吉林省吉林市2021届高三下学期第三次调研测试（3月）数学（文）（Word版附答案）

吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第三次调研测试 文科数学 本试卷共 23 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效. 4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀. 第 I 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求. 1. 已知集合  1 xNxA ，  2,1,0,1B ，则 BA 的子集的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且 )()2( xfxf  ，则 )8(f 的值为 A. 1 B. 2 C. 0 D. 1 3. 已知直线 l 经过点 )1,1(  ，且与直线 052  yx 垂直，则直线 l 的方程为 A. 012  yx B. 032  yx C. 012  yx D. 032  yx 4. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、 谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三 ★ 启封前保密 ★ 个节 气日影长之和为 5.28 尺，最后三个节气日影长之和为 5.1 尺，今年 3 月 20 日 17 时 37 分 为春分时节，其日影长为 A. 5.4 尺 B. 5.3 尺 C. 5.2 尺 D. 5.1 尺 5. 口袋中装有 3 个红球和 4 个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出 3 个球，则互斥而 不对立的事件是 A. 至少有 1 个红球与至少有 1 个黑球 B. 至少有 1 个红球与都是黑球 C. 至少有 1 个红球与至多有 1 个黑球 D. 恰有 1 个红球与恰有 2 个红球 6. 若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 034  yx 和 x 轴都相切，则该圆的标 准方程是 A.     113 22  yx B.     132 22  yx C.     112 22  yx D.     123 22  yx 7. 把二进制数  21010 化为十进制数为 A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8. 已知圆锥 SO 的底面半径为 r ，当圆锥的体积为 3 6 2 r 时，该圆锥的母线与底面所成角 的 正弦值为 A. 3 3 B. 3 2 C. 2 3 D. 2 2 9. 已知函数  0sin  abaxy 的图象如图所示，则函数  bxy a  log 的图象可能是 10. 已知 m 是1 和 9 的等比中项，则圆锥曲线 1 2 2  m yx 的离心率为 A. 3 6 B. 3 6 或 2 C. 3 32 D. 3 6 或 3 32 11. 平面直角坐标系 xOy 中， )0,2(A ,该平面上的动线段 PQ 的端点 P 和Q 满足 5|| OP ， 6OAOP ， POOQ 2 ，则动线段 PQ 所形成图形的面积为 A. 36 B. 60 C. 72 D. 108 12. 已知函数   xxaxf 2ln  ，在区间  3,0 内任取两个实数 21 , xx ，且 21 xx  ，若不 等 式     111 12 21   xx xfxf 恒成立，则实数 a 的最小值为 A. 2 9 B. 2 C. 22 D. 3 11 第 II 卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 其中第 16 题的第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分. 13. 己知 i 是虚数单位，复数 || 1 i iz  ，则 z 的虚部为____________. 14. 设 5.1ea  ， eb 3log ， 5log 3 1c ，则 a ， b ， c 按从小到大的顺序为____________. 15. 已知 5 3cos,)0,2   （ ，则 ）（ 22cos   =____________. 16. 已知圆 C ： 16)1( 22  yx ， P 是圆 C 上任意点，若 )0,1(A ，线段 AP 的垂直平分 线与直线 CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是____________；若 A 是圆C 所在平面内 的一定点，线段 AP 的垂直平分线与直线 CP 相交于点Q ，则点 Q 的轨迹是：①一个点 ② 圆 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线，其中可能的结果有____________. 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第 17 ~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17．（本小题满分 12 分） 已 知 ABCΔ 的 内 角 CBA ,, 所 对 的 边 分 别 为 cba ,, ， 若 向 量 )2,1( am  ， )cos,( Ban  ,且 nm  . （Ⅰ）求角 B ； （Ⅱ）若 22b , 32a ，求角 A ． 18．（本小题满分 12 分） 2020 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾 害的考验，党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实 干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地， 已知土地的使用面积 x 与相应的管理时间 y 的关系如下表所示： 土地使用面积 x（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间 y （单位：月 ） 8 11 14 24 23 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 140 60 女性村民 40 （Ⅰ）做出散点图，判断土地使用面积 x 与管理时间 y 是否线性相关；并根据相关系数 r 说明相关关系的强弱.（若 75.0r ，认为两个变量有很强的线性相关性，r 值精确到 0.001）. 参考公式： 2 1 2 1 1 )()( ))((        n i i n i i i n i i yyxx yyxx r 参考数据： 16y ， 206)( 2 5 1   yy i i ， 7.22515  （Ⅱ）完成以下 22 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为该村的村民的性别与参与管理 意愿有关. 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 140 60 女性村民 40 合计 ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK   ， dcban  19. （ 本 小 题 满 分 12 分） 如图，在三棱柱 111 CBAABC  中，侧棱 1AA  底面 111 CBA ,  90BAC , ,4AB 21  AAAC , M 是 AB 中点，N 是 11BA 中点，P 是 1BC 与 CB1 的交点，点Q 在线 段 NC1 上. （Ⅰ）求证： //PQ 平面 CMA1 ； （Ⅱ）求点Q 到平面 CMA1 的距离. )( 0 2 kKP  0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 20.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 )0(2: 2  ppyxC 上的点 )1,( 0x 到其焦点 F 的距离为 2 3 ，过点 F 的直线 l 与抛物线C 相交于 BA, 两点，过原点O 垂直于 l 的直线与抛物线C 的准线相交于Q 点. (Ⅰ)求抛物线C 的方程及 F 的坐标； (Ⅱ)设 OABΔ , QABΔ 的面积分别为 1S , 2S ，求 21 11 SS  的最大值. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 axxexf x )( . (Ⅰ)若函数 )(xf 有两个极值点，求实数 a 的取值范围； (Ⅱ)若函数  2ln)()(  xx xfxg ，当 0a 时，证明：  0,2x ， 0)( xg . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 并用 2B 铅笔将所选题 号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为         ty tx 2 21 2 2 （ t 为参数），以坐标原点为 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为  sin4 ． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点 P 的直角坐标为 )1,0( ， l 与曲线C 交于 A ， B 两点，求 |||| PBPA  . 23. [选修 4—5：不等式选讲] 已知函数 |1||4|)( xxxf  ， Rx . (Ⅰ)解不等式： 5)( xf ； (Ⅱ)记 )(xf 的最小值为 M ，若正实数 a ， b 满足 Mba  ，试求： 1 1 2 1  ba 的 最小值. 吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第三次调研测试 文科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分，共 20 分. 其中第 16 题的第一个空填对得 2 分， 第二个空填对得 3 分. 13. 1 14. , ,c b a 15. 24 25 16. 2 2 14 3 x y  (2 分)， ①②③④ （3 分） 17. 【解析】 （1） nm   0cos2  Baanm  .  0a .........................................3 分 2 2cos  B  ,0B 4 B ....................................................... 6 分 （2）由正弦定理得 B b A a sinsin  2 2 22 sin 32  A 2 3sin  A .......................................... 9 分  ,0A 3  A 或 3 2 ......................................... 12 分 [注：①只写出一种情形且算对，扣 2 分；②未说明角范围各扣 1 分.] 18.【解析】 （Ⅰ）散点图如右图....................1 分 由散点图可知，管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关............................ 2 分 依题意: 35 54321 x ，又 16y 437281)2(0)5()1()8()2())(( 5 1   yyxx i i i .......... 3 分 10210)1()2()( 222222 5 1   xx i i ， 206)( 2 5 1   yy i i .................4 分 则 947.04.45 43 5152 43 20610 43 )()( ))(( 2 1 2 1 1           n i i n i i i n i i yyxx yyxx r ................ 5 分 由于 75.0947.0  ，故管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关性较强..................... 6 分 （Ⅱ） 22 列联表如下： .............. 8 分 假设 0H ：该村村民的性别与参与管理的意愿无关 2K 的观测值 828.1025100200120180 )604060140(300 2  k ............................. 10 分 001.0)828.10( 2 KP 所以有 9.99 %的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关. .................. 12 分 19.【解析】 （１）证明：连 .BN 连 ,11 HCAAC  连 MH MHBCMBAMHCAH //, 11  又 MH 面 CMA1 ， 1BC 面 CMA1 //1BC 面 CMA1 ................. 2 分 四边形 NBMA1 是平行四边形， MABN 1// BN 面 CMA1 ， MA1 面 CMA1 //BN 面 CMA1 ............................ 4 分  BNBCBBNBC ,, 11 面 NBC1 面 //1CMA 面 NBC1 ................................................... 5 分 【注：也可以利用 CAPNCMNC 11 //,// 证明】 PQ 面 NBC1  //PQ 面 CMA1 ...................................... 6 分 （２）由（１）知，面 //1CMA 面 NBC1 ．则点 B 到面 CMA1 的距离 h即为所求． 由 1AA 面 ABC 得 1AA 为锥体 CMBA 1 的高． 3 4222 123 1 3 1 11  CMBBMCA SAAV Δ .............................. 8 分 MCA1 中 2222  AMACMC ， 2222 11  ACAACA ， 2222 11  AMAAMA 则 3284 3 1 MCASΔ ................................................ 10 分 由 BMCAMCAB VV   11 即 3 4323 1  h 得 3 32h 即点Q 到面 CMA1 的距离为 3 32 ............................ 12 分 20.【解析】 解：(Ⅰ)由抛物线的定义知， 2 3 21  p ，解得 1p ..........................2 分 所以抛物线 C 的方程为 yx 22  ................................................ 3 分 焦点 )2 1,0(F ................................................................ 4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点 )2 1,0(F ,设 ),(),,( 2211 yxByxA 易知直线 l 存在斜率，设为 k ，直线 l 方程为 2 1 kxy ， 联立      yx kxy 2 2 1 2 ，消去 x 得： 04 1)12( 22  yky 044 24  kkΔ 恒成立，则 12 2 21  kyy ................................ 5 分 22|| 2 21  kpyyAB ................................................ 6 分 设原点O 到直线 l 的距离为 1d ， 12 1 21   k d 所以 12 1 12 1)1(22 1||2 1 2 2 2 11    k k kdABS ........................ 7 分 1S 解法二 联立      yx kxy 2 2 1 2 ，消去 y 得： 0122  kxx ， 044 2  kΔ 恒成立，则 kxx 221  ， 121 xx )1(24414)(1|| 222 21 2 21 2  kkkxxAB 设原点O 到直线 l 的距离为 1d ， 12 1 21   k d 所以 12 1 12 1)1(22 1||2 1 2 2 2 11    k k kdABS 1S 解法三 12 1442 1 2 1 4)(||2 1||||2 1 22 21 2 21211   kk xxxxOFxxOFS 易知 )2 1,2 1( kQ 设Q 到直线 l 的距离为 2d ， 12 2 2 2 2   k kd 所以 1)2(2 1 12 2)1(22 1||2 1 22 2 2 2 22    kk k kkdABS ................ 8 分 故 2 11 1 SS  = 2 12 1)2( )1(2 1)2( 2 1 2 2 2 22 2 222        k k kk k kkk .......... 9 分 设 112  km ， 1 12 2 1 2 1 211 2 21      mmmmm m SS ................10 分 当且仅当 mm 1 ，即 1m 时取等号 ..........................................11 分 所以 2 11 1 SS  的最大值为 1 ...................................................12 分 21.【解析】 解：(Ⅰ) axxexf x )( ,则 axexf x  )1()( ...........................1 分 )(xf 有两个极值点，则 0)1()(  axexf x 有两个不等实根 即 ay  与 )1()(  xexH x 有两个公共点 )1()(  xexH x )( Rx  )2()(  xexH x 令 0)(  xH 解得 2x ......................................................2 分 )()( xHxH ， 变化情况如下表所示： x )2,(  2 ),2(  )(xH  0  )(xH 单调递减 2 1 e  单调递增 2min 1)2()( eHxH  ..................................................4 分 当 x 时， )(xH 当 x 时，与一次函数相比 xey  呈爆炸增长， 01)(   xe xxH ..............5 分 故 )0,1( 2ea  ...................................................................6 分 (Ⅱ)当 0a 时， )2ln()2ln()()(  xexx xfxg x )02(  x ...........7 分 2 1)(  xexg x 在 )0,2( 单调递增，并且 011)1(  eg ， 05 31)3 1( 3  e g （也可以取其它点）  在 )3 1,1(  上 存 在 唯 一 实 数 根 0x 使 得 0)( 0  xg ...................................8 分 2 1 0 0  xe x ， 即 )2ln( 00  xx ① ........................................9 分 02 xx  时， 0)(  xg ， )(xg 在 ),2( 0x 上单调递减 00  xx 时， 0)(  xg ， )(xg 在 )0( 0，x 上单调递增 )2ln()()( 00min 0  xexgxg x ② .......................................10 分 由①②知， 02 )1( 2 1)()( 0 2 0 0 0 0   x xxxxgxg )3 11( 0  x 即 证 当 0a 时 ， )0,2(x , 0)( xg . .........................................12 分 (Ⅱ)方法二：当 0a 时， )2ln()2ln()()(  xexx xfxg x )02(  x ......7 分 令 )1()(  xex x )02(  x 01)(  xex  )(x 在 )0,2( 单调递减 0)0()( min   x ， 0)(  x 即 1 xe x ① ..............................9 分 再令 )2ln(1)(  xxxS )02(  x 2 1 2 11)(   x x xxS 当 12  x 时， 0)(  xS ， )(xS 在 )1,2(  单调递减 当 01  x 时， 0)(  xS ， )(xS 在 )0,1( 单调递增 0)1()()( min  SxSxS 即 )2ln(1  xx ② ..................................................11 分 由①②知， 02  x 时， )2ln(  xe x 即 证 当 0a 时 ， )0,2(x , 0)( xg .........................................12 分 22. 【解析】 （1）  sin4  sin42  ....................................... 2 分 0422  yyx 即   42 22  yx .......................................4 分 （2）将直线 l 参数方程         ty tx 2 21 2 2 （ t 为参数）代入曲线 C   42 22  yx 中 得： 0322  tt ..................................................... 5 分 设 方 程 的 两 根 为 21,tt 则      3 2 21 21 tt tt .......................................7 分 021 tt 1t 与 2t 异 号 ....................................................8 分 141222121  ttttPBPA ............................... 10 分 23. 【解析】 （Ⅰ）          4,52 41,3 1,25 xx x xx xf .........................................1 分  5)( xf      1 525 x x 或      41 53 x 或      4 552 x x ...................3 分 50  x  不等式解集为  50  xx ..............................4 分 （注：结果不表示成集合或区间扣 1 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，  xf 在  1, 上单调递减，  ,4 上单调递增，   3min  xf 3M ..............................................5 分 解法 1: 3 ba     612  ba 1 1 2 1  ba     121 1 2 1 6 1       baba   3 2226 1 1 2 2 126 1         b a a b ................................. 8 分 解法 2：由柯西不等式得： 1 1 2 1  ba     121 1 2 1 6 1       baba 3 2 6 4 1 1 12 2 1 6 1 2            b b a a ...................... 8 分 当且仅当      3 12 ba ba 时，即 2,1  ba 时 ............................ 9 分 1 1 2 1  ba 的最小值为 3 2 ...........................................10 分