不合格 若选择补考，则需另外缴纳300元补考费，并获得最多 2 轮补测机会，否则考试结束。（注： 每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序全部重考，学员在任何1轮测试或补测中5个项目 均合格，方可通过“科二”考试）。每人最多只能补考1次。学员甲每轮测试或补测通过①、 ②、③、④、⑤各项测试的概率依次为1、1、1、 6 5 、 5 4 ，且他遇到“是否补考”的决断时 会选择补考。 求：（1）学员甲能通过“科二”考试的概率； （2）学员甲缴纳的考试费用 X 的数学期望. 19. （本小题满分 12 分）已知正△ABC 的边长为 3，点 D、E 分别是 AB、AC 上的三等分点 （点 D 靠近点 B，点 E 靠近点 A）（如图 1），将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使二 面角 A1﹣DE﹣B 的平面角为 90°，连接 A1B，A1C（如图 2）． （1）求证：A1E⊥平面 BCED； （2）在线段 BC 上是否存在点 P，使得直线 PA1 与平面 A1EC 所成的角为 60°? 若存在，求出 CP 的长；若不存在，请 说明理由． 20. （本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，AB 为半圆 ADB 的直径，O 为圆 心，且  0,4A ，  0,4B ， G 为线段 OD 的中点；曲线 C 过点 G ，动点 P 在曲线 C 上运动 且保持 PBPA  的值不变. （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 B 的直线l 与曲线 C 交于 M、N 两点，与 OD 所在直线交 于 E 点， 1 2 1 2, , :EM MB EN NB         求证 为定值. 21. （本小题满分 12 分）已知函数   xxxxf sin42ln  ，证明： （1）  f x 在区间 0, 存在唯一极大值点； （2）  f x 有且仅有 2 个零点. 选考部分 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22. （本小题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xoy 中， 曲线 1C 的参数方程为  为参数t t ty tx        2 2 1 2 1 2 ，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐 标 系 ， 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为  sin32 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为    0，R . （1）求曲线 1C 的极坐标方程； （2）直线l 与曲线 1C 交于点 A ，与曲线 2C 交于 BO， 两点，求 AB 的最大值. 23.（本小题满分 10 分）[选修 4-5：不等式选讲] 设函数   axxxxf 2112  ， a R . （1）若 2 1a ，求不等式 ( ) 0f x  的解集； （2）若函数 ( )f x 恰有三个零点，求实数 a 的取值范围. 上饶市 2021 届第二次高考模拟考试 数学（理科）答案 一、选择题 4. 提示：因为点 A 在平面  内绕点 B 作圆周运动，并且始终保持OB  ，所以 2 2OA OB AB  ， 又因为OB ， AB 为定值，所以OA也是定值，所以点 A 在某个定球面上运动，故 A 正确； 作出简图如下，所以 2    ，故 B 正确； 易知 C 正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C D D C D D B B D A 当 AB 在平面 内时，直线OA与平面 所成角最小，等于 0 ，所以直线OA与平面 所 成角的余弦值的最大值为 1，故 D 不正确. 10. 提示：         .4 1 2 3 1 min 222   的最小值为，所以中点时，为当 PBPAPOEFP POOAPOOAPOOAPOOBPOOAPOPBPA 11. 解：如图所示，根据题意可设 2 2 1BF PF n AF   ，则 2 2AF n a  ， 1 2PF n a            60cos2 60 1 22 1 2 11 221 21 APAFAPAFPFAPF PBFAFF BFAF 中，由在 且 为平行四边形易知四边形       anannannan 560cos222222 222   解得       2 19 19460cos3529254 60cos2 22222 21 2 2 2 1 2 2121      e acaaaac AFAFAFAFFFAFF 即得 中，由在 3 3 3 3 12. ln 2 ln 2 0 ln ln 2 0 ln 2 0 x x x x x x e eax a x e a x ax ex x e e ea x a e e a ex x x                  提示：                                                        .00 .0 02ln, 0,ln0,2ln ,02ln ,2 .00,2,02 001 1 0,2ln 33 33 33333 3 3 min 33 min min 3 eaeaeea eaeegagag eeeeegeagy agaagageaeaaaag eaaaaftf aaetfyea eaeaeeaeaeeftf ettfytfea ett at t atf tfetetattfx et x           ，即或综上可知 ，所以，所以而 上递减，又在 显然即可，而故设 故 上递增，上递减，在在时，当 ，所以又故 是增函数恒成立，时，当 又 即可则，设令 , 二．填空题 13. 012  yx 14. 2 15. 2 1 16.  5 156 15.提示： 2 1 2 1 2 cos 2 sin11 cos 2 2sin 2,sin 2 22 22 2 2 2         pppCDAB ppCDpAB CDAB    则 或的倾斜角为，则直线的倾斜角为设直线 16.解：如图，在 1BB 取点 P ,使 12BP PB ,连接 , , ,CP DP BN 因为 1 12NC NB ,所以 DC BN ,则 BN 平面 DCP , 则点 M 的轨迹为平面 DCP 与球 O 的截面圆周， 设正方体的棱长为 a ，则  3623 4 3      a ，解得 6a ， 连接 , ,OD OP OC , 由 O DPC C DPOV V  ,求得O 到平面 DCP的距离为 5 103 ， 所以截面圆的半径 5 153 5 1033 2 2      r ， 则点 M 的轨迹长度为  5 156 5 1532  ， 故答案为  5 156 . 三．解答题： 17.解： bCBaCAb 2 1sinsincoscos  , BCBACAB sin2 1sinsinsincoscossin  , ……………………………1 分 因为sin 0B  .所以 2 1sinsincoscos  CACA ，即 2 1)cos(  CA ，…………3 分 因为 BCA   ，所以 2 1cos)cos(  BCA ，即 2 1cos B ， 因为 0 B   .所以 3 B . …………………………………………6 分 （1）若选① 19b ，② 2c ， ,0152,cos2 2222  aaBaccab ………………………………8 分 即 舍）或 (35  aa ， ………………………………10 分 所以 ABC∴ 的面积 2 35 2 3252 1sin2 1  BacS .………………12 分 （2）若选② 2c ，③ CA sin5sin2  由 CA sin5sin2  ,得 ca 52  又 5,2  ac ………………………………9 分 所以 ABC∴ 的面积 2 35 2 3252 1sin2 1  BacS .………………12 分 （3）若选① 19b ，③ CA sin5sin2  由 CA sin5sin2  ,得 ca 52  ， ………………………8 分 ,4,cos2 2222  cBaccab 即 2c ， 52 5  ca ………………………………10 分 所以 ABC∴ 的面积 2 35 2 3252 1sin2 1  BacS . ………………12 分 18. 解：（1）根据题意，学员 1，2，4，6 恰有两项不合格， 从中任意抽出 2 人，所有可能的情况如下： 项目 学员 补测编号 项数 （1）（2） ②③⑤ 3 （1）（4） ②③④⑤ 4 （1）（6） ③④⑤ 3 （2）（4） ②④⑤ 3 （2）（6） ②③④⑤ 4 （4）（6） ②③④ 3 由表可知，全部 6 种可能的情况中，有 4 种情况补测项目种类不超过 3， 故所求概率为 3 2 6 4  ；……………………………………………………………4 分 （2）由题意可知，学员甲在每1轮测试(或补测)中通过的概率为： 3 2 5 4 6 5111 p ①由题意，若学员甲没通过“科二”考试， 当且仅当其第 1 轮考试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为 81 1 3 1 4      ， 故学员甲能通过“科二”考试的概率为 81 80 81 11  ，……………………………………8 分 ②根据题意，当且仅当该学员通过第一轮考试，或未通过第一次考试但通过第1轮补测时 150X  ，   9 8 3 2 3 213 2150      XP ， 其他情况时均有 450X  ，     9 11501450  XPXP …………………………10 分 故 X 的分布列为： X 150 450 P 9 8 9 1 故    元 3 550 9 14509 8150 XE ………………………………………………12 分 19. 解：（1）∵正△ABC 的边长为 3，且 13 1,23 2  ACAEABAD ， △ADE 中，∠DAE＝60°，由余弦定理，得 DE ， ∵AE2+DE2＝4＝AD2，∴DE⊥AE．……………………………………………………3 分 折叠后，仍有 A1E⊥DE． ∵二面角 A1﹣DE﹣B 成直二面角，∴平面 A1DE⊥平面 BCDE， 又∵平面 A1DE∩平面 BCDE＝DE，A1E ⊂ 平面 A1DE，A1E⊥DE， ∴A1E⊥平面 BCED；…………………………………6 分 （2）假设在线段 BC 上存在点 P，使直线 PA1 与平面 A1EC 所成的角为 60°． 如图，建立空间直角坐标系 xyzE  . 作 HyxPH 轴与点轴，交// ，设 aCP 2 则 aaxP 360sin2   ， aayP   260cos22 ， 故  0,2,3 aaP  ，又  1,0,01A ………………………………………………8 分  1,2,31  aaPA ，又平面 A1EC 的法向量  0,0,1n   123 3 2 360sin 22 1 1     aa a PAn PAn 得由 …………………………………10 分 2 52 a整理得 所以存在这样的点 P，且 2 5CP .……………………………………………12 分 20. （1） 因为动点 P 在曲线 C 上运动且保持 PBPA  的值不变，且点 G 在曲线 C 上， 8545252  ABGBGAPBPA P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，………………………………………………3 分 且 4,52  ca ， 4222  cab 所以曲线 C 的方程为 1420 22  yx …………………………………………………5 分 （2）设  00 yE ， ，  11 yxM ， ，  22 yxN ， ，  04，B MBEM 1由 得    111011 ,4, yxyyx   ， 1 0 1 1 1 1 1,1 4    yyx …………………………………………………………7 分 由于点 M 在椭圆上，故 20151 4 2 1 0 2 1 1                y 整理得 0520404 2 01 2 1  y NBEN 2由 同理可得 0520404 2 02 2 2  y ……………………………………10 分 21 ， 是方程 0520404 2 0 2  yxx 的两个根 1021   …………………………………12 分 .解：（1） xexf x sin2)(  ，定义域为 R . )4sin(22)cos(sin2)(  xexxexf xx .…………………………1 分 由 0)(  xf ，解得 0)4sin(  x ，可得 )(242k Zkkx   解得 4 3242   kxk  k Z . …………………………2 分 由   0f x  ，解得sin 04x      ，可得 2 2 2 ( )4k x k k Z         解得 3 72 24 4k x k       k Z . …………………………3 分   f x 的单调递增区间为        kk 24 3,24  k Z ，单调递减区间为 3 72 , 24 4k k        k Z . …………………………4 分 （2）由已知 axxexg x  sin2)( ， axxexg x  )cos(sin2)( ，令    h x g x ， 则 xexh x cos4)(  .  0,x  ，当 0, 2x     时，   0h x  ；当 ,2x      时，   0h x  ，  h x 在 0, 2      上单调递增，在 ,2 π π     上单调递减，即  g x 在 0, 2      上单 调递增，在 ,2 π π     上单调递减. 02)(,02)2(,2)0( 2  aegaegag    …………………………6 分 ①当 02  a 时，即 20  a 时，  0 0g  ，  0 ,2x       ，使得  0 0g x  ，当  00,x x 时，   0g x  ；当  0,x x  时，   0g x  ，  g x 在 00, x 上单调递增，  0 ,x  上单调递减.   0 0g  ，  0 0g x  .又   0g a    ，由零点存在性 定理可得，此时  g x 在 0, 上仅有一个零点. ……………………8 分 ②若 62  a 时， 02)0(  ag ，又  g x 在 0, 2      上单调递增，在 ,2 π π     上单调 递减，而 02)2( 2  aeg  ，  1 0, 2x      ， 2 ,2x      ，使得  1 0g x  ，  2 0g x  ，且当  10,x x 、  2 ,x x  时，   0g x  ；当  1 2,x x x 时，   0g x  .  g x 在 10, x 和  2 ,x  上单调递减，在 1 2,x x 上单调递增.   0 0g  ，  1 0g x  03222)2( 22    eaeg .，  2 0g x  . 又   0g a    ，由零点存在性定理可得，  g x 在 1 2,x x 和  2 ,x  内各有一个零 点，即此时  g x 在 0, 上有两个零点. ……………………11 分 综上所述，当 20  a 时，  g x 在 0, 上仅有一个零点；当 62  a 时，  g x 在 0, 上有两个零点. ……………………12 分 22.（本小题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程] 解：（1）曲线  00222 1  xxyxC 的直角坐标方程为 ，…………………………3 分 曲线  0cos21  的极坐标方程为C ………………………………5 分 （没注明 0 扣 1 分） （2） 由           0,: 0cos2:1 Rl C 得  cos2A .……………………………6 分 由         0,: sin32:2 Rl C 得  sin32B ………………………………7 分       6sin4cossin32  ABAB 又  0 ，当  3 2 时， 4max AB ……………………………10 分 23.（1）若 2 1a ，不等式 ( ) 0f x  即 0112  xxx ， 则         0112 1 xxx x 或         0112 2 11 xxx x 或         0112 2 1 xxx x ， 解得 1x   或 1 0x   或 `1x ， 故原不等式的解集为    ,10,  ；……………………………………………………5 分 （2）由   02112  axxxxf ，得 axxx 2112  ， 设 2 1 1( ) 2 1 1 3 1 2 12 2 x x g x x x x x x x                   ， ， ， ，   axxh 2 ， 在平面直角坐标系中做出 ( )g x 的大致图像，如图所示， 结合图像分析，可知当 123  a ，即 2 3 2 1  a 时， ( )g x 、 ( )h x 的图像有三个不同的 交点，故函数 ( )f x 恰有三个零点时，实数 a 的取值范围是      2 3,2 1 .…………………10 分