相交线
知识要点：
1.定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，
互为邻补角．
2.邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．
3.性质：邻补角互补
4.定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
具有这种关系的两个角，互为对顶角．
5.性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
注意：
识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，
再看两个角的两边是否分别互为反向 延长线．两条直线相交形成两对对顶角．
一、单选题
1．如图，对于直线 AB，线段 CD，射线 EF，其中能相交 的图是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平 分∠EOC，∠EOC＝110°，则∠BOD 的度数是( )
A．25° B．35° C．45° D．55°
3．如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD 等于( ).
A．35° B．70°
C．110° D．145°
4．如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=( ).
A．55° B．65° C．75° D．85°
5．如图，直线 AB、CD 相交于点 O ，且∠AO D+∠BOC=100°，则∠AOC 是( )
A．150° B．130° C．100° D．90°
6．如图，直线 AB，CD 交于 O，EO⊥AB 于 O，∠1 与∠3 的关系是（ ）
A．互余 B．对顶角 C．互补 D．相等
7．如图所示，∠1 和∠2 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下面四个图形中，∠1 与∠2 是邻补角的是( )
A． B． C． D．
9．如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．∠1 和∠2 B．∠1 和∠3 C．∠2 和∠4 D．∠2 和∠5
10．10．如图所示，下列判断正确的是( )
A．图⑴中∠1 和∠2 是一组对顶角 B．图⑵中∠1 和∠2 是一组对顶角
C．图⑶中∠1 和∠2 是一对邻补角 D．图⑷中∠1 和∠2 互为邻补角
二、填空题
11．如图所示，AB∥CD，EF 与 AB，CD 相交，EF 与 AB 交于点_____，EF 与 CD 交于______．
12．两条直线相交，只有_____个交点．
13．平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有________ 条平行线．
14．探究题：
(1)三条直线相交，最少有________ __个交点，最多有__________个交 点，分别画出图形，
并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；
(2)四条直线相交，最少有__________个交点，最多有__________个交点，分别画出图形，
并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；
(3)依次类推，n 条直线相交，最少有__________个交点，最多有__________个 交点，对顶
角有_________对，邻补角有__________对．
三、解答题
15．平面上两条直线相交于一点，三条直线俩两相 交，每个交点都不经过第三条直线．
（ 1）5 条直线的交点为_____个．
（2）请探索 n 条直线的交点个数．
16．如图所示，已知直线 AB 和 CD 相交于点 O，OM 平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°．
（1）求∠AON 的度数．
（2）写出∠DON 的余角．
17．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC∶∠AOD＝1∶2.求∠BOD 的度数．
18．如图，三条直线 AB，CD，EF 交于一点，若∠1=30°，∠2=70°，求∠3 的度数．
答案
1．B
2．D
3．C
4．B
5．B
6．A
7．C
8．D
9．A
10．D
11．M N
12． 1．
13．三
14．(1)1，3；(2)1，6；(3)1， ( 1)
2
n n ，n(n-1)，2n(n-1)
15．（1）
如图所示：
我们发现：2 条直线相交有 1 个交点；
3 条直线相交有 1+2=3 个交点；
4 条直线相交有 1+2+3=6 个交点，
则 5 条直线的 交点为 1+2+3+4=10；
（2）图（n）：1+2+3+…+n-1= ( 1)
2
n n ．
16．（1）∵∠AOC+∠AOD＝∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵OM 平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM＝25°，
又由∠MON＝90°，
∴∠AON＝180°﹣（∠MON+∠BOM）＝180°﹣（90°+25°）＝65°；
（2）由∠DON+∠DOM＝∠MON＝90°知∠DOM 为∠DON 的余角，
∵∠AON+∠BOM＝90°，∠DOM＝∠MOB，
∴∠AON+∠DOM＝90°，
∴∠NO D+∠BOM＝90°，
故∠DON 的余角为：∠DOM，∠BOM ．
17．由邻补角的性质，得∠AOC＋∠AOD＝180°.
由∠AOC∶∠AOD＝1∶2，
得∠AOD＝2∠AOC，
∠AOC＋2∠AOC＝180°，
解得∠AOC＝60°.
由对顶角相等，得
∠BOD＝∠AOC＝60°.
故答案为：60°.
18．解：如图，∵∠4=∠2=70°（对顶角相等），
∴∠3=180°-∠1-∠4=180°-30°-70°=80°．
垂线
知识要点：
1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为 90°时，这两条直线互相垂直，
其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．符号：如 AB⊥CD．
2.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（基本事实）．“有
且只有”说明了垂线的存 在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也
可以在已知直线外．
3.垂线的画法
一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动 三角尺，使其另一条直角边经过已知点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
4.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，出线端最短．
5.点到直线的距离的定义
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
一、单选题
1．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边
附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由（ ）
A．垂线段最短 B．过两点有且只有一条直线
C．过一点可以作无数条直线 D．两点之间线段最短
2．如图，经过直线 l 外一点 A 作 l 的垂线，能画出（ ）
A．4 条 B．3 条 C．2 条 D．1 条
3．点 A 在直线 m 外，点 B 在直线 m 上， A B、 两点的 距离记作 a ，点 A 到直线 m 的距离记
作 b ，则 a 与b 的大小关系是 ( )
A． a b B． a b C． a b D． a b
4．如图，直线 EO⊥CD，垂足为点 O，AB 平分∠EOD，则∠BOD 的度数为（ ）
A．120° B．130°
C．135° D．140°
5．如图，已知点 O 在直线 AB 上，CO⊥DO 于点 O，若∠1=145°，则∠3 的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．如图所示，已知 AC⊥BC ，CD⊥AB，垂足分别是 C，D，那么以下线段大小的比较必定成
立的是（ ）
A． CD AD B． AC BC C． BC BD D． CD BD
7．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，下列条件中，不能说明 AB⊥CD 的是( )
A．∠AOD＝90°
B．∠AOC＝∠BOC
C．∠BOC＋∠BOD＝180°
D．∠AOC＋∠BOD＝180°
8．如图,想在河堤两岸搭建一座桥,图中搭建 方式中,最短的是( )
A．PA B．PB C．PC D．PD
9．如图，要把河中的水引到水池 A 中，应在河岸 B 处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长
度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
二、填空题
10．如图，把小河里的水引到田地 A 处就作 AB⊥l，垂足为 B，沿 AB 挖水沟，水沟最短.
理由是_______________________.
11．如图，OC⊥AB，OE 为∠COB 的平分 线，∠AOE 的度数为_______
12．如图，直线 AB ，CD 相交于点 O，射线 OM 平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON
的度数为_________.
13．在______内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
三、解答题
14．如下图，已知 AB、CD、EF 相交于点 O，AB⊥CD，OG 平分∠AOE，∠FOD=25°，求∠COE、
∠AOE、∠AOG 的度数。
15．如图，已知 A，O，E 三点在一条直线上，OB 平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE=90°，试问 ：
∠COD 与∠DOE 之间有怎样的关系?说明理由.
16．如图,AB、CD、EF 交于 O 点，AB⊥CD,OG 平分∠AOE,∠COE=28°求∠AOG 的度数.
17．如图，两直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11，
（1）求∠COE；（2）若 OF⊥OE，求∠COF．
18．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，求∠NOD．
（2）若∠1= 1
3
∠BOC，求∠AOC 与∠MOD．
答案
1．A
2．D
3．C
4．C
5．C
6．C
7．C
8．B
9．D
10．垂线段最短
11．135°
12．55°
13．同一平面
14．∵∠FOD=∠COE（对顶角相等）∠FOD=25° ∴∠COE=25° ∵AB⊥CD ∴∠AOC=90°
∴∠COE+∠AOC=115°即∠AOE= 115° ∵OG 平分∠AOE ∴∠AOG= ∠AOE 即∠AOG=55.5°
15．解：∠COD=∠DOE．理由如下：
∵OB 平分∠AOC，∴∠AOB=∠BOC．
又∵∠AOB+∠DOE=90°，∴∠BOC+∠COD=∠AOE-（∠AOB+∠DOE）=180°-90°=90°，∴∠
COD=∠DOE．
16．∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°，
∵∠COE=28°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+28°=118°，
∵OG 平分∠AOE ，∴∠AOG=∠EOG= ∠AOE=5 9°.
17．解：（1）∵∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=70°，∠AOD=110°，
∴∠BOD=70°．∵OE 平分∠BOD，∴∠DOE=35°，∴∠COE=180°﹣35°=145°．
（2）∵∠DOE=35°，OF⊥OE，∴∠FOD=55°，∴∠FOC=180°﹣55°=125°．
18．（1）因为 OM⊥AB，
所以∠AOM=∠1+∠AOC=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠NOC=∠2+∠AOC=90°，
所以∠NOD=180°-∠NOC=180° -90°=90°；
（2）因为 OM⊥AB，
所以∠AOM=∠BOM=90°，
因为∠1= 1
3
∠BOC，
所以∠BOC=∠1+90°=3∠1 ，
解得∠1=45°，
所以∠AOC=90°-∠1=90°-45°=45°，
所以∠MOD=180°-∠1=180°-45°=135°
同位角、内错角、同旁内角
知识要点
1.同位角
（1）定义：两个角分别在两 条被截线同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的
一对角叫做同位角．
（2）位置特征：在截线同侧，在两条被截线同一方，形如字母“F” ．
2.内错角
（1）定义：两个角都在两条被截线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一
对角叫做内错角．
（2）位置特征：在截线两侧，在两条被截线之间，形如字母“Z” ．
3.同旁内角
（1）定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同一旁，具有这种位置关系的一对
角叫做同旁内角．
（2）位置特征：在截线同侧，在两条被截线之间，形如字母“U”
一、单选题
1．下列图形中，∠1 和∠2 是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
2．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角” 为
了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角” 两大拇指代表被截直线，食指代表
截线 下列三幅图依次表示
A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角
3．如图，下列结论正确的是（ ）.
A．∠5 与∠2 是对顶角；
B．∠1 与∠3 是同位角；
C．∠2 与∠3 是同旁内角；
D．∠1 与∠2 是同旁内角.
4．在图中，∠1 与∠2 不是同旁内角的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．如图，直线 a，b 被直线 c 所截，那么∠1 的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
6．如图，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1 与∠2 是同位角 B．∠2 与∠3 是同位角
C．∠1 与∠3 是同位 角 D．∠1 与∠4 是内错角
7．如图，若两条平行线 EF ， MN 与直线 AB ，CD 相交，则图中共有同旁内角的对数为
（ ）.
A．4 B．8 C．12 D．16
8 ．如图,∠1 的内错角是( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
9．如图，直线 AD，BE 被直线 BF 和 AC 所截，则∠1 的同位角和∠5 的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
10．如图所示，有下列五种说法：①∠1 和∠4 是同位角；②∠3 和∠5 是内错角；③∠2 和
∠6 旁内角；④∠5 和∠2 是同位角；⑤bc2
B．若 ac>bc，则 a>b
C．若 a>b，且 c=d，则 ac>bd
D．若 ac2>bc2，则 a>b.
6．下列判断正确的 是（ ）
A．如果 a>b，则 1 1
a b
B．如果 a>0，则 1
a
>0；
C．如果 a＋b>0，则 a>0； D．如果 a/b0，b-a 的解为 xn，得 x> n
m
，则 m________0；
(2)由 mx>n，得 x< n m ，则 m________0. 三、解答题 14．对于下列问题： a ，b 是有理数，若 a b ，则 2 2a b .如果结论保持不变，怎样改变 条件，这个问题才是正确的？下面给出两种改法： （1） a ，b 是有理数，若 0a b ，则 2 2a b ； （2） a ，b 是有理数，若 0a b ，则 2 2a b . 试利用不等式的性质说明这两种改法是否正确． 15．若 x＜y，比较 2﹣3x 与 2﹣3y 的大小，并说明理由． 16．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式． (1)x－2＜3； (2)6x＜5x－1； (3) 1 2 x＞5； (4)－4x＞3； (5)－ 1 10 x＜ 1 10 ； (6) 2 3 x＞－ 1 3 x－6 答案 1．D 2．D 3 ．B 4．B 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．>
11．-1
12．>, >, >, , < 13．> < 14 解：这两种改法都正确，理由如下： （1）由 a b ，且 a ，b 均为正数，利用不等式的性质 2 得 2 2a ab ab b ， ，所以 2 2a b . （2）由 a b ，且 a ，b 均为负数，利用不等式的性质 3 得 2 2a ab ab b ， ，所以 2 2a b . 15.解：∵x＜y ， ∴﹣x＞﹣y， ∴﹣3x＞﹣3y， ∴2﹣3x＞2﹣3y． 16.（1）由不等式的基本性质 1，不等式的两边都加上 2，不等号的方向不变，所以 x＜5； （2）由不等式的基本性质 1，不等式的两边都减去 5x，不等号的方向不变，所以 x＜－1； （3）由不等式的基本性质 2，不等式的两边都乘 2，不等号的方向不变，所以 x＞10； （4）由不等式的基本性质 2，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以 x＜－ 3 4 . （5）由不等式的基本性质 2，不等式的两边都乘－10，不等号的方向改变，所以 x>－1.
（6）由不等式的基本性质 1，不等式的两边都加上
1
3 x，不等号的方向不变，所以 x>－6
一元一次不等式
知识要点：
解有关不等式(组)实际问题的一般步骤：
第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第 3 步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第 4 步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第 5 步：答
一、单选题
1．不等式 2 4x 的解集是（ ）
A． 2x B． 2x
C． 2x D． 2x
2．不等式 x-1＜0 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式 3x+2＞﹣1 的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于 x 的不等式 4x a
3
＞1 的解都是不等式 2x 1
3
＞0 的解，则 a 的范围是( )
A． a 5 B． a 5 C． a 5 D． a 5
5．甲在集市上先买了3只羊，平均每只 a 元，稍后又买了 2 只，平均每只羊b 元，后来他
以每只
2
a b 元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱，赔钱的原因是( )
A． a b B． a b C． a b D ．与 a 、b 大小无关
6．小华拿 27 元钱购买圆珠笔和练习册，已知一本练习册 2 元，一支圆珠笔 1 元，他买了 4
本练习册和 x 支圆珠笔，则关于 x 的不等式表示正确的是( )
A．2×4＋x＜27 B．2×4＋x≤27 C．2x＋4≤27 D．2x＋4≥27
7．已知两个不等式的解集在数 轴上如图表示，由这两个不等式组成的不等式组的解集为
（ ）
A． 1x B． 1x C． 3 1x ≤ D． 3x
8．某种服装的进价为 240 元，出售时标价为 360 元，由于换季，商店准备打折销售，但要
保特利润不低 20%，那么至多打( )
A．6 折 B．7 折 C ．8 折 D．9 折
二、填空题
9．不等式 3x 13
4
＞ x
3
＋2 的解是__________．
10．某商品的进价是 500 元，标价为 750 元，商店要求以利润率不低于 5%的售价打折出售，
售货员最低可以打_____折出售 此 商品．
11．大于－2 而小于+3 的整数有______________。
12．如果关于 x 的不等式 4 2 4a x 可化为 4
4 2x a
，那么 a 的取值范围是
__________．
13．若不等式 x 3
B． 2m 3
C． 2m> 3
D． 2m 3
3．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分 3 本，那么余 8 本，如果每人分 5 本，则最后
一个人分到的本数不足 3 本，则共有学生( )人．
A．4 B．5 C．6 D ．5 或 6
4．不等式组 9 5 1
1
x x
x m
的解集是 x＞2， 则 m 的取值范围是( )
A．m≤2
B．m≥2
C．m≤1
D．m≥1
5．在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为（a -2,3 a ）在第二象限,则字母 a 的取值范围是
（ ）
A．a＞0 B．a ＜2 C．0＜a＜2 D．a＞2
6．如果不等式组 10 2 0
0
x
x m
有解，那么 m 的取值范围是（ ）
A． 5m B． 5m C． 5m D． 5m
7．关于 x 的不等式组
2 5 53
3
2
x x
x x a
只有 5 个整数解，则 a 的取值范围是（ ）
A． 116 2a B． 116 2a C． 116 2a D． 116 2a
8．如果不等式组 8{x
x m
无解，那么 m 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．不等式组 2x
x a
无解，则 a 的取值范围是_____．
10．不等式组 5 2
4 3
x
x
的最小整数解是_____．
11．不等式组
2 3
2 2 3 6
x
x x
＞
的解集是__________。
12．小华将若干个苹果放入若干个篮子里，若每个篮 子里放 4 个苹果，则还剩 20 个苹果没
有放入篮子里；若每个篮子里放 8 个苹果，则还有 1 个篮 子没有放满小华原来共有________
个苹果．
13．对于实数 x，我们规定[x]表示不大于 x 的最大整 数，例如[1.1]=1，[3]=3，[﹣2.2]=
﹣3，若[ 4
3
x ]=5，则 x 的取值范围是_____．
三、解答题
14．解不等式组
5( 1) 3 1
2 1 5 1 13 2
x x
x x
，并将解集在数轴上表示出来．
15．解不等式组
2 10 5 ,3
1 3 14 4
x x
x x
①
②
请结合题意填空和画图，完成本题的解答：
解：解不等式①，得_________________.
解不等式②，得___________ _________.
不等式①和②的解集在同一数轴上表示如图所示：
所以原不等式组的解集是_________________.
16．对于一个数 x ，我们用 x 表示小于 x 的最大整数，例如： 2.6 2, 3 4 .
(1)填空： 10 _____， 2019 ______， 1
7
_______.
(2)若 ,a b 都是整数，且 a 和 b 互为相反数，求代数式 2 2 2 5a b a b a b 的
值；
(3)若 2 6x x ，求 x 的取值范围.
17．黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司 70 名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门
票每人 60 元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每
辆 60 元，十一座车每人 10 元.公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过 5000 元，问公司租
用的四座车和十一座车各多少辆？
答案
1．A
2．C
3．C
4．C
5．C
6．C
7．B
8． B
9．a≤2
10．-2
11． 1 2x
12．44
13．11≤x＜14
14．解：
5 1 3 1
2 1 5 1 13 2
x x
x x
①
② ，
由①得，x＜3，
由②得，x≥﹣1，
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
在数轴上表示为： ．
15．解：解不等式①，得 3x .
解不等式②，得 5x .
不等式①和②的解集在同一数轴上表示如图所示：
∴原不等式组的解集是 3 5x .
16．解：(1) 根据最大整数的定义： 10 9 ， 2019 2020 ， 1 07
(2) a ，b 都是整数，且 a 和 b 互为相反数，
∴ 2a b
∴ 2 2 2 5a b a b a b
22 2 4 52 b bba a a a b
2 22aa ab bb
1a b a b
∴将 2a b 代入上式，则
原式 2 2 1 6
( 3)设 x a ，则 2 2x a
∴ 2 2 6x x a a
∴ 4a
即 4x ， 4x
当 4x 时， 4 5x
当 4x 时， 4 3x 。
17．设四座车租 x 辆，十一座车租 y 辆，则有：
4 11 70{70 60 60 11 10 5000
x y
x y
，
将 4x+11y=70 变形为：4x=70-11y，代入 70×60+60x+11y×10≤5000，可得：
70 ×60+15（70-11y）+11y×10≤5000，
解得 y≥ 50
11
，
又∵x= 70 11
4
y ≥0，
∴y≤ 70
11
，
故 y=5，6．
当 y=5 时，x= 15
4
（不合题意舍去）．
当 y=6 时，x=1．
答：四座车租 1 辆，十一座车租 6 辆
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