山东省（新高考）2021 届高三第二次模拟考试卷
数 学（三）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设 ， 1 3 4iz ， 2 2 iz ，则 1 2( )f z z 等于（ ）
A．1 3i B． 2 11i C． 2 i D．5 5i
2．集合 2 1 01
xA x x
，集合 1
2
log 1B x y x
，则集合 A B 等于（ ）
A． 10, 2
B． 1, C． 1,1 D． 1,
3．已知函数 ( )f x 的定义域是 (0, ) ，满足 (2) 1f 且对于定义域内任意 x，y 都有 ( ) ( )f xy f x
( )f y 成立，那么 (2) (4)f f 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．一个等比数列前 n 项的和为 48，前 2n 项的和为 60，则前3n 项的和为（ ）
A．83 B．108 C．75 D．63
5．若向量 a ， b 满足 2a ， 1b ，且 π, 3
a b ，则 , a b b （ ）
A． 5π
6 B． π
2 C． π
3 D． π
6
6．已知直线 : 2 0l ax y 与 2 2: 1 4C x y a 相交于 A 、 B 两点，则 ABC△ 为钝角
三角形的充要条件是（ ）
A． 1,3a B． 2 3,2 3a
C． 2 3,1 1,2 3a D． ,2 3 2 3,a
7．已知函数 cos 0, 0,0 πf x A x A 的部分图象如图所示，则（ ）
A． π3cos 6f xx B． π3cos 6f xx
C． π3cos 2 6f xx D． π3cos 2 6f xx
8．北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中
国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传 2022 年北京冬奥
会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小
明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数
为（ ）种．
A．8 B．10 C．12 D．14
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知 f x 、 g x 都是定义在 R 上的函数，且 f x 为奇函数， g x 的图象关于直线 1x 对
称，则下列说法中正确的有（ ）
A． ( ) 1y g f x轾= +臌 为偶函数 B． y g f x 为奇函数
C． y f g x 的图象关于直线 1x 对称 D． ( )1y f g x轾= +臌 为偶函数
10．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 在线段 1BC 上运动，则（ ）
此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
A．直线 1BD 平面 1 1AC D
B．二面角 1B CD B 的大小为 π
2
C．三棱锥 1 1P AC D 的体积为定值
D．异面直线 AP 与 1A D 所成角的取值范围是 π π,4 2
11．已知实数 a ，b 满足 2 0 1a ab b a ，下列结论中正确的是（ ）
A． 4b B． 2 8a b C． 1 1 1a b
D． 27
4ab
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且斜率大于
0 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点（其中 A 在 B 的上方），过线段 AB 的中点 M 且与 x 轴平行的直线
依次交直线OA ，OB ，l 于点 P，Q，N．则（ ）
A． PM NQ
B．若 P，Q 是线段 MN 的三等分点，则直线 AB 的斜率为 2 2
C．若 P，Q 不是线段 MN 的三等分点，则一定有 PQ OQ
D．若 P，Q 不是线段 MN 的三等分点，则一定有 NQ OQ
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知二项式 13
n
x x
的展开式中，所有项的系数之和为 64，则该展开式中的常数项是______．
14．如图，某湖有一半径为100 m 的半圆形岸边，现决定在圆心 O 处设立一个水文监测中心(大小
忽略不计)，在其正东方向相距 200 m 的点 A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆
弧上的点 B 以及湖中的点 C 处，再分别安装一套监测设备，且满足 AB AC ， 90BAC ．定
义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设 AOB ．则“直接监测覆盖区域”面
积的最大值为___________．
15．已知直线 y kx 是曲线 xy e 的切线，也是曲线 lny x m 的切线，则实数 k ________，
实数 m ________．
16．已知函数 2
2
2( ) log 1 22 1xf x x x
， xR ，若 0, 2
π
使关于 的不等式
(2sin cos ) (4 2sin 2cos ) 2f f m 成立，则实数 m 的范围为___________．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知数列 na 的前 n 项和为 *
nS nN ．
（1）若 na 为等差数列， 11 165S ， 3 8 28a a ，求 na 的通项公式；
（2）若数列 nS 满足 1 22
1 1 1 3 52 2 2 nnS S S n ，求 nS ．
18．（12 分）在平面四边形 ABCD 中， 4AB ， 2 2AD ，对角线 AC 与 BD 交于点 E ，E 是 BD
的中点，且 2AE EC ．
（1）若 π
4ABD ，求 BC 的长；
（2）若 3AC ，求 cos BAD ．
19．（12 分）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的
商品和服务评价系统．现从评价系统中选出 200 次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好
评率为 3
5
，对服务的好评率为 7
10
；其中对商品和服务均为好评的有 80 次．
（1）是否可以在犯错误概率不超过 0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 4 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为
随机变量 X ，求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列及其期望．
2
0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
（其中 n a b c d ）．
20．（12 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60ABC ，
90ASD ，且 2SC ．
（1）证明：平面 SAD 平面 ABCD ；
（2）当四棱锥 S ABCD 的体积最大时，求二面角 B SC D 的余弦值．
21．（12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的一个焦点为 3,0 ，且过点 31, 2
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设 1 ,0A a ， 2 ,0A a ， 0,B b ，点 M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线 1A B 与
直线 2A M 交于点 P ，直线 1A M 与直线 2A B 交于点Q ．求证： BPQV 为等腰三角形．
22．（12 分）已知函数 1xf x e ax ， 2g x kx ．
（1）当 0a 时，求 f x 的值域；
（2）令 1a ，当 0,x 时，
ln 1
g xf x xx
恒成立，求 k 的取值范围．
数 学答 案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】 1 3 4iz ， 2 2 iz ，则 1 2 5 5iz z ，
∵ ( )f z z ，则 1 2 1 2( ) 5 5if z z z z ，故选 D．
2．【答案】C
【解析】 12 1 01 { | 1 }2
xA x x xx
，
由 0 1 1x ，得 0 1x ，所以 { | 0 1}B x x ，
所以 A B { | 1 1}x x ，故选 C．
3．【答案】C
【解析】对于定义域内任意 x，y，都有 ( ) ( ) ( )f xy f x f y 成立，
令 2x y ，得 (4) (2) (2) 1 1 2f f f ，
(2) (4) 1 2 3f f ，故选 C．
4．【答案】D
【解析】设等比数列前 3n 项和为 x ，
因为等比数列前 n 项的和为 48 且不为零，则 48 ， 60 48 ， 60x 成等比数列，
故 48 60 144x ，故 63x ，故选 D．
5．【答案】B
【解析】由题意，向量 a ， b 满足 2a ， 1b ，且 π, 3
a b ，
可得 2 2π( ) 2 1 cos 1 03
a b b a b b ，
所以向量 a b 与b 的夹角为 π
2
，故选 B．
6．【答案】C
【解析】圆C 的圆心为 1,C a ，半径为 2r = ，
由于 ABC△ 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则 45CAB ，
设圆心C 到直线l 的距离为 d ，则
2
2 2
1
ad
a
，
则
2
1 2sin 21
adCAB r a
，
整理可得 2 4 1 0a a ，解得 2 3 2 3a ，
因为直线l 不过圆心C ，则 2 2 0a ，解得 1a ，
综上所述， 2 3,1 1,2 3a ，故选 C．
7．【答案】D
【解析】由图象可知 3A ．
因为 30 2f ，所以 3cos 2
．
又 0 π ，可得 π
6
，
由 5π 33f
，所以 5π π 2 π π3 6 k k Z ，解得 6 1
5 2k k Z ，
结合选项可知 1
2
，因此 π3cos 2 6f xx
，故选 D．
8．【答案】A
【解析】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，
当三人组中包含小明和小李时，安装方案有 1 2
3 2C A 6 种；
当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有 2
2A 2 种，
共计有 6 2 8 种，故选 A．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．【答案】ACD
【解析】因为 f x 为奇函数，所以 f x f x ，
因为 g x 的图象关于直线 1x 对称，所以 1 1g x g x ，
A 项： ( ) ( ) ( )1 1 1g f x g f x g f x轾 轾 轾- + = - + = +臌 臌 臌 ，
则函数 ( ) 1y g f x轾= +臌 为偶函数，A 正确；
B 项： ( ) ( ) ( )g f x g f x g f x轾 轾 轾- = - ¹ -臌 臌 臌 ，不是奇函数，B 错误；
C 项：因为 1 1g x g x ，所以 ( ) ( )1 1f g x f g x轾 轾- = +臌 臌 ，
则 y f g x 的图象关于直线 1x 对称，C 正确；
D 项：因为 1 1g x g x ，所以 ( ) ( )1 1f g x f g x轾 轾- + = +臌 臌 ，
则函数 ( )1y f g x轾= +臌 为偶函数，D 正确，
故选 ACD．
10．【答案】AC
【解析】如图，
在 A 中，∵ 1 1 1 1AC B D ， 1 1 1AC BB ， 1 1 1 1B D BB B ，
∴ 1 1AC 平面 BB1D1，∴ 1 1 1AC BD ，同理， 1 1DC BD ，
∵ 1 1 1 1AC DC C ，∴直线 1BD 平面 1 1AC D ，故 A 正确；
在 B 中，由正方体可知平面 1B CD 不垂直平面 ABCD ，故 B 错误；
在 C 中，∵ 1 1A D B C∥ ， 1A D 平面 1 1AC D ， 1B C 平面 1 1AC D ，∴ 1B C∥平面 1 1AC D ，
∵点 P 在线段 1B C 上运动，∴ P 到平面 1 1AC D 的距离为定值，
又 1 1AC D△ 的面积是定值，∴三棱锥 1 1P AC D 的体积为定值，故 C 正确；
在 D 中，当点 P 与线段 1BC 的端点重合时，异面直线 AP 与 1A D 所成角取得最小值为 π
3
，
故异面直线 AP 与 1A D 所成角的取值范围是[π ,3
π]2
，故 D 错误，
故选 AC．
11．【答案】AD
【解析】 2 0 1a ab b a ，
2
1
ab a
．
对于 A： 22 ( 1) 1 11 21 1 1
aab aa a a
，
1a ， 1 0a ， 1 11 2 2 ( 1) 2 41 1b a aa a
，即 4b ，故 A 正
确；
对于 B： 1 12 2 1 2 3( 1) 4 2 3 41 1a b a a aa a
，
2 3 4 8 ， 2 8a b 不一定成立，故 B 错误；
对于 C： 2
2
1 1 1 1 1( 1) 1 1a
a b a a a
，故 C 错误；
对于 D：
2 3
2[( 1) 1] 1( 1) 3( 1) 31 1 1
a aab a a aa a a
2 6 812 5
1 115 ( 1) ( ) [ ]6( 1) 8 32 8( 1)( 1) 32 8( 1)
a aa a a a
15 2734 4
，故 D 正确，
故选 AD．
12．【答案】AB
【解析】抛物线的焦点为 (1,0)F ，设直线 AB 方程为 ( 1)y k x ， 0k ，
1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，
由 2
( 1)
4
y k x
y x
，得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k ，
2
1 2 2
2 4kx x k
， 1 2 1x x ，
∴ 1 2
2
212M
x xx k
， 2( 1)M My k x k
，直线 MN 方程为 2y k
，
∵ , ,O P A 共线，∴
1 1
P Px y
x y
，
2
1 1 1 1
1 1 1
2
2 2
P
P
x y x y yx y ky ky k
，
同理 2
2Q
yx k
，
1 2
2
2
2
M
P Q
y y yx x k k k
， 2 2
2 21 1M N P Qx x x xk k
，
∴ M P Q Nx x x x ，即 MP NQ ，A 正确；
若 P ， Q 不 是 线 段 MN 的 三 等 分 点 ， 则 1
3PQ MN ，
1 2
2 2
1 2 1 21 ( 1) 22 3 3
y y
k k k
，
2
1 2
4( 1)
3
ky y k
，
又 1 2
42 My y y k
， 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( 1) 4y y k x x k x x x x ，
∴ 2
1 2 1 2 1 2 2
16( ) 4 16y y y y y y k
，∴
2
2
16 4( 1)16 3
k
k k
，解得 2 2k ，（∵
0k ），B 正确；
由 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k ，得
2 2
2
2 2 1k kx k
，
2 2
2 2
2 2 1k kx k
，
∴
2
2 2
2 2 1( 1) ky k x k
，
2
2
2
1 1
2Q
y kx k k
，
又 2
Q My y k
，∴
2 22 2 2
2 2
1 1 2 5 2 2 1k k kOQ k k k
，
2
1 2
2
2 1
2
y y kPQ k k
，
∴
2 2 2 2 2
2 2
4 4
5 2 2 1 4(1 ) ( 1 1)( 1 3)k k k k kOQ PQ k k
，
当 2 2k 时， OQ PQ ，C 错；
由图可知 1NQ ，而 2
QOQ y k
，只要 0 2k ，就有 1OQ NQ ，D 错，
故选 AB．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】1215
【解析】∵二项式 13
n
x x
的展开式中，所有项的系数之和为 64，
∴令 1x ，得 2 64n ， 6n ．
613 x x
的展开式的通项公式为 6 336 62 2
1 6 6C 3 ( 1) ( 1) C 3
r r
r r r r r r r
rT x x x
，
令 33 02
r ，可得 2r = ，
613 x x
的展开式的常数项为 2 2 4
6( 1) C 3 1215 ，故答案为 1215．
14．【答案】 210000 5 25000 m
【解析】在 OAB△ 中， AOB ， 100OB ， 200OA ，
2 2 2 2 cosAB OB OA OB OA AOB ，即 100 5 4 cosAB ，
21 1sin2 2OACB OAB ABCS S S OA OB AB △ △ ，
2 5100 sin 2cos 2OACBS
，
令 tan 2 ，则 2 5100 5 sin 2OACBS
，
“直接监测覆盖区域”面积的最大值为 210000 5 25000 m ，
故答案为 210000 5 25000 m ．
15．【答案】 e ，2
【解析】对于 xy e ，设切点为 ( , )nn e ，
因为 xy e ，故切线斜率 nk e ，
故切线方程为 ( )n ny e e x n ，由已知得切线过 (0,0) ，
所以 ( )n ne e n ，故 1n ，所以 k e ．
对于 lny x m ，设切点为 ( ,ln )c c m ，
所以 1y x
，因为切线为 y ex ，得 1|x cy ec ，
所以 1c e
，所以切点为 1( ,1)e
，代入 lny x m ，得 11 ln me
，所以 2m ．
故答案为 e ，2．
16．【答案】 2m
【解析】显然函数定义域是 R ，
2 2
2 2
2 2( ) ( ) log ( 1 ) 2 log ( 1 ) 22 1 2 1x xf x f x x x x x
2 2
2
2 2 2log ( 1 )( 1 ) ( ) 4 21 2 2 1
x
x xx x x x
，
∴ ( )y f x 的图象关于点 (0,1) 对称，
原不等式可化为 (2sin cos ) 2 (4 2sin 2cos )f f m ，
即 (2sin cos ) ( 4 2sin 2cos )f f m ，(*)
设 1 2x x ，
则 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 21 ( 1 ) 1 1 ( )x x x x x x x x
2 2
1 2 1 2
1 2 1 22 2 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) 1
1 1 1 1
x x x xx x x x
x x x x
，
∵ 2
1 11x x ， 2
2 21x x ，∴ 2 2
1 2 1 21 1x x x x ，
∴ 1 2
2 2
1 2
1 1
1 1
x x
x x
，
∴ 2 2 1 2
1 1 2 2 1 2 2 2
1 2
1 ( 1 ) ( 1
1 1
0) x xx x x x x x
x x
，
即 2 2
1 1 2 21 1x x x x ，
2 2
2 1 1 2 2log ( 1 ) ( 1 )x x x x ，
由 1 22 2x x ，得
1 2
1 1
2 1 2 1x x
，
∴
1 2
2 2
2 1 1 2 2 2
2 2log ( 1 ) 2 log ( 1 ) 22 1 2 1x xx x x x
，
∴ ( )f x 是增函数，
不等式(*)化为 2sin cos 4 2sin 2cosm ，(**)
令 sin cos 2 sin( )4
πt ，
∵ π0, 2
，∴ [1, 2]t ，
不等式(**)化为 2 1 4 2t m t ， 2( 1) 2m t ，
问题转化为存在 [1, 2]t ，使不等式 2( 1) 2m t 成立，
当 [1, 2]t 时， 2( 1) 2t 的最小值为 2，
∴ 2m ，故答案为 2m ．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．【答案】（1） 2 3na n ；（2） 16, 1
3 2 , 2n n
nS n
．
【解析】（1） na 是等差数列，设公差为 d，
11 611 165S a ， 6 15a ，
3 8 28a a ， 5 6 28a a ， 5 13a ， 2d ，
13 2( ) 35 2n na n ．
（2） 1 22
1 1 1 3 52 2 2 nnS S S n ，①
1 2 12 1
1 1 1 3 2 22 2 2 nnS S S n n ，②
① ②，得 1 3 22 nn S n ， 3 2 2n
nS n ，
当 1n 时， 1 16S ，
综上： 16, 1
3 2 , 2n n
nS n
．
18．【答案】（1） 10
2BC ；（2） 2
4
．
【解析】（1）在 ABD△ 中， 4AB ， 2 2AD ， π
4ABD ，
由正弦定理得
sin sin
AB AD
ADB ABD
，
所以
π4 sin 4sin 1
2 2
ADB
，
因为 0 πADB ，所以 π
2ADB ，所以 2 2BD ，
所以 2DE BE ， 10AE ，
所以 5cos cos 5AED BEC ．
因为 2AE EC ，所以 10
2EC ．
由余弦定理得 2 2 2 5 10 5 52 cos 2 2 22 2 5 2BC BE EC BE EC BEC ，
所以 10
2BC ．
（2）因为 3AC ， 2AE EC ，所以 2AE ．
设 DE BE x ，
在 ABD△ 中，由余弦定理得 2 2 22 2 4 4
cos
2 2 2 2
x
ADB
x
；
在 AED△ 中，由余弦定理得 2 2 22 2 2
cos
2 2 2
x
ADB
x
，
所以
2 24 8 4
8 2 4 2
x x
x x
，解得 2 2x ，
所以 4 2BD ，
在 ABD△ 中，由余弦定理得
2 2 2 16 8 32 2cos 2 416 2
AB AD BDBAD AB AD
．
19．【答案】（1）不可以在犯错误概率不超过 0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）
分布列见解析， 8
5
．
【解析】（1）由题意可得关于商品和服务评价的 2 2 列联表如下：
对服务好评 对服务不满意 总计
对商品好评 80 40 120
对商品不满意 60 20 80
总计 140 60 200
2
2 200(1600 2400) 1.587 2.706140 60 120 80K
，
所以，不可以在犯错误概率不超过 0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 80 2
200 5
，
且 X 的取值可以是 0,1,2,3,4 ．
其中
4
4
3 81( 0) 5 5P X
；
3
1
4 4
2 3 216( 1) C 5 5 5P X
；
2 2
2
4 4
2 3 216( 2) C 5 5 5P X
；
3
3
4 4
2 3 96( 3) C 5 5 5P X
；
4
4
2 16( 4) 5 5P X
，
X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 4
81
5 1
216
5 4
216
5 4
96
5 4
16
5
由于 2~ 4, 5X B
，∴ 8
5EX ．
20．【答案】（1）证明见解析；（2） 2 7
7
．
【解析】（1）如图：
取 AD 的中点 O ，连接 SO ､CO 和 AC ，
∵ 60ADC ABC ，且 AD DC ，
又 2AD CD ，则 ACD△ 为正三角形，故CO AD ， 3CO ，
又∵ 90ASD ，∴ ASD△ 为直角三角形，∴ 1 12SO AD ，
在 ACS△ 中， 2 2 2CO SO SC ，则CO SO ，
又 AD SO O ， AD 、 SO 平面 ADS ，
∴CO 平面 ADS ，
又∵CO 平面 ABCD ，∴平面 SAD 平面 ABCD ．
（2）∵ 90ASD ，则点 S 在以 AD 为直径的圆上，且 1SO ，
设点 S 到平面 ABCD 的距离为 d ，∴ 1
3S ABCD ABCDV S h 菱形 ，
而 12 2 2 sin60 2 32ABCDS 菱形 ，
∴当 d 取最大值时四棱锥 S ABCD 的体积最大，
此时 SO 平面 ABCD ，
又由（1）可知CO AD ，如图建系，
则 ( 3, 2,0)B ， (0,0,1)S ， ( 3,0,0)C ， ( )0,1,0D ，
则 ( 3,2,1)BS ， ( 3,0, 1)SC ， (0,1, 1)SD ，
设平面 BSC 的法向量为 1 1 1,( ),x y zm ，则 0
0
BS
SC
m
m
，即 1 1 1
1 1
3 2 0
3 0
x y z
x z
，
取 1 1x ，则 1 0y ， 1 3z ，得 (1,0, 3)m ；
设平面 SCD 的法向量为 2 2 2,( ),x y zn ，则 0
0
SC
SD
n
n
，即 2 2
2 2
3 0
0
x z
y z
，
取 2 1x ，则 2 3y ， 2 3z ，得 (1, 3, 3)n ，
则 1 3 2 7cos , 72 7
m nm n
m n
，
设二面角 B SC D 的平面角为 ，经观察 为钝角，
则 2 7cos cos , 7
m n ，
故二面角 B SC D 的余弦值为 2 7
7
．
21．【答案】（1）
2
2 14
x y ；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得 2 2 2
2 2
3
1 3 14
c
a b c
a b
，解得椭圆 C 的方程是
2
2 14
x y ．
（2）易得 1 2,0A ， 2 2,0A ， 0,1B ，
1
1: 12A B y x ， 2
1: 12A B y x ，
设直线 1
1: 2 , 02A M y k x k k
，
联立
2 2
2
4 4
y k x
x y
，得 2 2 2 24 1 16 16 4 0k x k x k ，
2
2
162 4 1M
kx k
，得
2
2
8 2
4 1M
kx k
， 2
4
4 1M
ky k
，
2
1
2 4
M
A M
M
yk x k
，
直线 2
1: 24A M y xk
，
联立
2
1 12
y k x
y x
，得 2 4 4,2 1 2 1
k kQ k k
；
联立
1 24
1 12
y xk
y x
，得 2 4 2,2 1 2 1
kP k k
，
PQ x 轴且 PQ 的中点 N 为 2 4 ,12 1
k
k
，
//BN x 轴，
BN 为 BPQV 的中线且 PQ BN ，
BPQ△ 为等腰三角形．
22．【答案】（1） ln 1,a a a ；（2） ,1 ．
【解析】（1）∵ xf x e a ，
由 0f x ，得 lnx a ，
∴ f x 在区间 ,ln a 上单调递减，在区间 ln ,a 上单调递增．
∴函数 f x 的最小值为 lnln ln 1 ln 1af a e a a a a a ，
∴函数 f x 的值域是 ln 1,a a a ．
（2）当 1a 时， 1xf x e x ，
21 1 ln 1ln 1
g xf x f x x kxx
（ 0x ），
2 21 ln 1 1 ln 1xf x x kx e x kx ，
2 ln 1
1 1
1 ln 1
1
ln 1 ln 1
x x
x
x
e e
e x x xk xx e
x x
，
令 1xem x x
，则
2
1 1xx em x x
，
令 1 1xx x e ，则 xx xe ，
∵ 0x ， 0x ， x 在 0, 上单调递增，
∴ 0 0 x ， 0m x ，
于是 m x 在 0, 上单调递增，且 0m x ，（ 0x ），
又由（1）知当 1a ， 0,x 时， 1xf x e x 的值域是 0, ，
即 1 0 0xf x e x f ，
所以， 1xe x 恒成立，∴ ln 1x x ，
所以， ln 1m x m x ．
即
1
ln 1
m x
m x
，所以 1k ，
∴ k 的取值范围是 ,1 ．
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