【典例分析】
【考点 1】行程问题
【例 1】（2019·浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距 2400
米. 甲从小区步行去学校，出发 10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义
骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快 5
米. 设甲步行的时间为 x (分)，图 1中线段OA和折线 B C D 分别表示甲、乙离开小区的路
程 y (米)与甲步行时间 x (分)的函数关系的图象；图 2表示甲、乙两人之间的距离 s (米)与甲步
行时间 x (分)的函数关系的图象(不完整).根据图 1和图 2中所给信息，解答下列问题：
(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
(3)在图 2中，画出当25 30x 时 s关于 x的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对
应的图上)
【答案】(1)甲步行的速度是 80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是 800 米；(2)乙到达还
车点时，甲、乙两人之间的距离是 700 米；(3)图象如图所示见解析.
【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）根据函数图象中的数据可以求得OA的函数解析式，然后将 x=18 代入OA的函数解析
式，即可求得点 E的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之
间的距离；
（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．
【详解】
(1)由题意，得：甲步行的速度是2400 30 80 (米/分)，
∴乙出发时甲离开小区的路程是80 10 800 (米).
(2)设直线OA的解析式为: ( 0)y kx k ，
∵直线OA过点 30,2400A ，
∴30 2400k ，
解得 80k ，
∴直线OA的解析式为: 80y x .
∴当 18x 时， 80 18 1440y ，
∴乙骑自行车的速度是 1440 18 10 180 (米/分).
∵乙骑自行车的时间为 25 10 15 (分)，
∴乙骑自行车的路程为180 15 2700 (米).
当 25x 时，甲走过的路程是 80 80 25 2000y x (米)，
∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是2700 2000 700 (米).
(3)乙步行的速度为：80-5=75（米/分），
乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），
当 25≤x≤30 时 s 关于 x的函数的大致图象如图所示．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形
结合的思想解答．
【变式 1-1】（2019·山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王
的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的
距离 y km 与小王的行驶时间 x h 之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段 BC所表示的 y与 x之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围．
【答案】（1）小王和小李的速度分别是10 /km h、 20 /km h；（2） (30 30 1 1.5)y x x ．
【解析】 1 根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
2 根据 1 中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．
【详解】
解：（1）由图可得，
小王的速度为：30 3 10 /km h ，
小李的速度为： ( )30 10 1 1 20 /km h ，
答：小王和小李的速度分别是10 /km h、 20 /km h；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30 20 1.5h ，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10 1.5 15km ，
∴点C的坐标为 1.5,15 ，
设线段 BC所表示的 y与 x之间的函数解析式为 y kx b ，
0
1.5 15
k b
k b
，解得
30
30
k
b
，
即线段 BC所表示的 y与 x之间的函数解析式是 (30 30 1 1.5)y x x ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中 xy所表示的对象量，利
用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式 1-2】（2019·江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，
小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离 y(km)与出发时间之间
的函数关系式如图 1中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速
前往甲地，两人之间的距离 S(km)与出发时间 x(h)之间的函数关系式如图 2中折线段
CD-DE-EF 所示.
（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？
（2）求 E点坐标，并解释点的实际意义.
【答案】（1） =16 /V km h小丽 ， =20 /V km h小明 ；（2）E( 9
5
,144
5
)实际意义为小明到达甲地 .
【解析】(1)观察图 1可知小丽骑行 36 千米用了 2.25 小时，根据速度=路程÷时间可求出小丽
的速度，观察图 2可知小丽与小明 1小时机遇，由此即可求得小明的速度；
(2)观察图 2，结合两人的速度可知点 E为小明到达甲地，根据相关数据求出坐标即可.
【详解】
(1)V 小丽=36÷2.25=16(km/h)，
V 小明=36÷1-16=20(km/h)；
(2)36÷20= 9
5
(h)，
16× 9
5
=144
5
(km)，
所以点 E的坐标为( 9
5
，144
5
)，
实际意义是小明到达了甲地.
【点睛】本题考查了一次函数的应用——行程问题，弄清题意，正确分析图象，得出有用的信
息是解题的关键.
【考点 2】方案选择问题
【例 2】（2019·天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次
购买数量是多少，价格均为 6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元 50kg时，价格为
7元/kg；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 7元/kg，超出 50kg 部分的
价格为 5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kgx ( 0)x ．
（Ⅰ）根据题意填表：
一次购买数量/kg 30 50 150 …
甲批发店花费/元 300 …
乙批发店花费/元 350 …
（Ⅱ）设在甲批发店花费 1y 元，在乙批发店花费 2y 元，分别求 1y ， 2y 关于 x的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发
店一次购买苹果的数量为____________kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 120kg，则他在甲、乙两个批发店中的
________批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了 360 元，则他在甲、乙两个批发店中的________
批发店购买数量多．
【答案】（Ⅰ）180，900，210，850；（Ⅱ） 1 6y x ( 0)x ；当0 50x 时， 2 7y x ；当 50x
时， 2 5 100y x ．（Ⅲ）①100；②乙；③甲．
【解析】（Ⅰ）根据在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为 6元/kg．在乙批发店，
一次购买数量不超过元 50kg 时，价格为 7元/kg；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg
的价格仍为 7元/kg，超出 50kg 部分的价格为 5元/kg．可以分别把表一和表二补充完整；
（Ⅱ）根据所花费用=每千克的价格一次购买数量，可得出 1 2y y、 关于 x的函数关系式，注
意进行分段；
（Ⅲ）①根据 21 y y 得出 x的值即可；②把 x=120 分别代入 1y 和 2y 的解析式，并比较 1y 和 2y
的大小即可；③分别求出当 1 360y 和 2 360y 时 x的值，并比较大小即可．
【详解】
解：（Ⅰ）当 x=30 时， 1 30 6 180y ， 2 30 7 210y
当 x=150 时， 1 150 6 900y ， 2 50 7 5 150 50 850y （ ）
故答案为：180，900，210，850．
（Ⅱ） 1 6y x ( 0)x ．
当0 50x 时， 2 7y x ；
当 50x 时， 2 7 50 5( 50)y x ，即 2 5 100y x ．
（Ⅲ）①∵ 0x ∴6x 7x
∴当 21 y y 时，即 6x=5x+100
∴x=100
故答案为：100
②∵x=120 50 ，
∴ 1 6 120 720y ； 2 5 120 100=700 y
∴乙批发店购买花费少；
故答案为：乙
③∵当 x=50 时乙批发店的花费是：350 360
∵一次购买苹果花费了 360 元，∴x50
∴当 1 360y 时，6x=360，∴x=60
∴当 2 360y 时，5x+100=360, ∴x=52
∴甲批发店购买数量多．
故答案为：甲
【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函
数的性质和数形结合的思想解答．
【变式 2-1】（2019·山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游
泳再付费 30元.
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x次，
选择方式一的总费用为 y1(元)，选择方式二的总费用为 y2(元).
(1)请分别写出 y1，y2与 x之间的函数表达式.
(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.
【答案】(1) 1 230 200; 40y x y x ；(2)当 20x 时选择方式一比方式二省钱.
【解析】(1)根据题意列出函数关系式即可；
(2)根据题意，列出关于 x的不等式进行解答即可.
【详解】
(1) 1 30 200y x ，
2 40y x ；
(2)由 1 2y y 得：30 200 40x x ，
解得： 20x ，
∴当 20x 时选择方式一比方式 2省钱，
即一年内来此游泳馆的次数超过 20次时先择方式一比方式二省钱.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是弄清题意，找准各量间的关系，正确
运用相关知识解答.
【变式 2-2】（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为
x时所需费用为 y元，选择这两种卡消费时，y与 x的函数关系如图所示，解答下列问题
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于 x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
【答案】（1） 20y x甲 ， 10 100y x 乙 （2）见解析
【解析】（1）运用待定系数法，即可求出 y与 x之间的函数表达式；
（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．
【详解】
（1）设 1y k x甲 ，根据题意得 15 100k ，
解得 1 20k ，
∴ 20y x甲 ；
设 2 100y k x 乙 ，根据题意得：
220 100 300k ，
解得 2 10k ，
∴ 10 100y x 乙 ；
（2）① y y甲 乙，即20 10 100x x ，解得 10x ，当入园次数小于 10 次时，选择甲消费卡比
较合算；
② y y甲 乙，即20 10 100x x ，解得 10x ，当入园次数等于 10次时，选择两种消费卡费用
一样；
③ y y甲 乙，即20 10 100x x ，解得 10x ，当入园次数大于 10次时，选择乙消费卡比较合
算．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确
由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．
【考点 3】最大利润问题
【例 3】（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为 30元的童装若干件，物价部门规定
其销售单价不低于每件 30元，不高于每件 60 元．销售一段时间后发现：当销售单价为 60元
时，平均每月销售量为 80件，而当销售单价每降低 10元时，平均每月能多售出 20件．同时，
在销售过程中，每月还要支付其他费用 450 元．设销售单价为 x元，平均月销售量为 y件．
（1）求出 y与 x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1800 元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；（2）当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月
可获利 1800 元；（3）当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是
1950 元．
【解析】（1）当销售单价为 60元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，
平均每月能多售出 20件．从而用 60 减去 x，再除以 10，就是降价几个 10 元，再乘以 20，
再把 80加上就是平均月销售量；
（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于 1800，
解方程即可；
（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值
范围，可求得取最大利润时的 x值及最大利润．
【详解】
解：（1）由题意得：y＝80+20× 60
10
x
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）
（2）由题意得：
（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800
解得 x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）
答：当销售单价为 55元时，销售这种童装每月可获利 1800 元．
（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵﹣2＜0
∴当 x≤65 时，w随 x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当 x＝60 时，w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950
答：当销售单价为 60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元．
【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强
的综合性．
【变式 3-1】（2019·四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，
甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少 4元，且用 800 元购进甲种水果的数量与用 1000
元购进乙种水果的数量相同．
（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？
（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共 200 千克，其中甲种水果
的数量不超过乙种水果数量的 3倍，且购买资金不超过 3420 元，购回后，水果商决定甲种水
果的销售价定为每千克 20元，乙种水果的销售价定为每千克 25元，则水果商应如何进货，
才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元；（2）水果商进货甲种水果 145 千
克，乙种水果 55千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元．
【解析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过
乙种水果数量的 3倍，且购买资金不超过 3420 元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后
根据一次函数的性质即可解答本题．
【详解】
（1）设甲种水果的单价是 x元，则乙种水果的单价是 ( 4)x 元，
800 1000
4x x
，
解得， 16x ，
经检验， 16x 是原分式方程的解，
∴ 4 20x ，
答：甲、乙两种水果的单价分别是 16元、20 元；
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果 (200 )a 千克，利润为w元，
(20 16) (25 20)(200 ) 1000w a a a ，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的 3倍，且购买资金不超过 3420 元，
∴
3(200 )
16 20(200 ) 3420
a a
a a
，
解得，145 150a ，
∴当 145a 时，w取得最大值，此时 855w ， 200 55a ，
答：水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855
元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键
是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【变式 3-2】（2019·辽宁中考真题）某公司研发了一款成本为 50元的新型玩具，投放市场进
行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于 90%，市场调研
发现，在一段时间内，每天销售数量 y（个）与销售单价 x（元）符合一次函数关系，如图所
示：
（1）根据图象，直接写出 y与 x的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得 3000 元的销售利润，销售单价应定为多少元
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+260；（2）销售单价为 80 元；（3）销售单价为 90元时，每天获得的
利润最大，最大利润是 3200 元．
【解析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【详解】
（1）设 y＝kx+b（k≠0，b为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得
160 50
100 80
k b
k b
解得
2
260
k
b
∴y与 x的函数关系式为：y＝﹣2x+260
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000
化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100
∵x≤50×（1+90%）＝95
∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为 80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得
w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000
＝﹣2（x﹣90）2+3200
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当 x＝90 时， w 最大值＝3200
答：销售单价为 90元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3200 元．
【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的
应用等知识点，难度中等略大．
【考点 4】几何问题
【例 4】（2019·四川中考真题）如图，已知过点 (1,0)B 的直线 1l 与直线 2l ： 2 4y x 相交于点
( 1, )P a .
（1）求直线 1l 的解析式；
（2）求四边形 PAOC的面积.
【答案】（1） 1y x ；（2） 5
2
【解析】（1）根据 P点是两直线交点，可求得点 P的纵坐标，再利用待定系数法将点 B、点 P
的坐标代入直线 l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可.
（2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点C（0，1），由 四边形 PAB BOCPAOCS S S 可求得四边
形PAOC的面积
【详解】
解：（1）∵点 P是两直线的交点，
将点 P（1，a）代入 2 4y x
得 2 ( 1) 4 a，即 2a
则 P的坐标为 ( 1,2) ，
设直线 1l 的解析式为： y kx b ( 0)k ，
那么
0
2
k b
k b
，
解得：
1
1
k
b
.
1l 的解析式为： 1y x .
（2）直线 1l 与 y轴相交于点C，直线 2l 与 x轴相交于点A
C的坐标为 (0,1)， A点的坐标为 ( 2,0)
则 3AB ，
而 四边形 PAB BOCPAOCS S S ，
PAOCS四边形
1 1 53 2 1 1
2 2 2
【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键
是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积.
【变式 4-1】
（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系 xOy中，直线 1l 分别交 x轴和 y轴于点
3,0 , 0,3A B .
(1)如图 1，已知 P经过点O，且与直线 1l 相切于点 B，求 P的直径长；
(2)如图 2，已知直线 2 : 3 3l y x 分别交 x轴和 y轴于点C和点D，点Q是直线 2l 上的一个动
点，以Q为圆心， 2 2 为半径画圆.
①当点Q与点C重合时，求证: 直线 1l 与 Q相切；
②设 Q与直线 1l 相交于 ,M N两点， 连结 ,QM QN . 问:是否存在这样的点Q，使得 QMN 是
等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) P的直径长为3 2；(2) ①见解析；②存在这样的点 1(3 2,6 3 2)Q 和
2 (3 2,6 3 2)Q ，使得 QMN 是等腰直角三角形.
【解析】（1）连接 BC，证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；
（2）过点C作CE AB 于点E，证明CE=ACsin45°=4× 2
2
=2 2 =圆的半径，即可求解；
（3）假设存在这样的点Q，使得 QMN 是等腰直角三角形，分点Q在线段CF上时和点Q在
线段CF的延长线上两种情况，分别求解即可．
【详解】
（1）如图 3，连接 BC，
∵∠BOC=90°，
∴点 P在 BC上，
∵⊙P与直线 l1相切于点 B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长=BC=AB=3 2
(2)如图 4过点C作CE AB 于点E，
图 4
将 0y 代入 3 3y x ，得 1x ，
∴点C的坐标为 1,0 .
∴ 4AC ，
∵ 45CAE ，
∴ 2 2 2
2
CE AC .
∵点Q与点C重合，
又 Q的半径为2 2，
∴直线 1l 与 Q相切.
②假设存在这样的点Q，使得 QMN 是等腰直角三角形，
∵直线 1l 经过点 3,0 , 0,3A B ，
∴ l的函数解析式为 3y x= + .
记直线 2l 与 1l 的交点为F，
情况一：
如图 5，当点Q在线段CF上时，
由题意，得 45MNQ .
如图，延长 NQ交 x轴于点G，
图 5
∵ 45BAO ，
∴ 180 45 45 90NGA ，
即NG x 轴，
∴点Q与N 有相同的横坐标，
设 ,3 3Q m m ，则 , 3N m m ，
∴ 3 3 3QN m m .
∵ Q的半径为2 2，
∴ 3 (3 3) 2 2m m ，
解得 3 2m ，
∴3 3 6 3 2m ，
∴Q的坐标为 (3 2,6 3 2) .
情况二：
当点Q在线段CF的延长线上时，同理可得 3 2m ，Q的坐标为 (3 2,6 3 2) .
∴存在这样的点 1(3 2,6 3 2)Q 和 2 (3 2,6 3 2)Q ，使得 QMN 是等腰直角三角形.
【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键
要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．
【变式 4-2】（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系 xOy中，已知 (0 , 2)A ，动点 P在
3
3
y x
的图像上运动（不与O重合），连接 AP，过点 P作 PQ AP ，交 x轴于点Q，连接 AQ．
（1）求线段 AP长度的取值范围；
（2）试问：点 P运动过程中， QAP 是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理
由．
（3）当 OPQ 为等腰三角形时，求点Q的坐标．
【答案】（1） 3AP ；（2） QAP 为定值， QAP =30°；（3） 1(2 3 4 , 0)Q ， 2(2 3 4 , 0)Q ，
3( 2 3 , 0)Q ， 4
2 3( , 0)
3
Q
【解析】（1）作 AH OP ，由点 P在 3
3
y x 的图像上知： 30HOQ ，求出AH，即可得
解；
（2）①当点 P在第三象限时，②当点 P在第一象的线段OH上时，③当点 P在第一象限的线
段OH的延长线上时，分别证明Q、 P、O、 A四点共圆，即可求得 QAP =30°；
（3）分OP OQ ， PO PQ ，QO QP 三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）作 AH OP ，则 AP AH
∵点 P在 3
3
y x 的图像上
∴ 30HOQ ， 60HOA
∵ (0 , 2)A ，
∴ sin 60 3AH AO
∴ 3AP
（2）①当点 P在第三象限时，
由 90QPA QOA ，可得Q、 P、O、 A四点共圆，
∴ 30PAQ POQ
②当点 P在第一象的线段OH上时，
由 90QPA QOA ，可得Q、 P、O、 A四点共圆，
∴ 180PAQ POQ ，又此时 150POQ
∴ 180 30PAQ POQ
③当点 P在第一象限的线段OH的延长线上时，
由 90QPA QOA ，可得 180APQ AOQ ，
∴Q、 P、O、 A四点共圆，
∴ 30PAQ POQ
（3）设 3( , )
3
P m m ，则 APl ： 3 6 2
3
my
m
∵ PQ AP ，∴ 3
2 3PQ
mk
m
∴ PQl ： 3 3( )
32 3
my x m m
m
∴ 4 2 3( , 0)
3
mQ
∴ 2 24
3
OP m ， 2 216 16 43
9 9 3
OQ m m
2 24 4 43
9 9 3
PQ m m
①当OP OQ 时，则 2 24 16 16 43
3 9 9 3
m m m
整理得： 2 4 3 3 0m m 解得： 2 3 3m
∴ 1(2 3 4 , 0)Q ， 2(2 3 4 , 0)Q
②当 PO PQ 时，则 2 24 4 4 43
3 9 9 3
m m m
整理得： 22 3 3 0m m
解得： 3
2
m 或 3m
当 3
2
m 时，Q点与O重合，舍去，
∴ 3m ，∴ 3( 2 3 , 0)Q
③当QO QP 时，
则 2 216 16 4 4 4 43 3
9 9 3 9 9 3
m m m m
整理得： 2 3 0m m
解得： 3m
∴ 4
2 3( , 0)
3
Q
【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判
定和性质以及圆的相关性质等知识点，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【达标训练】
1．（2019·辽宁中考真题）一条公路旁依次有 , ,A B C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从 A村、
B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离 ( )s km 与骑行时间 t(h)之间的函数关系如图所示，下
列结论：① ,A B两村相距 10 km；②出发 1.25h后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行 8 km；
④相遇后，乙又骑行了 15min 或 65min 时两人相距 2 km．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】根据题意结合一次函数的图像与性质即可一一判断.
【详解】
解：
由图象可知 A村、 B村相离 10 km，故①正确，
当 1.25h时，甲、乙相距为 0 km，故在此时相遇，故②正确，
当0 1.25t 时，易得一次函数的解析式为 8 10s t ，故甲的速度比乙的速度快 8 /km h．故
③正确
当1.25 2t 时，函数图象经过点 (1.25,0) (2,6)设一次函数的解析式为 s kt b
代入得
0 1.25
6 2
k b
k b
，解得
k 8
b 10
∴ 8 10s t
当 2s 时．得2 8 10t ，解得 1.5t h
由1.5 1.25 0.25 15minh
同理当2 2.5t 时，设函数解析式为 s kt b
将点 (2,6) (2.5,0)代入得
0 2.5k b
6 2k b
，解得
k 12
b 30
∴ 12 30s t
当 2s 时，得2 12 30t ，解得 7
3
t
由 7 131.25 65min
3 12
h
故相遇后，乙又骑行了 15min 或 65min 时两人相距 2 km，④正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与应用.
2．（2019·四川中考真题）如图，一束光线从点 4,4A 出发，经 y轴上的点C反射后经过点
1 0B , ，则点C的坐标是( )
A．
10,
2
B．
40,
5
C． 0,1 D． 0,2
【答案】B
【解析】延长 AC交 x轴于点D，利用反射定律，可得 1 OCB ，利用ASA可证
COD COB ASA ，已知点 B坐标，从而得点D坐标，利用 A，D两点坐标，求出直线 AD
的解析式，即可求得点C坐标．
【详解】
如图所示，延长 AC交 x轴于点D．设 0,C c
∵这束光线从点 4,4A 出发，经 y轴上的点C反射后经过点 1 0B , ，
∴由反射定律可知， 1 OCB ，
∵∠1=∠OCD，
∴ OCB OCD ，
∵CO DB 于O，
∴ COD COB =90°，
在 COD 和 COB 中
OCD OCB
OC OC
COD COB
，
∴ COD COB ASA ，
∴ 1OD OB ，
∴ 1,0D ，
设直线 AD的解析式为 y kx b ，
∴将点 4,4A ，点 1,0D 代入得：
4 4
0
k b
k b
，
解得：
4
5
4
5
k
b
，
∴直线 AD的解析式为： 4 4
5 5
y x ，
∴点C坐标为
40,
5
．
故选 B．
【点睛】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知
识点，综合性较强，难度略大．
3．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 1A、 2A 、 3A … nA 在 x轴上， 1B 、
2B 、 3B … nB 在直线 3
3
y x 上，若 1 1,0A ，且 1 1 2A B A 、 2 2 3A B A … 1n n nA B A 都是等边三角
形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为 1S 、 2S 、 3S … nS ．则 nS 可表示为( )
A． 22 3n B． 2 12 3n C． 2 22 3n D． 2 32 3n
【答案】D
【解析】直线 3
3
y x 与 x轴的成角 1 1 30BOA o，可得 2 2 30OB A o，…， 30n nOB A o，
1 2 90OB A o，…， 1 90n nOB A o；根据等腰三角形的性质可知 1 1 1A B ， 2 2 2 2B A OA ，
3 3 4B A ，…， 12nn nB A ；根据勾股定理可得 1 2 3B B ， 2 3 2 3B B ，…， 1 2 3n
n nB B ，
再由面积公式即可求解；
【详解】
解：∵ 1 1 2A B A 、 2 2 3A B A … 1n n nA B A 都是等边三角形，
∴ 1 1 2 2 3 3 n nA B A B A B A B P P P P ， 1 2 2 3 3 4 1n nB A B A B A B A P P P P ， 1 1 2A B A 、
2 2 3A B A … 1n n nA B A 都是等边三角形，
∵直线 3
3
y x 与 x轴的成角 1 1 30BOA o， 1 1 120OA B o，
∴ 1 1 30OB A o，
∴ 1 1 1OA AB ，
∵ 1 1,0A ，
∴ 1 1 1A B ，
同理 2 2 30OB A o，…， 30n nOB A o，
∴ 2 2 2 2B A OA ， 3 3 4B A ，…， 12nn nB A ，
易得 1 2 90OB A o，…， 1 90n nOB A o，
∴ 1 2 3B B ， 2 3 2 3B B ，…， 1 2 3n
n nB B ，
∴ 1
1 31 3
2 2
S ， 2
1 2 2 3 2 3
2
S ，…， 1 2 31 2 2 3 2 3
2
n n n
nS
；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三
角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．
4．（2019·广西中考真题）如图，四边形 ABCD的顶点坐标分别为
4,0 , 2, 1 , 3,0 , 0,3A B C D ，当过点 B的直线 l将四边形 ABCD分成面积相等的两部分
时，直线 l所表示的函数表达式为（ ）
A． 11 6
10 5
y x B． 2 1
3 3
y x
C． 1y x D． 5 3
4 2
y x
【答案】D
【解析】由已知点可求四边形ABCD分成面积 1 13 7 4 14
2 2BAC y ；求出CD的
直线解析式为 y=-x+3，设过 B的直线 l 为 y=kx+b，并求出两条直线的交点，直线 l 与 x 轴的
交点坐标，根据面积有
1 1 2 5 17 3 1
2 1
k k
k k
，即可求 k。
【详解】
解：由 4,0 , 2, 1 , 3,0 , 0,3A B C D ，
∴ 7 , 3AC DO ，
∴四边形 ABCD分成面积 1 13 7 4 14
2 2BAC y ，
可求CD的直线解析式为 3y x ，
设过 B的直线 l为 y kx b ，
将点 B代入解析式得 2 1y kx k ，
∴直线CD与该直线的交点为
4 2 5 1,
1 1
k k
k k
，
直线 2 1y kx k 与 x轴的交点为
1 2 , 0k
k
，
∴
1 1 2 5 17 3 1
2 1
k k
k k
，
∴ 5
4
k 或 0k ，
∴ 5
4
k ，
∴直线解析式为 5 3
4 2
y x ；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待
定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
5．（2019·山东中考真题）某快递公司每天上午 9：00～10：00 为集中揽件和派件时段，甲
仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量 y（件）与时间
x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ）
A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30
【答案】B
【解析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量 y（件）与时间 x（分）之间的函数关系式，求出
两条直线的交点坐标即可．
【详解】
设甲仓库的快件数量 y（件）与时间 x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得
60k1+40=400，解得 k1=6，
∴y1=6x+40；
设乙仓库的快件数量 y（件）与时间 x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得
60k2+240=0，解得 k2=-4，
∴y2=-4x+240，
联立
6 40
4 240
y x
y x
＝
＝
，解得
20
160
x
y
＝
＝
，
∴此刻的时间为 9：20．
故选 B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）
解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
6．（2019·重庆中考真题）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快
递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发 2分钟时，甲
也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后
立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程 y（米）与
甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司
时，甲距公司的路程是______米．
【答案】6000
【解析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，
从而可以求得当乙回到公司时，甲距公司的路程.
【详解】
解：由题意可得，甲的速度为：4000÷（12-2-2）=500 米/分，
乙的速度为： 4000 500 2 500 2
2 2
=1000 米/分，
乙从与甲相遇到返回公司用的时间为 4分钟，
则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500×（12-2）-500×2+500×4=6000（米），
故答案为 6000.
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
7．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到
达 B地，他们之间的距离 s(km)与甲出发的时间 t(h)的关系如图所示，则乙由 B地到 A地用
了______h．
【答案】10
【解析】根据函数图象中的数据可以求得甲的速度和乙的速度，从而可以求得乙由 B地到A
地所用的时间．
【详解】
解：由图可得，
甲的速度为：36÷6=6(km/h)，
则乙的速度为： 36 6 4.5
4.5 2
=3.6(km/h)，
则乙由 B地到A地用时：36÷3.6=10(h)，
故答案为：10．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2019·山东中考真题）某市为提倡居民节约用水，自今年 1月 1日起调整居民用水价格．图
中 1l 、 2l 分别表示去年、今年水费 y（元）与用水量 x（ 3m ）之间的关系．小雨家去年用水量
为 150 3m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．
【答案】210．
【解析】根据函数图象中的数据可以求得 120x 时， 2l 对应的函数解析式，从而可以求得
150x 时对应的函数值，由 1l 的的图象可以求得 150x 时对应的函数值，从而可以计算出题
目中所求问题的答案，本题得以解决．
【详解】
设当 120x 时， 2l 对应的函数解析式为 y kx b ，
120 480
160 720
k b
k b
，得
6
240
k
b
，
即当 120x 时， 2l 对应的函数解析式为 6 240y x ，
当 150x 时， 6 150 240 660y ，
由图象可知，去年的水价是 480 160 3 （元/ 3m ），故小雨家去年用水量为 150 3m ，需要缴费：
150 3 450 （元），
660 450 210 （元），
即小雨家去年用水量为 150 3m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 210 元，
故答案为：210．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形
结合的思想解答．
9．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在 x轴、y轴上，四边
形ABCO是边长为 4的正方形，点D为AB的中点，点 P为OB上的一个动点，连接DP，
AP，当点 P满足DP+AP 的值最小时，直线AP的解析式为_____．
【答案】y＝﹣2x+8
【解析】根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于 P，连接 PA，
PD，则此时，PD+AP 的值最小，求得直线CD的解析式为 y＝﹣ 1
2
x+4，由于直线OB的解
析式为 y＝x，解方程组得到 P（ 8
3
， 8
3
），由待定系数法即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCO是正方形，
∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于 P，连接 PA，PD，
则此时，PD+AP 的值最小，
∵OC＝OA＝AB＝4，
∴C（0，4），A（4，0），
∵D为AB的中点，
∴AD＝ 1
2
AB＝2，
∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴
4 2
4
k b
b
，
∴
1
2
4
k
b
，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣ 1
2
x+4，
∵直线OB的解析式为 y＝x，
∴
1 4
2
y x
y x
，
解得：x＝y＝ 8
3
，
∴P（ 8
3
， 8
3
），
设直线AP的解析式为：y＝mx+n，
∴
4 0
8 8
3 3
m n
m n
，
解得：
2
8
m
n
，
∴直线AP的解析式为 y＝﹣2x+8，
故答案为：y＝﹣2x+8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，
正确的找出点 P的位置是解题的关键．
10．（2019·湖南中考真题）已知点 0 0,P x y 到直线 y kx b 的距离可表示为 0 0
21
kx b y
d
k
，
例如：点 (0,1)到直线 2 6y x 的距离 2
| 2 0 6 1| 5
1 2
d
．据此进一步可得两条平行线 y x
和 4y x 之间的距离为_______．
【答案】2 2
【解析】利用两平行线间的距离定义，在直线 y=x 上任意取一点，然后计算这个点到直线 y=x-4
的距离即可．
【详解】
解：当 0x 时， 0y x ，即点 (0,0)在直线 y x 上，
因为点 (0,0)到直线 4y x 的距离为： 2
| 0 4 0 | 4 2 2
21 1
d
，
因为直线 y x 和 4y x 平行，
所以这两条平行线之间的距离为2 2 ．
故答案为2 2 ．
【点睛】此题考查了两条直线相交或平行问题，弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关
键．考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力．
11．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的 ,A B
两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图 1是甲离开 A处后行走的路程 y（单位：m）与
行走时 x（单位：min ）的函数图象，图 2是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时
间 x（单位:min ）的函数图象，则a b _____．
【答案】 1
2
【解析】从图 1，可见甲的速度为120 60
2
，从图 2可以看出，当 x= 6
7
时，二人相遇，即：
660
7
V 乙（ ） =120，解得：乙的速度V乙=80，已的速度快，从图 2看出已用了b分钟走完全
程，甲用了a分钟走完全程，即可求解．
【详解】
解：从图 1，可见甲的速度为120 60
2
，
从图 2可以看出，当 6
7
x 时，二人相遇，即： 660 120
7
V 乙 ，解得：
乙的速度： 80V 乙 ，
∵乙的速度快，从图 2看出已用了b分钟走完全程，甲用了 a分钟走完全程，
120 120 1
60 80 2
a b .
故答案为 1
2
．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用
待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程=时间×速度．
12．（2019·四川中考真题）如图，点 P是双曲线C： 4y
x
（ 0x ）上的一点，过点 P作 x轴
的垂线交直线 AB：
1 2
2
y x 于点Q，连结OP，OQ .当点 P在曲线C上运动,且点 P在Q的上
方时，△ POQ面积的最大值是______.
【答案】3
【解析】令 PQ与 x轴的交点为 E，根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点 P在
双曲线上，由双曲线解析式中 k的几何意义可知△OPE的面积恒为 2，故当△OEQ面积最大
时△ POQ的面积最大.设Q（a，1 2
2
a ）则 S△OEQ=
1
2
×a×（ 1 2
2
a ）= 21
4
a a= 21( 1) 1
2
a ，
可知当a=2 时 S△OEQ最大为 1，即当Q为AB中点时△OEQ为 1，则求得△ POQ面积的最大
值是是 3.
【详解】
∵ 1 2
2
y x 交 x轴为 B点，交 y轴于点A,
∴A（0，-2），B（4，0）
即OB=4，OA=2
令 PQ与 x轴的交点为 E
∵P在曲线C上
∴△OPE的面积恒为 2
∴当△OEQ面积最大时△ POQ的面积最大
设Q（a, 1 2
2
a ）
则 S△OEQ=
1
2
×a×（ 1 2
2
a ）= 21
4
a a= 21( 1) 1
2
a
当a=2 时 S△OEQ最大为 1
即当Q为AB中点时△OEQ为 1
故△ POQ面积的最大值是是 3.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的
关键是掌握反比例函数中 k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.
13．（2019·江苏中考真题）某工厂计划生产甲、乙两种产品共 2500吨，每生产 1吨甲产品
可获得利润 0.3 万元，每生产 1吨乙产品可获得利润 0.4 万元．设该工厂生产了甲产品 x（吨），
生产甲、乙两种产品获得的总利润为 y（万元）．
（1）求 y与 x之间的函数表达式；
（2）若每生产 1吨甲产品需要A原料 0.25 吨，每生产 1吨乙产品需要A原料 0.5 吨．受市
场影响，该厂能获得的A原料至多为 1000 吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产
品各为多少吨时，能获得最大利润．
【答案】（1） 0.1 1000y x ；（2）工厂生产甲产品 1000 吨，乙产品 1500 吨时，能获得最
大利润.
【解析】（1）利润 y（元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝
生产 1吨甲产品的利润 0.3 万元×甲产品的吨数 x，即 0.3x 万元，生产乙产品的利润＝生产 1
吨乙产品的利润 0.4 万元×乙产品的吨数（2500﹣x），即 0.4（2500﹣x）万元．
（2）由（1）得 y是 x的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量 x的取值范围再确定当 x
取何值时，利润 y最大．
【详解】
（1） 0.3 2500 0.4 0.1 1000y x x x .
（2）由题意得： 0.25 2500 0.5 1000x x ，解得 1000x .
又因为 2500x≥ ，所以1000 2500x .
由（1）可知， 0.1 0 ，所以 y的值随着 x的增加而减小.
所以当 1000x 时， y取最大值，此时生产乙种产品 2500 1000 1500 （吨）.
答：工厂生产甲产品 1000 吨，乙产品 1500 吨，时，能获得最大利润.
【点睛】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利
润y与甲产品生产的吨数x的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，
最后确定函数的最值．也是常考内容之一．
14．（2019·吉林中考真题）甲、乙两车分别从 ,A B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，
相遇后，甲车继续以原速行驶到 B地，乙车立即以原速原路返回到 B地，甲、乙两车距 B地的
路程 y km 与各自行驶的时间 x h 之间的关系如图所示．
⑴m ________，n ________；
⑵求乙车距 B地的路程 y关于 x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；
⑶当甲车到达 B地时，求乙车距 B地的路程
【答案】（1）4，120；（2） 60 240y x ；（3）乙车距 B地的路程为30km .
【解析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）把 x=3 代入（2）的结论即可．
【详解】
解：（1）根据题意可得m=2×2=4，n=280-280÷3.5=120；
故答案为：4；120；
（2）设 y关于 x的函数解析式为 0 2y kx x ，
因为图象过 2,120 ，
所以 2 120k ，
解得 60k ，
所以 y关于 x的函数解析式为 60y x ，
设 y关于 x的函数解析式为 1 2 4y k x b x ，
因为图象过 2,120 , 4,0 两点，
所以 1
1
2 120
4 0
k b
k b
，
解得： 1 60
240
k
b
，
所以 y关于 x的函数解析式为 60 240y x ；
（3）当 3.5x 时， 60 3.5 240 30y ，
所以当甲车到达 B地时，乙车距 B地的路程为30km。
【点睛】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的
解析式．
15. （2019·新疆中考真题）某水果店以每千克 8元的价格收购苹果若干千克，销售了部分
苹果后，余下的苹果以每千克降价 4元销售，全部售完。销售金额 y（元）与销售量 x（千克）
之间的关系如图所示。请根据图象提供的信息完成下列问题：
（1）降价前苹果的销售单价是 元/千克；
（2）求降价后销售金额 y（元）与销售量 x千克之间的函数解析式，并写出自变量的取值范
围；
（3）该水果店这次销售苹果盈利多少元？
【答案】（1）16；（2） 40 50x ；（3）360 元.
【解析】（1）根据图像中的数据即可解答；
（2）先根据图象求出降价后销售的千克数，设降价后销售金额 y（元）与销售量 x（千克）之
间的函数解析式是 y＝kx+b，该函数过点（40，640），（50，760），用待定系数法即可解答；
（3）利用总销售额减去成本即可解答.
【详解】
解：（1）由图可得，
降价前苹果的销售单价是：640÷40＝16（元/千克），
故答案为：16；
（2）降价后销售的苹果千克数是：（760﹣640）÷（16﹣4）＝10，
设降价后销售金额 y（元）与销售量 x（千克）之间的函数解析式是 y＝kx+b，该函数过点（40，
640），（50，760），
∴
40 640
50 760
k b
k b
，解得
12
160
k
b
，
即降价后销售金额 y（元）与销售量 x（千克）之间的函数解析式是 y＝12x+160（40＜x≤50）；
（3）760 50 8 360 （元）
该水果店这次销售苹果盈利了 360 元.
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题关键在于从图像中获取信息并利用待定系数法求
解.
16．（2019·江苏中考真题）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且
在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息 1.5 小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为 x小
时，快车行驶的路程为 1y 千米，慢车行驶的路程为 2y 千米．如图中折线OAEC表示 1y 与 x之
间的函数关系，线段OD表示 2y 与 x之间的函数关系．
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段 EC所表示的 1y 与 x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段 EC相交于点 F，直接写出点 F的坐标，并解释点 F的实际意义．
【答案】（1）快车的速度为 90 千米/小时，慢车的速度为 60 千米/小时；（2） 1 90 135 xy ；
（3）点 F的坐标为 (4.5,270)，点 F代表的实际意义是在 4.5 小时时，甲车与乙车行驶的路程
相等．
【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；
（2）根据函数图象中的数据可以求得点 E和点C的坐标，从而可以求得 1y 与 x之间的函数表
达式；
（3）根据图象可知，点 F表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点 F的坐标，并
写出点 F的实际意义．
【详解】
（1）快车的速度为：180 2 90 千米/小时，
慢车的速度为：180 3 60 千米/小时，
答：快车的速度为 90千米/小时，慢车的速度为 60 千米/小时；
（2）由题意可得，
点 E的横坐标为：2 1.5 3.5 ，
则点 E的坐标为 (3.5,180)，
快车从点 E到点C用的时间为： (360 180) 90 2 （小时），
则点C的坐标为 (5.5,360)，
设线段 EC所表示的 1y 与 x之间的函数表达式是 1y kx b ，
3.5 180
5.5 360
k b
k b
，得
90
135
k
b
，
即线段 EC所表示的 1y 与 x之间的函数表达式是 1 90 135 xy ；
（3）设点 F的横坐标为a，
则60 90 135a a ，
解得， 4.5a ，
则60 270a ，
即点 F的坐标为 (4.5,270)，点 F代表的实际意义是在 4.5 小时时，甲车与乙车行驶的路程相等．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出方程
17．（2019·吉林中考真题）已知 A、B两地之间有一条 270 千米的公路，甲、乙两车同时出
发，甲车以 60千米/时的速度沿此公路从 A地匀速开往 B地，乙车从 B地沿此公路匀速开往 A
地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程 y（千米）与甲车的行驶时间 x（时）
之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为 千米/时，a ，b ．
（2）求甲、乙两车相遇后 y与 x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距 B地 70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
【答案】（1）75；3.6；4.5；（2）
135 270 2 3.6
60 3.6 4.5
x x
y
x x
；（3）当甲车到达距 B地 70千
米处时，求甲、乙两车之间的路程为 180 千米．
【解析】（1）根据图象可知两车 2小时后相遇，根据路程和为 270 千米即可求出乙车的速度；
然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a b、 的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距 B地 70 千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【详解】
解：（1）乙车的速度为： 270 60 2 2 75 千米/时，
270 75 3.6a ， 270 60 4.5b ．
故答案为：75；3.6；4.5；
（2）60 3.6 216 （千米），
当2 3.6x 时，设 1 1y k x b ，根据题意得：
1 1
1 1
2 0
3.6 216
k b
k b
，解得 1
1
135
270
k
b
，
∴ 135 270 2 3.6y x x ；
当3.6 4.6x 时，设 60y x ，
∴
135 270 2 3.6
60 3.6 4.5
x x
y
x x
；
（3）甲车到达距 B地 70 千米处时行驶的时间为： 20270 70 60
6
（小时），
此时甲、乙两车之间的路程为： 20135 270 180
6
（千米）．
答：当甲车到达距 B地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程为 180 千米．
【点睛】考核知识点：一次函数的应用.把实际问题转化为函数问题是关键.
18．（2019·广西中考真题）某校喜迎中华人民共和国成立 70周年，将举行以“歌唱祖国”
为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋
贴纸有 50张，毎袋小红旗有 20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗
价格少 5元，用 150 元购买贴纸所得袋数与用 200 元购买小红旗所得袋数相同．
（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸 2张，小红旗 1面．设购买国旗图案贴纸 a袋（a
为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含 a的代数式表示．
（3）在文具店累计购物超过 800 元后，超出 800 元的部分可享受 8折优惠．学校按（2）中
的配套方案购买，共支付w元，求w关于 a的函数关系式．现全校有 1200 名学生参加演出，
需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？
【答案】（1）每袋国旗图案贴纸为 15 元，每袋小红旗为 20元；（2）购买小红旗 5
4
a袋恰好配
套；（3）需要购买国旗图案贴纸和小红旗各 48，60 袋，总费用 1696W 元．
【解析】（1）设每袋国旗图案贴纸为 x元，则有150 200
5x x
，解得 15x ，检验后即可求解；
（2）设购买b袋小红旗恰好与 a袋贴纸配套，则有50 : 20 2 :1a b ，解得 5
4
b a ；
（3）如果没有折扣，
40 , 20
32 160, 20
a a
W
a a
，国旗贴纸需要：1200 2 2400 张，小红旗需要：
1200 1 1200 面，则 2400 48
50
a 袋， 5 60
4
b a 袋，总费用 32 48 160 1696W 元.
【详解】
（1）设每袋国旗图案贴纸为 x元，则有150 200
5x x
，
解得 15x ，
经检验 15x 是方程的解，
∴每袋小红旗为15 5 20 元；
答：每袋国旗图案贴纸为 15元，每袋小红旗为 20 元；
（2）设购买b袋小红旗恰好与 a袋贴纸配套，则有50 : 20 2 :1a b ，
解得 5
4
b a ，
答：购买小红旗 5
4
a袋恰好配套；
（3）如果没有折扣，则 515 20 40
4
W a a a ，
依题意得40 800a ，
解得 20a ，
当 20a 时，则 800 0.8 40 800( ) 32 160W a a ，
即
40 , 20
32 160, 20
a a
W
a a
，
国旗贴纸需要：1200 2 2400 张，
小红旗需要：1200 1 1200 面，
则 2400 48
50
a 袋， 5 60
4
b a 袋，
总费用 32 48 160 1696W 元．
【点睛】本题考查分式方程，一次函数的应用，能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的
最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键.
19．（2019·辽宁中考真题）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为 6元，当销售
单价定为 8元时，每天可以销售 200 件．市场调查反映：销售单价每提高 1元，日销量将会
减少 10件，物价部门规定：销售单价不能超过 12元，设该纪念品的销售单价为 x（元），日
销量为 y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求 y与 x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为 720 元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价 x（元）的函数关系式，当 x为何值时，日销售利润
最大，并求出最大利润．
【答案】（1） 10 280y x ；（2）10 元；（3）x为 12 时，日销售利润最大，最大利润 960
元
【解析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到 26 1 280 10 17 1210w x x x ，根据二次函数的性质即可得到
结论．
【详解】
解：（1）根据题意得， 200 10 8 10 280y x x ，
故 y与 x的函数关系式为 10 280y x ；
（2）根据题意得， 6 10 280 720x x ，解得： 1 10x ， 2 24x （不合题意舍去），
答：要使日销售利润为 720 元，销售单价应定为 10元；
（3）根据题意得， 26 10 280 10 17 1210w x x x ，
10 0 ，
∴当 17x 时，w随 x的增大而增大，
当 12x 时， 960w 最大 ，
答：当 x为 12 时，日销售利润最大，最大利润 960 元．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立
函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
20．（2019·黑龙江中考真题）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工
过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲
机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数 y（个）与甲加工时间
x h（ ）之间的函数图象为折线OA AB BC﹣ ﹣ ，如图所示．
（1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件，乙机器排除故障后每小
时加工 个零件；
（2）当3 6x 时，求 y与 x之间的函数解析式；
（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？
【答案】（1） 270, 20, 40；（2） 60 90 y x 3 6x ；（3）甲加工1.5h或4.5h时，甲与乙加
工的零件个数相等.
【解析】(1)观察图象可得零件总个数，观察AB段可得甲机器的速度，观察 BC段结合甲的速
度可求得乙的速度；
(2)设当3 6x 时， y与 x之间的函数解析式为 y kx b ，利用待定系数法求解即可；
(3)分乙机器出现故障前与修好故障后两种情况分别进行讨论求解即可.
【详解】
(1)观察图象可知一共加工零件 270 个，
甲机器每小时加工零件：(90-50)÷(3-1)=20 个，
乙机器排除故障后每小时加工零件：(270-90)÷(6-3)-20=40 个，
故答案为：270，20，40；
2 设当3 6x 时， y与 x之间的函数解析式为 y kx b
把 3,90B ， 6,270C ，代入解析式，得
3 90
6 270
k b
k b
解得
60
90
k
b
60 90y x 3 6x
3 设甲加工 x小时时，甲与乙加工的零件个数相等，
乙机器出现故障时已加工零件 50-20=30 个，
20 30x ，
1.5x ；
乙机器修好后，根据题意则有
20 30 40 3x x ，
4.5x ，
答：甲加工1.5h或4.5h时，甲与乙加工的零件个数相等.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的
关键.
21．（2019·四川中考真题）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：
商品 甲 乙
进价（元/件） 60x x
售价（元/件） 200 100
若用 360 元购进甲种商品的件数与用 180 元购进乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？
（2）若超市销售甲、乙两种商品共 50 件，其中销售甲种商品为 a件（ 30a ），设销售完 50
件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与 a之间的函数关系式，并求出w的最小值．
【答案】（1）分别是 120 元，60 元；（2） 40 2000w a ( 30)a ，当a=30 件时，w最小值=3200
元
【解析】（1）根据用 360 元购进甲种商品的件数与用 180 元购进乙种商品的件数相同列出方
程，解方程即可；
（2）根据总利润＝甲种商品一件的利润×甲种商品的件数+乙种商品一件的利润×乙种商品
的件数列出w与 a之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出w的最小值．
【详解】
解：（1）依题意可得方程： 360 180
60x x
，
解得 60x ，
经检验 60x 是方程的根，
∴ 60 120x 元，
答：甲、乙两种商品的进价分别是 120 元，60元；
（2）∵销售甲种商品为 a件 ( 30)a ，
∴销售乙种商品为 (50 )a 件，
根据题意得： (200 120) (100 60)(50 ) 40 2000w a a a ( 30)a ，
∵40 0 ，
∴w的值随 a值的增大而增大，
∴当 30a 时， 40 30 2000 3200w 最小值 （元）．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关
键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
22．（2019·黑龙江中考真题）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车
分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车
出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立
刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车
距各自出发地的距离 y（千米）与轿车所用的时间 x（小时）的关系如图所示，请结合图象解
答下列问题：
（1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时； t值为_______．
（2）求轿车距其出发地的距离 y（千米）与所用时间 x（小时）之间的函数关系式并写出自
变量 x的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．
【答案】（1）50；80；3（2）
80 0 3
240 3 4
80 560 4 7
x x
y x
x x
（3）货车出发3小时或5小时后两
车相距90千米
【解析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）分别求出得 A、 B、C的坐标，运用待定系数法解得即可；
（3）根据题意列方程解答即可．
【详解】
解：（1）车的速度是50千米/小时；轿车的速度是： 400 7 2 80 千米/小时； 240 80 3t ．
故答案为：50；80；3；
（2）由题意可知： 3,240A ， 4,240B ， 7,0C ，
设直线OA的解析式为 1 1 0y k x k ，
80 0 3y x x ，
当3 4x 时， 240y ，
设直线BC的解析式为 2 0y k x b k ，
把 4,240B ， 7,0C 代入得：
2
2
4 240
7 0
k b
k b
，解得 2 80
560
k
b
，
80 560y ，
80 0 3
240 3 4
80 560 4 7
x x
y x
x x
；
（3）设货车出发 x小时后两车相距90千米，根据题意得：
50 80 1 400 90x x 或 50 80 2 400 90x x ，
解得 3x 或5．
答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．
【点睛】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类
题的一个难度，必须分段研究.
23．（2019·江苏中考真题）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40元（市场管理部门
规定，该种玩具每件利润不能超过 60元），每天可售出 50 件．根据市场调查发现，销售单价
每增加 2元，每天销售量会减少 1件．设销售单价增加 x元，每天售出 y件．
（1）请写出 y与 x之间的函数表达式；
（2）当 x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当 x为多少时w最大，最大值是多少？
【答案】（1） 1 50
2
y x （2）当 x为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元（3）
当 x为 20时w最大，最大值是 2400 元
【解析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到 21 30 2450
2
w x ，根据二次函数的性质得到当 30x 时，w随 x的增
大而增大，于是得到结论．
【详解】
（1）根据题意得， 1 50
2
y x ；
（2）根据题意得， 140 50 2250
2
x x
，
解得： 1 50x ， 2 10x ，
∵每件利润不能超过 60元，
∴ 10x ，
答：当 x为 10时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元；
（3）根据题意得， 21 140 50 30 2000
2 2
w x x x x
21 30 2450
2
x ，
∵ 1 0
2
a ，
∴当 30x 时，w随 x的增大而增大，
∴当 20x = 时， 2400w 增大 ，
答：当 x为 20时w最大，最大值是 2400 元．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
24．（2019·浙江中考真题）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 y（千
瓦时）关于已行驶路程 x （千米）的函数图象.
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为 35千瓦时时汽车已行驶的路程，当0 150x 时，
求 1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
（2）当150 200x 时求 y关于 x的函数表达式，并计算当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的
剩余电量.
【答案】（1）1千瓦时可行驶 6千米；（2）当150 200x 时，函数表达式为 0.5 110y x ，
当汽车行驶 180 千米时，蓄电池剩余电量为 20千瓦时.
【解析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为 35千瓦时时汽车已行驶了 150 千米，据此即可
求出 1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
（2）运用待定系数法求出y关于 x的函数表达式，再把 x=180 代入即可求出当汽车已行驶 180
千米时，蓄电池的剩余电量．
【详解】
（1）由图像可知，蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车行驶了 150 千米.
1 千瓦时可行驶 150 6
60 35
千米.
（2）设 ( 0)y kx b k ，把点 (150,35)， (200,10)代入，
得
150 35
200 10
k b
k b
，∴
0.5
110
k
b
，∴ 0.5 110y x .
当 180x 时， 0.5 180 110 20y .
答：当150 200x 时，函数表达式为 0.5 110y x ，当汽车行驶 180 千米时，蓄电池剩余
电量为 20千瓦时.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）
找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理
解图形中点的坐标代表的意义．
25．（2019·浙江中考真题）某风景区内的公路如图 1所示，景区内有免费的班车，从入口处
出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午 8点发车，
以后每隔 10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午 7:40 到达入口处，
因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行 25分钟后到达塔林．离入口
处的路程 y（米）与时间 x（分)的函数关系如图 2所示.
（1）求第一班车离入口处的路程 y（米）与时间 x（分）的函数表达式.
（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间.
（3）小聪在塔林游玩 40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果
他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速
度均相同，小聪步行速度不变）
【答案】（1） 150 3000 20 38y x x .；（2）10 分钟；（3）第 5班车，7分钟.
【解析】（1）设 y=kx+b，运用待定系数法求解即可；
（2）把 y=1500 代入（1）的结论即可；
（3）设小聪坐上了第 n班车，30-25+10（n-1）≥40，解得 n≥4.5，可得小聪坐上了第 5班
车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【详解】
（1）解：由题意得，可设函数表达式为： 0y kx b k .
把 20,0 ， 38,2700 代入 y kx b ，得
0 20
2700 38
k b
k b
，
解得
150
3000
k
b
.
∴第一班车离入口处的路程 y（米）与时间 x（分）的函数表达式为 150 3000 20 38y x x .
（2）解：把 1500y 代入 150 3000y x ，解得 30x ，
30 20 10- = （分）．
∴第一班车到塔林所需时间 10分钟.
（3）解：设小聪坐上第n班车.
30 25 10 1 40n ，解得 4.5n ，
∴小聪最早坐上第 5班车.
等班车时间为 5分钟，
坐班车所需时间：1200 150 8 （分），
∴步行所需时间： 1200 1500 25 20 （分），
20 8 5 7 （分）．
∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早 7分钟
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的
关键．
26．（2019·四川中考真题）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3只
A型节能灯和 5只 B型节能灯共需 50元，2只 A型节能灯和 3只 B型节能灯共需 31元．
（1）求 1只 A型节能灯和 1只 B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共 200 只，要求A型节能灯的数量不超过 B型节能灯
的数量的 3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）1只 A型节能灯的售价是 5元，1只 B型节能灯的售价是 7元；（2）当购买A
型号节能灯 150 只，B型号节能灯 50 只时最省钱，见解析.
【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解
答本题．
【详解】
解：（1）设 1只 A型节能灯的售价是 x元，1只 B型节能灯的售价是 y元，
3 5 50
2 3 31
x y
x y
，解得，
5
7
x
y
，
答：1只 A型节能灯的售价是 5元，1只 B型节能灯的售价是 7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买 B型号的节能灯 200 a（ ﹣ ）只，费用为w元，
5 7 200 2 1400w a a a ＝ （ ）＝- ，
3 200a a （ ），
150a ，
∴当 150a＝ 时，w取得最小值，此时 1100 200 50w a＝ ， ﹣ ＝
答：当购买A型号节能灯 150 只，B型号节能灯 50 只时最省钱．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本
题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
27．（2019·河南中考真题）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3个
A奖品和 2个 B奖品共需 120 元；购买 5个 A奖品和 4个 B奖品共需 210 元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共 30个，且A奖品的数量不少于 B奖品数量的 1
3
．请设
计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）A的单价 30 元，B的单价 15元（2）购买A奖品 8个，购买 B奖品 22个，花
费最少
【解析】（1）设A的单价为 x元，B的单价为 y元，根据题意列出方程组
3 2 120
5 4 210
x y
x y
，即
可求解；
（2）设购买A奖品 z个，则购买 B奖品为 (30 )z 个，购买奖品的花费为W元，根据题意得
到由题意可知， 1 (30 )
3
z z ， 30 15(30 ) 450 15W z z z ，根据一次函数的性质，即可求
解；
【详解】
解：（1）设A的单价为 x元，B的单价为 y元，
根据题意，得
3 2 120
5 4 210
x y
x y
，
30
15
x
y
，
A的单价 30 元，B的单价 15元；
（2）设购买A奖品 z个，则购买 B奖品为 (30 )z 个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知， 1 (30 )
3
z z ，
15
2
z ，
30 15(30 ) 450 15W z z z ，
当 =8z 时，W有最小值为 570 元，
即购买A奖品 8个，购买 B奖品 22 个，花费最少；
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最
优方案转化为一次函数性质解题是关键．
28．（2019·辽宁中考真题）一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进
行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件）（ x为正整数）之间满足如图所示的函
数关系．
1 直接写出 y与 x之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；
2 若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）当0 20x ＜ 且 x为整数时， 40y＝ ；当20 60x ＜ 且 x为整数时， 1 50
2
y x ＝- ;
当 60x＞ 且 x为整数时， 20y ；（2）一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
【解析】（1）根据函数图像，求出各个部分的解析式即可；
（2）设所获利润w（元），分段求出各个不发的利润，再比较最大利润即可求解.
【详解】
解： 1 当0 20x ＜ 且 x为整数时， 40y＝ ；
当20 60x ＜ 且 x为整数时， 1 50
2
y x ＝- ;
当 60x＞ 且 x为整数时， 20y ；
2 设所获利润w（元），
当0 20x ＜ 且 x为整数时， 40y＝ ；
40 16 20 480w （ ） 元，
当0 20x ＜ 且 x为整数时，w=480 ,
∴当20 60x ＜ 且 x为整数时， 1 50
2
y x ＝-
16 50 16w y x x x （ ） （- ） ，
21 34
2
w x x ＝- ，
21 34 578
2
w x （ ） ，
1 0
2
当 34x＝ 时，w最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
【点睛】本题考查的是函数的实际应用，熟练掌握分段函数是解题的关键.
29．（2019·湖北中考真题）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过 5千克，则种
子价格为 20元/千克，若一次购买超过 5千克，则超过 5千克部分的种子价格打 8折．设一
次购买量为 x千克，付款金额为 y元．
（1）求 y关于 x函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子 30千克，需付款多少元？
【答案】（1）①当 0≤x≤5时，y=20x；②当 x>5，y=16x+20；（2）一次购买玉米种子 30 千
克，需付款 500 元；
【解析】（1）根据题意，得①当0≤x≤5时，y=20x；②当x＞5，y=20×0.8（x-5）+20×5=16x+20；
（2）把 x=30 代入 y=16x+20，即可求解.
【详解】
解：（1）根据题意，得
①当0 5x 时， 20y x ；
②当 5x ， 20 0.8 5 20 5 16 20y x x ；
（2）把 30x 代入 16 20y x ，
16 30 20 500y ；
一次购买玉米种子30千克，需付款500元.
【点睛】本题考查一次函数的应用；能够根据题意准确列出关系式，利用代入法求函数值是解
题的关键．
30．（2019·江苏中考真题）小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了
解，一次性批发这种水果不得少于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为 3元
/kg．图中折线表示批发单价 y（元 /kg）与质量 x kg 的函数关系．
（1）求图中线段 AB所在直线的函数表达式；
（2）小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量是多少？
【答案】（1） 0.01 6 100 300y x x ；（2）小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量
是 200 千克．
【解析】（1）设线段 AB所在直线的函数表达式为 y kx b ，运用待定系数法即可求解；
（2）设小李共批发水果m吨，则单价为 0.01 6m ，根据“单价、数量与总价的关系列方程
解答即可”．
【详解】
（1）设线段 AB所在直线的函数表达式为 y kx b ，根据题意得，
100 5
300 3
k b
k b
，解得
0.01
6
k
b
，
∴线段 AB所在直线的函数表达式为 0.01 6 100 300y x x ；
（2）设小李共批发水果m吨，则单价为 0.01 6m ，
根据题意得： 8000.01 6m
m
，
解得 200m 或 400，
经检验， 200x ， 400x （不合题意，舍去）都是原方程的根．
答：小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量是 200 千克．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
31．（2019·江苏中考真题）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十
字路口记作点 A．甲从中山路上点 B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点 A出发，沿
北京路步行向东匀速直行．设出发 minx 时，甲、乙两人与点 A的距离分别为 1y m、 2y m．已
知 1y 、 2y 与 x之间的函数关系如图②所示．
（1）求甲、乙两人的速度；
（2）当 x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？
【答案】（1）甲的速度为240 / minm ，乙的速度为80 / minm ．（2）当 9
2
x 时，甲、乙两人之
间的距离最短．
【解析】(1)设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列
方程组求解；
(2)设甲、乙之间距离为 d ，由勾股定理可得
2 2 2(1200 240 ) (80 )d x x 2964000( ) 144000
2
x ，根据二次函数最值即可得出结论．
【详解】
(1)设甲、乙两人的速度分别为 / minam ， / minbm ，甲从 B到 A用时为 p分钟，则：
1
1200 (0 )
1200( )
ax x p
y
ax x p
，
2y bx ，
由图②知： 3.75x 或7.5时， 1 2y y ，
则有
1200 3.75 3.75
7.5 1200 7.5
a b
a b
，解得：
240
80
a
b
，
p=1200÷240=5，
答：甲的速度为240 / minm ，乙的速度为80 / minm ；
(2)设甲、乙之间距离为 d ，
则 2 2 2(1200 240 ) (80 )d x x 2964000( ) 144000
2
x ，
当 9
2
x 时， 2d 的最小值为144000，即 d 的最小值为120 10，
答：当 9
2
x 时，甲、乙两人之间的距离最短．
【点睛】本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获
取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力．
32．（2019·宁夏中考真题）将直角三角板 ABC按如图 1放置，直角顶点C与坐标原点重合，
直角边 AC、BC分别与 x轴和 y轴重合，其中 30ABC ．将此三角板沿 y轴向下平移，当
点 B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面
积为 s， s关于m的函数图象（如图 2所示）与m轴相交于点 ( 3,0)P ，与 s轴相交于点Q．
（1）试确定三角板 ABC的面积；
（2）求平移前 AB边所在直线的解析式；
（3）求 s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．
【答案】（1） 3
2
S ；（2） 3 3y x ；（3） 3(0, )
2
Q ．
【解析】 1 与m轴相交于点 3,0P ，可知 3OB ， 1OA ；
2 设AB的解析式 y kx b ，将点 0, 3B ， 1,0A 代入即可；
3 在移动过程中 3OB m ，则 3 3tan30 3 1
3 3
OA OB m m ，所以
21 3 3 33 1
2 3 6 2
s m m m m
， 0 3m ；当 0m 时， 3
2
s ，即可求
30, .
2
Q
【详解】
解：（1）∵与m轴相交于点 ( 3,0)P ，
∴ 3OB ，
∵ 30ABC ，
∴ 1OA ，
∴ 1 31 3
2 2
S ；
（2）∵ (0, 3), (1,0)B A ，
设 AB的解析式 y kx b ，
∴
3
0
b
k b
，
∴
3
3
k
b
，
∴ 3 3y x ；
（3）在移动过程中 3OB m ，则 3 3tan 30 ( 3 ) 1
3 3
OA OB m m ，
∴ 21 3 3 3( 3 ) 1 , (0 3)
2 3 6 2
s m m m m m
当 0m 时， 3
2
s ，
∴ 3(0, )
2
Q ．
【点睛】本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到 0, 3B 是解题
的关键．
33．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 (3,2)A 在反比例函数 ( 0)ky x
x
的图象上，点 B在OA的延长线上，BC x 轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，
连接 AC， AD．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若 3
2ACDS ，设点C的坐标为 ( ,0)a ，求线段 BD的长．
【答案】（1） 6y
x
；（2）3
【解析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数 y= k
x
，即可求出函数解析式；
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点 B、D的坐标，根据
S△ACD=
3
2
，建立方程可以解出a的值，进而求出 BD的长．
【详解】
解：
（1）∵点 (3,2)A 在反比例函数 ( 0)ky x
x
的图象上，
∴ 3 2 6k ，
∴反比例函数 6y
x
；
答：反比例函数的关系式为： 6y
x
；
（2）过点 A作 AE OC ，垂足为 E，连接 AC，
设直线OA的关系式为 y kx ，将 (3,2)A 代入得， 2
3
k ，
∴直线OA的关系式为 2
3
y x ，
∵点 ( ,0)C a ，把 x a 代入 2
3
y x ，得： 2
3
y a ，把 x a 代入 6y
x
，得： 6y
a
，
∴ 2( , )
3
B a a ），即 2
3
BC a ，
6( , )D a
a
，即 6CD
a
∵ 3
2ACDS ，
∴ 1 3
2 2
CD EC ，即 1 6 3( 3)
2 2
a
a
，解得： 6a ，
∴ 2 6 3
3
BD BC CD a
a
；
答：线段 BD的长为 3．
【点睛】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的
长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
34．（2019·湖北中考真题）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机
蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表
所示：
有机蔬菜种类 进价（元/ kg） 售价（元/ kg）
甲 m 16
乙 n 18
（1）该超市购进甲种蔬菜 10 kg和乙种蔬菜 5 kg需要 170 元；购进甲种蔬菜 6 kg和乙种蔬菜
10 kg需要 200 元．求m，n的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于
20 kg，且不大于 70 kg．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过 60 kg的部分，当
天需要打 5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额 y
（元）与购进甲种蔬菜的数量 x（ kg）之间的函数关系式，并写出 x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额 y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每
千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出 a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于
20%，求 a的最大值．
【答案】（1）m的值是 10，n的值是 14；（2）
2 400(20 60)
580(60 70)
x x
y
x x
；（3） a的最大值是
1.8．
【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；
（2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得 y与 x的函数关系式；
（3）根据（2）中的条件，可以求得 y的最大值，然后再根据题意，即可得到关于a的不等
式，即可求得a的最大值，本题得以解决．
【详解】
（1）由题意可得，
10 5 170
6 10 200
m n
m n
，解得，
10
14
m
n
，
答：m的值是 10，n的值是 14；
（2）当20 60x 时，
(16 10) (18 14)(100 ) 2 400y x x x
当60 70x 时，
(16 10) 60 (16 10) 0.5 ( 60) (18 14)(100 ) 580y x x x
由上可得，
2 400(20 60)
580(60 70)
x x
y
x x
；
（3）当20 60x 时， 2 400y x ，则当 60x 时， y取得最大值，此时 520y ，
当60 70x 时， 580y x ，则 60 580 520y ，
由上可得，当 60x 时， y取得最大值，此时 520y ，
∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额 y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千
克捐出 2a元，乙种蔬菜每千克捐出 a元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于 20%，
∴ 520 2 60 40 20%
60 10 40 14
a a
，
解得， 1.8a ，
即 a的最大值是 1.8．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的
关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
35．（2019·湖南中考真题）在一段长为 1000 的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A
点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发 30秒钟，甲距A点的距离 y（米）与其出发的时
间 x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是 150 米分钟，且当乙到达 B点后立即按原速返
回．
（1）当 x为何值时，两人第一次相遇？
（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．
【答案】（1）当 x为 0.75 分钟时，两人第一次相遇；（2）当两人第二次相遇时，甲行驶的总
路程是 1109.375 米．
【解析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当 x为何值时，两人第一次相遇；
（2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程．
【详解】
（1）甲的速度为：100÷4＝250 米/分钟，
令 250x＝150（x 30
60
），
解得，x＝0.75，
答：当 x为 0.75 分钟时，两人第一次相遇；
（2）当 x＝5时，
乙行驶的路程为：150×（5 30
60
）＝825＜1000，
∴甲乙第二次相遇的时间为：5 1000 825
150 250
5 7
16
（分钟），
则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：1000+（5 7
16
5）×250＝1109.375（米），
答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是 1109.375 米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形
结合的思想解答．
36．（2019·湖北中考真题）为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、
B两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套 B型一体机的价格比每套 A型一体机的价
格多 0.6 万元，且用 960 万元恰好能购买 500 套 A型一体机和 200 套 B型一体机.
（1）求今年每套 A型、 B型一体机的价格各是多少万元
（2）该市明年计划采购 A型、 B型一体机 1100套，考虑物价因素，预计明年每套 A型一体
机的价格比今年上涨 25%，每套 B型一体机的价格不变，若购买 B型一体机的总费用不低于购
买 A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【答案】（1）今年每套 A型的价格各是 1.2 万元、B型一体机的价格是 1.8 万元；（2）该市明
年至少需投入 1800 万元才能完成采购计划．
【解析】(1)直接利用今年每套 B型一体机的价格比每套 A型一体机的价格多 0.6 万元，且用
960 万元恰好能购买 500 套 A型一体机和 200 套 B型一体机，分别得出方程求出答案；
(2)根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．
【详解】
(1)设今年每套 A型一体机的价格为 x万元，每套 B型一体机的价格为 y万元，
由题意可得：
0.6
500 200 960
y x
x y
，
解得：
1.2
1.8
x
y
，
答：今年每套 A型的价格各是 1.2 万元、 B型一体机的价格是 1.8 万元；
(2)设该市明年购买 A型一体机m套，则购买 B型一体机 (1100 m) 套，
由题意可得：1.8(1100 m) 1.2(1 25%)m ，
解得：m 600 ，
设明年需投入W 万元，
W 1.2 (1 25%)m 1.8(1100 m)
0.3m 1980 ，
∵ 0.3 0 ，
∴W 随m的增大而减小，
∵m 600 ，
∴当m 600 时，W 有最小值 0.3 600 1980 1800 ，
故该市明年至少需投入 1800 万元才能完成采购计划．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正
确找出等量关系是解题关键．
37．（2019·黑龙江中考真题）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准
备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文
具共需花费 35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲
种文具 x个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是
多少元？
【答案】（1）购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元（2）有5种购买方案（3）购买甲种
文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元
【解析】（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买 2个甲种文具、1
个乙种文具共需花费 35元；购买 1个甲种文具、3个乙种文具共需花费 30 元”列方程组解答
即可；
（2）根据题意列不等式组解答即可；
（3）求出W与 x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
【详解】
（1）设购买一个甲种文具 a元，一个乙种文具b元，由题意得：
2 35
3 30
a b
a b
，解得
15
5
a
b
，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）根据题意得：
955 15 5(120 2) 1000x ，
解得35.5 40x ，
x 是整数，
36,37,38,39, 40x
有5种购买方案；
（3） 15 5(120 ) 10 600W x x x ，
10 0 ，
W 随 x的增大而增大，
当 36x 时， 10 36 600 960W 最小 （元），
120 36 84 ．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于列出方程
38．（2019·黑龙江中考真题）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的
数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，
小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程 y
（米）与小强所用时间 t（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中 a的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段 AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）900（2）60，65（3） 60 1500(10 12)y x x
【解析】（1）根据“小明的路程=小明的速度×小明步行的时间”即可求解；
（2）根据 a的值可以得出小强步行 12 分钟的路程，再根据“路程、速度与时间”的关系解
答即可；
（3）由（2）可知点 B的坐标，再运用待定系数法解答即可．
【详解】
（1） 300 (10 5) 900
5
a ；
（2）小明的速度为：300 5 60 （米/分），
小强的速度为： (900 60 2) 12 65 （米/分）；
（3）由题意得 (12,780)B ，
设 AB所在的直线的解析式为： ( 0)y kx b k ，
把 (10,900)A 、 (12,780)B 代入得：
10 900
12 780
k b
k b
，解得
60
1500
k
b
，
线段 AB所在的直线的解析式为 y 60 1500(10 12)y x x ．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组
39．（2019·湖北中考真题）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产
销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研
发现，草莓销售单价 y（万元）与产量 x（吨）之间的关系如图所示 0 100x ．已知草莓的
产销投入总成本 p（万元）与产量 x x（吨）之间满足 1p x ．
（1）直接写出草莓销售单价 y（万元）与产量 x（吨）之间的函数关系式；
（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量 x（吨）之间的函数关系式；
（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，
为确保合作社所获利润 'w（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
【答案】（1） 0.01 2.7,y x 2y ；（2） 2 1 1w x x x ；（3）产量至少要达到80吨．
【解析】（1）分 0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100 三段求函数关系式，确定第 2段利用待
定系数法求解析式；
（2）利用w＝yx﹣p和（1）中 y与 x的关系式得到w与 x的关系式；
（3）把（2）中各段中的w分别减去 0.3x 得到w′与 x的关系式，然后根据一次函数的性质
和二次函数的性质求解．
【详解】
解：（1）当0 30x 时， 2.4y ；
当30 70x 时，设 y kx b ，
把 30,2.4 ， 70,2 代入得
30 2.4
70 2
k b
k b
，解得
k 0.01
b 2.7
，
0.01 2.7y x ；
当70 100x 时， 2y ；
2 当0 30x 时， 2.4 1 1.4 1w x x x ；
220.01 2.7 1 0.01 1.4 1 0.01 70 48w x x x x x x ；
当70 100x 时， 2 1 1w x x x ；
3 当0 30x 时， ' 1.4 x 1 0.3x 1.1x 1w ，当 30x 时，w'的最大值为32，不合题意；
当30 70x 时， 22 2' 0.01 1.7 1 0.3 0.01 1.4 1 0.01 70 48w x x x x x x ，当 70x
时，w'的最大值为 48，不合题意；
当70 100x 时， ' 1 0.3 0.7 1w x x x ，当 100x 时，w'的最大值为69，此时0.7 1 55x ，
解得 80x ，
所以产量至少要达到80吨．
【点睛】本题考查了一次函数的应用：学会建立函数模型的方法；确定自变量的范围和利用一
次函数的性质是完整解决问题的关键．
40．（2019·湖北中考真题）《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为“全国智慧
城市”试点，我市通过“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解
城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过30分钟，不收费；
超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时
2元收费（不足1小时，按1小时计）．
（1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费________元．若李
先生也在该停、车场停车，支付停车费11元，则停车场按________小时（填整数）计时收费．
（2）当 x取整数且 1x 时，求该停车场停车费 y（单位：元）关于停车计时 x（单位：小时）
的函数解析式．
【答案】（1） 7；5； （2） 2 1y x
【解析】（1）根据题意可知，停车2小时10分钟，则超出设计以2小时计算；支付停车费11元，
则超出时间为 11 3 2 4 - （小时），所以停车场按5小时计时收费；
（2）根据题意即可得出停车场停车费 y（单位：元）关于停车计时 x（单位：小时）的函数
解析式．
【详解】
（1）若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费为：3 2 2 7 （元）；若
李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则超出时间为 11 3 2 4 - （小时），所以停车
场按5小时计时收费．
故答案为： 7；5；
（2）当 x取整数且 1x 时，该停车场停车费 y（单位：元）关于停车计时 x（单位：小时）
的函数解析式为： 3 2 1y x ，
即 2 1y x ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解公共停车场的收费标准分为规定
时间的费用+超过规定时间的费用．
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