宣城六校 2020~2021 学年度高一下学期第一次月考
数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． AB AC CD BD （ ）
A．0 B． AD
C． AC
D． BC
2．下列命题正确的是（ ）
A．若 ,a b
都是单位向量，则 a b
B．若 AB DC ，则四点 A，B，C，D 构成平行四边形
C．若两向量 ,a b
相等，则它们是始点、终点都相同的向量
D． AB
与 BA
是两平行向量
3．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若sin 2 sinB b A ，则 a （ ）
A． 2 B 2
2
C．1 D． 2 2
4．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． 1 (0,0)e , 2 (4,1)e B． 1 ( 1,2)e , 2 (2, 4)e
C． 1 (3,5)e , 2 ( 3, 5)e D． 1 (2, 3)e , 2
32, 4e
5．已知两个单位向量 a
和b
的夹角为120 ，则 a b 在 a
上的投影向量的模为（ ）
A． 1
2
B． 3
2
C． 1 D．1
6．已知向量 1 ,sin2a
， 1cos , 2b
，若 //a b
，锐角 （ ）
A．
12
B．
12
或 5
12
C．
6
D 5
6
7．已知三角形的边长分别为 1， 2 ， 5 ，则它的最大内角的度数是（ ）
A．90 B．120 C．135 D．150
8．在 ABC 中，已知 2 3AB ， 2AC ， ABC 的面积为 3，则 ·AB AC
的值为（ ）
A． 3 B． 3 C． 4 D． 2 3
9．在 ABC 中，“sin sinA B ”是“ A B ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．在 ABC 中， 2BD DC ，E 是 AD 的中点，则 EA （ ）
A． 1 1
6 3AB AC
B． 1 1
3 6AB AC
C． 1 1
6 3AB AC
D． 1 1
3 6AB AC
11．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 2 2 2 2 3 sina b c ab C ，则 ABC
的形状是（ ）
A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．不等腰的直角
三角形
12．如图，将 2 个全等的三角板拼成一个平面四边形 ABCD ，若 1AB ， 2AC ，AD CD ，
点 P 为 AB 边的中点，连接CP ， DP ，则 ·DP CP （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 a
与b
的不共线，若向量 ka b 与向量 a b 共线，则实数 k ______
14．在 ABC 中，若 2 2sin (sin sin ) sin sinA B C B C ，则 A ______
15．若向量 a
与b
的夹角为 45 ， 4a ， 2b ，则 a b ______
16． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos cos 2 sinb C B a A ，
2 2 2 12b c a ，则bc ______.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）
已知 1,0A ， 3, 1B ， 1,2C ，且 1
3AE AC ， 1
3BF BC
.
（1）求点 E，F 的坐标；
（2）求证： //EF AB
.
18．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系内，已知三点 2,0A ， 1,1B ， 3,5C ，求：
（1） AB
， AC
的坐标；
（2） AB AC 的值；
（3） cos BAC 的值.
19．（本小题满分 12 分）
如图，在 ABC 中，
6B ，D 是 BC 边上一点， 4 2AD ， 7CD ， 5AC ．
（1）求 ADC 的大小；
（2）求 AB 的长.
20．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， sin cos 6b A a B
.
（1）求角 B 的大小；
（2）若 2 3b ，求 ABC 面积的最大值.
21．（本小题满分 12 分）
已知 2a ， 1b ， a
与b
的夹角为 2
3
，设 2 7m ta b ， n a tb
.
（1）求 · 2a a b 的值；
（2）若 m
与 n
的夹角是锐角，求实数 t 的取值范围.
22．（本小题满分 12 分）
已知海岛 B 在海岛 A 北偏东 45 ，A，B 相距 10 海里，游船甲从海岛 B 以 1 海里/小时的速度
沿直线向海岛 A 行驶，同时游船乙从海岛 A 沿着北偏西15 方向以 2 海里/小时的速度行驶.
（1）问经过多长时间，游船甲在游船乙的正东方向；
（2）求游船甲从海岛 B 驶向海岛 A 的过程中，甲、乙两船间距离的最小值.
2020~2021 学年度高一下学期第一次月考· 数学试卷
参考答案、提示及评分细则
1．A 0AB AC CD BD CB CD BD DB BD ．故选 A.
2．D 对于 A 项，单位向量长度相等，但方向不一定相同，故 A 项不对；对于 B 项，A，B，
C，D 四点可能共线，故 B 项不对；对于 C 项，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相
等，与始点、终点无关，故 C 项不对；对于 D 项，因 AB 与 BA 方向相反，是平行向量，故 D
项对.
3．b ∵ sin 2 sinB b A ，∴由正弦定理，得 2b ab ，解得 2
2a ，故选 B.
4．D 选项 A：因为 0 1 0 4 0 ，所以 1e
、 2e
共线，不能作为基底；
选项 B：因为 1 4 2 2 0 ，所以 1e
、 2e
共线，不能作为基底；
选项 C：因为 3 5 3 5 0 ，所以 1e
、 2e
共线，不能作为基底；
选项 D 因为 32 3 2 04
，所以 1e
、 2e
不共线，可以作为基底．故选 D．
5．B 因为 2 3· 2a b a a a b ，所以 a b 在 a
上的投影的模为 3
2
a b a
a
．故选 B．
6．B ∵ //a b
，∴ 1 1 1sin cos 2 2 4
，∴ 1sin 2 2
，∵ 0, 2
，∴ 2 6
或 5
6
，
∴
12
或 5
12
，故选 B.
7．C 由大边对大角得 1 2 5 2cos
2 1 2 2
，∴ 135 ，故选 C.
8．D 1
2ABCS AB sin 2 3sin 3AC A A ，所以 3sin 2A ．又 0 A ，所以
3A 或 2
3
，则 · cos 2 3AB AC AB AC A ．故选 D．
9 ． C 由 正 弦 定 理 得 sin sina b A B ， 又 a b A B ， 故 在 ABC 中 ，
“sin sinA B ”是“ A B ”的充要条件，故选 C.
10．C 因为 2BD DC ，所以 2 2 2
3 3 3BD AC AB AC AB ，
2 2 1 2
3 3 3 3AD AB BD AB AC AB AB AC ．因为 E 是 AD 的中点，所以
1 1 1
2 6 3EA AD ab AC ．故选 C.
11 ． A 因 为 2 2 2 2 3 sina b c ab C ， 所 以
2 2 2
sin
2 3
a b cC
ab
， 余 弦 定 理 得
2 2 2
cos 2
a b cC ab
，所以
2 22 2 2 2 2 2
2 2sin cos 1
2 3 2 3
a b c a b cC C
ab ab
，所以
2 22 2 2 2 2 2 2 23 12a b c a b c a b ，所以 22 2 2 2 2 4 2 23a b a b c c a b ，所
以 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 22 0a b c a b a b a c c b ，即 2 2 22 2 2 2 2 2 0a b b c c a ，
所以 a b c ，所以 ABC 的形状是正三角形.故选 A.
12．A 连接 DB ，以 DB 所在边为 x 轴， AC 所在边为 y 轴，建立平面直角坐标系，则
30, 2C
， 3 ,02D
， 3 1,4 4P
，所以 3 3 1 3 7, , 14 4 4 4DP CP
．故
选 A．
13． 1 向量 ka b 与向量 a b 共线，可设 ka b a b ，于是 ,
1 ,
k
∴ 1k ．
14．
3
2 2 2 2 2 2sin sin sin sin sin 1cos 2 2sin sin 2sin sin 2
b c a B C A B CA bc B C B C
．又 0,A ，
∴
3A ．
15． 10
2 2 2 22 16 2 2 4 2 102
a b a b a b ，所以 10a b ．
16 ． 4 3 因 为 cos cos 2 sinb C c B a A ， 由 正 弦 定 理 可 得
2sin cos sin cos 2sinB C C B A ， 即 2sin 2sinA A ， 可 得 1sin 2A ． 因 为
2 2 2 12b c a ，结合余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，可得 2 cos 12bc A ，所以 A 为
锐角，且 3cos 2A ，可得 4 3bc ．
17．（1）解：设点 ,E a b ，
∵ 1
3AE AC ，即 1 2 21, 2,2 ,3 3 3a b
，
∴
21 ,3
2 ,3
a
b
解得
1 ,3
2 ,3
a
b
故 1 2,3 3E
．……………………………………3 分
设点 ,F c d ，
∵ 1
3BF BC ，即 1 23, 1 2,3 ,13 3c d
，
∴
23 ,3
1 1,
c
d
解得
7 ,3
0,
c
d
故 7 ,03F
．…………………………………………6 分
（2）证明： 4, 1AB ， 8 2,3 3EF
，故 3
2AB EF ，∴ //EF AB
．……10 分
18．解：（1） 1,1 2,0 1,1AB ， 3,5 2,0 1,5AC ．…………4 分
（2）因为 1,1 1,5 2, 4AB AC ，
所以 2 22 4 2 5AB AC ．…………………………………………8 分
（3）因为 1,1 1,5 4AB AC ， 2AB
26AC ， 4 2 13cos 132 26
AB ACBAC
AB AC
．………………12 分
19．解：（1）在 ACD△ 中，∵ 4 2AD ， 7CD ， 5AC ，
由余弦定理可得：
2 2 2 32 49 25 2cos 2 22 4 2 7
AD DC ACADC AD DC
．……4 分
∵ 0,ADC ，∴
4ADC ．……………………………………………………6 分
（2）∵
4ADC ，∴ 3
4ADB ．………………………………………………8 分
在 ABD△ 中 ， 由 正 弦 定 理 ， 得
sin sin
AB AD
ADB ABD
， 即 4 2
3sin sin4 6
AB
， 解 得
8AB ．………………………………………………………………………………12 分
20．解：（1）由正弦定理得 sin sin sin cos 6B A A B
，……………………2 分
由于 0 A ，sin 0A ，
所以 3 1sin cos cos sin6 2 2B B B B
，
即 1 3sin cos2 2B B ，4 分
则 tan 3B ，又 0 B ，所以
3B ．……………………………………6 分
（2）由余弦定理，得 2 212 2c a ca ac ca ac （当且仅当 a c 时，取“=”），9 分
从而 1 sin 3 32 3S ca ，……………………………………………………10 分
所以 ABC△ 的面积取得最大值 3 3 ．…………………………………………12 分
21．解：（1） 22 2 12 2 2 cos 4 2 2 1 23 2a a b a a b a a b
．3 分
（2）∵ m
与 n
的夹角是锐角，
∴ 0m n 且 m
与 n
不共线． ……………………………………………………5 分
∵ 2 22 22 7 2 2 7 7 8 2 7 7m n ta b a tb ta t a b tb t t t
22 15 7 0t t ，…………………………………………………………7 分
∴ 22 15 7 0t t ，解得 1 72 t ．…………………………………………8 分
当 m
与 n
共线时，则存在实数 ，使 2 7ta b a tb ，
∴ 2 ,
7 ,
t
t
解得 14
2t ．……………………………………………………10 分
综上，实数t 的取值范围是 1 14 14, ,72 2 2
．…………………………12 分
22．解：（1）设经过 0 10t t 小时，游船甲在游船乙的正东方向． …………1 分
如图所示，游船甲与海岛 A 的距离为 10AE t 海里，游船乙与海岛 A 距离为 2AF t 海
里，………………………………………………………………………………2 分
60EAF ， 75AFE ， 45AEF ．
在 AEF△ 中，由正弦定理得
sin sin
AE AF
AFE AEF
， 10 2
sin 75 sin 45
t t
，…………5 分
解得 20 10 3t ．
故经过 20 10 3 小时，游船甲在游船乙的正东方向． ……………………6 分
（2）由（1）题设， 10AE t ， 2AF t ，
由余弦定理得： 2 2 2 2 cosEF AE AF AE AF EAF ，
即 2 2 2110 2 2 10 2 7 40 1002t t t t t t ．………………10 分
∵ 0 10t ，
∴当 20
7t 时， min
10 21
7EF （海里）． ……………………………………11 分
故甲、乙两船间距离的最小值为10 21
7
海里． ………………………………12 分
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