折叠与落点有迹性
【例题】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，点 P 是射线 BC 上一动点，连接 AP，将△ABP
沿 AP 折叠，当点 B 的对应点 B’落在线段 BC 的垂直平分线上时，则 BP 的长等于
A
B P C
B'
【答案】10 或 5
2
.
【解析】解：点 B’的运动轨迹是以点 A 为圆心以 AB 的长为半径的圆，圆与 BC 的垂直平分线的交点即
为所求的落点 B’，
如图作出图形，
A
B C
B'
B'
分两种情况计算：
①连接 BB’，过 B’作 B’E⊥BC 于 E，如下图所示，
A
B C
B'
P E
由题意知，BB’=B’C，BP=B’P，BE=EC=4，BB’⊥AP，
∴∠B’BC=∠B’CB，∠B’BC+∠APB=90°，∠B’CB+∠CB’E=90°，
∴∠APB=∠CB’E，∴△CB’E∽△APB，∴
'
AB BP
CE B E
,即 5
4 '
BP
B E
，
设 BP=x，则 B’P=x，EP=4－x，B’E= 4
5
x，
在 Rt△B’PE 中，由勾股定理得：
2
22 4 45x x x
，解得：x=10（舍）或 x= 5
2
，
即 BP= 5
2
；
②过 A 作 AH⊥MN 于 H，如图所示，
A
B C
B'
M
N
P
H
G
∵AB=AB’=5，AH=4，GH=5,
∴B’H=3，B’G=8，
设 BP=x，则 B’P=x，PG=x－4，
在 Rt△PGB’中，由勾股定理得： 22 28 4x x ，
解得：x=10，即 BP=10;
综上所述，答案为：10 或 5
2
.
【变式】如图，在边长为 3 的等边三角形 ABC 中，点 D 为 AC 上一点，CD=1，点 E 为边 AB 上不与 A，
B 重合的一个动点，连接 DE，以 DE 为对称轴折叠△AED，点 A 的对应点为点 F，当点 F 落在等边三角形
ABC 的边上时，AE 的长为 ．
【答案】1 或 5－ 13 .
【解析】解：第一步：确定落点，点 F 在以 D 为圆心，以线段 AD 的长为半径的弧上，如下图所示，
A
B C
D
F
F
第二步，根据落点确定折痕（对称轴）
（1）∵AD=DF=2，∠A=60°，∴△ADF 是等边三角形，
∵DE 平分∠ADF，
∴AE=EF=1；
A
B C
D
F
E
（2）如下图所示，
A
B C
D
E
F
由对称知，∠EFD=∠A=60°，∴∠EFB+∠DFC=120°，
∵∠DFC+∠FDC=120°，∴∠EFB=∠FDC，
∵∠B=∠C=60°，
∴△BEF∽△CFD，
∴ BE EF BF
CF DF CD
,
设 AE=x，则 BE=3－x，
即 3
2 1
x x BF
CF
,
∴BF=
2
x ，CF= 2 3 x
x
，
∵BF+CF=3，
即
2
x + 2 3 x
x
=3，
解得：x=5+ 13 （舍）或 x=5－ 13 ，
综上所述，答案为：1 或 5－ 13 .
1.如图，P 是边长为 3 的等边△ABC 的边 AB 上一动点，沿过点 P 的直线折叠∠B，使点 B 落在 AC
上，对应点为 D，折痕交 BC 于点 E，点 D 是 AC 的一个三等分点，PB 的长为 ．
【答案】1 或 5－ 13 .
【解析】解：第一步确定落点，AC 的三等分点有两个，所以有两种情况；第二步根据落点确定折痕，
方法：作 BD 的垂直平分线即为折痕所在的直线；
（1）如下图所示，
A
B C
D
P
E
由折叠性质得：∠B=∠EDP=60°，
∴∠CDE+∠ADP=120°，
∵∠A=∠C=60°，∴∠ADP+∠APD=120°，
∴∠APD=∠CDE，
∴△CED∽△ADP，
∴ CE CD DE
AD AP DP
，
设 BP=DP=x，则 AP=3－x，
∴ 2
1 3
CE DE
x x
，
∴CE= 2
3 x
，DE= 2
3
x
x
，
∵DE=BE，
∴CE+DE=CE+BE=3，
即 2
3 x
+ 2
3
x
x
=3，
解得：x= 7
5
；
（2）如下图所示，当 CD=1 时，
A
B C
D
P
E
同理可得：
∴ CE CD DE
AD AP DP
，
设 BP=DP=x，则 AP=3－x，
∴ 1
2 3
CE DE
x x
，
∴CE= 2
3 x
，DE=
3
x
x
，
∴ 2
3 x
+
3
x
x
=3，
解得：x= 7
4
；
综上所述，PB 的长为 7
5
或 7
4
.
2.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=6，E．F 分别是线段 AD，BC 上的点，连接 EF，使四边形 ABFE 为
正方形，若点 G 是 AD 上的动点，连接 FG，将矩形沿 FG 折叠使得点 C 落在正方形 ABFE 的对角线所在的直线
上，对应点为 P，则线段 AP 的长为 ．
【答案】4 或 4﹣2 2 ．
【解析】解：如图 1 所示：
由翻折的性质可知 PF=CF=4，
∵ABFE 为正方形，边长为 2，
∴AF=2 2 ．
∴PA=4﹣2 2 ．
如图 2 所示：
由翻折的性质可知 PF=FC=4．
∵ABFE 为正方形，
∴BE 为 AF 的垂直平分线．
∴AP=PF=4．
故答案为：4 或 4﹣2 2 ．
3.如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，点 E 为 AB 上一点，AE=2 3 ，点 F 在 AD 上，将△AEF 沿 EF 折
叠，当折叠后点 A 的对应点 A′恰好落在 BC 的垂直平分线上时，折痕 EF 的长为 ．
【答案】4 或 4 3 ．
【解析】解：第一步，确定落点，以 E 为圆心，AE 的长为半径画弧，与 BC 的垂直平分线的交点即为 A’，
A E
A'A'
第二步，作出折痕，求解.
(1) 如下图所示，
由折叠性质知：A′E=AE=2 3 ，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
AM= 1
2
AD=3，
过 E 作 EH⊥MN 于 H，则四边形 AEHM 是矩形，
∴MH=AE=2 3 ，
由勾股定理得：A′H= 3 ，
∴A′M= 3 ，
由 MF2+A′M2=A′F2，
得（3﹣AF）2+（ 3 ）2=AF2，
解得：AF=2，
在 Rt△AEF 中，由勾股定理得：EF=4；
（2）如下图所示，
可得：A′E=AE=2 3 ，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
过 A′作 HG∥BC 交 AB 于 G，交 CD 于 H，则四边形 AGHD 是矩形，
∴DH=AG，HG=AD=6，A′H=A′G=3，
在 Rt△A’EG 中，由勾股定理得：EG= 3 ，
∴DH=AG=AE+EG=3 3 ，
在 Rt△A’HF 中，由勾股定理得：A′F=6，
在 Rt△AEF 中，由勾股定理得：EF=4 3 ；
故答案为：4 或 4 3 ．
4.在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝12，点 E 在边 BC 上，且 BE＝2CE，将矩形沿过点 E 的直线折叠，点 C，
D 的对应点分别为 C′，D′，折痕与边 AD 交于点 F，当点 B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF 的长
为 ．
【答案】8 2 3 ，8 2 3 ．
【解析】解：由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE，
∵点 B、C′、D′在同一直线上，
∴∠BC′E＝90°，
∵BC＝12，BE＝2CE，
∴BE＝8，C′E＝CE＝4，
在 Rt△BC′E 中，∠C′BE＝30°，
①当点 C′在 B、D’之间时，过 E 作 EG⊥AD 于 G，延长 EC′交 AD 于 H，则四边形 ABEG 是矩形，
∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，
∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，
∴∠BEC′＝60°，
由折叠的性质得，∠C′EF＝′CEF，
∴∠C′EF＝∠CEF＝60°，
∵AD∥BC
∴∠HFE＝∠CEF＝60°，
∴△EFH 是等边三角形，
∴在 Rt△EFG 中，EG＝6，GF＝2 3 ，
∴AF═8+2 3 ；
②当点 D′在 B、C’之间时，过 F 作 FG⊥AD 于 G，D′F 交 BE 于 H，
同理可得：AF＝8﹣2 3 ，
故答案为：8 2 3 或8 2 3 ．
5.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，点 E 为射线 BC 上一动点，将△ABE 沿 AE 折叠，得到△AB′E．若
B′恰好落在射线 CD 上，则 BE 的长为 ．
【答案】15 或 5
3
.
【解析】解：第一步：确定落点，以 A 为圆心，AB 的长为半径画弧，交射线 CD 于 B’，
分两种情况讨论；
A B
CD
B'B'
第二步，根据落点作出折痕，求解；
（1）如下图所示，
A B
CD B'
E
由折叠知：AB′＝AB＝5，B′E＝BE，
∴CE＝3﹣BE，
∵AD＝3，
∴DB′＝4，B′C＝1，
由勾股定理知：B′E2＝CE2+B′C2，
∴BE2＝（3﹣BE）2+12，
∴BE＝ 5
3
；
（2）如下图所示，AB′＝AB＝5，
∵CD∥AB，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AE 垂直平分 BB′，
∴AB＝BF＝5，
∴CF＝4，
∵CF∥AB，
∴△CEF∽△ABE，
∴ CF CE
AB BE
，
即 4
5 3
CE
CE
，
∴CE＝12，
∴BE＝15，
故答案为： 5
3
或 15．
6.如图，在等边三角形 ABC 中，AB＝2 3 cm，点 M 为边 BC 的中点，点 N 为边 AB 上的任意一点（不与
点 A，B 重合），若点 B 关于直线 MN 的对称点 B'恰好落在等边三角形 ABC 的边上，则 BN 的长为 cm．
【答案】 3
2
或 3 .
【解析】解：∵N 不与 A 重合，
∴B 落点不会在 BC 上，
分两种情况讨论：
（1）当 B 关于直线 MN 的对称点 B'落在 AB 边上时，
此时，MN⊥AB，即∠BNM=90°，
∵△ABC 是等边三角形，AB＝2 3 ，M 是 BC 中点，
∴∠B=60°，BM= 3 ,
∴BN= 1
2
BM= 3
2
；
（2）当点 B 关于直线 MN 的对称点 B'落在边 AC 上时，
则 MN⊥BB′，可得：四边形 BMB′N 是菱形，
∴BN＝BM＝ 1
2
BC＝ 3 ，
故答案为： 3
2
或 3 ．
7.在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，点 P 在 AB 上．若将△DAP 沿 DP 折叠，使点 A 落在矩形对角线上的
A′处，则 AP 的长为 ．
【答案】 3
2
或 9
4
.
【解析】解：矩形对角线有两条，AC、BD，所以先以 D 为圆心以 AD 的长为半径作弧，与对角线 AC、BD
的交点即为 A’点；再作出 AA’的垂直平分线即为折痕；
（1）点 A 落在矩形对角线 BD 上时，
由 AB＝4，BC＝3，得：BD＝5，
根据折叠的性质，AD＝A′D＝3，AP＝A′P，∠A＝∠PA′D＝90°，
∴BA′＝2，
设 AP＝x，则 BP＝4﹣x，
由勾股定理得：BP2＝BA′2+PA′2，
（4﹣x）2＝x2+22，解得：x＝ 3
2
，
∴AP＝ 3
2
；
②点 A 落在矩形对角线 AC 上，
根据折叠的性质可知：DP⊥AC，
易证：∠ACB=∠APD，
∴tan∠ACB= tan∠APD，
∴AP＝ AD BC
AB
= 9
4
．
故答案为： 3
2
或 9
4
.
8.如图，在▱ ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，将该四边
形沿折痕EF 翻折，使点A 落在边BC 的三等分点处，则AE 的长为 ．
【答案】 3
2
或 9
4
.
【解析】解：第一步确定落点，因为 BC 的三等分点有两个，所以分两种情况讨论，
第二步，确定落点后，画出折痕 EF，求解.
(1)如下图所示
A B
CD F
E
A'
H
过点 A’作 A’H⊥AB 交 AB 的延长线于 H，
则∠A’BH=60°，
∵A’B=2，
∴BH=1，A’H= 3 ,
设 AE=A’E=x，则 BE=8－x，EH=9－x，
在 Rt△A’EH 中，由勾股定理得：
222 9 3x x ，解得：x= 14
3
，
即 AE= 14
3
;
（2）如下图所示，
A B
CD
A'
F
E H
过点 A’作 A’H⊥AB 交 AB 的延长线于 H，
则∠A’BH=60°，
∵A’B=4，
∴BH=2，A’H=2 3 ,
设 AE=A’E=x，则 BE=8－x，EH=10－x，
在 Rt△A’EH 中，由勾股定理得：
222 10 2 3x x ，解得：x=5.6，
即 AE=5.6;
综上所述，答案为： 14
3
或 5.6.
9 如图，边长为 1 的正方形 ABCD，点 P 为边 AD 上一动点（不与点 A 重合）．连接 BP，将△ABP 沿直线
BP 折叠，点 A 落在点 A′处，如果点 A′恰好落在正方形 ABCD 的对角线上，则 AP 的长为 ．
【答案】 2 1 .
【解析】解：由题意知，A’落在对角线 BD 上，连接 A'D，
则 B、A’、D 在同一直线上，
∴∠A＝∠PA'B＝∠PA'D＝90°，AP＝A'P，AB＝A'B=1，
∴BD＝ 2 ，
∴DA'＝BD﹣BA'＝BD﹣AB＝ 2 ﹣1，
由正方形性质知，∠PDA’=∠A’PD=45°，
∴AP=A’P=A’D= 2 ﹣1，
故答案为： 2 ﹣1．
10.如图，在平面直角坐标系中，将矩形 AOCD 沿直线 AE 折叠（点 E 在边 DC 上），折叠后端点 D 恰好落
在边 OC 上的点 F 处．若点 D 的坐标为（10，8），则点 E 的坐标为 ．
【答案】(10,3).
【解析】解：∵四边形 A0CD 为矩形，D（10，8），
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
由折叠性质知：AD=AF=10，DE=EF，
在 Rt△AOF 中，由勾股定理得：OF=6，
∴FC=4，
设 EC=x，则 DE=EF=8﹣x，
在 Rt△CEF 中，EF2=EC2+FC2，
即（8﹣x）2=x2+42，解得 x=3，
∴点 E 的坐标为（10，3），
故答案为：（10，3）．
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