2021 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分考试时间 120
分钟．
第Ⅰ卷 选择题（共 45 分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定
的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；
参考公式：·如果事件 A、B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B
3.柱体的体积公式V Sh ．其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．
一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共 9 小
题，每小题 5 分，满分 45 分）
1．设全集 { 3, 2, 1,0,1,2,3}U ，集合 { | 1 3, }A x x x Z ， { 3,0,2,3}B ，则
UA B ð （ ）
A．{ 3,3} B．{0,2} C．{ 1,1} D．{ 3, 2, 1,1,3}
2．已知 x R ，则“ 2x ”是“ 2 1x
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必
要条件
3．函数 2
4 | |
1
xy x
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知
0.8
0.3
1
2
1 2, log , 42 3a b c
，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． a c b B． a b c C． c b a D． b c a
5．2020 年是脱贫攻坚战决胜之年凝心聚力打赢脫贫攻坚战，确保全面建成小康社会某县举行
扶贫知识政策答题比赛，分初赛和复赛两个阶段进行规定：初赛成绩大于 80 分的进入复赛，
某校有 500 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间 (40,100]内，其频率分布直方图如
图所示，则进入复赛的人数为（ ）
A．125 B．250 C．375 D．400
6．若所有棱长都是 3 的直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面
积是（ ）
A．12 B．18 C． 21 D． 39
7．设函数 ( ) sin( ) 1, 0, 0,| | 2f x A x A
的最大值为 2，其图象相邻两个
对称中心之间的距离为
2
，且 ( )f x 的图象关于直线
12x 对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数 ( )y f x 在 ,6 3
上单调递减
B．函数 ( )y f x 的图象关于点 ,06
对称
C．函数 ( )y f x 的图象关于直线 5
12x 对称
D．要得到 sin2 1y x 的图象，只需将 ( )f x 图象向右平移
3
个单位
8．直线 l 与双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b
的一条渐近线平行，且 l 过抛物线 2: 4C y x
的焦点，交 C 于 A，B 两点，若| | 6AB ，则 E 的离心率为（ ）．
A．2 B． 3 C． 5 D． 5
2
9．已知定义在 R 上的函数 2
ln , 1
( ) , 1
x x
f x x x x
，若函数 ( ) ( )k x f x ax 恰有 2 个零点，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A． 1, {0} (1, )e
B． 11, {0} (1, )e
C． 1 11, {0} ,e e
D． 1( , 1) {0} ,1e
第Ⅱ卷 非选择题（共 105 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡中的相
应横线上）
10．i 是虚数单位，则 8
2 3
i
i
为________.
11．在
5
3
32 x x
的展开式中，则 1
x
的系数为________．
12．已知直线 : 1l y kx 与圆 2 2: 4 3 0C x y x 相切，则正实数 k 的值为___________．
13．一个盒子里有 1 个红 1 个绿 4 个黄六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色
球的个数为 X．（Ⅰ）若取球过程是无放回的，则事件“ 2X ”的概率为__________；（Ⅱ）
若取球过程是有放回的，则 ( )E X ________．
14．已知 lg( 2 ) lg lgx y x y ，则
22xy x y
y
的最小值为_______．
15．在平面四边形 ABCD 中， AB AD ， 60ABC ， 150BCD ， 4AB EB ，
4 3
3BC ， 2 3AE ，若点 M 为边CD 上的动点，则 AM EM 的最小值为________．
三、解答题（本大题 5 小题，共 75 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或
演算步骤
16．（本题满分 14 分）
已知在 ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c， 2 2(sin sin ) sin sin sinA B C A B ．
（Ⅰ）求角 C 的大小；
（Ⅱ）若 3a b ，求 cos(2 )B C 的值．
17．（本小题满分 15 分）
如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 , 90ABC BAC ．点 D，E，N 分别为棱
, ,PA PC BC 的中点，M 是线段 AD 的中点， 8PA AC ， 4AB ．
（Ⅰ）求证： / /MN 平面 BDE ；
（Ⅱ）求二面角C EM B 的正弦值；
（Ⅲ）已知点 H 在棱 PA上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 7
21
，求线段 AH 的
长．
18．（本小题满分 15 分）
已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左焦点为 F，离心率 3
2e ，长轴长为 4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点 F 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于 P 点，
求 PMN 面积的最大值，并求此时直线 l 的方程．
19．（本小题满分 15 分）
等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，数列 nb 是等比数列，满足 1 3a ， 1 1b ， 2 2 10b S ，
5 2 32a b a ．
（Ⅰ）求数列 na 和 nb 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 nc 满足 2 1 2, ( 1)n
n n n n nc a c a b ，求数列 nc 的前 2n 项和 2nT ．
（Ⅲ）求
1 1
( 1) (6k 5)kn
k
k k k
b
a a
．
20．（本小题满分 16 分）
已知 ( ) sin , ( ) lnn xf x x g x x me ，（n 为正整数， m R ）
（Ⅰ）若 ( )y g x 在 1x 处的切线垂直于直线 1
2y x ，求实数 m 的值；
（Ⅱ）当 1n 时，设函数 2( ) 1 2 ( )h x x f x ， (0, )x ，证明： ( )h x 仅有 1 个零点．
（Ⅲ）当 2n 时，证明： ( ) ( ) ( ) 12
xf x g x x m e ．
2021 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）
数学参考答案
一、选择题：每小题 5 分，满分 45 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B D D A C C B B
二、填空题：每小题 5 分，共 30 分．（两空中对一个得 3 分，对两个得 5 分）
10． 5 11．240 12． 4
3 13． 3
5
；2 14． 4 4 2 15． 15
4
三、解答题：本大题 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
16．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）∵ 2 2(sin sin ) sin sin sinA B C A B
∴由正弦定理得 2 2( )a b c ab 即 2 2 2a b c ab 2 分
∴ 1cos 2C ， 3 分
又∵ (0, )C 4 分
∴
3C 5 分
（Ⅱ）∵ 3a b ∴由正弦定理得 sin 3sinA B 6 分
∵ 2
3A B ∴ 2sin 3sin3 B B
， 8 分
∴ 3tan 5B 9 分
∴ 0, 2B
∴ 21 5 7sin ,cos14 14B B 10 分
∴ 5 3 11sin 2 2sin cos ,cos214 14B B B B 13 分
∴ 1cos(2 ) cos2 cos sin2 sin 7B C B C B C 14 分
17．（本小题满分 15 分）
解 ： （ Ⅰ ） 如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ． 则
(0,0,0) (4,0,0), (0,8,0) (0,0,4) (0,4,4) (0,0,2) (2,4,0) (0,0,8)A B C D E M N P 1 分
证明： (0,4,0), (4,0, 4)DE DB ．设 ( , , )n x y z 为平面 BDE 的法向量，
则 0
0
n DE
n DB
，即 4 0
4 4 0
y
x z
．不妨设 1z ，可得 (1,0,1)n 2 分
又 (2,4, 2)MN ， 3 分
可得 0MN n ．因为 MN 平面 BDE ， 4 服
所以 / /MN 平面 BDE 5 分
（Ⅱ）解：易知 1 (1,0,0)n 为平面 BEM 的一个法向量． 6 分
设 2 ( , , )n x y z 为 平 面 EMN 的 法 向 量 ， 则 2
2
0
0
n EM
n MB
， 因 为 (0, 4, 2)EM ，
(4,0, 2)MB ，所以 4 2 0
4 2 0
y z
x z
．不妨设 2z ，可得 2 (1, 1,2)n
8 分
因此有 1 2
1 2
1 2
6cos , 6
n nn n n n
， 9 分
于是 1 2
30sin , 6n n ．
所以，二面角C EM N 的正弦值为 30
6 10 分
（Ⅲ）依题意，设 (0 8)AH h h ， 11 分
则 (0,0, )H h ，
进而可得 ( 2, 4, )NH h ， ( 4,4,4)BE
由已知，得
2
| | | 4 8 | 7| cos , | | || | 2120 4 3
NH BE hNH BE NH BE h
， 13 分
整理得 25 21 16 0h h ， 14 分
解得 16
5h ，或 1h ．
所以，线段 AH 的长为 16
5
或 1 15 分
18．（本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ）因为椭圆长轴长为 4，所以 2 4, 2a a 1 分
因为椭圆的离心率为 3
2
所以 3
2
c
a
， 2 分
又 2 2 2a b c ，解得 3, 1c b ， 3 分
所以椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y ； 4 分
（Ⅱ）法一：设 MN 的方程为 3x my ， 5 分
联立方程组 2
2
3
14
x my
x y
2 24 2 3 1 0m y my 6 分
1 2 1 22 2
2 3 1,4 4
my y y ym m
22 2
1 2 1 2 1 2| | 1 1 4MN m y y m y y y y
2
2
4 1
4
m
m
9 分
原点到直线 3x my 的距离
2
3
1
d
m
点 P 到直线 MN 的距离为
2
2 32
1
d
m
10 分
2
2
1 4 3 1| | 22 4MNP
mS MN d m
11 分
令 2 1 , 1m t t 12 分
2
4 3
3MNP
tS t
4 3 23t t
14 分
当 3t 时，面积取到最大值 2
此时，直线 l 的方程为 2 3 0x y 或 2 3 0x y ． 15 分
法二：
①当 k 不存在时，
| | 1, 2 3, 3PMNMN d S 5 分
②当 k 存在且 0k 时，设直线方程为 ( 3)y k x ，
与椭圆方程
2
2 14
x y 联立，
可得 2 2 2 24 1 8 3 12 4 0k x k x k ， 6 分
显然 0 ，
2 2
1 2 1 22 2
8 3 12 4,4 1 4 1
k kx x x xk k
， 7 分
∴ 2
1 2 1 2| | 4MN x x x x
2 22 2
2
2 2 2
4 18 3 12 41 44 1 1 4 1 4
kk kk k k k
9 分
∴
2
2 3 | |
1
kd
k
， 10 分
2
2
4 3 | | 1
4 1PMN
k kS k
2
2
14 3 1
1 4
k
k
， 11 分
令 2
11 ( 1)t tk
12 分
∴上式 2
4 3
3
t
t
13 分
∴上式 4 3 23t t
14 分
当且仅当 3t ，即 2
2k 时，取到最值．（其他方法求最值酌情给分）
综上，当 2
2k 时， PMNS 取得最大值 2．
此时，直线 l 的方程为 2 3 0x y 或 2 3 0x y 15 分
19．（本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ）设数列 na 的公差为 d，数列 nb 的公比为 q， 1 13, 1a b
及 2 2
5 2 3
10,
2 ,
b S
a b a
得 2 2
5 2 3
10,
2 ,
b S
a b a
1 分
解得 2,
2,
d
q
2 分
所以 13 2( 1) 2 1, 2n
n na n n b ． 4 分
（Ⅱ） 2 1 3 2 1 2 4 2n n nT c c c c c c
1
1 2 1 1 2 2 ( 1)n
n n na a a a b a b a b 5 分
设 na 前项 n 和为 A
2(3 2 1) 22
n nA n n 7 分
设 1( 1) (2 1)( 2)2
n n
n na b n
前项 n 和为 B
1 2 11 1 1 13 ( 2) 5 ( 2) (2 1) ( 2) (2 1) ( 2)2 2 2 2
n nB n n
2 3 11 1 1 12 3 ( 2) 5 ( 2) (2 1) ( 2) (2 1) ( 2)2 2 2 2
n nB n n
2 3 113 3 ( 2) ( 2) ( 2) (2 1) ( 2)2
n nB n
1
14 ( 2) 13 3 (2 1) ( 2)1 2 2
n
nB n
15 6 5 ( 2)9 18
nnB 10 分
综上可知 2 1
2
5 6 52 ( 2)9 18
n
n
nT A B n n 11 分
（Ⅲ）
1
1
( 1) (6 5) ( 1) (6 5)2
(2 1)(2 3)
n n n
n
n n
n b n
a a n n
12 分
1 1( 1) 2 ( 1) 2
(2 1) (2 3)
n n n n
n n
13 分
令
1 11 2 2 4 4 8 ( 1) 2 ( 1) 2
3 5 5 7 7 9 (2 1) (2 3)
n n n n
nP n n
14
分
11 ( 1) 2
3 (2 3)
n n
nP n
15 分
20．（本小题满分 16 分）
解：（Ⅰ） 1( ) xg x mex
1 分
3(1) 1 2,g me m e
2 分
（Ⅱ）要证 ( )h x 仅有 1 个零点，即证 ( ) 0h x 仅有 1 个实根
即证 2( ) 1 2sin 0h x x x ， (0, )x 仅有 1 个实根 3 分
( ) 2 2cos 2( cos )h x x x x x 4 分
①当 ,2x
时， ( ) 0, ( )h x h x 在区间 ,2
上单调递增， 5 分
又
2
3 02 4h
， 2( ) 1 0h ，
所以 ( )h x 在区间 ,2
上有一个零点． 6 分
②当 0, 2x
时，设 ( ) ( ) 2 2cosx h x x x ．
( ) 2 2sin 0x x ，所以 ( )x 在区间 0, 2
上单调递增．
又 (0) 2 0 ， 02
，
所以存在 0 0, 2x
，使得 0 0x ．
所以，当 00,x x 时， ( ) 0x ，即 ( ) 0, ( )h x h x 单调递减；
当 0, 2x x
时， ( ) 0x ，即 ( ) 0, ( )h x h x 单调递增；
又 (0) 1 0h ，
2
3 02 4h
．
所以 ( )h x 在区间 0, 2
上无零点． 8 分
综上所述，函数 ( )h x 在 (0, )x 内只有一个零点． 9 分
（Ⅲ）当 2n 时， ( ) 2sin cos sin2f x x x x
要证 ( ) ( ) ( ) 12
xf x g x x m e
只需证： sin 2 ln 1 0(1)2
xx x xe 10 分
令 ( ) sin2 2H x x x
( ) 2cos2 2 2(cos2 1) 0H x x x
所以 ( )H x 在 (0, ) 单调递减
所以 ( ) (0) 0H x H
所以sin2 2x x 11 分
要证（1），只需证sin2 2x x 12 分
法一：令 ( ) ln 1 xF x x x xe
1 1( ) 1 ( 1) 1x xxF x x e xex x
13 分
令 ( ) 1 xq x xe
( ) ( 1) 0xq x x e 14 分
( )q x 在 (0, ) 单调递减
(0) 1 0q ， (1) 1 0q e
0 (0, )x ，使 0 0q x ，即 0
0 1xx e 15 分
当 00,x x ， ( ) 0F x ， ( )F x 单调递增
当 0,x x ， ( ) 0F x ， ( )F x 单调递减
0
0 0 0 0( ) ln 1 0xF x F x x x x e ，所以原命题得证 16 分
法二：令 ( ) 1xx e x
( ) 1xx e
∴ ( )x 在 ( ,0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增
∴ ( ) (0) 0x
∴ 1xe x ， 13 分
∵ lnx x R
∴ ln ln 1x xe x x 14 分
∴ ln 1xxe x x ，
即证 ln 1 0xx x xe
∴原命题得证 16 分
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