安徽省安庆市2021届高三高考模拟考试（一模）数学（文）（Word版附答案）

2021 年普通高中高考模拟考试(一模) 数学(文科)试题 (满分：150 分 时间：120 分) 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第 I 卷 选择题(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。) 1.集合 A＝{x∈N|x2－x－60)，圆 M：(x＋2)2＋y2＝3 与双曲线 C 的一条渐近线相交所 得弦长为 2，则双曲线的离心率等于 A. 2 B. 3 C. 6 2 D. 7 2 11.四面体 A－BCD 中，AB＝CD＝2，BC＝1，∠BCD＝ 2 3  ，且 AB⊥面 BCD，则四面体 A －BCD 的外接球表面积为 A.36π B.9π C.124 3  D. 40 3  12.已知函数 f(x)＝xlnx－ 1 2 ax2－2x 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 A.(－∞，e－2) B.(0，e－2) C.(－∞，e－1) D.(0，e－1) 第 II 卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题后的横线 上) 13.函数 f(x)＝x2ex 在点(1，f(1))处的切线方程为 。 14.已知实数 x，y 满足 x 4y 2 0 2x 3y 4 0 3x y 5 0            ，则 z＝2x＋y－1 的最大值为 。 15.已知圆 C：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0，点 P 是直线 x－y＋1＝0 的一动点，AB 是圆 C 的一条 直径，则 PA PB  的最小值等于 。 16.在△ABC 中，∠C＝120°，△ABC 的面积为 4 3 ，D 为 BC 边的中点，当中线 AD 的长度 最短时，边 AB 长等于 。 三、解答题(共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题 12 分) 已知数列{an}对任意的 n∈N*都满足 31 2 n 2 3 aa a a n3 3 3 3n    。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝ 3 4n 1 3 4n 3 1 log a log a  ，求数列{bn}的前 n 项和为 Tn。 18.(本小题满分 12 分) 某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗 用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据： 从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为 2 5 。 (1)能否有 99.9%的把握认为注射此疫苗有效？ (2)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取 6 只进行病理分析，然后从 这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有 1 只为注射过疫苗的概 率。 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      。 19.(本小题满分 12 分) 四棱锥 P－ABCD 中，面 PAD⊥面 ABCD，AB//CD 且 AB⊥AD，PA＝CD＝2AB＝2，AD ＝PD＝ 3 ，E 为 PB 中点。 (1)求证：PA⊥面 CDE。 (2)求点 E 到面 PCD 的距离。 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，直线 l：x－4 3 y＋ 3 ＝0 过椭圆的左焦点 F， 与椭圆 C 在第一象限交于点 M，三角形 MFO 的面积为 3 4 ，A、B 分别为椭圆的上下顶点， P、Q 是椭圆上的两个不同的动点。 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)直线 PA 的斜率为 kPA，直线 QB 的斜率为 kQB，若 2kPA＋kQB＝0，问直线 PQ 是否过定点， 若过定点，求出定点；否则说明理由。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝ lnx a x  (a∈R) (1)讨论 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)≤ex－1＋ 1 x －1 恒成立，求实数 a 的取值范围。 [选考题] 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按 所做的第一个题目计分。 22.(本小题满分 10 分)[选修 4－4：坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x 2 2cos y 1 2sin        (θ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρcos(θ＋ 4  )＝ 2 。 (1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； (2)直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，设点 P 的坐标为(0，－2)，求|PM|2＋|PN|2 的值。 23.(本小题满分 10 分)[选修 4－5：不等式选讲] 已知函数 f(x)＝|2x－a|－|x＋1|。 (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)0，不等式 f(x)＋2>0 恒成立，求实数 a 的取值范围。 2021 年普通高中高考模拟考试（一模） 高三模拟考试数学（文）参考答案 一、 选择题 （每小题 5 分，共 60 分） 二、填空题 （每小题 5 分，共 20 分） 13. 3 2 0ex y e   14. 3 15. 7 2 16. 2 14 1. 解析：因为    2| 6 0 0,1,2A x N x x      ，所以  0,1,2A B  ，故选 C. 2.解析： 3 2 4 7 2 5 5 iz ii    ，故在第四象限，选 D。 3 解析：   pf x x x   在 2, 上为增函数的充要条件为 4p  ， 0 4p  是 4p  的真子集，为充分不必要条件，故选 A. 4 解析:从扇形统计图中可以看到，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同， 但建设后总收入为之前的 2 倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的 2 倍，选 项 C 错误。故选 C. 5 解析：  2 3 7,9 2c b m m    ，由   3 7,9 2 2,1 4 5 0m m m     得 5 4m  ，故 选 B. 6.解析：由  3sin sin 02          得 tan 3  ，而  ,0   ， 3 3 10sin 1010      。故选 A. 7 解析：抛物线 2 4x y 的焦点  0,1F ， 2 2d PE PF    5PF PA FA   , 从而 2 5 2PA d PA PF      . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C B A B C D A D B 所以 PA d 的最小值等于 2 5 ，选 B. 8.解析：由条件知 na n ，从而    2 1 8 1 81 8 9 8 9 n n n a n n a a n n n n n n           ， 而 1 32 , 315 44 第 项为 第 项为 ，从而最大项为 3 44 .故选 C. 9 解析：    2sin 2 , 2sin 23 6f x x g x x              7, 2 ,3 12 6 2x x                当 时， ，从而答案 D 正确。 10.解析：双曲线的一条渐近线为 0bx ay  ，条件知圆心 2,0 到渐近线的距离 等于 2 ，从而有 2 2 2 2 2b b ca b    ，即 2 2b c ，所以 2 2a c ， 故 2ce a   ，选 A. 11.解析：根据题意，构造一个直三棱柱，如图所以， 1 2O O， 分别为上下两个底面的外接圆圆心，根据球的性质， ， 球心O必为 1 2O O 的中点，从而球的半径为OB .设为 R , BCD 的外接圆半径设为r 2 14 1 2 2 1 72BD            ，由正弦定理可得 7 3 r  ， 2 2 101 3R r   ，球的表面积 2 404 3S R   ,故选 D. 12.解析：答案 B.   ln 1f x x ax    ，题意为   ln 1f x x ax    在 0, 上有两 个不同的零点，即ln 1 0x ax   有两个不同的正根 ，从而转化为 ln 1xa x  有两个 不同的正根，即为 ln 1xy a y x  与 有两个不同的交点。 函数    2 2ln 1 0 +xy e ex  在 ， 为增函数，在 ， 为减函数， 数形结合可得， 2 10,a e     ，故选 B. 13 解析：        2 2 , 1 3 , 1xf x e x x f e f e     ，在   1, 1f 处的切线方程为 3 2 0( 3 2 )ex y e y ex e     14.解析：不等式组所表示区域为图中阴影区域， 由条件      2,0 , 1,2 , 2, 1A B C  当经过点  1,2B 时， z 取得最大值，且 3z  故答案为 3. 15.解析：      2 2 31 1 1, 1, 1 1 2 C x y     圆 ： 圆心 到直线x-y+1=0的距离d= ，         2 2 PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA                      2 min 71 2PA PB d     。 16. 解析： 1 sin120 4 3, 162S ab ab    2 2 2 2 2 32 cos120 2 242 2 2 2 2 2 2 a a a ab a abAD b b b b ab                       当且仅当 1 2b a ，即 4 2, 2 2a b  时，等号成立。 此时 2 132 8 2 4 2 2 2 562AB            ，故 2 14AB  . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分， 17（本题满分 12 分） 解：（1） 31 2 12 3 , 1 33 3 3 3 n n a aa a n n a       当 时， ……1 分 3 -11 2 2 3 -12 -13 3 3 3 n n a aa an n    当 时， ……2 分 从而有 1 2 33 nn nn a n a  ，即当 时， ……4 分 又 1a 满足上式 ， ……5 分 故数列 na 的通项公式为 3n na  . ……6 分 （2）   4 1 4 3 3 3 1 1=log log 4 1 4 3n nn a ab n n     ……7 分    1 1 1 1= 4 1 4 3 4 4 1 4 3nb n n n n         ……9 分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 7 4 7 11 4 4 1 4 3nT n n                       1 1 1 4 3 4 3nT n      ……12 分 18.（本题满分 12 分） 解（1）根据条件 60 3 5m  ，得 100m  ， 从而 40, 70, 100a b n   ……2 分 由  2 2 200 40 30 70 60 18.182100 100 110 90K        ……4 分 因为18.182 10.828 ，所以有99.9%的把握认为注射此疫苗有效. ……5 分 （2）在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为 2:1，所以从未 注射疫苗的小白鼠中抽取 4 只，记为 , , ,a b c d ；从注射疫苗的小白鼠中抽取 2 只， 记为 ,e f . ……7 分 （3）从 6 只小白鼠中抽取 2 只共有 15 种方法， 即有         , , , , , , , , ,a b a c a d a e a f              , , , , , , , , , , , , ,b c b d b e b f c d c e c f     , , , ,d e d f e f ……9 分 记  1A  至少有 只为注射过疫苗 ,则 A 包含 9 个基本事件， ……10 分 从而   9 3 15 5P A   ……11 分 故至少有 1 只为注射过疫苗的概率为 3 5 . ……12 分 19（本题满分 12 分） （1）证明：取 PA 中点 F ，连接 ,DF EF ， 因为 EF AB ，而 AB CD ， 所以 EF CD ，从而有 EFCD四点共面。……1 分 ,AD DP F AP PA DF   且 为 中点， ， ……2 分 又面 PAD  面 ABCD,且CD AD ， 由面面垂直性质定理得CD PAD 面 ……3 分 从而 PA CD ， ……4 分 CD DF F与 相交于点 ，故 PA CDE 面 。 ……5 分 （2）由（1）知 EF CD ，故 E点到面PCD的距离即为F点到面PCD的距离 。 ……7 分 过 F FH PD点作 ，因为CD PAD 面 ， 所以 FH CD ，故 FH PCD 面 . ……9 分 在 Rt PDF 中， 1, 3, 2PF PD DF   , 从而 1 2 6 33 FH   ， ……11 分 故 6 3E点到面PCD的距离为 . ……12 分 20（本题满分 12 分） .解：直线 : 4 3 3 0l x y   过左焦点 F ，所以  3,0F  ， 3c  ……1 分 又 1 3 13 =2 4 2OMF M MS y y    由 可知 ……2 分 从而椭圆经过点 13 2      ， ……3 分 由椭圆定义知 1 12 12 4, 22 4a a    即 ……4 分 故椭圆的方程为 2 2: 14 xC y  . ……5 分 （2）设直线 PA 的方程为 1y kx  ，则QB 的方程为 2 1y kx   ， 由 2 2 1 4 4 y kx x y      得 2 24 1 8 0k x kx   从而点 P 坐标为 2 2 2 8 1 4,4 1 4 1 k k k k        ……6 分 由 2 2 2 1 4 4 y kx x y       得 2 216 1 16 0k x kx   从而点Q 坐标为 2 2 2 16 16 1,16 1 16 1 k k k k        ……7 分 由条件知 0k  ，从而直线 PQ 的斜率存在， 28 1 4PQ kk k  ……9 分 所以直线 PQ 的方程为 2 2 2 2 1 4 8 1 8 4 1 4 4 1 k k ky xk k k          即 28 1 34 ky xk   ，过定点 0,3 . ……11 分 故直线 PQ 过定点 0,3 。 ……12 分 21（本题满分 12 分） （1）函数 f(x)的定义域为 ),0(  2 ln1)( x xaxf  ……1 分 由 0)(  xf 即 0ln1  xa ，解得 aex  10 ……2 分 由 0)(  xf 即 0ln1  xa ，解得 aex  1 ……3 分 故 f(x)的单调递增区间为 ),0( 1 ae  ，单调递减区间为 ),( 1 ae . ……4 分 （2） 1 1( ) 1xf x e x    恒成立 即 11ln 1   xex ax x 对 ),0( x 恒成立 1ln1   xxxea x 对 ),0( x 恒成立 ……5 分 令 1ln)( 1   xxxexu x ， 则 )1)(1(11)( 111 xexxxeexu xxx   ……6 分 上单调递减在时，当 )1,0()(,0)()1,0( xuxux  上单调递增在时，当 ),1()(,0)(),1(  xuxux ……9 分 1)1()(1  uxux 取最小值时，故 ……11 分 所以 1a . ……12 分 22.（本题满分 10 分） 解： （1）曲线 C： 4)1()2( 22  yx ……2 分 直线 l ： 02  yx ……4 分 （2）设l ： 2 2 ( 22 2 x t t y t       为参数） ……5 分 将l 的参数方程 代入 2 2( 2) ( 1) 4x y    得 4)2 23()22 2( 22  tt 09252  tt ……7 分 故 2521  tt ， 921 tt ……8 分 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 50 18 32PA PB t t t t t t         故 2 2 32PA PB  …… 10 分 23（本题满分 10 分） （1）当 2a  时，   2 2 1f x x x    即   3, 1 1 3 , 1 1 3, 1 x x f x x x x x            当 1x  时，   1f x  即 3 1x   ，从而有1 4x  ； 当 1 1x   时，   1f x  即1 3 1x  ，从而有0 1x  ； 当 1x   时，   1f x  即3 1x  ，此时为； 综上所述：  0,4x ……5 分 （2）若 0a  ，   1, 2 1 3 , 1 2 1 , 1 ax a x af x a x x a x x                 由函数性质可知   , +2 2 a af x            在 为减函数，在 ， 为增函数 ， 所以 min 12 2 a af f        ……8 分 题意为 min 2f   ，即 1 22 a    ，从而得 2a  又 0a  ，故  0,2a ……10 分