2021年中考数学压轴题提升训练圆中证明及存在性问题（附解析）

圆中证明及存在性问题 【例 1】.如图，已知⊙A 的半径为 4，EC 是圆的直径，点 B 是⊙A 的切线 CB 上一个动点，连接 AB 交⊙ A 于点 D，弦 EF∥AB，连接 DF，AF. （1）求证：△ABC≌△ABF； （2）当∠CAB= 时，四边形 ADFE 为菱形； （3）当 AB= 时，四边形 ACBF 为正方形. A C B D F E 【分析】（1）由 EF∥AB，得∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，又∠AEF=∠AFE，得：∠BAC=∠BAF，又 AB=AB， AC=AF，证得△ABC≌△ABF；（2）连接 FC，根据 ADFE 为菱形，确定出∠CAB 的度数；（3）由四边形 ACBF 是 正方形，得 AB= 2 AC=4 2 . 【解析】解：（1）∵EF∥AB， ∴∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF， ∵AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠BAF， 又 AB=AB，AC=AF，∴△ABC≌△ABF（SAS）； （2）如图，连接 FC， A C B D F E ∵四边形 ADFE 是菱形， ∴AE=EF=FD=AD， ∵CE=2AE，∠CFE=90°， ∴∠ECF=30°，∠CEF=60°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF=∠CAB=60°， 故答案为：60°； （3）由四边形 ACBF 是正方形，得 AB= 2 AC=4 2 . 【变式 1-1】.如图，在△ABD 中，AB＝AD，AB 是⊙O 的直径，DA、DB 分别交⊙O 于点 E、C，连接 EC， OE，OC． （1）当∠BAD 是锐角时，求证：△OBC≌△OEC； （2）填空： ①若 AB＝2，则△AOE 的最大面积为 ； ②当 DA 与⊙O 相切时，若 AB＝ 2 ，则 AC 的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2） 1 2 ；1. 【解析】解：（1）连接 AC， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AC⊥BD， ∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝EC， 又∵OB=OE，OC=OC， ∴△OBC≌△OEC（SSS）， （2）①∵AB＝2， ∴OA＝1， 设△AOE 的边 OA 上的高为 x， ∴S△AOE＝ 1 2 OA×h ＝ 1 2 h， 要使 S△AOE 最大，需 h 最大， 点 E 在⊙O 上，h 最大是半径， 即：h 最大＝1 ∴S△AOE 最大为： 1 2 ； ②如图所示， 当 DA 与⊙O 相切时，则∠DAB＝90°， ∵AD＝AB＝ 2 ， ∴∠ABD＝45°， ∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AC＝BC＝ 2 2 AB=1. 【例 2】.如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D， 与 CA 的延长线相交于 点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F． （1）试说明 DF 是⊙O 的切线； （2）①当∠C= °时，四边形 AODF 为矩形； ②当 tanC= 时，AC=3AE． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明：连接 OD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF，点 D 在⊙O 上， ∴DF 是⊙O 的切线； （2）45°，理由如下： 由四边形 AODF 为矩形，得∠BOD=90°， ∴∠B=45°， ∴∠C=∠B=45°， 故答案为：45°； （3） 2 2 ，理由如下， 连接 BE，∵AB 是直径，∴∠AEB=90°， ∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE， ∴BE2=AB2－AE2 =8AE2， 即 BE= 2 2 AE， 在 Rt△BEC 中，tanC= 2 2 2 4 2 BE CE CE CE   . 故答案为： 2 2 . 【变式 2-1】.如图，在△ABC 中，AB=AC=4，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，点 P 是 AB 的延长线上一点，且∠PDB= 1 2 ∠A，连接 DE，OE． （1）求证：PD 是⊙O 的切线． （2）填空：①当∠P 的度数为______时，四边形 OBDE 是菱形； ②当∠BAC=45°时，△CDE 的面积为_________． 【答案】（1）见解析；（2）30； 2 2 2 . 【解析】解：（1）连接 OD， ∵OB=OD, ∠PDB= 1 2 ∠A， ∴∠ODB=∠ABD=90°－ 1 2 ∠A=90°－∠PDB， ∴∠ODB+∠PDB=90°， ∴∠ODP=90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴PD 是⊙O 的切线. （2）①30°，理由如下： ∠P=30°，则∠BOD=60°， ∴△BOD 是等边三角形， ∴∠ADP=30°，∠A=60°， ∴△AOE 是等边三角形，即∠AOE=60°， ∴∠EOD=60°， ∴△ODE 是等边三角形， ∴OB=BD=DE=OE， 即四边形 OBDE 是菱形； ②连接 BE，AD，如上图， ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC，∠AEB=90°， ∵AB=AC，∴D 为 BC 中点， ∴S△DCE= 1 2 S△BCE， ∵∠BAC=45°，∴AE=BE，△ABE 是等腰直角三角形， ∵AB=AC=4，∴AE=BE= 2 2 ，CE=4- 2 2 ， ∴S△DCE= 1 2 S△BCE， = 1 2 × 1 2 BE·CE = 1 2 × 1 2 × 2 2 ×（4- 2 2 ） = 2 2 2 . 【例 3】.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D， 直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P． （1）求证：AC2=AD·AB． （2）点 E 是∠ACB 所对的弧上的一个动点（不包括 A，B 两点），连接 EC 交直径 AB 于点 F，∠ DAP=64°． ①当∠ECB= °时，△PCF 为等腰三角形； ②当∠ECB= °时，四边形 ACBE 为矩形． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）连接 OC， ∵CD 是切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠ACO=∠CAD， ∵OA=OC， ∴∠ACO =∠CAO， ∴∠CAD=∠CAO， ∵AB 为直径， ∴∠ACB=∠D=90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴ AD AC AC AB  , 即：AC2=AD·AB． （2）①45；②58，理由如下： ①∵∠DAP=64°， ∴∠P=26°，∠CAB=∠DAC=32°， ∵∠CFP 是△ACF 的外角， ∴∠CFP>32°，即∠CFP≠∠P， 由∠PCB=∠CAB=32°，知∠FCP>∠PCB≠∠P， 由△PCD 为等腰三角形，得 PC=PF, ∴∠CFP=77°， ∴∠ACF=45°，∠ECB=90°－∠ACF=45°， 故答案为：45； ②由 ACBE 是矩形，得 F 与 O 重合， ∴∠ECB=90°－∠ACO=90°－32°=58°， 故答案为：58. 【变式 3-1】.如图，△ABC 内接于⊙O，过点 B 的切线 BE∥AC，点 P 是优弧 AC 上一动点（不与 A， C 重合），连接 PA，PB，PC，PB 交 AC 于 D． （1）求证：PB 平分∠APC； （2）当 PD=3，PB=4 时，求 AB 的长． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明：连接 OB， 则 OB⊥BE， ∵BE∥AC， ∴OB⊥AC， ∴弧 AB=弧 BC， ∴∠APB=∠BPC， ∴PB 平分∠APC； （2）由（1）知，∠APB=∠BPC， ∵∠BAC=∠BPC， ∴∠BAC=∠APB， ∵∠ABD=∠PBA， ∴△ABD∽△PBA， ∴ AB BD PB AB  , 即 1 4 AB AB  ∴AB=2，即 AB 的长为 2. 1..如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 交于点 D，过 D 作⊙O 的切线交 CB 于 E. （1）求证：EB=EC； （2）若以点 O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC 的形状，并说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解： （1）证明：连接 OD， ∵AC 为直径，∠ACB=90°， ∴BC 为⊙O 的切线， ∵DE 是⊙O 的切线， ∴DE=CE，∠ODE=90°， ∴∠ODA+∠EDB=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵∠OAD+∠B=90°， ∴∠B=∠EDB， ∴DE=BE， ∴EB=EC； （2）△ABC 是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形 ODEC 是正方形， ∴∠DEB=90°， 由（1）知 CE=BE， ∴△BED 是等腰直角三角形， ∠B=45°， ∴∠A=45°， 即 AC=BC， 又∵∠ACB=90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形. 2..如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 与斜边 AC 交于点 D，E 为 BC 边的中点，连接 DE，OE． （1）求证：DE 是⊙O 的切线． （2）填空：①当∠CAB= 时，四边形 AOED 是平行四边形；②连接 OD，在①的条件下探索四边形 OBED 的形状为 . 【答案】（1）见解析；（2）45；正方形. 【解析】（1）连接 OD，BD， ∵AB 为直径， ∴∠BDC=∠ADB=90°， ∵E 为 BC 的中点， ∴DE=BE=CE， ∵OD=OB，OE=OE， ∴△ODE≌△OBE， ∴∠ODE=∠OBE=90°， ∴OD⊥DE， 即 DE 是⊙O 的切线. （2）①若四边形 AOED 是平行四边形，则 DE∥AB， ∴∠A=∠CDE， ∵∠CDE=∠C， ∴∠A=∠C， ∵∠ABC=90°， ∴∠A=45°； ②由∠A=45°，得∠ADO=45°，即∠DOB=90°， ∵∠EBO=∠ODE=90°， ∴四边形 OBED 是矩形， ∵四边形 AOED 是平行四边形， ∴∠EOB=∠A=45°， ∴∠EOB=∠OEB=45°， ∴OB=BE， ∴四边形 OBED 是正方形. 3..如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=6，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，点 O 在 AC 上，以 CO 为半径的 圆经过点 D，AE 切⊙O 于 E． （1）求证：AD=AE． （2）填空： ①当∠ACB=_______时，四边形 ADOE 是正方形； ②当 BC=__________时，四边形 ADCE 是菱形． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明：连接 OE， ∵CD 平分∠ACB， ∴∠OCD=∠BCD， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∴∠ODC=∠BCD， ∴OD∥BC， ∵∠B=90°， ∴∠ADO=90°， ∴AD 是圆 O 的切线， ∵AE 是圆 O 的切线， ∴AD=AE. （2）①45；②2 3 ，理由如下： ①∵ADOE 是正方形， ∴OD=AD， ∴∠OAD=45°， ∴∠ACB=45°； ②四边形 ADCE 为菱形， ∴AD=CD，∠CAD=∠ACD， ∵∠BCD=∠ACD， ∴∠CDB=60°，∠BCD=30°， ∴CD=2BD， ∵AB=6， ∴BD=2，BC=2 3 , 故答案为：45；2 3 . 4..如图，AB 是⊙O 的弦，D 为半径 OA 的中点，过 D 作 CD⊥OA 交弦 AB 于点 E，交⊙O 于点 F，且 CE=CB （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）连接 AF，BF，求∠ABF 的度数． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明：连结 OB， ∵CE=CB， ∴∠CBE=∠CEB， ∵CD⊥OA， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∵∠CEB=∠AED， ∴∠DAE+∠CBE=90°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∴∠OBA+∠CBE=90°，即∠OBC=90°， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）解：连结 OF，OF 交 AB 于 H，（见上图） ∵DF⊥OA，AD=OD， ∴FA=FO， ∵OF=OA， ∴△OAF 为等边三角形， ∴∠AOF=60°， ∴∠ABF= 1 2 ∠AOF=30°． 5..如图，在△ACE 中，AC＝CE，⊙O 经过点 A，C，且与边 AE，CE 分别交于点 D，F，点 B 是劣弧 AC 上 的一点，且弧 BC=弧 DF，连接 AB，BC，CD． 求证：△CDE≌△ABC． 【答案】见解析. 【解析】证明：连接 DF， ∵AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E， ∵四边形 ACFD 内接于⊙O， ∴∠CAE+∠CFD=180°， ∵∠CFD+∠DFE=180°， ∴∠CAE＝∠DFE， ∴∠DFE＝∠E， ∴DF＝DE， ∵弧 BC=弧 DF， ∴BC＝DF， ∴BC＝DE， ∵四边形 ABCD 内接于⊙O， 同理可得：∠B＝∠CDE， 在△CDE 和△ABC 中， ∵AC=CE，∠ABC=∠CDE，BC=DE， ∴△CDE≌△ABC． 6..如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A，B 重合的动点，PC∥AB，点 M 是 OP 中点． （1）求证：四边形 OBCP 是平行四边形； （2）填空： ①当∠BOP＝ 时，四边形 AOCP 是菱形； ②连接 BP，当∠ABP＝ 时，PC 是⊙O 的切线． 【答案】（1）见解析；（2）120；45． 【解析】（1）证明：∵PC∥AB， ∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM． ∵点 M 是 OP 的中点， ∴OM＝PM， ∴△CPM≌△AOM， ∴PC＝OA． ∵OA＝OB， ∴PC＝OB． ∵PC∥AB， ∴四边形 OBCP 是平行四边形． （2）解：①∵四边形 AOCP 是菱形， ∴OA＝PA， ∵OA＝OP， ∴OA＝OP＝PA， ∴△AOP 是等边三角形， ∴∠A＝∠AOP＝60°， ∴∠BOP＝120°； ②∵PC 是⊙O 的切线， ∴OP⊥PC，∠OPC＝90°， ∵PC∥AB， ∴∠BOP＝90°， ∵OP＝OB， ∴∠ABP＝∠OPB＝45°. 7..如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交弧 AC 于点 D，过点 D 作⊙O 的切线， 交 BA 的延长线于点 E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接 AD、CD、OC．填空 ①当∠OAC 的度数为 时，四边形 AOCD 为菱形；②当 OA＝AE＝2 时，四边形 ACDE 的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）30；2 3 ． 【解析】（1）证明：∵F 为弦 AC 的中点， ∴AF＝CF，OF 过圆心 O ∴FO⊥AC， 即∠OFA=90°， ∵DE 是⊙O 切线， ∴OD⊥DE 即∠EDO=90°， ∴DE∥AC. （2）①当∠OAC＝30°时，四边形 AOCD 是菱形，理由如下： 连接 CD，AD，OC， ∵∠OAC＝30°，OF⊥AC ∴∠AOF＝60° ∵AO＝DO，∠AOF＝60° ∴△ADO 是等边三角形 ∵AF⊥DO ∴DF＝FO，AF＝CF， ∴四边形 AOCD 是平行四边形 ∵AO＝CO ∴四边形 AOCD 是菱形. ②连接 CD， ∵AC∥DE, OA=AE=2，∴OD＝2OF，DE＝2AF ∵AC＝2AF，∴DE＝AC，且 DE∥AC ∴四边形 ACDE 是平行四边形 ∵OA＝AE＝OD＝2 ∴OF＝DF＝1，OE＝4 在 Rt△ODE 中，由勾股定理得：DE＝2 3 ， ∴S 四边形 ACDE＝DE×DF ＝2 3 ×1 ＝2 3 答案为：2 3 . 8..如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上 AC 上一点 O 为圆心，OA 为半径作⊙O， ⊙O 恰好经过边 BC 的中点 D，并与边 AC 相交于另一点 F． （1）求证：BD 是⊙O 的切线． （2）若 AB＝ 3 ，E 是半圆 AGF 上一动点，连接 AE，AD，DE． 填空： ①当弧 AE 的长度是 时，四边形 ABDE 是菱形； ②当弧 AE 的长度是 时，△ADE 是直角三角形． 【答案】（1）见解析；（2） 2 3  ； 3  或π． 【解析】（1）证明：连接 OD， 在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴AB＝ 1 2 BC， ∵D 是斜边 BC 的中点， ∴BD＝ 1 2 BC， ∴AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODB＝∠BAO＝90°， 即 OD⊥BC， ∴BD 是⊙O 的切线． （2）①若四边形 ABDE 是菱形，连接 OE， 则 AB∥DE， ∵∠BAC=90°， ∴DE⊥AC， 得：AD＝BD＝AB＝CD＝ 1 2 BC＝ 3 ， ∴△ABD 是等边三角形，OD＝1， ∴∠ADB＝60°， ∵∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠CDE＝60°， ∴∠AOE＝2∠ADE＝120°， ∴弧 AE 的长度为：120 1 180   = 2 3  ； 故答案为： 2 3  ； ②∵AD 为弦（不是直径）， ∴∠AED≠90°， （i）若∠ADE＝90°，则点 E 与点 F 重合，弧 AE 的长度为：180 1 180   ＝π； （ii）若∠DAE＝90°，则 DE 是直径，则∠AOE＝2∠ADO＝60°， 弧 AE 的长度为： 60 1 180   = 1 3 π； 故答案为： 1 3 π或π． 9..如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以点 A 为圆心，AC 为半径，作⊙A，交 AB 于点 D，交 CA 的延 长线于点 E，过点 E 作 AB 的平行线交⊙A 于点 F，连接 AF，BF，DF． （1）求证：△ABC≌△ABF； （2）填空： ①当∠CAB＝ °时，四边形 ADFE 为菱形； ②在①的条件下，BC＝ cm 时，四边形 ADFE 的面积是 6 3 cm2． 【答案】（1）见解析；（2）①60；②6． 【解析】（1）证明：∵EF∥AB， ∴∠E＝∠CAB，∠EFA＝∠FAB， ∵AE=AF， ∴∠E＝∠EFA， ∴∠FAB＝∠CAB， 又∵AF=CA，AB=AB， ∴△ABC≌△ABF； （2）①当∠CAB＝60°时，四边形 ADFE 为菱形． 由∠CAB＝60°，得∠FAD＝∠EAF＝60°， ∴EF＝AD＝AE=DF， ∴四边形 ADFE 是菱形． ②∵四边形 AEFD 是菱形，∠AEF＝∠CAB＝60°， ∴ 23 6 32 AE  ， ∴AE＝ 2 3 ， ∴AC= 2 3 ， ∴BC= 3 AC=6. 10..如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以直角边 BC 为直径作⊙O，交 AB 于点 D，E 为 AC 的中点， 连接 DE. （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）已知 BC＝4．填空： ①当 DE＝ 时，四边形 DOCE 为正方形； ②当 DE＝ 时，△BOD 为等边三角形． 【答案】（1）见解析；（2）2；2 3 . 【解析】（1）证明：连接 CD，OE， ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°， ∵DE 为 Rt△ADC 的斜边 AC 上的中线，∴DE=CE=AE， ∵OD＝CC，OE＝OE， ∴△COE≌△DOE， ∴∠OCE＝∠ODE＝90°， 即 DE 为⊙O 的切线； （2）解：①若四边形 DOCE 为正方形，则 OC＝OD＝DE＝CE， ∵BC＝4， ∴DE＝2． ②若△BOD 为等边三角形，则∠BOD＝60°， ∴∠COD＝180°﹣∠BOD＝120°，∠DOE＝60°， ∴DE＝ 3 OD=2 3 ． 故答案为：2，2 3 ． 11..如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC， 分别交 AC，AB 的延长线于点 E，F． （1）求证：EF 是⊙O 的切线． （2）①当∠BAC 的度数为 时，四边形 ACDO 为菱形； ②若⊙O 的半径为 5，AC=3CE，则 BC 的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）60；8. 【解析】（1）连接 OD， ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD 平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE， ∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF 是⊙O 的切线； （2）连接 CD， ①当∠BAC=60°时，四边形 ACDO 为菱形； ∵∠BAC＝60°，∴∠AOD＝120°， ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∠CAD＝30°， ∵OD∥AE，∴∠OAD＝∠ADC＝30°，∠CAO＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD， ∵AD＝AD，∴△ACD≌△AOD，∴AC＝AO，∴AC＝AO＝CD＝OD， ∴四边形 ACDO 为菱形； ②设 OD 与 BC 交于 G， ∵AB 为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DE⊥AC，可得四边形 CEDG 是矩形， ∴DG＝CE， ∵AC＝3CE， ∴OG＝ 1 2 AC＝1.5CE，OD＝2.5CE＝5， ∴CE＝2，AC＝6， ∵AB＝10， 由勾股定理得：BC＝8．