2021 年普通高中高考模拟考试(一模)
数学(理科)试题
满分：150 分 时间：120 分
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第 I 卷 选择题(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。)
1.已知集合 A＝{x|x2－x－6b B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a
4.二项式(2x－ 1
x
)6 展开式中，常数项为
A.240 B.－240 C.160 D.－160
5.向量 a
＝(2，1)，b
＝(－3，4)， c
＝(3m－1，1－2m)，若( c
＋2b
)⊥ a
，则实数 m 等于
A.1 B. 5
4
C. 7
4
D.2
6.数列{an}是各项均为正数的等比数列，3a2 是 a3 与 2a4 的等差中项，则{an}的公比等于
A.2 B. 3
2
C.3 D. 2
7.为了得到函数 g(x)＝sin2x－ 3 cos2x 的图象，只需将 f(x)＝2sin(2x－
6
)的图象
A.向右平移
6
个单位 B.向左平移
6
个单位
C.向右平移
12
个单位 D.向左平移
12
个单位
8.已知抛物线 y＝ 1
4
x2 上的动点 P 到直线 l：y＝－3 的距离为 d，A 点坐标为(2，0)，则|PA|＋d
的最小值等于
A.4 B.2＋ 5 C.2 5 D.3＋ 5
9.蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定
的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模
拟法或统计实验法。现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边分别为 6 和 8 的直角
三角形中均匀投点 40 个，落入其内切圆中的点有 21 个，则圆周率π≈
A. 63
20
B. 51
16
C. 78
25
D. 94
29
10.双曲线 C：
2 2
2 2 1x y
a b
(a，b>0)，圆 M：(x＋2)2＋y2＝3 与双曲线 C 的一条渐近线相交所
得弦长为 2，则双曲线的离心率等于
A. 2 B. 3 C. 6
2
D. 7
2
11.如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 是线段 A1C1 上的两个动点，且 EF 长为定值，
下列结论中不正确．．．的是
A.BD⊥CE B.BD⊥面 CEF
C.△BEF 和△CEF 的面积相等 D.三棱锥 B－CEF 的体积为定值
12.已知 f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，f'(x)是 f(x)的导函数，f(1)≠0，且满足 f'(x)lnx
＋ f x
x
0 时，求函数 f(x)的零点个数。
[选考题]
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按
所做的第一个题目计分。
22.(本小题满分 10 分)[选修 4－4：坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x 2 2cos
y 1 2sin
(θ为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρcos(θ＋
4
)＝ 2 。
(1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
(2)直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，设点 P 的坐标为(0，－2)，求|PM|2＋|PN|2 的值。
23.(本小题满分 10 分)[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 f(x)＝|2x－a|－|x＋1|。
(1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)0，不等式 f(x)＋2>0 恒成立，求实数 a 的取值范围。
2021 年普通高中高考模拟考试（一模）
数学（理科）试题参考答案
一、 选择题 （每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A C D B B C B A A C D
二、填空题 （每小题 5 分，共 20 分）
13.3 14. 1 15. 7
2
16. 5 ,2
1 解析： 2| 6 0 | 2 3A x x x x x ， | 0 1 4 |1 5B x x x x
1,3A B ，故选 C.
2 解析： 3 4 22
iz ii
，所以 5z ，故选 A.
3 解析： 16
5log ,1 2a a ， 77
33
1 log log 12b ，
55 24
1 loglog 22 2 5 2c ，
从而有 c a b ，故选 C.
4 解析：通项 6 6 6 2
1 6 6
12 1 2
r
r rr r r r
rT C x C xx
当 3r 时， 4 160T ，故常数项为 160 ，选 D.
5 解析： 2 3 7,9 2c b m m ，由 3 7,9 2 2,1 4 5 0m m m 得 5
4m ，故选
B.
6 解析：设首项为 1a ，公比为 q ，因为 2 3 43 2a a a是 与 的等差中项 ，
所以有 2 3 46 2a a a= + ，即 26 2q q= + ，从而解得 3 2(2q q 或 舍） 故选 B.
7 解析： 2sin(2 ) 2sin 23 12 6g x x x ，所以可以由 2sin 2 6f x x
向右平移12
个单位，选 C.
8 解析：抛物线 2 4x y 的焦点 0,1F ， 2 2d PE PF
5PF PA FA , 从而 2 5 2PA d PA PF .
所以 PA d 的最小值等于 2 5 ，选 B.
9 解析：直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即 2 6 8 10 4r ，
由几何概型得
22 21
1 406 82
，从而 63
20
.选 A.
10.解析：双曲线的一条渐近线为 0bx ay ，条件知圆心 2,0 到渐近线的距离等于 2 ，
从而有
2 2
2 2 2b b
ca b
，即 2
2b c ，所以 2
2a c ，故 2ce a
，选 A.
11 解析： 1 1BD ACC A 面 ，所以 A，B 均正确， 1 1B EF BAC点到 的距离即为正 的高 ，
1C EF CC点到 的距离即为 ，所以 BEF CEF 的面积大于 的面积，选项 C 错误；
1
2B CEF BD点到面 的距离为定值，为 长 ， CEF 的面积也为定值，从而答案 D 正确。
故选 C.
12. 解析： 1(ln ) ln 0 ln 0 +xf x f x f x x g x xf xx
在 ， 上为减函数 ，
而 1 0g ， ln 0,1 1,+ 0y x 在 上恒小于0，在 上恒大于 ，从而有
0 + 0f x 在 ， 上恒小于 ，又函数 f x 为奇函数，所以 0f x 在 - ，0 上恒大于 .
不 等 式 1 0x f x 等 价 于
1 1
0 0
x x
f x f x
或 从 而 可 得
,0 1,x .
故选 D.
13.解析：不等式组所表示区域为图中阴影区域，
由条件 2,0 , 1,2 , 2, 1A B C
当经过点 1,2B 时， z 取得最大值，且 3z
故答案为 3.
14 解析： 1 2xf x e x ， 1 3f ， 1 2f a ，而切线过点 3,7 ，从而有
7 2 33 1
a
，解得 1a .
15.解析： 2 2 31 1 1, 1, 1 1
2
C x y 圆 ： 圆心 到直线x-y+1=0的距离d= ，
2 2
PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA
2
min
71 2PA PB d
。
16 解析： 1
1
1n na a n n
2 1
3 2
4 3
1
1 1 1
2 3 2 3
1 1 1
3 4 3 4
1 1 1
4 5 4 5
1 1 1
( 1) 1n n
a a
a a
a a
a a n n n n
从而可得 1
1 1
2 1na a n
即 5 1
2 1na n
，数列 na 在 *N 上为增数列且 5
2na 故 5
2
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，
17（本题满分 12 分）
解析：（1） cos ( 2 )cos 0 sin cos sin 2sin cos 0c A a b C C A A B C 由 得 …2
分
即 sin 2sin cosA C B C , ……3 分
从而 1cos 2C ……4 分
而 0 ,180C ， 所以 120C ……6 分
（2） 1 sin120 4 3, 162S ab ab
……7 分
2 2
2 2 2 32 cos120 2 242 2 2 2 2 2 2
a a a ab a abAD b b b b ab
……9
分
当且仅当 1
2b a ，即 4 2, 2 2a b 时，等号成立。 ……10 分
此时 2 132 8 2 4 2 2 2 562AB
，故 2 14AB . ……12 分
18.（本题满分 12 分）
（1）证明： ,AB AC O BC 且 为 中点 AO BC ……1 分
又 A O ABC 面 ，所以 A O BC ……2 分
AO A O AA O O 与 在面 内且相较于点 ，故 BC AA O 面 ……4 分
而 BC BCC B 面 ，从而即证 BCC B AA O 面 面 ……5 分
（2）以OA为 x轴 ，OB 为 y轴，OA 为 z轴 建立空间直角坐标系，如图所示：
因为 3, 2 3AO AA ,所以 3A O ……6 分
由条件可得 0,0,3 , 3,1,3 , 0, 1,0A B C
从而 3,1,0 , 0,1,3A B CA ……7 分
设面 A B C 的法向量为 1 , ,n x y z
则 3 0
3 0
x y
y z
从而可得 1 3,3, 1n ……9 分
因为 A O ABC 面 ，所以 面 ABC 的一个法向量 2 0,0,1n ……10 分
1 2
1 13cos , 1313
n n ， ……11 分
设面 ABC 与面 A B C 所成锐二面角为 ，则 1 2,n n
13cos 13
，故面 ABC 与面 A B C 所成锐二面角的余弦值为 13
13
。 ……12 分
19（本题满分 12 分）
解析：(1)直线 4 3 3 0x y 过左焦点 F ，所以 3,0F ， 3c ……1 分
又 1 3 13 =2 4 2OMF M MS y y 由 可知 ……2 分
从而椭圆经过点 13 2M
， ……3 分
由椭圆定义知 1 12 12 4, 22 4a a 即 ……4 分
故椭圆的方程为
2
2: 14
xC y . ……5 分
（2）由条件知，直线 MA MB、 斜率存在，且两直线斜率互为相反数，……6 分
设直线 1 32MA y k x ： 交椭圆于点 1 1,A x y ，
直线 1 32MB y k x ： 交椭圆于点 2 2,B x y ，
由
2 2
1 32
4 4
y k x
x y
得 2 2 2 24 1 8 3 4 12 4 3 3 0k x k k x k k
从而有，
2 2
1 12 2
12 4 3 3 12 4 3 33 ,4 1 3(4 1)
k k k kx xk k
即 ，
2
1 2
4 3 6 1
23(4 1)
k ky
k
故
2 2
2 2
12 4 3 3 4 3 6 1( , )23(4 1) 3(4 1)
k k k kA
k k
, ……8 分
同理可得
2 2
2 2
12 4 3 3 4 3 6 1( , )23(4 1) 3(4 1)
k k k kB
k k
, ……9 分
2 2
2 2
2 2
2 2
4 3 6 1 4 3 6 1( ) ( )2 2 12 33(4 1) 3(4 1)
212 4 3 3 12 4 3 3 8 3
3(4 1) 3(4 1)
k k k k
kk kk
k k k k k
k k
……11 分
即证直线 AB 的斜率为定值，且为 3
2
. ……12 分
20（本题满分 12 分）
解析：（1）在一次抽奖机会的情况下，要想获得 180 元返金券，只能选择方案一，且摸到两
次红球，一次白球，而每一次摸到红球的概率为 3 1
12 4P . ……2 分
设“这位顾客获得 180 元返金券”为事件 A，则 3
2
1 3
4 4
1 9( ) 64P A C
.
故这位顾客均获得 180 元返金券的概率 9
64
. ……4 分
（2）若选择抽奖方案①，则每一次摸到红球的概率为 1
4
，每一次摸到白球的概率为 3
4
.设获
得返金劵金额为 X 元，则 X 可能的取值为 60，120，180，240.
则
3
0
3
3 27( 60) ,4 64P X C
1 2
1
3
1 3 27( 120) ,4 4 64P X C
2
2
3
1 3 9( 180) ,4 4 64P X C
3
3
3
1 1( 240) .4 64P X C
……6 分
所以选择抽奖方案①，该顾客获得返金劵金额的数学期望为
27 1( ) 60 120 180 240 10564 64
27 9
64 64E X （元） ……8 分
若选择抽奖方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为 Y，最终获得返金券的金额为 Z
元，则 1~ 3, 4Y B
，故 1 3( ) 3 4 4E Y .
选择方案②，该顾客获得返金劵金额的数学期望为 3( ) (100 ) 100 754E Z E Y （元）
……11 分
从而有 ( ) ( )E X E Z ，所以应选择方案①更划算。. ……12 分
21.（本题满分 12 分）
解析：（1） 2xf x e a
当 0a 时， 2 0xf x e a ， f x R在 上为单调增函数；无极值。 ……1 分
当 0a 时，
由 2 0xf x e a ， ln 2x a ， ln(2 ),f x a 在 上为单调增函数，…2 分
由 2 0xf x e a ， ln 2x a ， ,ln(2 )f x a在 上为单调减函数 ，…3 分
= ln(2 ) 2 ln(2 )f f a a a a 极小值 ，无极大值。 ……4 分
综上所述：当 0a 时， f x 无极值，
当 0a 时， = ln(2 ) 2 ln(2 )f f a a a a 极小值 ，无极大值。 ……5 分
（2）由（1）知当 0a 时， ln(2 ),f x a 在 上为单调增函数，
在 ,ln(2 )a 上为单调减函数 ， = ln(2 ) 2 ln(2 )f f a a a a 极小值
而 (2 1)xf x e a x ，当 x 时， f x ；
当 x 时， f x ； ……7 分
当 2 ln(2 ) 0a a a ，即 0 2
ea 时， f x 无零点； ……8 分
当 2 ln(2 )=0a a a ，即 = 2
ea 时， f x 有1个零点； ……9 分
当 2 ln(2 ) 0a a a ，即
2
ea 时， f x 有2个零点. ……11 分
综上：当 0 2
ea 时， f x 无零点；
当 = 2
ea 时， f x 有1个零点；
当
2
ea 时， f x 有2个零点。 ……12 分
22.（本题满分 10 分）
解析：（1）曲线 C： ……2 分
直线 l ： 02 yx ……4 分
（2）设l ：
2
2 (
22 2
x t
t
y t
为参数） ……5 分
将l 的参数方程 代入 2 2( 2) ( 1) 4x y 得 4)2
23()22
2( 22 tt
09252 tt ……7 分
故 2521 tt ， 921 tt ……8 分
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 50 18 32PA PB t t t t t t
故 2 2 32PA PB …… 10 分
23.（本题满分 10 分）
（1）当 2a 时， 2 2 1f x x x ，即
3, 1
1 3 , 1 1
3, 1
x x
f x x x
x x
当 1x 时， 1f x 即 3 1x ，从而有1 4x ；
当 1 1x 时， 1f x 即1 3 1x ，从而有 0 1x ；
4)1()2( 22 yx
当 1x 时， 1f x 即3 1x ，此时为；
综上所述： 0,4x ……5 分
（2）若 0a ，
1, 2
1 3 , 1 2
1 , 1
ax a x
af x a x x
a x x
由函数性质可知 , +2 2
a af x
在 为减函数，在 ， 为增函数 ，
所以 min 12 2
a af f
……8 分
题意为 min 2f ，即 1 22
a ，从而得 2a
又 0a ，故 0,2a ……10 分
微信/支付宝扫码支付