图形面积计算
【例 1】如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，半径 OA＝6，将扇形 AOB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰
好落在弧 AB 上点 D 处，折痕交 OA 于点 C，则整个阴影部分的面积为（ ）
A．9π﹣9 B．9π﹣6 3 C．9π﹣18 D．9π﹣12 3
【答案】D.
【解析】解：连接 OD，
由折叠的性质知：CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，
∴OB＝OD＝BD，
即△OBD 是等边三角形，
∴∠DBO＝60°，
∴∠CBO＝30°，
∴OC＝ 3
3
OB＝2 3 ，
∴S 阴影=S 扇形 AOB﹣S△BDC﹣S△OBC
S△BDC＝S△OBC＝ 1
2
×OB×OC＝ 1
2
×6×2 3 ＝6 3 ，
S 扇形 AOB＝9π，
∴S 阴影=S 扇形 AOB﹣S△BDC﹣S△OBC
=9π﹣6 3 ﹣6 3
＝9π﹣12 3 ．
所以答案为：D．
【变式 1-1】如图，把半径为 2 的⊙O 沿弦 AB，AC 折叠，使弧 AB 和弧 BC 都经过圆心 O，则阴影部分的
面积为（ ）
A． 3
2
B． 3 C．2 3 D．4 3
【答案】C．
【解析】解：过 O 作 OD⊥AC 于 D，连接 AO、BO、CO，
∴OD＝ 1
2
AO＝1，AD＝ 1
2
AC＝ 3 ，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOC＝2∠AOD＝120°，
同理∠AOB＝120°，∠BOC＝120°，
∴S 阴＝2S△AOC
＝2× 3
4
×22＝2 3 ，
所以答案为：C．
【变式 1-2】如图，半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点 M 与圆心 O 重合，
则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 3
2 6
．
【解析】解：设折痕为 AB，连接 OM 交 AB 于点 C，连接 OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且 OC=MC= 1
2
，
在 RT△AOC 中，OA=1，OC= 1
2
，
∴∠AOC=60°，AC= 3
2
，AB=2AC= 3 ，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
S 阴影=S 半圆﹣2S 弓形 ABM
= 1
2
π×12﹣2（
2120 1 1 1 3360 2 2
）
= 3
2 6
．
故答案为： 3
2 6
．
【例 2】如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE，
若图中阴影部分面积为
3
，则 AB=
【答案】2.
【解析】S 阴影=S△ADE+S 扇形 BAD－S△ABC
∵S△ADE= S△ABC
∴S 阴影= S 扇形 BAD=
3
，
∴
230
360
AB =
3
,
解得：AB=2，
故答案为：2.
【变式 2-1】如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 M 在 CD 边上，且 DM=1，△AEM 与△ADM 关于 AM 所在
直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90°得到△ABF，连接 EF，则线段 EF 的长为（ ）
A
B C
D
E
F
M
A. 3 B. 2 3 C. 13 D. 15
【分析】求线段的长度，常用方法是将所求线段放在直角三角形中借助勾股定理求解，如图作出辅助
线，通过分析可知，△ADM≌△ABF≌△AEM，可得 DM=EM=1，AE=AD=AB=3，进而利用△AEK∽△EMH，求得 EH，
MH 的长，再计算出 EG，FG 的长，在 Rt△EFG 中，利用勾股定理求 EF 的长度即可.
【解析】过点 E 作 EG⊥BC 于 G，作 EH⊥CD 于 H，延长 HE 交 AB 于 K，如图所示，
A
B C
D
E
F
M
G
HK
由题意知，△ADM≌△ABF≌△AEM，∴DM=EM=1，AE=AD=AB=3，
由△AEK∽△EMH，
得： AE AK EK
EM EH MH
=3，
∴设 EH=x，则 AK=3x，即 DH=3x，MH=3x－1，
在 Rt△EMH 中，由勾股定理得：
2 23 1 1x x ，
解得：x=0（舍）或 x= 3
5
，
∴MH= 4
5
，AK=DH= 9
5
，CH=3－DH= 6
5
，
KE=BG=3MH= 12
5
，
∴FG=BF+BG= 17
5
，EG=CH= 6
5
，
在 Rt△EFG 中，由勾股定理得：
EF=
2 2
2 2 17 6 135 5FG EG
,
故答案为：C.
【变式 2-2】.如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形 AB′C′D′，
点 C 的运动路径为弧 CC′，当点 B′落在 CD 上时，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 5 3 212 2
.
【解析】解：连接 AC’，AC，过点 B’作 B’E⊥AB 于 E，如图图所示，
由旋转性质，得：AC=AC’， AB’=AB=2，∠CAB=∠C’AB’，
∵BC=B’E=1，
∴∠B’AB=30°，
∴∠C’AC=30°，
∴AE= 3 ，B’C=2－ 3 ，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC= 5 ,
∴S 阴影=S 扇形 C’AC－S△AB’C’－S△B’CA
=
2
30 5 1 12 1 2 3 1360 2 2
= 5 3 212 2
.
故答案为： 5 3 212 2
.
【例 3】.如图，在△ABC 中，AB=BC，∠ABC=90°，CA=4，D 为 AC 的中点，以 D 为圆心，以 DB 的长为
半径作圆心角为 90°的扇形 EDF，则图中阴影部分的面积为 .
【分析】设 DE 与 BC 交于 M，DF 与 AB 交于 N，S 阴影=S 扇形 EDF－S 四边形 DMBN，根据△DBM≌△DAN，得 S 四边形 DMBN=S△BDA，
再利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可.
【解析】解：设 DE 与 BC 交于 M，DF 与 AB 交于 N，
∵AB=BC，∠ABC=90°，D 是 AC 中点，
∴∠A=∠C=∠CBD=∠DBA=45°，AD=BD=2，∠BDA=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDM=∠ADF，
∴△DBM≌△DAN，
即 S△DBM=S△DAN，
∴S 四边形 DMBN=S△BDA，
S 阴影=S 扇形 EDF－S 四边形 DMBN
=
2 1
360 2
n r AD BD
=
290 2 1 2 2360 2
=π－2，
故答案为：π－2.
【变式 3-1】.如图，在扇形 OAB 中，C 是 OA 的中点，CD⊥OA，CD 与弧 AB 交于点 D，以 O 为圆心，OC
的长为半径作弧 CE 交 OB 于点 E，若 OA=6，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】 9 33 2
.
【解析】解：连接 OD，交弧 CE 于 F，连接 AD，
∵OC=AC=3，CD⊥OA，
∴CD 是线段 OA 的垂直平分线，
∴OD=AD，
∵OD=OA，
∴△OAD 是等边三角形，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOA=∠BOD=60°，
∴CD= 3 OC=3 3 ，
∴S 阴影=S 扇形 BOD－S 扇形 EOF+S△COD－S 扇形 COF
=
2 2 260 6 60 3 1 60 33 3 3360 360 2 360
=3π+ 9 3
2
.
即答案为：3π+ 9 3
2
.
【变式 3-2】.如图，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板
的圆心放在 O 点处，并将纸板的圆心绕 O 旋转，则正方形 ABCD 被纸板覆盖部分的面积为（ ）
A． 1
3
a2 B． 1
4
a2 C． 1
2
a2 D． 1
4
a
【答案】B.
【解析】解：如图，过 O 作 OE⊥AD 于 E，OF⊥CD 于 F，
∴OE=OF，∠EOF=90°，
∴四边形 OEDF 是正方形，OF= 1
2 a ，
∵扇形的圆心角为直角，
∴△OME≌△ONF，
∴S 阴影=S 正方形 OEDF= 21
4 a ，
故答案为：B．
1..如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，∠A=120°，则图中阴影部分（△BDF）的面积
等于 .
【答案】 3 .
【解析】解：由题意得：S△BDF=S 菱形 ABCD+S 菱形 ECGF－S△BGF－S△EDF－S△ABD
菱形 ECGF 边 CG 边上的高为：GF·sin60°= 3 3
2
，
菱形 ECGF 边 CE 边上的高为：EF·sin60°= 3 3
2
，
∴S△BDF= 2 2 23 3 1 3 3 1 3 3 32 3 5 1 22 2 2 2 2 2 4
= 3 ，
故答案为： 3 .
2..汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦
图中，中间的小正方形 ABCD 的边长为 1，分别以 A，C 为圆心，1 为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积
为
【答案】 12
.
【解析】解：连接 BD，
S 阴影=2（S 扇形 BAD－S△ABD）
=2（
290 1 1 1 1360 2
）
= 12
，
故答案为： 12
.
3..如图，正方形 ABCD 中，AB=1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CE，线段 BD 绕点 B
顺时针旋转 90°得到线段 BF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是
【答案】 3
2
－
4
.
【解析】解：
过 F 作 FM⊥BE 于 M，则∠FME=∠FMB=90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，AB=1，
∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=1，∠DCB=45°，
由勾股定理得：BD= 2 ，
由旋转性质得：
∠DCE=90°，BF=BD= 2 ，∠FBE=90°－45°=45°，
∴BM=FM=1，即 C 点与 M 点重合，ME=1，
∴阴影部分的面积：S=S△BCD+S△BFE+S 扇形 DCE－S 扇形 DBF
= 1
2
+1+
290 1
360
－ 2
90 2
360
= 3
2
－
4
，
故答案为： 3
2
－
4
．
4..如图，已知矩形 ABCD 的两条边 AB=1，AD= 3 ，以 B 为旋转中心，将对角线 BD 顺时针旋转 60°得
到线段 BE，再以 C 为圆心将线段 CD 顺时针旋转 90°得到线段 CF，连接 EF，则图中阴影部分面积为
．
【答案】 1 53 2 12
.
【解析】解：连接 CE，
由 CD=AB=1，AD= 3 ，得：BD=2，
∴∠ADB=30°，
∴∠DBC=30°，
由旋转知∠DBE=60°，BE=BD=2，
∴∠DBC=∠EBC=30°，
此时 D、C、E 共线，
∴S 阴影=S 扇形 DCF+S△BCD+S△BEF－S 扇形 DBE
= 2 290 1 1 601 1 3 1 3 1 2360 2 2 360
= 1 53 2 12
.
故答案为： 1 53 2 12
.
5..如图，△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB 绕点 O 逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段 A′B′
与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 B′E 的长度为（ ）
A．3 5 B． 9 5
5
C． 6 5
5
D． 3 5
5
【答案】B.
【解析】解：过 O 作 OF⊥A’B’于 F，
由旋转性质得：OA=OA’=3，OB=OB’=6，
∴F 为 A’E 的中点，
∵E 为 OB 中点，
∴OE=BE=3，
在 Rt△A’OB’中，由勾股定理得：A’B’= 3 5 ，
∴OF= 18 6 5
53 5
，
在 Rt△A’OF 中，由勾股定理得：A’F= 3 5
5
，
∴A’E= 6 5
5
∴B’E=A’B’－A’E= 9 5
5
，
故答案为：B.
6..如图，等腰直角三角形 ABC，绕点 C 顺时针旋转得到△A′B′C，AB′所在的直线经过 A′C 的中点
时，若 AB=2，则阴影部分的面积为_________．
【答案】 4 3 13
.
【解析】解：延长 AB’交 A’C 于 E，
由题意知 E 为 A’C 的中点，
∵A’B’=B’C=AB=BC=2，
∴B’E⊥A’C，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC=2 2 ，
∴CE=A’E= 2 ，
∴∠CAE=30°，∠ACE=60°，
∴S 阴影=S 扇形 ACA’－S△ACE－S△A’B’E
= 2
60 2 2 1 12 6 2 2360 2 2
= 4 3 13
.
故答案为： 4 3 13
.
7.如图，在扇形 OAB 中，∠O=60°，OA=4 3 ，四边形 OECF 是扇形 OAB 中最大的菱形，其中点 E，C，F
分别在 OA，弧 AB，OB 上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】8π﹣8 3 .
【解析】解：连接 EF、OC 交于点 H，
则 OH= 1
2
OC=2 3 ，∠FOH=∠AOC=30°，
在 Rt△FOH 中，FH=OH×tan30°=2，
∴菱形 FOEC 的面积= 1
2
×4 3 ×4=8 3 ，
扇形 OAB 的面积= 2
60 4 3
360
=8π，
则阴影部分的面积为 8π﹣8 3 ，
故答案为：8π﹣8 3 .
8..如图，在圆心角为 120°的扇形 OAB 中，半径 OA＝2，C 为弧 AB 的中点，D 为 OA 上任意一点（不与
点 O、A 重合），则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 2
3
π．
【解析】解：连接 OC，BC，
由题意知∠BOC＝∠AOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC 为等边三角形，
∴∠OCB＝∠COA＝60°，
∴BC∥OA，
∴S△BOC=S△BCD，
∴S 阴影＝S 弓形 BC+S△BCD
＝S 弓形 BC+S△BOC
＝S 扇形 BOC
＝ 2
3
π，
故答案为： 2
3
π.
9..如图，在正方形 ABCD 中，AD=3，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90°得到线段 BE，将线段 AC 绕点 C
逆时针旋转 90°得到线段 CF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是___________．
【答案】 27 9
2 4
.
【解析】解：由图知：
S 阴影=S 扇形 ABE+S△BEF－S 弓形 AF
S 弓形 AF=S 扇形 ACF－S△ACF
由题意知，AD=3，AC=CF=3 2 ，AB=BC=BF=BE=3，∠EBA=∠ACF=90°，
∴S 弓形 AF=S 扇形 ACF－S△ACF
= 2
90 3 2
360
－ 1 3 2 3 22
= 9
2
－9，
S 阴影=S 扇形 ABE+S△BEF－S 弓形 AF
=
290 3
360
+ 1 3 32
－（ 9
2
－9）
= 27 9
2 4
.
10..如图，将半径为 1 的半圆 O，绕着其直径的一端点 A 顺时针旋转 30°，直径的另一端点 B 的对应
点为 B'，O 的对应点为 O'，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 3
2 2
.
【解析】解：连接 O′D、B′D，
∵∠B′AB＝30°，
∴∠AO′D＝120°，
∵AB′是直径，
∴∠ADB′＝90°，
由∠B′AB＝30°，得 B′D＝ 1
2
AB′＝1，
在 Rt△ADB’中，由勾股定理得，AD＝ 3 ，
∴S 阴影＝S 扇形 BAB’－S△AO’D－S 扇形 DO’B’+S 扇形 AO’D－S△AO’D
=
2 2 2
2 230 2 3 60 1 120 1 31 1360 4 360 360 4
= 3
2 2
故答案为： 3
2 2
．
11..如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C，交 AD 于
点 E，延长 BA 与⊙A 相交于点 F．若弧 EF 的长为
2
，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 2 2
.
【解析】解：连接 AC，
∵DC 是⊙A 的切线，
∴AC⊥CD，
∵AB＝AC＝CD，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∴∠FAD＝∠B＝45°，
∵弧 EF 的长为
2
，
∴ 45=2 180
r ，
解得：r＝2，
∴S 阴影＝S△ACD﹣S 扇形 ACE
＝
21 45 22 22 360
= 2 2
．
故答案为： 2 2
．
12..如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点 A 为圆心，AC 的长为半径作弧 CE 交 AB 于
点 E，以点 B 为圆心，BC 的长为半径作弧 CD 交 AB 于点 D，则阴影部分的面积为 ．
【答案】π﹣2．
【解析】解：S 阴影＝S△ABC﹣S 空白，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝ 1
2
×2×2＝2，
S 扇形 BCD＝
245 2
360
＝ 1
2
π，
S 空白＝2×（2﹣ 1
2
π）＝4﹣π，
S 阴影＝S△ABC﹣S 空白
＝2﹣4+π
＝π﹣2，
故答案为：π﹣2．
13..如图，在△ABC 中，BC＝4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC
于点 F，点 P 是⊙A 上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4﹣π．
【解析】解：连接 AD
∵⊙A 与 BC 相切于点 D，
∴AD⊥BC，
∵∠EPF＝45°，
∴∠BAC＝2∠EPF＝90°．
∴S 阴影＝S△ABC﹣S 扇形 AEF
＝ 1
2
×4×2﹣
290 2
360
＝4﹣π．
故答案是：4﹣π．
14..如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝90°，点 C 为 OB 的中点，CD⊥OB 交弧 AB 于点 D．若 OA＝2，则阴
影部分的面积为 ．
【答案】 2 3
3 2
．
【解析】解：连接 DO，
则 OD＝OA＝OB＝2，
∵CD∥OA，∠AOB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵C 为 OB 的中点，
∴CO＝ 1
2
OB＝ 1
2
DO，
∴∠CDO=30°，∠COD＝60°，
则 CD＝ 3 ，
∴S 阴影＝S 扇形 BOD－S△OCD
=
260 2 1 1 3360 2
= 2 3
3 2
，
故答案为： 2 3
3 2
．
15..如图，在▱ ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C，交 AD 于点 E，延
长 BA 与⊙O 相交于点 F．若弧 EF 的长为π，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】8﹣2π．
【解析】解：连结 AC，
∵CD 是圆 A 的切线，
∴AC⊥CD，即∠ACD＝90°，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAF＝90°，∠FAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠FAE＝∠EAC＝45°，
∵弧 EF 的长为π，
设圆 A 的半径为 r，
∴ 45
180
r ，得： r＝4，
∴S 阴影＝S△ACD﹣S 扇形 CAE
= 1
2
×4×4﹣
245 4
360
＝8﹣2π．
故答案为：8﹣2π．
16..如图，点 C 为弧 AB 的三等分点（弧 BC
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