【考点 1】解分式方程
【例 1】（2019•上海）解方程： 1
【答案】x＝﹣4
【解析】去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即 x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或 x＝﹣4，
经检验 x＝2是增根，分式方程的解为 x＝﹣4．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式 1-1】（2019•宁夏）解方程： 1 ．
【答案】x＝4
【解析】 1 ，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得
2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2），
∴x＝4，
经检验 x＝4是方程的解；
∴方程的解为 x＝4；
点睛：本题考查分式方程的解；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
【变式 1-2】（2019•广安）解分式方程： 1 ．
【答案】x＝4
【解析】 1 ，
方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当 x＝4时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为 x＝4．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【考点 2】已知分式方程的解，求字母参数的值
【例 2】（2019•株洲）关于 x的分式方程 解为 x＝4，则常数 a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10
【答案】D
【解析】把 x＝4代入方程 ，得
0，
解得 a＝10．
故选：D．
点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为 0．
【变式 2-1】（2019•张家界）若关于 x的分式方程 1的解为 x＝2，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】∵关于 x的分式方程 1的解为 x＝2，
∴x＝m﹣2＝2，
解得：m＝4．
故选：B．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键．
【考点 3】分式方程的特殊解问题
【例3】（2019•鸡西）已知关于x的分式方程 1的解是非正数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3
【答案】A
【解析】 1，
方程两边同乘以 x﹣3，得
2x﹣m＝x﹣3，
移项及合并同类项，得
x＝m﹣3，
∵分式方程 1的解是非正数，x﹣3≠0，
∴ ，
解得，m≤3，
故选：A．
点睛：本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的
方法．
【变式 3-1】（2019•荆州）已知关于 x的分式方程 2 的解为正数，则 k的取值范围
为（ ）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且 k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2 且 k≠1
【答案】B
【解析】∵ 2，
∴ 2，
∴x＝2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，
∴k≠﹣1，
∵x＞0，
∴2+k＞0，
∴k＞﹣2，
∴k＞﹣2且 k≠﹣1，
故选：B．
点睛：本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础
题型．
【变式 3-2】（2019•齐齐哈尔）关于 x的分式方程 3的解为非负数，则 a的取值
范围为 ．
【答案】a≤4且 a≠3
【解析】 3，
方程两边同乘以 x﹣1，得
2x﹣a+1＝3（x﹣1），
去括号，得
2x﹣a+1＝3x﹣3，
移项及合并同类项，得
x＝4﹣a，
∵关于 x的分式方程 3的解为非负数，x﹣1≠0，
∴ ，
解得，a≤4且 a≠3，
故答案为：a≤4且 a≠3．
点睛：本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的
方法．
【考点 4】分式方程的无解（增根）问题
【例 4】（2019•烟台）若关于 x的分式方程 1 有增根，则m的值为 ．
【解析】.方程两边都乘（x﹣2），
得 3x﹣x+2＝m+3
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣2）＝0，
解得 x＝2，
当 x＝2 时，m＝3．
故答案为 3．
点睛：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0确
定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式 4-1】（2019•巴中）若关于 x的分式方程 2m有增根，则m的值为 ．
【答案】1
【解析】方程两边都乘 x﹣2，得 x﹣2m＝2m（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母 x﹣2＝0，
解得 x＝2，
当 x＝2 时，m＝1
故m的值是 1，
故答案为 1
点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0确
定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【考点 5】分式方程的应用问题
【例 5】（2019•丹东）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为 4000m．甲、乙两人同时从
家出发去科技馆，甲同学先步行 800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行
车的速度是甲步行速度的 4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的 2倍，结果甲同学比乙
同学晚到 2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．
【答案】乙到达科技馆时，甲离科技馆还有 1600m
【解析】（1）设甲步行的速度为 x米/分，则乙骑自行车的速度为 4x 米/分，公交车的速度
是 8x 米/分钟，
根据题意得 2.5 ，
解得 x＝80．经检验，x＝80 是原分式方程的解．
所以 2.5×8×80＝1600（m）
答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有 1600m．
点睛：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式 5-1】（2019•铁岭）某超市用 1200 元购进一批甲玩具，用 800 元购进一批乙玩具，所
购甲玩具件数是乙玩具件数的 ，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多 1元．
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙
玩具的件数比甲玩具件数的 2倍多 60 件，求：该超市用不超过 2100 元最多可以采购甲玩
具多少件？
【解析】（1）设甲种玩具的进货单价为 x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，
根据题意得： ，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
∴x﹣1＝5．
答：甲种玩具的进货单价 6元，则乙种玩具的进价为 5元．
（2）设购进甲种玩具 y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，
根据题意得：6y+5（2y+60）≤2100，
解得：y≤112 ，
∵y为整数，
∴y 最大值＝112
答：该超市用不超过 2100 元最多可以采购甲玩具 112 件．
点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式 5-2】（2019•南通）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》
和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多 40 元，
用 3200 元购买《三国演义》的套数是用 2400 元购买《西游记》套数的 2倍，求每套《三
国演义》的价格．
【答案】每套《三国演义》的价格为 80 元
【解析】设每套《三国演义》的价格为 x元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元，
依题意，得： 2 ，
解得：x＝80，
经检验，x＝80 是所列分式方程的解，且符合题意．
答：每套《三国演义》的价格为 80 元．
点睛：.本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
1．（2019•海南）分式方程 1的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】B
【解析】 1，
两侧同时乘以（x+2），可得
x+2＝1，
解得 x＝﹣1；
经检验 x＝﹣1是原方程的根；
故选：B．
点睛：本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键．
2．（2019•益阳）解分式方程 3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）
【答案】C
【解析】方程两边都乘以（2x﹣1），得
x﹣2＝3（2x﹣1），
故选：C．
点睛：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
3．（2019•遂宁）关于 x的方程 1 的解为正数，则 k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且 k≠4 D．k＜4 且 k≠﹣4
【答案】C
【解析】分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，
解得：x ，
根据题意得： 0，且 2，
解得：k＞﹣4，且 k≠4．
故选：C．
点睛：此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为 0．
4．（2019•重庆）若关于 x的一元一次不等式组 的解集是 x≤a，且关于 y的
分式方程 1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
【答案】B
【解析】由不等式组 得：
∵解集是 x≤a，
∴a＜5；
由关于 y的分式方程 1得 2y﹣a+y﹣4＝y﹣1
∴y ，
∵有非负整数解，
∴ 0，
∴5＞a≥﹣3，
且 a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3
它们的和为 1．
故选：B．
点睛：本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程得问题，需要考虑的因素较多，
属于易错题．
5．（2018•阿坝州）若 x＝4是分式方程 的根，则a的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】将 x＝4代入分式方程可得： ，
化简得 1，
解得 a＝6．
故选：A．
点睛：本题主要考查分式方程及其解法．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为
整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于 0的值，
不是原分式方程的解．
6．（2018•巴中）若分式方程 有增根，则实数a的取值是（ ）
A．0或 2 B．4 C．8 D．4或 8
【答案】D
【解析】方程两边同乘 x（x﹣2），得 3x﹣a+x＝2（x﹣2），
由题意得，分式方程的增根为 0或 2，
当 x＝0 时，﹣a＝﹣4，
解得，a＝4，
当 x＝2 时，6﹣a+2＝0，
解得，a＝8，
故选：D．
点睛：本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适
合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为 0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程
未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
7．（2019•鞍山）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，
已知A种树苗的单价比 B种树苗的单价多 10 元，用 600 元购买A种树苗的棵数恰好与用
450 元购买 B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为 x元，则可列出关于 x的方程为
．
【答案】 ．
【解析】设 A种树苗的单价为 x元，则 B 种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用 600 元购
买A种树苗的棵数是 ，用 450 元购买 B种树苗的棵数是 ．
由题意，得 ．
故答案是： ．
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决
问题的关键．
8．（2019•永州）方程 的解为 x＝ ．
【答案】﹣1
【解析】去分母得：2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
经检验 x＝﹣1是分式方程的解，
故答案为：﹣1
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．（2019•锦州）甲、乙两地相距 1000km，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用
3h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的 1.6 倍，设特快列车的平均速度为 xkm/h，根
据题意可列方程为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，
，
故答案为： ．
点睛：本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分
式方程．
10．（2019•铜仁市）分式方程 的解为 y＝ ．
【答案】-3
【解析】去分母得：5y＝3y﹣6，
解得：y＝﹣3，
经检验 y＝﹣3是分式方程的解，
则分式方程的解为 y＝﹣3．
故答案为：﹣3
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11．（2019•襄阳）定义：a*b ，则方程 2*（x+3）＝1*（2x）的解为 ．
【答案】x＝1
【解析】2*（x+3）＝1*（2x），
，
4x＝x+3，
x＝1，
经检验：x＝1是原方程的解，
故答案为：x＝1．
点睛：本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．
12．（2019•宿迁）关于 x的分式方程 1的解为正数，则a的取值范围是 ．
【答案】a＜5且 a≠3
【解析】去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，
解得：x＝5﹣a，
5﹣a＞0，
解得：a＜5，
当 x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，
故a＜5且 a≠3．
故答案为：a＜5且 a≠3．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
13．（2018•齐齐哈尔）若关于 x的方程 无解，则m的值为 ．
【答案】﹣1或 5或 ．【解析】去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，
可得：（m+1）x＝5m﹣1，
当m+1＝0时，一元一次方程无解，
此时m＝﹣1，
当m+1≠0时，
则 x ±4，
解得：m＝5或 ，
综上所述：m＝﹣1或 5或 ，
故答案为：﹣1或 5或 ．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
14．（2019•随州）解关于 x的分式方程： ．
【答案】x 是分式方程的解
【解析】去分母得：27﹣9x＝18+6x，
移项合并得：15x＝9，
解得：x ，
经检验 x 是分式方程的解．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15．（2019•朝阳）佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比 B种袋的
单价低 10%．已知店主购进A种笔袋用了 810 元，购进 B种笔袋用了 600 元，且所购进的
A种笔袋的数量比 B种笔袋多 20 个．请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？
【答案】文具店购进A种款式的笔袋 60 个，B种款式的笔袋 40个
【解析】设文具店购进 B种款式的笔袋 x个，则购进A种款式的笔袋（x+20）个，
依题意，得： （1﹣10%），
解得：x＝40，
经检验，x＝40 是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+20＝60．
答：文具店购进A种款式的笔袋 60 个，B种款式的笔袋 40个．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16.（2019•西藏）列方程（组）解应用题
绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种
树 600 棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的 2倍，结果提前 4天完
成任务，则原计划每天种树多少棵？
【答案】原计划每天种树 75 棵
【解析】设原计划每天种树 x棵．
由题意，得 4
解得，x＝75
经检验，x＝75 是原方程的解．
答：原计划每天种树 75 棵．
点睛：此题主要考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工
程类问题主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
17．（2019•沈阳）2019 年 3 月 12 日是第 41 个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购
买甲、乙两种树苗，用 800 元购买甲种树苗的棵数与用 680 元购买乙种树苗的棵数相同，
乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少 6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用 3800 元购买甲、乙两种树苗共 100 棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【解析】（1）设甲种树苗每棵 x元，根据题意得：
，
解得：x＝40，
经检验：x＝40 是原方程的解，
答：甲种树苗每棵 40 元；
（2）设购买乙中树苗 y棵，根据题意得：
40（100﹣y）+34y≤3800，
解得：y≥33 ，
∵y是正整数，
∴y最小取 34，
答：至少要购买乙种树苗 34 棵．
点睛：本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到
等量关系，难度不大．
18．（2019•云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、
乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地 240 千米和 270 千米的两地
同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平
均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的 1.5 倍，甲校师生比乙校师生晚 1小时到达目
的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
【解析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为 x千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的
平均速度为 1.5x 千米/小时，
由题意得： ，
解得：x＝60，
经检验，x＝60 是所列方程的解，
则 1.5x＝90，
答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为 60 千米/小时、90千米/小时．
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关
系，并依据相等关系列出方程．
19．（2019•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价
比小本作业本贵 0.3 元，已知用 8元购买大本作业本的数量与用 5元购买小本作业本的数
量相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的
2倍，总费用不超过 15 元．则大本作业本最多能购买多少本？
【解析】（1）设小本作业本每本 x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，
依题意，得： ，
解得：x＝0.5，
经检验，x＝0.5 是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.3＝0.8．
答：大本作业本每本 0.8 元，小本作业本每本 0.5 元．
（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买 2m本，
依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，
解得：m ．
∵m为正整数，
∴m的最大值为 8．
答：大本作业本最多能购买 8本．
点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已
知一台A型机器比一台 B型机器每小时多加工 2个零件，且一台A型机器加工 80 个零件
与一台 B型机器加工 60 个零件所用时间相等．
（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件，为了如期完
成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件，同时为了保障机器的正常运转，两
种机器每小时加工的零件不能超过 76 件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？
【解析】（1）设每台 B型机器每小时加工 x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个
零件，
依题意，得： ，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8．
答：每台A型机器每小时加工 8个零件，每台 B型机器每小时加工 6个零件．
（2）设A型机器安排m台，则 B型机器安排（10﹣m）台，
依题意，得： ，
解得：6≤m≤8．
∵m为正整数，
∴m＝6，7，8．
答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排 6台，B型机器安排 4台；方案二：A型机
器安排 7台，B型机器安排 3台；方案三：A型机器安排 8台，B型机器安排 2台．
点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式
组．
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