【典例分析】
【考点 1】多边形的内角和与外角和
【例 1】（2019·云南中考真题）一个十二边形的内角和等于( )
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式进行求解即可.
【详解】
多边形内角和公式为 2 180( )n ，其中n为多边形的边的条数，
∴十二边形内角和为 (12 2) 180 1800 ，
故选D.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.
【变式 1-1】（2019·福建中考真题）已知正多边形的一个外角为 36°，则该正多边形的边数
为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
利用多边形的外角和是 360°，正多边形的每个外角都是 36°，即可求出答案．
【详解】
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
【变式 1-2】（2019·四川中考真题）如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等， / /AD BC ，则
DAB _______°．
【答案】60°．
【解析】
【分析】
先根据多边形内角和公式 ( 2) 180n 求出六边形的内角和，再除以 6即可求出 BÐ 的度数，由
平行线的性质可求出 DAB 的度数．
【详解】
解：在六边形 ABCDEF 中，
(6 2) 180 720 ，
720 120
6
，
∴ 120B ，
∵ / /AD BC ，
∴ 180 60DAB B ，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形内角和公
式及平行线的性质．
【考点 2】平行四边形的判定与性质的应用
【例 2】（2019·四川中考真题）如图， ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O，OE BD
交 AD于点 E，连接 BE ，若 ABCD的周长为 28，则 ABE 的周长为（ ）
A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴OB OD ， AB CD ， AD BC ，
∵平行四边形的周长为 28，
∴ 14AB AD
∵OE BD ，
∴OE 是线段 BD的中垂线，
∴ BE ED ，
∴ ABE 的周长 14AB BE AE AB AD ，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线
定理.
【变式 2-1】（2018·山东中考真题）如图，在四边形 中， 是边 的中点，连接 并延
长，交 的延长线于点 ， .添加一个条件使四边形 为平行四边形，你认为下面四
个条件中可选择的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证
明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且 DC∥AB，则四边形ABCD 是平行四
边形.
【详解】
∵∠F＝∠CDE，
∴CD∥AF，
在△DEC与△FEB中，
，
∴△DEC≌△FEB（ASA），
∴DC＝BF，∠C＝∠EBF，
∴AB∥DC，
∵AB＝BF，
∴DC＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
故选D.
【点睛】
本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题
的关键．平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互
相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
【变式 2-2】（2019·江苏中考真题）如图，在▱ABCD中，点M，N分别是边AB，CD的中
点．
求证：AN=CM．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得 / /AB CD，AB CD ，根据一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形，可得 AN CM .
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵M，N分别是AB、CD的中点，
∴CN= CD，AM= AB，
∵CN∥AM，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴AN=CM．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，根据条件选择适当的判定方法是解题关键.
【变式 2-3】（2018·江苏中考真题）如图，矩形ABCD中，E是 AD的中点，延长CE，BA
交于点 F，连接 AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出 BC与CD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】
分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，
即可得出四边形ACDF 是平行四边形；
（2）先判定△CDE 是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据 E是 AD的中点，可得AD=2CD，
依据AD=BC，即可得到 BC=2CD．
详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是 AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF 是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE 是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是 AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段
相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置
上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
【考点 3】矩形的判定与性质的应用
【例 3】（2019·内蒙古中考真题）如图，在矩形 ABCD中， 8AD ，对角线 AC 与 BD相交
于点O， AE BD ，垂足为点 E，且 AE 平分 BAC ，则 AB 的长为_____.
【答案】 8 3
3
．
【解析】
【分析】
由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾
股定理可求AB的长．
【详解】
解：∵四边形 ABCD是矩形
∴ AO CO BO DO ，
∵ AE 平分 BAO
∴ BAE EAO ，且 AE AE ， AEB AEO ，
∴ ABE ≌ AOE （ ASA）
∴ AO AB ，且 AO OB
∴ AO AB BO DO ，
∴ 2BD AB ，
∵ 2 2 2AD AB BD ，
∴ 2 264 4AB AB ，
∴ 8 3
3
AB
故答案为： 8 3
3
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的
关键．
【变式 3-1】（2019·湖北中考真题）在Rt ABC中， 90 30C A D E F ＝ ， ＝ ， ， ， 分别是
AC AB BC， ， 的中点，连接ED EF， ．
1 求证：四边形DEFC 是矩形；
2 请用无刻度的直尺在图中作出 ABC 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析.
【解析】
【分析】
1 首先证明四边形DEFC 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判
断．
2 连接EC DF， 交于点O，作射线BO即可．
【详解】
1 证明： D E F ， ， 分别是 AC AB BC， ， 的中点，
/ / / /DE FC EF CD ， ，
四边形DEFC 是平行四边形，
90DCF ＝ ，
四边形DEFC 是矩形
2 连接EC DF， 交于点O，作射线BO，射线 BO即为所求．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识.
【变式 3-2】（2019·山东中考真题）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，
点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．
（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） 2AC AB 时,四边形 EGCF是矩形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得
出∠ABE=∠CDF，证出 BE=DF，由 SAS 证明△ABE≌△CDF 即可；
（2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，
得出 EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形 EGCF是平行四
边形，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点 E，F 分别为OB，OD的中点，
∴BE= 1
2
OB，DF= 1
2
OD，
∴BE=DF，
在△ABE 和△CDF 中，
AB CD
ABE CDF
BE DF
( )ABE CDF SAS
（2）当AC=2AB 时，四边形 EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG=AE，OA=OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形 EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形 EGCF是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等
知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
【考点 4】菱形判定与性质的应用
【例 4】（2019·辽宁中考真题）如图，在菱形ABCD中，E，F 分别是AD，DC的中点，若
BD＝4，EF＝3，则菱形 ABCD的周长为__．
【答案】4 13 .
【解析】
【分析】
连接AC，利用三角形的中位线定理求得AC的长，从而利用菱形的性质求得AO和 BO的长，
利用勾股定理求得边长后即可求得周长．
【详解】
解：如图，连接AC，
∵E，F 分别是AD，DC的中点，EF＝3，
∴AC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD为矩形，BD＝4，
∴AC⊥BD，AO＝3，BO＝2，
∴AB＝ 2 2 13AO BO ，
∴周长为4 13，
故答案为：4 13．
【点睛】
考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角线互相垂直平分，难度不大．
【变式 4-1】（2019·广西中考真题）如图，在菱形 ABCD中，对角线 ,AC BD 交于点O，过
点 A作 AH BC 于点H ，已知 BO=4，S 菱形ABCD=24，则 AH ___．
【答案】 24
5
【解析】
【分析】
根据菱形面积=对角线积的一半可求 AC ，再根据勾股定理求出 BC ，然后由菱形的面积即可得
出结果.
【详解】
∵四边形 ABCD是菱形，
∴ 4 ,BO DO AO CO ， AC BD ，
∴ 8BD ，
∵ 1 24
2ABCDS AC BD
菱形 ，
∴ 6AC ，
∴ 1 3
2
OC AC ，
∴ 2 2 5BC OB OC ，
∵ 24ABCDS BC AH
菱形 ，
∴ 24
5
AH ；
故答案为： 24
5
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出
BC 是解题的关键.
【变式 4-2】（2019·浙江中考真题）如图，矩形EFGH 的顶点E，G 分别在菱形 ABCD的边
AD，BC上，顶点 F 、H 在菱形 ABCD的对角线 BD上.
（1）求证： BG DE ；
（2）若E为 AD中点， 2FH ，求菱形 ABCD的周长。
【答案】（1）证明见解析；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质得到 EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根
据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接 EG，根据菱形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四边
形ABGE 是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论．
【详解】
（1）∵四边形 EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）连接 EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E为 AD中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE 是平行四边形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周长=8．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关
键．
【变式 4-3】（2019·辽宁中考真题）如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分
别以点 B和点 D为圆心，大于 1
2
BD的长为半径作弧，两弧相交于 E，F两点；②作直线 EF，
分别交AD，BC于点M，N，连接 BM，DN．若 BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边 BC上的
高为___．
【答案】 24
5
.
【解析】
【分析】
由作法得MN垂直平分 BD，则MB=MD，NB=ND，再证明△BMN为等腰三角形得到 BM=BN，
则可判断四边形 BMDN为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出 BN=5，然后利用面积法
计算 ABCD的边 BC上的高．
【详解】
由作法得MN垂直平分 BD，
∴MB＝MD，NB＝ND，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDB＝∠NBD，
而MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴∠MBD＝∠NBD，
而 BD⊥MN，
∴△BMN为等腰三角形，
∴BM＝BN，
∴BM＝BN＝ND＝MD，
∴四边形 BMDN为菱形，
∴ 2 23 4 5BN ＝ ＝ ，
设▱ABCD的边 BC上的高为 h，
∵ 2MN BD BN h＝ ，
∴ 6 8 24
2 5 5
h
＝ ＝ ，
即▱ABCD的边 BC上的高为 24
5
．
故答案为 24
5
．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已
知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查
了平行四边形的性质．
【考点 5】正方形的判定与性质的应用
【例 5】（2019·上海中考真题）如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是＝_______.
【答案】 3
【解析】
【分析】
正方形的面积公式：S=a 2，所以a= S ，求出这个正方形的边长，即可解答．
【详解】
设正方形的边长为a，则有
a2=3
∴边长为 a= 3
故答案为 3
【点睛】
此题考查正方形的面积，掌握运算公式是解题关键
【变式 5-1】（2019·山东中考真题）如图，E， F 是正方形 ABCD的对角线 AC 上的两点，
8AC ， 2AE CF ，则四边形 BEDF 的周长是_____．
【答案】8 5
【解析】
【分析】
连接 BD交 AC 于点O，则可证得OE OF ，OD OB ，可证四边形 BEDF 为平行四边形，且
BD EF ，可证得四边形 BEDF 为菱形；根据勾股定理计算DE 的长，可得结论．
【详解】
如图，连接 BD交 AC 于点O，
∵四边形 ABCD为正方形，
∴BD AC ，OD OB OA OC ，
∵ 2AE CF ，
∴OA AE OC CF ，即OE OF ，
∴四边形BEDF 为平行四边形，且 BD EF ，
∴四边形BEDF 为菱形，
∴DE DF BE BF ，
∵ 8AC BD ， 8 4 2
2
OE OF
，
由勾股定理得： 2 2 2 24 2 2 5DE OD OE ，
∴四边形BEDF 的周长 4 4 2 5 8 5DE ，
故答案为：8 5 .
【点睛】
本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形
为菱形是解题的关键．
【变式 5-2】（2019·湖北中考真题）如图①，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O为正方形
ABCD的中心，点C，D分别在OE 和OF 上，现将 OEF 绕点O逆时针旋转 角 0 90 ，
连接 AF ，DE （如图②）．
（1）在图②中， AOF ；（用含 的式子表示）
（2）在图②中猜想 AF 与DE 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）90 ；（2） AF DE ．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图②，利用旋转得 DOF COE ，再利用四边形 ABCD为正方形，求出∠AOD，
从而求出∠AOF;
（2）如图②，利用四边形 ABCD为正方形，得到 90AOD COD ，OA OD ，又因为 OEF
为等腰三角形，所以OF=OE,再证明 AOF DOE ≌ 即可.
【详解】
解：（1）如图②，
OEF 绕点O逆时针旋转 角，
DOF COE ，
四边形 ABCD为正方形，
90AOD ，
90AOF ；
故答案为90 ；
（2） AF DE ．
理由如下：
如图②，四边形 ABCD为正方形，
90AOD COD ，OA OD ，
DOF COE ，
AOF DOE ，
OEF 为等腰直角三角形，
OF OE ，
在 AOF 和 DOE 中
AO DO
AOF DOE
OF OE
，
AOF DOE SAS ≌ ，
AF DE ．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形和正方形的综合运用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
【达标训练】
一、单选题
1．（2019·辽宁中考真题）如图，某人从点A出发，前进 8m后向右转 60°，再前进 8m后
又向右转 60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（ ）
A．24m B．32m C．40m D．48m
【答案】D
【解析】
【分析】
从A点出发，前进 8m后向右转 60°，再前进 8m后又向右转 60°，…，这样一直走下去，
他第一次回到出发点A时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为 360°，判断多
边形的边数，再求路程．
【详解】
解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为 n，
则 60n＝360，解得 n＝6，
故他第一次回到出发点A时，共走了：8×6＝48（m）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．关键是根据每一个外角判断多边形的边
数．
2．（2019·贵州中考真题）如图，已知矩形 ABCD，一条直线将该矩形 ABCD分割成两个多边
形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M 和N，则M N 不可能是（ ）.
A．360 B．540 C．720 D．630
【答案】D
【解析】
如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N=540°+180°=720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N=360°+180°=540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，
此时矩形分割为两个三角形，
∴M+N=180°+180°=360°．
故选D．
3．（2019·四川中考真题）四边形 ABCD的对角线 AC 与 BD相交于点O，下列四组条件中，
一定能判定四边形 ABCD为平行四边形的是( )
A． / /AD BC B．OA OC ，OB OD
C． / /AD BC ， AB DC D． AC BD
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可.
【详解】
A.只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误；
B. OA OC ，OB OD ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；
C. / /AD BC ， AB DC ，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是
等腰梯形，故错误；
D. 对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故错误，
故选 B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.
4．（2019·湖北中考真题）若正多边形的内角和是540，则该正多边形的一个外角为（ ）
A． 45 B．60 C．72 D．90
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式 2 180n 求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的
360，依此可以求出多边形的一个外角．
【详解】
正多边形的内角和是540，
多边形的边数为540 180 2 5 ＝ ，
多边形的外角和都是360，
多边形的每个外角 360 5 72 ＝ ＝ ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特
征，难度适中．
5．（2019·山东中考真题）如图，在平行四边形 ABCD中，M 、N 是 BD上两点，BM DN ，
连接 AM、MC 、CN 、NA，添加一个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是( )
A． 1
2
OM AC B．MB MO C．BD AC D． AMB CND
【答案】A
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可知：OA OC ，OB OD ，再证明OM ON 即可证明四边形 AMCN 是
平行四边形．
【详解】
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴OA OC ，OB OD ，
∵对角线 BD上的两点M 、N 满足BM DN ，
∴OB BM OD DN ，即OM ON ，
∴四边形 AMCN 是平行四边形，
∵ 1
2
OM AC ，
∴MN AC ，
∴四边形 AMCN 是矩形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．（2019·湖北中考真题）如图，在△ABC中，点 D、E、F 分别是AB、AC、BC的中点，
已知∠ADE=65°，则∠CFE 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形中位线的性质可得DE//BC，EF//AB，根据平行线的性质求出∠CFE 的度数即可.
【详解】
∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE//BC，EF//AB，
∴∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，
∵∠ADE=65°，
∴∠CFE=∠ADE=65°，
故选 B.
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质及平行线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三
边的一半，熟练掌握相关性质是解题关键.
7．（2019·四川中考真题）如图，在四边形 ABCD中，AB CD ， ,AC BD 是对角线， , , ,E F G H
分别是 , , ,AD BD BC AC 的中点，连接 , , ,EF FG GH HE ，则四边形 EFGH 的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线定理可得，EH 平行且等于CD的一半，FG 平行且等于CD的一半，根
据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到EH 和 FG 平行且相等，所以 EFGH 为平
行四边形，又因为 EF 等于 AB 的一半且 AB CD ，所以得到所证四边形的邻边EH 与 EF 相等，
所以四边形 EFGH 为菱形．
【详解】
解：∵ , , ,E F G H 分别是 , , ,AD BD BC AC 的中点，
∴在 ADC 中，EH 为 ADC 的中位线，所以 / /EH CD 且 1
2
EH CD ；同理 / /FG CD且
1
2
FG CD ，同理可得 1
2
EF AB ，
则 //EH FG且EH FG ，
∴四边形 EFGH 为平行四边形，又 AB CD ，所以 EF EH ，
∴四边形 EFGH 为菱形．
故选：C．
【点睛】
此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一
道综合题．
8．（2019·贵州中考真题）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，
E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形 EFGH的周长为( )
A．12 B．14 C．24 D．21
【答案】A
【解析】
【分析】
利用勾股定理列式求出 BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
求出 EH＝FG＝ BC，EF＝GH＝ AD，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】
∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝ ，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝ BC，EF＝GH＝ AD，
∴四边形 EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形 EFGH的周长＝7+5＝12.
故选 A.
【点睛】
此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出 BC的值
9．（2019·广东中考真题）已知菱形 ABCD， ,E F 是动点，边长为 4， , 120BE AF BAD ，
则下列结论正确的有几个（ ）
① BEC AFC ≌ ； ② ECF 为等边三角形
③ AGE AFC ④若 1AF ，则 1
3
GF
GE
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
①易证△ABC为等边三角形，得AC=BC，∠CAF=∠B，结合已知条件 BE=AF 可证△BEC≌
△AFC；②得 FC=EC，∠FCA=∠ECB，得∠FCE=∠ACB，进而可得结论；③证明∠AGE=
∠BFC则可得结论；④分别证明△AEG∽△FCG和△FCG∽△ACF即可得出结论.
【详解】
在四边形 ABCD是菱形中，
∵ 120BAD ，
∴ 60 ∠DAC
∵ 60B
∴ B DAC
∴△ABC为等边三角形，
∴ AC BC
又BE AF ，
∴ BEC AFC ≌ ，故①正确；
∴FC EC ， FCA ECB
∴∠FCE=∠ACB=60°,
∴ ECF 为等边三角形，故②正确；
∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，
又∵∠CEF=∠CAB=60°,
∴∠BEC=∠AGE，
由①得，∠AFC=∠BEC，
∴∠AGE=∠AFC，故③正确；
∴∠AEG=∠FCG
∴△AEG∽△FCG，
∴GE GC
AE FC
，
∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG
∴∠CFG=∠GAE=∠FAC，
∴△ACF∽△FCG，
∴ FC AF
GC GF
∴GF AF
GE AE
∵AF=1，
∴BE=1，
∴AE=3，
∴ 1
3
GF
GE
，故④正确.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角
形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，是一道好题.
10．（2019·内蒙古中考真题）如图，在 ABCD中， 47 42BDC ，依据尺规作图的痕迹，
计算 的度数是（ ）
A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质，角平分线性质和线段垂直平分线性质可求出结果.
【详解】
∵四边形 ABCD为平行四边形，
∴ / /AB CD，
∴ 47 42ABD BDC ，
由作法得 EF 垂直平分 BD， BE 平分 ABD ，
∴ EF BD ， 1 23 51
2
ABE DBE ABD ，
∵ 90BEF EBD ，
∴ 90 23 51 66 9BEF ，
∴ 的度数是 66°9′．
故选：D．
【点睛】
考核知识点：线段垂直平分线，平行四边形性质.理解作图的意义是关键.
11．（2019·广西中考真题）如图，在 ABC 中， ,D E 分别是 ,AB BC 的中点，点F 在DE 延
长线上，添加一个条件使四边形 ADFC 为平行四边形，则这个条件是（ ）
A． B F B． B BCF C． AC CF D． AD CF
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形中位线定理得到 1DE AC DE AC
2
， ，结合平行四边形的判定定理进行选择．
【详解】
∵在 ABC 中， ,D E 分别是 ,AB BC 的中点，
∴DE 是 ABC 的中位线，
∴ 1
2
DE AC∕∕ ．
A、根据 B F 不能判定 AC DF∕∕ ，即不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错
误．
B、根据 B BCF 可以判定CF AB∕∕ ，即CF AD∕∕ ，由“两组对边分别平行的四边形是平
行四边形”得到四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项正确．
C、根据 AC CF 不能判定 AC DF∕∕ ，即不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错
误．
D、根据 ,AD CF FD AC ∕∕ 不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于
第三边，且等于第三边的一半．
12．（2019·山东中考真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是 BC、CD上的点，且∠
EAF＝45°，AE、AF分别交 BD于M、N，连按 EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当
AE＝AF时， BE
EC
＝2﹣ 2 ，③BE+DF＝EF，④存在点 E、F，使得NF＞DF，其中正确的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
①如图 1，证明△AMN∽△BME 和△AMB∽△NME，可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN
是等腰直角三角形可作判断；
②先证明CE=CF，假设正方形边长为 1，设CE=x，则 BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可
作判断；
③如图 3，将△ADF 绕点 A顺时针旋转 90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则
EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断；
④在△ADN中根据比较对角的大小来比较边的大小．
【详解】
①如图 1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，
∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴ AM MN
BM EM
，
∵∠AMB＝∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN＝∠ABD＝45°
∴∠NAE＝∠AEN＝45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴AN＝EN，
故①正确；
②在△ABE和△ADF 中，
∵
AB AD
ABE ADF 90
AE AF
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
假设正方形边长为 1，设CE＝x，则 BE＝1﹣x，
如图 2，连接AC，交 EF 于 H，
∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC是 EF 的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE＝OF，
Rt△CEF 中，OC＝ 1
2
EF＝ 2
2
x，
△EAF 中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，
∴OE＝BE，
∵AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），
∴AO＝AB＝1，
∴AC＝ 2 ＝AO+OC，
∴1+ 2
2
x＝ 2 ，
x＝2﹣ 2 ，
∴ BE
EC
＝1 (2 2)
2 2
＝ ( 2 1)(2 2)
2
＝ 2
2
；
故②不正确；
③如图 3，
∴将△ADF绕点 A顺时针旋转 90°得到△ABH，则 AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，
∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，
∵∠ABE＝∠ABH＝90°，
∴H、B、E三点共线，
在△AEF 和△AEH中，
AE AE
FAE HAE
AF AH
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，
故③正确；
④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，
∠FDN＝45°，
∴DF＞FN，
故存在点 E、F，使得NF＞DF，
故④不正确；
故选 B．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直
平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线
构造全等三角形.
二、填空题
13．（2019·四川中考真题）已知一个多边形的每一个内角都等于 108°，则这个多边形的边
数是 ．
【答案】5
【解析】
试题分析：∵多边形的每一个内角都等于 108°，∴每一个外角为 72°．
∵多边形的外角和为 360°，∴这个多边形的边数是：360÷÷72=5．
14．（2019·辽宁中考真题）如图，在矩形ABCD中， 5AD ， 3AB ，点 E从点 A出发，以
每秒 2个单位长度的速度沿AD向点D运动，同时点 F从点C出发，以每秒 1个单位长度的
速度沿CB向点 B运动，当点 E到达点D时，点 E，F同时停止运动．连接 BE，EF，设点 E
运动的时间为 t，若 BEF 是以 BE为底的等腰三角形，则 t 的值为________．
【答案】 5 7
4
【解析】
【分析】
过点 E作EG BC 于G，可得 3AB EG ， 2AE BG t ，由勾股定理可求 t 的值．
【详解】
如图，过点 E作EG BC 于G，
∴四边形ABGE 是矩形，
∴ 3AB EG ， 2AE BG t ，
∵ 5BF EF t ， | 2 (5 ) | | 3 5 |FG t t t ，
∴ 2 2 2EF FG EG ，
∴ 2 2(5 ) (3 5) 9t t ，
∴ 5 7
4
t
故答案为： 5 7
4
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
15．（2019·四川中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点 E是 AB的中
点， BEO 的周长是 8，则 BCD 的周长为_____．
【答案】16 ．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可得 1
2
BO DO BD＝ ＝ ，进而可得OE是 ABC 的中位线，由三角形中位
线定理得出 2BC OE＝ ，再根据平行四边形的性质可得 AB CD＝ ，从而可得 BCD 的周长
BEO＝ 的周长 2 ．
【详解】
解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
1 2
2
BO DO BD BD OB ＝ ＝ ， ＝ ，
∴O为 BD中点，
∵点 E是 AB 的中点，
2 2AB BE BC OE ＝ ， ＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB CD ＝ ，
2CD BE ＝ ．
BEO 的周长为 8，
8OB OE BE ＝，
2 2 2 2 16BD BC CD OB OE BE OB OE BE ＝ ＝（ ）＝ ，
BCD 的周长是 16，
故答案为 16．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义．关键是掌握平行四边形的
性质：①边：平行四边形的对边平行且相等．②角：平行四边形的对角相等；③对角线：平行
四边形的对角线互相平分．
16．（2019·江苏中考真题）如图，已知点 E在正方形ABCD的边AB上，以 BE为边向正方
形ABCD外部作正方形 BEFG，连接DF，M、N分别是 DC、DF的中点，连接MN.若 AB=7，
BE=5，则MN=_______.
【答案】13
2
【解析】
【分析】
连接 FC，根据三角形中位线定理可得 FC=2MN，继而根据四边形ABCD，四边形 EFGB是正
方形，推导得出G、B、C三点共线，然后再根据勾股定理可求得 FC的长，继而可求得答案.
【详解】
连接 FC，∵M、N分别是DC、DF 的中点，
∴FC=2MN，
∵四边形ABCD，四边形 EFGB是正方形，
∴∠FGB=90°，∠ABG=∠ABC=90°，FG=BE=5，BC=AB=7，
∴∠GBC=∠ABG+∠ABC=180°，
即G、B、C三点共线，
∴GC=GB+BC=5+7=12，
∴FC= 2 2FG GC =13，
∴MN=13
2
，
故答案为：13
2
.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握
和灵活运用相关知识是解题的关键.
17．（2019·天津中考真题）如图，正方形纸片 ABCD的边长为 12，E是边CD上一点，连接
AE ．折叠该纸片，使点 A落在 AE 上的G 点，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BF ，点F 在 AD
上．若 5DE ，则GE 的长为__________．
【答案】 49
13
【解析】
【分析】
先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得 BF 垂直平分AG，再根据
ABM ~ ADE ,求出 AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长
【详解】
解：在正方形 ABCD中，∠BAD=∠D = 090 ，
∴∠BAM+∠FAM= 090
在 Rt ADE中， 2 2 2 2+ 1DE 2 31 5 A ADE
∵由折叠的性质可得 ABF GBF
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF 垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB= 090
∴∠BAM+∠ABM= 090
∴∠ABM=∠FAM
∴ ABM ~ ADE
∴ AM AB
DE AE
，∴ 12
5 13
AM
∴AM= 60
13
, ∴AG=120
13
∴GE=5-120 49
13 13
【点睛】
本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟
练掌握相关的知识是解题的关键
18．（2019·湖南中考真题）如图所示，过正五边形 ABCDE 的顶点 B 作一条射线与其内角 EAB
的角平分线相交于点 P ，且 60ABP ，则 APB _____度．
【答案】66
【解析】
【分析】
首先根据正五边形的性质得到 108EAB 度，然后根据角平分线的定义得到 54PAB 度，
再利用三角形内角和定理得到 APB 的度数．
【详解】
解：∵五边形 ABCDE为正五边形，
∴ 108EAB 度，
∵ AP 是 EAB 的角平分线，
∴ 54PAB 度，
∵ 60ABP ，
∴ 180 60 54 66APB ．
故答案为：66．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．
19．（2019·山东中考真题）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1所示），然后
轻轻拉紧、压平就可以得到如图 2所示的正五边形 ABCDE ．图中， BAC ____度．
【答案】36°.
【解析】
【分析】
利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】
(5 2) 180 108
5
ABC
， ABC 是等腰三角形，
36BAC BCA 度．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道 n边形的内角
和为：180°（n﹣2）．
20．（2019·江苏中考真题）如图，正方形 ABCD的边长为 4，E为 BC 上一点，且 1BE ，F
为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，以 EF 为边向右侧作等边 EFG ，连接CG ，则CG 的最小值
为_____．
【答案】 5
2
【解析】
【分析】
由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点
G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．
【详解】
由题意可知，点 F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上
运动
将 EFB 绕点E旋转60，使EF 与EG 重合，得到 EFB EHG ，
从而可知 EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，
作CM HN ，则CM即为CG 的最小值，
作 EP CM ，可知四边形HEPM 为矩形，
则 1 3 51
2 2 2
CM MP CP HE EC .
故答案为 5
2
．
【点睛】
本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动
轨迹，是本题的关键．
21．（2019·湖北中考真题）如图，在 ABCD中，E、F 是对角线 AC 上两点，AE EF CD ，
90ADF ， 63BCD ，则 ADE 的大小为___________
【答案】21°.
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边中线的性质得DE＝AE＝EF，进而可得DC＝DE，设∠ADE＝x，则∠DAE
＝x，进而可得∠DCE＝∠DEC＝2x，再根据平行线的性质可得 ∠ACB＝∠DAE＝x，再根据
∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，即可求得答案.
【详解】
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又 AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为：21°.
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行四边形
的性质等，正确把握相关性质是解题的关键.
22．（2019·吉林中考真题）如图，在四边形 ABCD中， 10,AB BD AD ．若将 BCD 沿 BD折
叠,点C与边 AB 的中点 E恰好重合，则四边形BCDE 的周长为________．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE=BE= 1
2
AB=5，再根据折叠的性质，即可得
到四边形 BCDE 的周长为 5×4=20．
【详解】
解：∵BD⊥AD，点 E是 AB 的中点，
∴DE=BE= 1
2
AB=5，
由折叠可得，CB=BE，CD=ED，
∴四边形 BCDE 的周长为 5×4=20，
故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
23．（2019·湖北中考真题）如图，已知菱形 ABCD的对角线 ,AC BD 交于点 ,O E为 BC 的中点，
若 3OE ，则菱形的周长为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相平分可得 BO DO ，然后求出OE 是 BCD 的中位线，再根据三角形的
中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得
解．
【详解】
四边形 ABCD是菱形，
,AB BC CD AD BO DO
点 E是 BC 的中点，
OE 是 BCD 的中位线，
2 2 3 6CD OE ，
菱形 ABCD的周长 4 6 24 ；
故答案为： 24．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关
键．
24．（2019·贵州中考真题）如图，平行四边形纸片ABCD的边AB，BC的长分别是 10cm
和 7.5cm，将其四个角向内对折后，点 B与点C重合于点C'，点 A与点D重合于点A′．四
条折痕围成一个“信封四边形”EHFG，其顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，则 EF
＝__cm．
【答案】10．
【解析】
【分析】
先根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形 EHFG是矩形，再证明△FCH≌△EAG，
可得CF=AE=FC'，可知 EF=AB，即可得结论．
【详解】
如图中，
由翻折可知：∠CHF＝∠FHC'，∠BHE＝∠EHC'，
∴∠FHE＝∠FHC'+∠EHC' 1
2
（∠CHC'+∠BHC'）＝90°，
同法可证：∠HFG＝∠GEH＝90°，
∴四边形 EHFG是矩形．
∴FH＝EG，FH∥EG，
∴∠HFC'＝∠FEG，
∵∠CFH＝∠HFC'，∠AEG＝∠GEA'，
∴∠CFH＝∠AEG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A，BC＝AD，
由翻折得：CH＝C'H＝BH 1
2
BC，AG＝A'G＝DG 1
2
AD，
∴CH＝AG，
∴△HCF≌△GAE（AAS），
∴CF＝AE，
∴EF＝FC'+EC'＝AE+BE＝AB＝10cm，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，翻折变换，矩形的判定和性质，三角形全等的性质和判定等知
识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（2019·山东中考真题）如图，E，F 是正方形 ABCD的对角线 AC 上的两点， 8AC ，
2AE CF ，则四边形BEDF 的周长是_____．
【答案】8 5
【解析】
【分析】
连接 BD交 AC 于点O，则可证得OE OF ，OD OB ，可证四边形 BEDF 为平行四边形，且
BD EF ，可证得四边形 BEDF 为菱形；根据勾股定理计算DE 的长，可得结论．
【详解】
如图，连接 BD交 AC 于点O，
∵四边形 ABCD为正方形，
∴BD AC ，OD OB OA OC ，
∵ 2AE CF ，
∴OA AE OC CF ，即OE OF ，
∴四边形BEDF 为平行四边形，且 BD EF ，
∴四边形BEDF 为菱形，
∴DE DF BE BF ，
∵ 8AC BD ， 8 4 2
2
OE OF
，
由勾股定理得： 2 2 2 24 2 2 5DE OD OE ，
∴四边形BEDF 的周长 4 4 2 5 8 5DE ，
故答案为：8 5 .
【点睛】
本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形
为菱形是解题的关键．
26．（2019·内蒙古中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90 , 3,ABC BC D 为斜边 AC 的中点，
连接 BD，点 F 是 BC 边上的动点（不与点B C、 重合），过点 B 作 BE BD 交DF 延长线交于
点E，连接CE，下列结论：
①若BF CF ，则 2 2 2CE AD DE ；
②若 , 4BDE BAC AB ，则 15
8
CE ；
③ ABD 和 CBE 一定相似；
④若 30 , 90A BCE ，则 21DE ．
其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD=BD，由 BF=CF，BD=CD得 DE 是 BC
的垂直平分线，得 BE=CE，再由勾股定理便可得结论，由此判断结论的正误；②证明△ABC
∽△DBE，求得 BE，再证明DE∥AB，得 DE 垂直平分 BC，得CE=BE，便可判断结论的正误；
③证明∠ABD=∠CBE，再证明 BE 与 BC或 BC与 BE 两边的比不一定等于AB与 BD的比，
便可判断结论正误；④先求出AC，进而得 BD，再在 Rt△BCE 中，求得 BE，进而由勾股定理
求得结果，便可判断正误．
【详解】
解：① 90 ,ABC D 为斜边 AC 的中点，
AD BD CD ，
AF CF ，
BF CF ，
DE BC ，
BE CE
BE BD ，
2 2 2BD BE DE
2 2 2CE AD DE
故①正确；
② 4, 3AB BC ，
2 2 5AC AB BC ，
5
2
BD AD CD ，
, 90A BDE ABC DBE ，
~ABC DBE ，
AB BC
DB BE
，
即
4 3
5
2
BE
．
15
8
BE ，
AD BD ，
A ABD ，
,A BDE BDC A ABD ，
A CDE ，
/ /DE AB
DE BC ，
BD CD ，
DE 垂直平分 BC ，
BE CE ，
15
8
CE ，
故②正确；
③ 90ABC DBE ，
ABD CBE ，
5
52
4 8
BD
AB
，
但随着 F 点运动， BE 的长度会改变，而 3,
3
BEBC
3
BE
或 3
BE
不一定等于 5
8
，
ABD 和 CBE 不一定相似，
故③错误；
④ ,30 3A BC ，
30 ,A ABD CBE 2 6AC BC
1 3
2
BD AC
3, 90BC BCE ，
2 3
cos30
B BCE ，
2 2 21E BDD BE ，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题是三角形的一个综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，
直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，考试的内容多，难度较大，关键是综合应
用以上性质灵活解题．
三、解答题
27．（2019·山东中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线 AC的中点为O，点G，H在
对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点 E、
F（点 E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形 EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）AE＝5．
【解析】
【分析】
（1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得 EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形 EHFG是
平行四边形；
（2）由题意可得 EF 垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长．
【详解】
证明：（1）∵对角线AC的中点为O
∴AO＝CO，且AG＝CH
∴GO＝HO
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO＝EO，且GO＝HO
∴四边形 EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接CE
∵∠α＝90°，
∴EF⊥AC，且AO＝CO
∴EF 是 AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
在 Rt△BCE 中，CE2＝BC2+BE2，
∴AE2＝（9﹣AE）2+9，
∴AE＝5
【点睛】
此题主要考查特殊平行四边形的证明与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的运
用.
28．（2019·湖南中考真题）如图，点 E、F、G、H分别在矩形ABCD的边 AB、BC、CD、
DA(不包括端点)上运动，且满足 AE CG ， AH CF ．
(1)求证： AEH CGF ；
(2)试判断四边形 EFGH的形状，并说明理由．
(3)请探究四边形 EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)四边形 EFGH是平行四边形，理由见解析；(3)四边形 EFGH的周
长一半大于或者等于矩形ABCD一条对角线长度，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理 SAS证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF，同理可得 FE=HG，即可得四边形 EFGH是
平行四边形；
（3）由 轴对称--最短路径问题得到：四边形 EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条
对角线长度．
【详解】
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴ A C ．
∴在 AEH 与 CGF 中，
AE CG
A C
AH CF
，
∴ (SAS)AEH CGF ；
(2)∵由(1)知， (SAS)AEH CGF ，则EH GF ，同理证得 (SAS)EBF GDH ，则
EF GH ，
∴四边形 EFGH是平行四边形；
(3) 四边形 EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
理由如下：作G关于 BC的对称点G′，连接 EG′，可得 EG′的长度就是 EF+FG的最小
值．
连接AC，
∵CG′=CG=AE，AB∥CG′，
∴四边形AEG′C为平行四边形，
∴EG′=AC．
在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC，
∴四边形 EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
【点睛】
考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
29．（2019·江苏中考真题）如图，把平行四边形纸片 ABCD沿 BD折叠，点C落在点C处，
BC与 AD相交于点E．
（1）连接 AC，则 AC与 BD的位置关系是 ；（2） EB与 ED相等吗？证明你的结论．
【答案】（1） / /AC BD ；（2） EB与 ED相等，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据 AD C B ， ED EB ，即可得到 AE C E ，再根据三角形内角和定理，即可得到
EAC EC A EBD EDB ，进而得出 / /AC BD ；
（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到 EDB EBD ，进而得出 BE DE ．
【详解】
解：（1）连接 AC，
在平行四边形 ABCD中，
AD BC ， ADB CBD ，
把平行四边形纸片 ABCD沿 BD折叠，点C落在点C处.
'AD BC ， 'CBD C BD ，
'ADB C BD ，
ED EB .
AE C E ，
EAC EC A EBD EDB .
/ /AC BD ，
故答案为 / /AC BD ；
（2） EB与 ED相等．
由折叠可得， CBD C BD ，
/ /AD BC ，
ADB CBD ，
EDB EBD ，
BE DE ．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠
前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
30．（2019·江苏中考真题）如图，四边形 ABCD中， AD BC∥ ，点E、F 分别在 ,AD BC 上，
AE CF ，过点 A、C分别作 EF 的垂线，垂足为G 、H ．
（1）求证： AGE CHF ；（2）连接 AC ，线段GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）线段GH 与 AC 互相平分，见解析.
【解析】
【分析】
（1）由垂线的性质得出∠G=∠H=90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠
AEG=∠CFH，由 AAS 即可得出△AGE≌△CHF；
（2）连接AH、CG，由全等三角形的性质得出AG=CH，证出四边形AHCG是平行四边形，
即可得出结论．
【详解】
（1）证明： AG EF ，CH EF ，
90G H ， AG CH∥ ，
AD BC∵ ‖ ，
DEF BFE ，
AEG DEF ， CFH BFE ，
AEG CFH ，
在 AGE 和 CHF 中，
G H
AEG CFH
AE CF
，
AGE CHF AAS ；
（2）线段GH 与 AC 互相平分，理由如下：
连接 AH 、CG ，如图所示：
由（1）得： AGE CHF ，
AG CH ，
AG CH ∥ ，
∴四边形 AHCG是平行四边形，
∴线段GH 与 AC 互相平分．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平
行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
31．（2017·山东中考真题）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD
于点 F，再分别以点 B、F 为圆心，大于 1
2
BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P；连接AP
并延长交 BC于点 E，连接 EF，则所得四边形ABEF 是菱形．
（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF 是菱形；
（2）若菱形 ABEF 的周长为 16，AE=4 3，求∠C的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）60°．
【解析】
试题分析：（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE 平分∠BAD，即可得∠BAE＝∠EAF．再由四
边形ABCD为平行四边形，可得 BC∥AD，根据平行线的性质可得∠AEB＝∠EAF，所以∠
BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的性质可得AB＝BE，即可得 BE＝AF，所以四边形ABEF 为平
行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABEF 为菱形；（2）连接
BF，已知四边形ABEF 为菱形，根据菱形的性质可得 BF 与 AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE，
OA＝ AE＝ ．再由菱形ABEF 的周长为 16，可得AF＝4．所以 cos∠OAF＝ ＝ ．即
可得∠OAF＝30°，所以∠BAF＝60°．再由平行线的性质即可得∠C＝∠BAD＝60°．
试题解析：
（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD．∴∠BAE＝∠EAF．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD．∴∠AEB＝∠EAF．
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE．∴BE＝AF．∴四边形ABEF 为平行四边形．
∴四边形ABEF 为菱形．
（2）连接 BF，
∵四边形ABEF 为菱形，∴BF 与 AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE．
∴OA＝ AE＝ ．∵菱形ABEF 的周长为 16，∴AF＝4．
∴cos∠OAF＝ ＝ ．∴∠OAF＝30°，∴∠BAF＝60°．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝60°．
32．（2019·山东中考真题）如图，BD是菱形 ABCD的对角线， 75CBD ，（1）请用尺规
作图法，作 AB 的垂直平分线 EF ，垂足为 E，交 AD于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF ，求 DBF 的度数．
【答案】（1）答案见解析；（2）45°．
【解析】
【分析】
（1）分别以A、B为圆心，大于 1
2
AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF 计算即可；
【详解】
（1）如图所示，直线 EF 即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC 1
2
∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF 垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题．
33．（2019·湖北中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中
点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点 E、F，连接 AF、CE.试判断四边形 AECF
的形状，并证明.
【答案】四边形AECF 为菱形；证明见解析.
【解析】
【分析】
如图，根据平行线的性质可得∠1=∠2，由O是AC中点可得AO=CO，利用AAS 可证明
△AOE≌△COF，可得AE=CF，根据中垂线的性质可得AF=CF，AE=CE，进而可证明
AF=CF=AE=CE，即可得四边形AECF 为菱形.
【详解】
四边形AECF 为菱形.证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵O是AC中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF 中
1 2
AOE COF
AO CO
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，
∵EF⊥AC，OA=OC，
∴AF=CF，AE=CE，
∴AF=CF=AE=CE
∴平行四边形AECF 为菱形.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质及菱形的判定，熟练
掌握判定定理及性质是解题关键.
34．（2019·江苏中考真题）如图，将平行四边形纸片 ABCD沿一条直线折叠，使点 A与点C
重合，点D落在点G 处，折痕为 EF ．求证：
（1） ECB FCG ；
（2） EBC FGC ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)依据平行四边形的性质，即可得到 A BCD ，由折叠可得， A ECG ，即可得到
ECB FCG ；
(2)依据平行四边形的性质，即可得出 D B ，AD BC ，由折叠可得， D G ，AD CG ，
即可得到 B G ，BC CG ，进而得出 EBC FGC ．
【详解】
(1)四边形 ABCD是平行四边形，
A BCD ，
由折叠可得， A ECG ，
BCD ECG ，
BCD ECF ECG ECF ，
ECB FCG ；
(2)四边形 ABCD是平行四边形，
D B ， AD BC ，
由折叠可得， D G ， AD CG ，
B G ，BC CG ，
又 ECB FCG ，
( )EBC FGC ASA ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质
以及折叠的性质是解题的关键.
35．（2019·辽宁中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点 E在射线AC
上（不包括点A和点C），过点 E的直线GH交直线 AD于点G，交直线 BC于点 H，且GH
∥DC，点 F在 BC的延长线上，CF＝AG，连接 ED，EF，DF．
（1）如图 1，当点 E在线段AC上时，
①判断△AEG的形状，并说明理由．
②求证：△DEF 是等边三角形．
（2）如图 2，当点 E在 AC的延长线上时，△DEF 是等边三角形吗？如果是，请证明你的结
论；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）①△AEG是等边三角形；理由见解析；②证明见解析；（2）△DEF 是等边三角
形；理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）①由菱形的性质得出AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝ 1
2
∠BAD＝
60°，由平行线的性质得出∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ADC＝60°，∠AGE＝∠ADC＝
60°，得出∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，即可得出△AEG是等边三角形；
②由等边三角形的性质得出AG＝AE，由已知得出AE＝CF，由菱形的性质得出∠BCD＝∠
BAD＝120°，得出∠DCF＝60°＝∠CAD，证明△AED≌△CFD（SAS），得出DE＝DF，
∠ADE＝∠CDF，再证出∠EDF＝60°，即可得出△DEF 是等边三角形；
（2）同（1）①得：△AEG是等边三角形，得出AG＝AE，由已知得出AE＝CF，由菱形的
性质得出∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝ 1
2
∠BAD＝60°，得出∠FCD＝60°＝∠CAD，
证明△AED≌△CFD（SAS），得出DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，再证出∠EDF＝60°，即可得
出△DEF 是等边三角形．
【详解】
（1）①解：△AEG是等边三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝ 1
2
∠BAD＝60°，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
∵GH∥DC，
∴∠AGE＝∠ADC＝60°，
∴∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，
∴△AEG是等边三角形；
②证明：∵△AEG是等边三角形，
∴AG＝AE，
∵CF＝AG，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠DCF＝60°＝∠CAD，
在△AED和△CFD中，
AD CD
EAD FCD
AE CF
，
∴△AED≌△CFD（SAS）
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°，
∴∠CDF+∠CDE＝60°，
即∠EDF＝60°，
∴△DEF 是等边三角形；
（2）解：△DEF 是等边三角形；理由如下：
同（1）①得：△AEG是等边三角形，
∴AG＝AE，
∵CF＝AG，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝ 1
2
∠BAD＝60°，
∴∠FCD＝60°＝∠CAD，
在△AED和△CFD中，
AD CD
EAD FCD
AE CF
，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝60°，
∴∠CDF﹣∠CDE＝60°，
即∠EDF＝60°，
∴△DEF 是等边三角形．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与
性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的
关键．
36．（2019·广西中考真题）如图 1，在正方形 ABCD中，点E是 AB 边上的一个动点（点E与
点 ,A B不重合），连接CE，过点 B 作 BF CE 于点G ，交 AD于点 F ．
（1）求证： ABF BCE ≌ ；
（2）如图 2，当点E运动到 AB 中点时，连接DG，求证：DC DG ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，过点C作CM DG 于点H ，分别交 ,AD BF 于点 ,M N ，求
MN
NH
的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 5
4
MN
NH
.
【解析】
【分析】
（1）先判断出 90GCB CBG ，再由四边形 ABCD是正方形，得出 90CBE A ，
BC AB ，即可得出结论；
（2）过点D作DQ CE 于Q，设 2AB CD BC a ，先求出 1
2
EA EB AB a ，进而得出
5CE a ，再求出 2 5
5
BG a ， 4 5
5
CG a ，再判断出 CQD BGC AAS ，进而判断出
GQ CQ ，即可得出结论；
（3）先求出 8
5
CH a ，再求出 6
5
DH a ，再判断出 CHD DHM ，求出 9
10
HM a ，再用
勾股定理求出 4
5
GH a ，最后判断出 NGH GCH ，得出
2 2
5
HGHN a
CH
，即可得出结论.
【详解】
（1）证明：∵ BF CE ，
∴ 90CGB ，
∴ 90GCB CBG ，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴ 90 ,CBE A BC AB ，
∴ 90FBA CBG ，
∴ GCB FBA ，
∴ ( )ABF BCE ASA ≌ ；
（2）证明：如图 2，过点D作DQ CE 于Q，
设 2AB CD BC a ，
∵点E是 AB 的中点，
∴ 1
2
EA EB AB a ，
∴ 5CE a ，
在 Rt CEB 中，根据面积相等，得BG CE CB EB ，
∴ 2 5
5
BG a ，
∴ 2 2 4 5
5
CG CB BG a ，
∵ 90 , 90DCE BCE CBF BCE ，
∴ DCE CBF ，
∵ , 90CD BC CQD CGB ，
∴ ( )CQD BGC AAS ≌ ，
∴ 2 5
5
CQ BG a ，
∴ 2 5
5
GQ CG CQ a CQ ，
∵ , 90DQ DQ CQD GQD ，
∴ ( )DGQ DCQ SAS ≌ ，
∴CD GD ；
（3）解：如图 3，过点D作DQ CE 于Q，
1 1
2 2CDGS CG DQ CH DG ，
∴ 8
5
CG DQCH a
DG
，
在Rt CHD 中， 2CD a ，
∴ 2 2 6
5
DH CD CH a ，
∵ 90 , 90MDH HDC HCD HDC ，
∴ MDH HCD ，
∴ CHD DHM ∽ ，
∴ 3
4
DH HM
H DHC
，
∴ 9
10
HM a ，
在 Rt CHG 中， 4 5 8,
5 5
CG a CH a ，
∴ 2 2 4
5
GH CG CH a ，
∵ 90 , 90NGH CGH HCG CGH ，
∴ NGH HCG ，
∴ NGH GCH ∽ ，
∴ HN HG
HG CH
，
∴
2 2
5
HGHN a
CH
，
∴ 1
2
MN HM HN a ，
∴
1
52
2 4
5
aMN
NH a
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股
定理，判断出 DGQ DCQ 是解本题的关键.
37．（2019·四川中考真题）如图 1，在正方形 ABCD中， AE 平分 CAB ，交 BC 于点E，过
点C作CF AE ，交 AE 的延长线于点G ，交 AB 的延长线于点 F ．
(1)求证：BE BF ；
(2)如图 2，连接BG 、 BD，求证： BG 平分 DBF ；
(3)如图 3，连接DG交 AC 于点M ，求 AE
DM
的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 2AE
DM
.
【解析】
【分析】
(1)由正方形性质得出 90ABC ， AB BC ，根据直角三角形两锐角互余的关系可得
EAB FCB ，利用 ASA可证得 ABE CBF ，即可得出结论；(2)由正方形性质与角平分
线的定义得出 22.5CAG FAG o，利用 ASA可证得 AGC AGF 得出CG GF ，由直角
三角形斜边中线的性质得出GB GC GF ，根据角的和差关系可得 DBG GBF ，即可得
出结论；(3)连接BG ，由正方形的性质得出DC AB ， 45DCA ACB o， 90DCB o，推
出 2AC DC ，根据角的和差关系可得 DCG ABG ，利用 SAS可证得 DCG ABG ，得
出 22.5CDG GAB o，推出 CDG CAG ，即可证得△DCM∽△ACE，即可得出结果．
【详解】
(1)∵四边形 ABCD是正方形，
∴ 90ABC ， AB BC ，
∴ 90EAB AEB o，
∵ AG CF ，
∴ 90FCB CEG o，
∵ AEB CEG ，
∴ EAB FCB ，
在 ABE 和 CBF 中，
90
EAB FCB
AB BC
ABE CBF
，
∴ ABE CBF ASA ，
∴ BE BF .
(2)证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴ 45ABD CAB o，
∵ AE 平分 CAB ，
∴ 22.5CAG FAG o，
在 AGC 和 AGF 中，
90
CAG FAG
AG AG
AGC AGF
，
∴ AGC AGF ASA ，
∴CG GF ，
∵ 90CBF o，
∴GB GC GF ，
∴ 90 90GBF GFB FCB GAF o o 90 22.5 67.5 o o o，
∴ 180DBG ABD GBF o 180 45 67.5 67.5 o o o o，
∴ DBG GBF ，
∴BG 平分 DBF .
(3)解：连接BG ，如图 3所示：
∵四边形 ABCD是正方形，
∴DC AB ， 45DCA ACB o， 90DCB o，
∴ 2AC DC ，
∵ DCG DCB BCF DCB GAF 90 22.5 112.5 o o o，
180 180 67.5 112.5ABG GBF o o o o，
∴ DCG ABG ，
在 DCG 和 ABG 中，
DC AB
DCG ABG
CG BG
，
∴ DCG ABG SAS ，
∴ 22.5CDG GAB o，
∴ CDG CAG =22.5°，
∵ 45DCM ACE o，
∴ DCM ACE : ，
∴ 2AE AC
DM DC
．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直
角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综
合性强，涉及知识面广，熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解
题的关键．
38．（2019·江苏中考真题）如图，线段 8AB ，射线BG AB ，P 为射线BG 上一点，以 AP
为边作正方形 APCD，且点C、D与点 B 在 AP 两侧，在线段DP上取一点 E，使 EAP BAP ，
直线CE与线段 AB 相交于点 F （点F 与点 A、 B 不重合）．
（1）求证： AEP CEP ；
（2）判断CF 与 AB 的位置关系，并说明理由；
（3）求 AEF 的周长．
【答案】（1）详见解析；（2）CF AB ，理由详见解析；（3）16.
【解析】
【分析】
（1）四边形 APCD正方形，则DP平分 APC ，PC PA ， 45APD CPD o，即可求解；
（2） AEP CEP ，则 EAP ECP ，而 EAP BAP ，则 BAP FCP ，又
90FCP CMP o，则 90AMF PAB o即可求解；
（3）证明 PCN APB AAS ，则CN PB BF ，PN AB ，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形 APCD正方形，
∴DP平分 APC ， PC PA ，
∴ 45APD CPD o，
∴ AEP CEP SAS ；
（2）CF AB ，理由如下：
∵ AEP CEP ，∴ EAP ECP ，
∵ EAP BAP ，∴ BAP FCP ，
∵ 90FCP CMP o， AMF CMP ，
∴ 90AMF PAB o，
∴ 90AFM o，∴CF AB ；
（3）如图，过点C作CN PB ．
∵CF AB ，BG AB ，∴ FC BNP ，
∴ CPN PCF EAP PAB ，
又 AP CP ，∴ PCN APB AAS ，
∴CN PB BF ，PN AB ，
∵ AEP CEP ，∴ AE CE ，
∴ AE EF AF
CE EF AF
BN AF
PN PB AF
AB CN AF
AB BF AF
2AB
16 ．
【点睛】
本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明
PCN APB AAS ，是本题的关键．
39．（2019·辽宁中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将 ABC△ 绕点A逆
时针旋转α得 AEF ，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．
（1）如图 1，当 45 时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．
（2）如图 2，当 45 90 时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）当 360 时，若 4 2AB ，请直接写出点O经过的路径长．
【答案】（1）OE OD= ，OE OD ，理由见解析；（2）当 45 90 时，（1）中的结论成立，
理由见解析；（3）点O经过的路径长为8 ．
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质可得OD与OE的数量关系；根据旋
转的性质和正方形的性质可得AC=AF 以及△ACF 各内角的度数，进一步即可求出∠COE与
∠DOF的度数，进而可得OD与OE的位置关系；
（2）延长 EO到点M，使OM EO ，连接DM、CM、DE，如图 2所示，先根据 SAS 证明 COMV
≌ FOEV ，得 MCF EFC ，CM EF ，再根据正方形的性质和旋转的性质推得
FCD CFE MCF ，进一步在△ACF 中根据三角形内角和定理和正方形的性质得出
DAE DCM ，再一次运用 SAS推出 ADE ≌ CDMV ，于是DE DM ，进一步即可得出
OE、OD的位置关系，然后再运用 SAS 推出 COMV ≌ COD△ ，即可得OD与OE的数量关
系；
（3）连接AO，如图 3所示，先根据等腰三角形三线合一的性质得出 90AOC ，即可判断
点O的运动路径，由 360 可得点O经过的路径长，进一步即可求得结果.
【详解】
解：（1）OE OD= ，OE OD ；理由如下：
由旋转的性质得： AF AC ， AFE ACBÐ = Ð ，
∵四边形ABCD是正方形，∴ 45ACB ACD FAC ，
∴ 1 180 45 67.5
2
ACF AFC ，
∴ 22.5DCF EFC ，
∵ 90FEC ，O为CF 的中点，∴ 1
2
OE CF OC OF ，
同理： 1
2
OD CF ，∴OE OD OC OF ，
∴ 2 45EOC EFO ， 2 45DOF DCO ，
∴ 180 45 45 90DOE ，∴OE OD ；
（2）当 45 90 时，（1）中的结论成立，理由如下：
延长 EO到点M，使OM EO ，连接DM、CM、DE，如图 2所示：
∵O为CF 的中点，∴OC OF ，
在 COMV 和 FOEV 中，
OM OE
COM FOE
OC OF
，
∴ COMV ≌ FOEV （SAS），∴ MCF EFC ，CM EF .
∵四边形ABCD是正方形，∴ AB BC CD ， 45BAC BCA ，
∵ ABC 绕点A逆时针旋转α得 AEF ，
∴ AB AE EF CD ， AC AF ，
∴CD CM ， ACF AFC ，
∵ ACF ACD FCD ， AFC AFE CFE ， 45ACD AFE ，
∴ FCD CFE MCF ，
∵ 45EAC DAE ， 45FAD DAE ，∴ EAC FAD ，
在 ACF 中，∵ 180ACF AFC CAF ，
∴ 2 90 180DAE FAD DCM ，
∵ 45FAD DAE ，∴ 45FAD DCM ，∴ DAE DCM ，
在 ADE 和 CDMV 中，
AE CM
DAE DCM
AD CD
，
∴ ADE ≌ CDMV （SAS），∴DE DM ，
∵OE OM ，∴OE OD ，
在 COMV 和 COD△ 中，
CM CD
MCF FCD
OC OC
，
∴ COMV ≌ COD△ （SAS），∴OM OD .
∴OE OD= ，∴OE OD= ，OE OD ；
（3）连接AO，如图 3所示：
∵ AC AF ，CO OF ，∴ AO CF ，∴ 90AOC ，
∴点O在以AC为直径的圆上运动，
∵ 360 ，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，
∵ 2 2 4 2 8AC AB ，∴点O经过的路径长为： 8d ．
【点睛】
本题是正方形的综合题，综合考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、
等腰三角形的性质和判断动点运动路径等知识，考查的知识点多、综合性强，倍长中线构造全
等三角形、熟知正方形的性质、灵活应用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解（2）题
的关键.
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