2021年中考数学压轴题提升训练击破类比探究类综合题利器之全等知识（附解析）

专题 12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识 模型一、A 字形（手拉手）及其旋转 A B C D E A B C D E A B C D E 模型二、K 字型及其旋转 A D C E B D C E B A A D C E B 【例 1】.在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，点P 是射线BD 上一动点，以 AP 为边向右侧作等边△APE，点 E 的 位置随着点 P 的位置变化而变化． （1）探索发现 如图 1，当点 E 在菱形 ABCD 内部或边上时，连接 CE．填空：BP 与 CE 的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是 ． （2）归纳证明 当点 E 在菱形 ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理 由．（选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理） （3）拓展应用 如图 4，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE，若 AB= 2 3 ，BE= 2 19 ，请直接写出四边形 ADPE 的面积． 图 1 图 2 图 3 图 4 【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）（3）见解析. 【解析】解：（1）连接 AC，延长 CE 至 AD， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴∠BAD=120°， ∴∠BAC=60°，∠CAD=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC， ∵△APE 是等边三角形， ∴AP=AE，∠PAE=60°， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△BAP≌△CAE， ∴BP=CE， ∵∠ABC=60°， ∴∠ABP=30°， ∵△BAP≌△CAE， ∴∠ABP=∠ACE=30°， ∵∠CAD=60°， ∴∠ACE+∠CAD=90°， 即 CD⊥AD. （2）结论仍然成立，理由如下：（以图 2 为例） 连接 AC，设 CE 与 AD 交于点 H， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴△ABC 和△ACD 是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵△APE 是等边三角形， ∴AP=AE，∠PAE=60°， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△BAP≌△CAE， ∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°， ∵∠CAH=60°， ∴∠AHC=90°，即 CE⊥AD； （3）连接 AC 交 BD 于 O，连接 CE， 由（2）知，CE⊥BC， ∵AB= 2 3 ，BE= 2 19 ， 在 Rt△BCF 中，由勾股定理得：CE=8， 由△BAP≌△CAE， 得：BP=CE，BD=6， ∴DP=BP－BD=2， AO= 3 ， 在 Rt△AOP 中，由勾股定理得：AP= 2 7 ， ∴S=S△ADP+S△APE =  21 32 3 2 72 4     =8 3 . 【变式 1-1】.在△ABC 中，∠ABC 为锐角，点 M 为射线 AB 上一动点，连接 CM，以点 C 为直角顶点，以 CM 为直角边在 CM 右侧作等腰直角三角形 CMN，连接 NB． （1）如图 1，图 2，若△ABC 为等腰直角三角形， 问题初现：①当点 M 为线段 AB 上不与点 A 重合的一个动点，则线段 BN，AM 之间的位置关系是 _____________，数量关系是______________； 深入探究:②当点 M 在线段 AB 的延长线上时，判断线段 BN，AM 之间的位置关系和数量关系，并说明理 由； 类比拓展:（2）如图 3，∠ACB≠90°，若当点 M 为线段 AB 上不与点 A 重合的一个动点，MP⊥CM 交线 段 BN 于点 P，且∠CBA=45°，BC= 4 2 ，当 BM=_________时，BP 的最大值为__________． 图 1 图 2 图 3 【答案】（1）BN⊥AM，BN=AM；（2）见解析，（3）2， 1. 【解析】解：（1）由 AC=BC，∠ACM=∠BCN，CM=CN，可证△ACM≌△BCN， ∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°， ∴∠ABN=90°，即 BN⊥AM. （2）BN⊥AM，BN=AM；理由如下： A B C M N ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°， 同理，∠NCM=90°，NC=MC, ∴∠ACM=∠BCN， ∴△ACM≌△BCN， ∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°， ∴∠ABN=90°，即 BN⊥AM. (3)过 C 作 CG⊥BC 交 BA 的延长线于 G，过 C 作 CH⊥AB 于 H，如图所示， G B C M N P A H 易证△GCM≌△BCN， 由（2）知，BN⊥AB， ∴△CHM∽△MBP， ∴ CH HM BM BP  ,即 4 4 BM BM BP  , 设 BM=x， 则 BP=  21 2 14 x   ， ∴当 BM=2 时，BP 取最小值，最小值为 1. 【例 2】.在正方形 ABCD 中，动点 E、F 分别从 D、C 两点出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移动. （1）如图 1，当点 E 在边 CD 上自 D 向 C 移动，同时点 F 在边 CB 上自 C 向 B 移动时，连接 AE 和 DF 交 于点 P，请你写出 AE 与 DF 的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图 2，当 E，F 分别在边 CD，BC 的延长线上移动时，连接 AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请 你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接 AC，请你直接写出△ACE 为等腰三角形时 CE：CD 的值； （3）如图 3，当 E，F 分别在直线 DC，CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E，F 的移动，使 得点 P 也随之运动，请你画出点 P 运动路径的草图．若 AD=2，试求出线段 CP 的最大值． 【答案】见解析. 【解析】解： （1）AE=DF，AE⊥DF，理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°， 由题意知：DE=CF， ∴△ADE≌△DCF， ∴AE=DF，∠DAE=∠FDC， ∵∠ADE=90°， ∴∠ADP+∠CDF=90°， ∴∠ADP+∠DAE=90°， ∴∠APD=180°﹣90°=90°， ∴AE⊥DF； （2）（1）中的结论还成立，CE：CD= 2 或 2， 理由如下： ①如图，当 AC=CE 时， 设正方形 ABCD 的边长为 a，由勾股定理得：AC=CE= 2 a， 则 CE：CD= 2 a：a= 2 ； ②如图，当 AE=AC 时， 设正方形 ABCD 的边长为 a，由勾股定理得：AC=AE= 2 a， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ADC= 90°，即 AD⊥CE， ∴DE=CD=a， ∴CE：CD=2a：a=2； 故，CE：CD= 2 或 2； （3）∵点 P 在运动中∠APD=90°， ∴点 P 的路径是以 AD 为直径的圆， 如图，设 AD 的中点为 Q，连接 CQ 并延长交圆 Q 于点 P，此时 CP 的长度最大， 在 Rt△QDC 中，由勾股定理得：QC= 5 ， ∴CP=QC+QP= 5 +1， 即线段 CP 的最大值是 5 +1． 【变式 2-1】.如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点，且 CE=BF．连接 DE，过点 E 作 EG⊥DE，使 EG=DE，连接 FG，FC． （1）请判断：FG 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？ 请作出判断并给予证明； （3）如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？ 请直接写出你的判断． 图 1 图 2 图 3 【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）（3）见解析． 【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE； ∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°， ∴△BCF≌△CDE， ∴∠DEC=∠CFB， ∵∠CFB+∠FCB=90°， ∴∠DEC +∠FCB=90°， 即 CF⊥DE， ∵DE⊥EG， ∴EG∥CF， ∴EG=DE=CF， ∴四边形 FCEG 是平行四边形， ∴FG=CE，FG∥CE； （2）∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°， ∴△BCF≌△CDE， ∴∠DEC=∠CFB，CF=DE， ∵∠CFB+∠FCB=90°， ∴∠DEC +∠FCB=90°， 即 CF⊥DE， ∵DE⊥EG， ∴EG∥CF， ∴EG=DE=CF， ∴四边形 FCEG 是平行四边形， ∴FG=CE，FG∥CE； （3）成立． 由上可证：△CBF≌△DCE， 得：∠BCF=∠CDE，CF=DE， ∵EG=DE， ∴CF=EG， ∵DE⊥EG ∴∠DEC+∠CEG=90° ∵∠CDE+∠DEC=90° ∴∠CDE=∠CEG， ∴∠BCF=∠CEG， ∴CF∥EG， ∴四边形 CEGF 平行四边形， ∴FG∥CE，FG=CE． 1..我们定义：如图 1，在△ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转α（0°