北京市门头沟区2021届高三下学期3月一模考试数学试题（Word版附答案）

北京市门头沟区 2021 届高三一模数学试题 数 学 2021.3 考生须知 1.本试卷共 5 页。请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。 2.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 3.请使用 2B 铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。 4.考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分。 一、选择题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 1.复数 z＝i（1－i） 的模| z |＝ （A） 2 （B）2 （C）1 （D） 2.集合 A＝{x|x＞0}，B＝{x|| x |≤2}, 则 A∩B＝ （A）R （B）[－2,＋∞） （C）（0,2] （D）（0,＋∞） 3.二项式 5 2 2x x     展开式中，x4 的系数是 （A） 40 （B） 10 （C） 40 （D） －10 4.某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为 （A） 2 （B） 2 2 （C） 4 （D） 2 3 5.数列{an}中，a1＝1,an＋1＝－2an，数列{bn}满足 bn＝| an |，则数列{bn}的前 n 项和 Sn＝ （A） 1 ( 2) 3 n  （B） 1 2 3 n （C） 2 1n  （D） ( 2) 1n  6.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径 88 米，最 高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘 客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 （A）10 分钟 （B）12 分钟 （C）14 分钟 （D）16 分钟 7. "ln(x＋1)＜0"的一个必要而不充分条件是 （A） －1＜x＜ 1 e  （B） x＞0 （C） －1＜x＜0 （D） x＜0 8.在平面直角坐标系 xOy 中，角 a 与角β均以 Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称.若 2 5cos 5   ，则 cos（a－β）＝ （A） 3 5  （B） 3 5 （C）1 （D） 3 4 9.已知抛物线 C:y2＝2px 的焦点为 F，点 A 为抛物线 C 上横坐标为 3 的点，过点 A 的直线交 x 轴的正半轴于点 B，且△ABF 为正三角形，则 p＝ （A） 1 （B） 2 （C） 9 （D） 18 10.在平面直角坐标系中，从点 P（－3,2）向直线 kx－y－2－k＝0 作垂线，垂足为 M，则点 Q （2,4）与点 M 的距离|MQ|的最小值是 （A）5 2 2 （B） 4 2 （C） 6 2 （D） 17 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分。 11.在△ABC 中，∠B＝ 2 3  ，AB＝1，BC＝2，则 AC 的长为 . 12.在边长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M 是该正方体表面及其内部的一动点，且 BM// 平面 AD1C，则动点 M 的轨迹所形成区域的面积是 . 13.已知双曲线 C 的中心在坐标原点，且经过点 P（ 2 , 3 ），下列条件中哪一个条件能确定 唯一双曲线 C, 该条件的序号是 ；满足该条件的双曲线 C 的标准方程是 . 条件①:双曲线 C 的离心率 e＝2； 条件②:双曲线 C 的渐近线方程为 y＝ 3x ； 条件⑧:双曲线 C 的实轴长为 2. 14. 函 数 2 3( ) sin cos 3 cos ( 0)2f x x x x       在 区 间 ,6 2       上 单 调 ， 且 06 2f             ，则 的最小值为_________. 15.正△ABC 的边长为 1，中心为 O，过 O 的动直线 l 与边 AB，AC 分别相交于点 M、N， AM AB  ， AN AC  ， BD DC  .给出下列四个结论： ① 1 1 3 3AO AB AC    ②若 2AN NC  ，则 1 4AD NC    ③ 1 1   不是定值，与直线 1 的位置有关 ④△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 4 9 . 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.（本小题共 12 分） 第 24 届冬季奥运会将于 2022 年 2 月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校 组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了 20 名学生作为样 本，得到他们的分数统计如下： 分数段 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 1 2 2 8 3 3 1 我们规定 60 分以下为不及格；60 分及以上至 70 分以下为及格；70 分及以上至 80 分以下 为良好；80 分及以上为优秀。 （Ⅰ）从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好 2 名学生都是优秀的概率是多少? （II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取 2 人，以 X 表示这 2 人 中优秀人数，求 X 的分布列与期望。 17.（本小题共 15 分） 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 4BCD 为菱形，AB＝PA，PA⊥底面 ABCD,∠ABC 3  ， E 是 PC 上任一点，AC∩BD＝O. （I）求证：平面 EBD⊥平面 PAC； （II）若 E 是 PC 的中点，求 ED 与平面 EBC 所成角的正弦值. 18.（本小题共 13 分） 己知各项均为正数的数列{an}，其前 n 项和为 Sn，数列{bn}为等差数列，满足 b2＝12,b5＝ 30.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求解下列问题： （I）求数列{an}的通项公式 an 和它的前 n 项和 Sn； （II）若对任意 n∈N*不等式 kSn ≥ bn 恒成立，求 k 的取值范围. 条件① 2 2n n na a S  条件②a1＝9，当 n≥2，a2＝2，an+1＝an＋2 注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分。 19.（本小题共 15 分） 曲线 C 上任一点 M(x,y)到点 F1(-1,0)，F2(-1,0)距离之和为 2 2 ，点 0 0( , )P x y 是曲线 C 上 一点，直线 l 过点 P 且与直线 0 02 2 0x x y y   垂直，直线 l 与 x 轴交于点 Q. （I）求曲线 C 的方程及点 Q 的坐标（用点 0 0( , )P x y 的坐标表示）； （II）比较 1 2 PF PF 与 1 2 QF QF 的大小，并证明你的结论. 20.（本小题共 15 分） 已知函数 21( ) 2 xf x e ax  ( )a R . （I）若曲线 y＝f(x)在（0,＋∞）上单调递增，求 a 的取值范围； （II）若 f(x)在区闻（0,＋∞）上存在极大值 M，证明：M＜ 2 a . 21.（本小题满分 15 分） 对于一个非空集合 A，如果集合 D 满足如下四个条件： ① {( , ) | , }D a b a A b A   ； ② ,( , )a A a a D   ； ③ , ,a b A  ，若 ( , )a b D 且 ( , )b a D ，则 a＝b； ④ , ,a b c A  ，若 ( , )a b D 且 ( , )b c D ，则 ( , )a c D ， 则称集合 D 为 A 的一个偏序关系。 （I）设 A＝{1,2,3}，判断集合 D＝{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合 A 的偏序关系， 请你写出一个含有 4 个元素且是集合 A 的偏序关系的集合 D； （II）证明：R≤＝{(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b}是实数集 R 的一个偏序关系： （III）设 E 为集合 A 的一个偏序关系，a,b∈A.若存在 c∈A,使得（c,a）∈E,（c,b）∈E， 且 d A  ，若 ( , )d a E ，(d,b)∈E，一定有(d,c)∈E，则称 c 是 a 和 b 的交，记为 c＝a ∧b.证明：对 A 中的两个给定元素 a,b,若 a∧b 存在，则一定唯一. 北京市门头沟区 2021 届高三一模数学试题 参考答案 一、选择题（本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。） 1.解答：答案选 A. 211i1  zz 2.解答：答案选 C. 3.解答：由通项公式得： 24310)2()2()( 310 5 52 51    rrxCxxCT rrrrrrr r 含有 4x 的系数是 40)2( 22 5 C ，答案选 A. 4.解：答案 D.根据直观图不难得出 最长的棱长为 32222 222  5.解答：数列 }{ nb 为等比数列， 2,11  qb ，数列 }{ nb 的前 n 项和 1221 21   n n nS 答案选 C. 6.解：答案 B. 法一：角速度为 918 2   ， 22)1234(44 OC ， 3 πBOC ，最佳观赏期的圆心角为 3 π4 3 π2π2  ，在运行的一圈里最佳观赏时长为 12 9 π 3 π4  法 二 ： 角 速 度 为 918 2   ， 点 P 到 从 最 下 端 开 始 运 动 ， 运 行 中 到 地 面 距 离 为 )180(56)29sin(44)(  tttf  1536 7 29634)(  tttf  ，最佳观赏期的时长为 12 分钟. 7. 解答：答案为 D.设"ln( 1) 0"x   的解集为 }01{  xxM ，它的必要条件的集合为 N ，则 M 是 N 的真子集. 8. 解 答 ： 答 案 B. 由 题 意 得 ：  sinsin,coscos  ， 代 入 得 ： 2 2 2 3cos( ) cos sin 2cos 1 5           ， 快 速 解 法 （ 口 算 的 水 平 ）： 由 三 角 函 数 定 义 、 二 倍 角 公 式 可 得 5 31cos2)cos(,5 4cos 22   9.解：由题意可知，当 B 在焦点 F 的右侧时， 2p)2 p3(2 1 2 p32 p3,2 p3  FDAF 当 B 在焦点 F 的左侧时，同理可得 18P  ，此时点 B 在 x 轴的负半轴，不合题意. 10.解：答案 A.直线 02  kykx 过定点 )2,1( N ，可知点 M 是在以 PN 为直径的圆 8)1(: 22  yxC 上， 5)04()12( 22 QC ， 可得： 225min MQ ，答案为 A. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分. ） 11.由余弦定理得： 7AC 12.解：答案为 32 .平面 11CBA 平行平面 1ACD ，所以点 M 的轨迹是 BCA 11 三角形及其内部. 所以 1 1A BC△ 的面积为 32)22(4 3 2 S 13.解：①③不能唯一确定双曲线C ，②能唯一确定双曲线 C ，设双曲线为  3 2 2 yx ，点 )3,2(P 代入得： 131 2 2  yx 注：第一空 2 分，第二空 3 分. 14.解 2 3 1 3 π( ) sin cos 3 cos sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 3f x x x x x x x            由题意得： 3 πx 是它的一个称中心， π π2 π 2 3 13 3 k k       ， Zk   最小值为 1. 15.其中所有正确结论的序号是 ①②④ . 解：① 2 1 1( ) ( )3 2 3AG AB AC AB AC         ，可得①正确 4 1)()(2 1  ANBAACABBNAD ，显然②正确 ③ 1 1, 3 3AM AB AN AC AO AM AN              ，又因为， NMO ,, 三点共线 所以， 1 1 1 11 33 3        是定值，可得③不正确 ④设 1 1, 3AM AB AN AC           ，由均值不等得 4 9   AMN ABC AM ANS S AB AC     ,由③得： 9 4311   ，当且仅当 3 2  时， ④正确. 本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得 5 分，不选或有选错得 0 分，其它得 3 分. 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明） 16.解：（Ⅰ）设恰好 2 名学生都是优秀这一事件为 A…………………………1 分 95 3)( 2 20 2 4  C CAP ………………………………………………………………2 分 注：如果没有设，给出了答也给 1 分 （Ⅱ）设每名同学为优秀这一事件为 B ，由题意可得 5 1 20 4)( BP ……2 分 X 可取 0，1，2………………………………………………………………1 分 25 1)5 1()2(,25 8)5 11(5 1)1(,25 16)5 11()0( 22 2 1 2 20 2  CXPCXPCXP ……………………………………………………………………………………3 分 X 0 1 2 P 25 16 25 8 25 1 ……………………………………………………………………………………1 分 5 2 5 12 EX ……………………………………………………………………2 分 17.解：（Ⅰ） PA ABCD PA BD  平面 （1）…………………………………1 分 底面 ABCD 菱形，可得 ACBD  （2）………………………………………1 分 又PA AC A 由（1），（2）可得， PACBD 平面 …………………………………………2 分 EBDBD 平面 ，平面 EBD  平面 PAC ………2 分 （Ⅱ）若 E 是 PC 的中点，连结 OE ，则 ABCDOEPAOE 平面// ……1 分 所以， OEOCOB ,, 两两垂直，建立如图所示的坐标系………1 分 不妨设 2AB  ，则 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,3( ECDB  …2 分 设平面 EBC 的法向量为 ),,( zyxn   ， )3,3,1(0,0   nBCnBEn …1 分 直线 DE 的方向向量 2 ( 3,0,1)n   …………………………………………1 分 7 21,cos 21 21 21     nn nnnn ……………………………………2 分 直线 ED 与平面 EBC 所成角的正弦值为 7 21 …………………………1 分 18.选择①解：（Ⅰ）得：当 1n 时， 11 a ………………………1 分 当 2n 时， 11 2 1 2   nnn Saa （1） nnn Saa 22  （2）两式相减得： 1 2 1 2   nnnn aaaa ……………………………………………………………2 分 而 0na ，可得： 11  nn aa ，数列 }{ na 为等差数列……………………1 分， nnan  1)1(1 …………………………………………………………1 分 ( 1) 2n n nS  ……………………………………………………………………1 分 （Ⅱ）设 1 ( 1)nb b n d   ， 2 512, 30b b  ，代入得： 6nb n …………2 分 由 n nkS b 得： 12 12 ( 1) 1    nk n n n ………………………………………1 分 设 12 1  nc n ，则{ }nc 是递减数列……………………………………2 分 所以，当 1 12 62  c ， nc 达到最大…1 分 所以， k 的取值范围为[6, ) ………………………………………1 分 选择② 解：（Ⅰ） 当 2n≥ ， 1 12 2n n n na a a a      ，…………………………………1 分 当 2n≥ ， 2 ( 2) 2 2 2n na a n a n       ……………………………1 分 所以， 9 1 2 2 2n na n n     ………………1 分 2 1 2 ( 1)(2 2 2)9 92n n n nS a a a n n           ………2 分 （Ⅱ）设 1 ( 1)nb b n d   ， 2 512, 30b b  ，代入得： 6nb n …………2 分 由 n nkS b 得： 2 6 9 nk n n    ………………2 分 设 2 6 6 6 6 99 6 1 51 n nc n n n n        ， 6 5k  ………………………3 分 综上所述， k 的取值范围 6[ , )5  ……………………………1 分 19.解：（Ⅰ）由题意可知，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 1c ， 2a ，……2 分 曲线 C 的方程为： 2 2 12 x y  ……………………………………………2 分 当 0 0y  时，直线l 与 x 轴重合，不合题意 当 0 0x  时，直线l 与 y 轴重合，点 Q是原点， (0,0)Q ………………………1 分 当 0 00, 0x y  时，由题意得： 0 0 2 l yk x  ，直线 l 的方程： 0 0 0 02 0y x x y x y   …2 分 得 0( ,0)2 xQ ……………………………………………………………………1 分 综上所述，点 0( ,0)2 xQ …………………………………………………………1 分 （Ⅱ）点 0 0( , )P x y 满足方程： 2 20 0 12 x y  ………………1 分 2 2 0 01 2 2 2 0 0 ( 1) ( 1) x yPF PF x y     ………………………………………………1 分 将 2 2 0 0 1 2 xy   代入整理得： 2 2 0 0 0 01 2 2 2 00 0 0 1 2( 1) 22 1 2( 1) 2 2 xx y xPF PF xx y x         ………2 分 0 01 02 0 1 22 212 x xQF xQF x     ……………………………………………………1 分 所以， 1 2 PF PF = 1 2 QF QF …………………………………………………………1 分 20.解：（Ⅰ） axxf x  e)(/ …………………………………………1 分 由题意得： xaaxxf x x e0e)(/  ………………………………1 分 设 xxg xe)(  ，求导得： 2 / e)1()( x xxg x ………………………………1 分 )(xg 在区间 )1,0( 上减，在区间 ),1(  上增， )(xg 的最小值为 e)1( g ……1 分 所以， ea ………………………………………………………………1 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 ea 时，函数 )(xf 在 ),0(  上递增，无极大值……1 分 所以， ea ………………………………………………………………………1 分 设 axxfxh x  e)()( / ，则 axaxh x ln0e)(/  …………………………1 分 )(/ xf 在 )ln,0( a 上减，在 ),(ln a 上增， )(/ xf 的最小值 0)ln1()(ln/  aaaf …1 分 而 01)0(/ f ， 0e)1(/  af ， )ln2()(ln 2/ aaaaf  ，设 e)(ln2)(  xxxxt ， 求导得： 02)(/  x xxt 02e)e()(  txt ，所以， 0)ln2()(ln 2/  aaaaf …2 分 由零点存在定理得： )(/ xf 在 )ln,0( a ， ),(ln a 上分别有一个零点 21, xx ， 即 11 / 10)( axexf x  ， 22 / 20)( axexf x  ，且 10 1  x ……1 分 )(xf 在 ),0( 1x 上增，在 ),( 21 xx 减，在 ),( 2 x 上增， )(xf 极大值为 Mxf )( 1 …1 分 )2(2 1 2 1 2 1)( 11 2 11 2 11 1 xaxaxaxaxexfM x  ，由匀值不等式得， 2 aM  …2 分 21.解：（Ⅰ）集合 D 满足①②③，但不满足④，因为 DD  )3,2(,)2,1( 由题意 D)3,1( ，而 D)3,1( ，所以不满足④，集合 D 不是集合 A 的偏序关系………2 分 )}3,3),2,2(),2,1(),1,1{( （D （开放性）……………………………………2 分 注：（Ⅰ）如果只给出结果，扣 1 分 （Ⅱ）证： {( , ) | , , }R a b a R bb R a    显然满足①②…………1 分 baDba  ),( ，且 abDab ),( ，则 ba  ，满足条件③……1 分 , ,a b c R  ，若 ( , )a b R 且 ( , )b c R ，则 ,a b b c  ，所以 a c ， 所以 ( , )a c R ，满足条件④…2 分 综上所述， {( , ) | , , }R a b a R bb R a    是实数集 R 的一个偏序关系…1 分 （Ⅲ）反证法。假设对 A中的两个给定元素 ba, ，且 a b 存在，但不唯一。 设 1c a b  ， 2c a b  ，且 1 2c c 则 1( , )c a E ， 1( , )c b E ， 2( , )c a E ， 2( , )c b E ，其 中 E 为集合 A的一个偏序关系。……………………………2 分 且 d A  ，若 ( , )d a E ， ( , )d b E ，一定有 1( , )d c E ，所以 2 1( , )c c E ， …………………………………………………………………………………2 分 同理 1 2( , )c c E ，则 2 1c c ，与 1 2c c 矛盾。………………………………1 分 所以，对 A中的两个给定元素 ba, ，若 a b 存在，则一定唯一。……1 分