2021年中考数学压轴题提升训练圆中证明及计算问题（附解析）

圆中证明及计算问题 【例 1】如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD、CD， 过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）求证：AB•CP＝BD•CD； （3）当 AB＝5 cm，AC＝12 cm 时，求线段 PC 的长． 【答案】见解析. 【解析】（1）证明：连接 OD． ∵∠BAD＝∠CAD， ∴弧 BD=弧 CD， ∴∠BOD＝∠COD＝90°， ∵BC∥PA， ∴∠ODP＝∠BOD＝90°， 即 OD⊥PA， ∴PD 是⊙O 的切线． （2）证明：∵BC∥PD， ∴∠PDC＝∠BCD． ∵∠BCD＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠PDC， ∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°， ∴∠ABD＝∠PCD， ∴△BAD∽△CDP， ∴ AB BD CD CP  ， ∴AB•CP＝BD•CD． （3）∵BC 是直径， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∵AB＝5，AC＝12， 由勾股定理得：BC＝13， 由（1）知，△BCD 是等腰直角三角形， ∴BD＝CD＝ 13 2 2 ， ∵AB•CP＝BD•CD． ∴PC＝ 169 10 ． 【变式 1-1】如图，△ABC 内接于⊙O，且 AB=AC，延长 BC 到点 D，使 CD=CA，连接 AD 交⊙O 于点 E． （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）填空： ①当∠ABC 的度数为 时，四边形 AOCE 是菱形； ②若 AE=6，BE=8，则 EF 的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）60； 9 2 . 【解析】（1）证明：连接 CE， ∵AB=AC，CD=CA， ∴∠ABC=∠ACB，AB=CD， ∵四边形 ABCE 是圆内接四边形， ∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°， ∴∠ECD=∠BAE， 同理，∠CED=∠ABC， ∵∠ABC=∠ACB=∠AEB， ∴∠CED=∠AEB， ∴△ABE≌△CDE； （2）①60； 连接 AO、OC， ∵四边形 ABCE 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC=180°， ∵∠ABC=60， ∴∠AEC=∠AOC=120°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=30°， ∵AB=AC， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD， ∴∠CAD=∠D=30°， ∴∠ACE=30°， ∴∠OAE=∠OCE=60°， 即四边形 AOCE 是平行四边形， ∵OA=OC， ∴四边形 AOCE 是菱形； ②由（1）得：△ABE≌△CDE， ∴BE=DE=8，AE=CE=6，∠D=∠EBC， 由∠CED=∠ABC=∠ACB， 得△ECD∽△CFB， ∴ CE CF DE BC  = 6 8 ， ∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB， ∴△AEF∽△BCF， ∴ EF CF AE BC  ， 即 6 6 8 EF  ， ∴EF= 9 2 ． 【例 2】如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 为 AB 上方的圆上一动点，过点 C 作⊙O 的切线 l，过点 A 作直线 l 的垂线 AD，交⊙O 于点 D，连接 OC，CD，BC，BD，且 BD 与 OC 交于点 E． （1）求证：△CDE≌△CBE； （2）若 AB＝4，填空： ①当弧 CD 的长度是 时，△OBE 是等腰三角形； ②当 BC＝ 时，四边形 OADC 为菱形． 【答案】（1）见解析；（2） 2  ；2． 【解析】（1）证明：延长 AD 交直线 l 于点 F， ∵AD 垂直于直线 l， ∴∠AFC＝90°， ∵直线 l 为⊙O 切线， ∴∠OCF＝90°， ∴∠AFC＝∠OCF＝90°， ∴AD∥OC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠OEB＝90°， ∴OC⊥DB， ∴DE＝BE，∠DEC＝∠BEC＝90°， ∵CE＝CE， ∴△CDE≌△CBE； （2）①如图 2，连接 OD， 由（1）知∠OEB＝90°， 当△OBE 是等腰三角形时， 则△OEB 为等腰直角三角形， ∴∠BOE＝∠OBE=45°， ∵OD＝OB，OE⊥BD， ∴∠DOC＝∠BOE＝45°， ∵AB＝4， ∴OD＝2， ∴弧 CD 的长= 45 2 180   = 2  ； ②当四边形 OADC 为菱形时， 则 AD＝DC＝OC＝AO＝2， 由（1）知，BC＝DC， ∴BC＝2. 【变式 2-1】（2019·河南南阳一模）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为 2，∠B=135°， 则弧 AC 的长为（ ） A. 2π B. π C. 2  D. 3  【分析】根据弧长公式 180 n rl  ，需先确定弧 AC 所对的圆心角∠AOC 的度数，再根据同弧所对的圆心角 是圆周角的 2 倍得到∠AOC=2∠D，根据圆内接四边形对角互补，求出∠D=180°－∠B=45°，再代入弧长公 式求解即可. 【解析】解：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠D=180°－∠B=45°， ∴弧 AC 所对圆心角的度数为：2×45°=90°， ∵⊙O 的半径为 2， ∴弧 AC 的长为： 90 2 180 180 n rl    =π， 故选 B. 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O，与斜边 AB 交于点 D，E 为 BC 边的中点，连 接 DE. （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）填空：①若∠B=30°，AC= 2 3 ，则 BD= ②当∠B= 时，以 O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）连接 OD， ∵AC 为直径， ∴∠ADC=90°，∠CDB=90°， ∵E 是 BC 的中点， ∴DE=CE=BE， ∴∠DCE=∠EDC， ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC， ∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°， 即∠ODE=90°， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）3；45°，理由如下： ①∵∠B=30°，AC= 2 3 ，∠BCA=90°， ∴BC= AC÷tan30°=6， ∴DE=3， ②由∠B=∠A=45°， OA=OD，得∠ADO=∠AOD=45°， ∴∠AOD=90°，∴∠DOC=90°， 又∠ODE=90°，∴四边形 ODEC 是矩形， ∵OD=OC， ∴四边形 ODEC 是正方形. 2.已知△ABC 内接于以 AB 为直径的⊙O，过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 D，且 DA∶AB=1∶2． （1）求∠CDB 的度数； （2）在切线 DC 上截取 CE=CD，连接 EB，判断直线 EB 与⊙O 的位置关系，并证明． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）如图，连接 OC， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD=90°． ∵DA：AB=1：2， ∴DA=OC，DO=2OC． 在 Rt△DOC 中，sin∠CDO= 1 2 ， ∴∠CDO=30°， 即∠CDB=30°． （2）直线 EB 与⊙O 相切． 证明：连接 OC， 由（1）可知∠CDO=30°， ∴∠COD=60°， ∵OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB=30°， ∴∠CBD=∠CDB， ∴CD=CB， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°， ∴∠ECB=60°， 又∵CD=CE， ∴CB=CE， ∴△CBE 为等边三角形， ∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°， ∴EB 是⊙O 的切线． 3.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 与斜边 AB 交于点 D，E 为 BC 边上一点，且 DE 是⊙O 的切线． （1）求证：BE=EC； （2）填空：①若∠B=30°，AC=2 3 则 DE= ； ②当∠B= °时，以 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）①3；②45. 【解析】解： （1）证明：如图，连接 OD， ∵∠ACB=90°，AC 为⊙O 的直径， ∴EC 为⊙O 的切线， ∵DE 为⊙O 的切线， ∴EC=ED， ∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∵OD=OA， ∴∠ADO=∠A， ∴∠BDE+∠A=90°， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴BE=EC； （2）①3；②45，理由如下： ①在 Rt△ABC 中，∠B=30°，AC=2 3 ， ∴BC=6， 由（1）知，E 是 BC 中点， ∴DE= 1 2 BC=3； ②∵ODEC 为正方形， ∴∠DEC=90°， DE=CE=BE， ∴∠B=45°， 故答案为：3；45. 4.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为半圆上一动点，过点 C 作⊙O 的切线 l 的垂线 BD，垂足为 D，BD 与⊙O 交于点 E，连接 OC，CE，AE，AE 交 OC 于点 F． （1）求证：△CDE≌△EFC； （2）若 AB=4，连接 AC． ①当 AC= 时，四边形 OBEC 为菱形； ②当 AC= 时，四边形 EDCF 为正方形． 【答案】见解析． 【解析】（1）证明：如图， ∵BD⊥CD， ∴∠CDE=90°， ∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°， ∵CD 是切线， ∴∠FCD=90°， ∴四边形 CFED 矩形， ∴CF=DE，EF=CD， ∵CE=CE， ∴△CDE≌△EFC． （2）解：①当 AC=2 时，四边形 OCEB 是菱形． 理由：连接 OE． ∵AC=OA=OC=2， ∴△ACO 是等边三角形， ∴∠CAO=∠AOC=60°， ∵∠AFO=90°， ∴∠EAB=30°， ∵∠AEB=90°， ∴∠B=60°， ∵OE=OB， ∴△OEB 是等边三角形， ∴∠EOB=60°， ∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°， ∵CO=OE， ∴△COE 是等边三角形， ∴CE=CO=OB=EB， ∴四边形 OCEB 是菱形． 故答案为 2． ②当四边形 DEFC 是正方形时， ∵CF=FE，∴∠CEF=∠FCE=45°， ∵OC⊥AE，∴弧 AC=弧 CE， ∴∠CAE=∠CEA=45°， ∴∠ACE=90°， ∴AE 是⊙O 的直径， ∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴AC=2 2 ． ∴AC=2 2 时，四边形 DEFC 是正方形． 故答案为 2 2 ． 5.如图，AB 是半圆 O 的直径，D 为半圆上的一个动点（不与点 A，B 重合），连接 AD，过点 O 作 AD 的垂 线，交半圆 O 的切线 AC 于点 C，交半圆 O 于点 E．连接 BE，DE． （1）求证：∠BED＝∠C． （2）连接 BD，OD，CD． 填空： ①当∠ACO 的度数为 时，四边形 OBDE 为菱形； ②当∠ACO 的度数为 时，四边形 AODC 为正方形． 【答案】（1）见解析；（2）30；45． 【解析】解： （1）证明：设 AD，OC 交于点 P， ∵OC⊥AD， ∴∠APC＝90°． ∴∠C+∠CAP＝90° ∵AC 是半圆 O 的切线， ∴∠CAO＝∠CAP+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠BED＝∠BAD， ∴∠BED＝∠C； （2）①30，理由如下： 连接 BD，如图： ∵AB 是半圆 O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝∠ACO＝30°， ∴∠DBA＝60°， ∵OE⊥AD， ∴弧 AE=弧 AD， ∴∠DBE＝∠ABE＝30° ∵∠DEB＝∠DAB＝30°， ∴∠DEB＝∠ABE，DE∥AB ∵∠ADB＝90°，即 BD⊥AD，OE⊥AD， ∴OE∥BD， ∴四边形 OBDE 是平行四边形 ∵OB＝OE ∴四边形 OBDE 是菱形； 故答案为 30°； ②45，理由如下： 连接 CD、OD， ∵∠BED＝∠ACO＝45°， ∴∠BOD＝2∠BED＝90°， ∴∠AOD＝90°， ∵OC⊥AD， ∴OC 垂直平分 AD， ∴∠OCD＝∠OCA＝45°， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ACO＝90°， ∴四边形 AODC 是矩形， ∵OA＝OD， ∴四边形 AODC 是正方形， 故答案为 45°． 6.如图，CD 是⊙O 的直径，且 CD＝2cm，点 P 为 CD 的延长线上一点，过点 P 作⊙O 的切线 PA、PB，切 点分别为 A、B． （1）连接 AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP 是等腰三角形； （2）填空： ①当弧 AB 的长为 cm 时，四边形 AOBD 是菱形； ②当 DP＝ cm 时，四边形 AOBP 是正方形． 【答案】（1）见解析；（2） 2 3  ； 2 1 . 【解析】解：（1）连接 AO， ∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAO＝90°， ∵∠APO＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∵OA＝OC， ∴∠C＝∠CAO＝30°， ∴∠C＝∠APO=30°， ∴△ACP 是等腰三角形； （2）①若四边形 AOBD 是菱形，则 AO＝AD， ∵AO＝OD， ∴△AOD 是等边三角形，∠AOD＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵CD=2， ∴圆 O 的半径为 1， ∴弧 AB 的长为： 2120 1 180   = 2 3  . ②若四边形 AOBP 为正方形时，则 PA＝AO＝1， 则 OP= 2 ， ∵OD=1， ∴PD= 2 －1， 所以答案为： 2 －1． 7.如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交弧 AC 于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接 CD，若 OA=AE=2 时，求出四边形 ACDE 的面积． 【答案】见解析． 【解析】证明：（1）∵F 为弦 AC（不是直径）的中点， ∴AF=CF，OD⊥AC， ∵DE 是⊙O 的切线， ∴OD⊥DE， ∴AC∥DE． （2）连接 CD， ∵AC∥DE， OA=AE=2， ∴OF=FD， ∵AF=CF，∠AFO=∠CFD， ∴△AFO≌△CFD， ∴S△AFO=S△CFD， ∴S 四边形 ACDE=S△ODE ∵OD=OA=AE=2， ∴OE=4， 由勾股定理得：DE=2 3 ， ∴S 四边形 ACDE=S△ODE = 1 2 ×OD×OE = 1 2 ×2×2 3 =2 3 ． 8.已知：如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为直径，∠CBA 的平分线交 AC 于点 F，交⊙O 于点 D，DE⊥AB 于 点 E，且交 AC 于点 P，连结 AD． （1）求证：∠DAC＝∠DBA； （2）求证：P 是线段 AF 的中点； （3）连接 CD，若 CD＝3，BD＝4，求⊙O 的半径和 DE 的长． 【答案】见解析． 【解析】（1）证明：∵BD 平分∠CBA， ∴∠CBD＝∠DBA， ∵∠DAC 与∠CBD 是弧 CD 所对的圆周角， ∴∠DAC＝∠CBD， ∴∠DAC＝∠DBA； （2）证明：∵AB 为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DE⊥AB 于 E， ∴∠DEB＝90°， ∴∠ADE+∠BDE＝∠DBE+∠BDE＝90°， ∴∠ADE＝∠DBE＝∠DAC， ∴PD＝PA， ∵∠DFA+∠DAF＝∠ADE+∠BDE＝90°， ∴∠PDF＝∠PFD， ∴PD＝PF， ∴PA＝PF，即 P 是线段 AF 的中点； （3）解：∵∠CBD＝∠DBA，CD＝3， ∴CD＝AD＝3， 由勾股定理得：AB＝5， 即⊙O 的半径为 2.5， 由 DE×AB＝AD×BD， 即：5DE＝3×4， ∴DE＝2.4． 即 DE 的长为 2.4． 9.如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD，AC 分别交于点 E，F， 且∠ACB＝∠DCE． （1）判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 tan∠ACB＝ 1 2 ，BC＝4，求⊙O 的半径． 【答案】见解析． 【解析】（1）直线 CE 与⊙O 相切， 证明：连接 OE， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴BC∥AD， ∴∠ACB＝∠DAC， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠DAC＝∠DCE， 由∠D＝90°，得：∠DCE+∠DEC＝90°， ∴∠AEO+∠DEC＝90°， ∴∠OEC＝90°，即 OE⊥EC， ∵OE 为半径， ∴直线 CE 与⊙O 相切； （2）解：在 Rt△ACB 中，AB＝tan∠ACB×BC= 1 2 ×4＝2， 由勾股定理得：AC＝2 5 ， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝ 1 2 ， 在 Rt△DCE 中，CD＝AB＝2，DE＝DC×tan∠DCE＝2× 1 2 ＝1， 由勾股定理得：CE＝ 5 ， 在 Rt△COE 中，CO2＝CE2+OE2，OE=OA， （2 5 ﹣OA）2＝OA2+（ 5 ）2， 解得：OA＝ 3 5 4 ， 即⊙O 的半径是 3 5 4 ． 10.如图，在△ABC 中，AC＝BC，AB 是⊙C 的切线，切点为点 D，直线 AC 交⊙C 于点 E、F，且 CF= 1 2 AC， （1）求证：△ABF 是直角三角形； （2）若 AC＝6，则直接回答 BF 的长是多少． 【答案】见解析. 【解析】（1）证明：连接 CD，则 CF＝CD， ∵AB 是⊙C 的切线． ∴CD⊥AB，∠ADC＝∠BDC＝90°， 在 Rt△ACD 中，CF= 1 2 AC， ∴CD＝CF= 1 2 AC，∴∠A＝30° ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠A＝30°， ∴∠ACB＝120°，∠BCD＝∠BCF＝60°， ∵BC＝BC， ∴△BCD≌△BCF， ∴∠BFC＝∠BDC＝90°， ∴△ABF 是直角三角形． （2）解：由（1）知：AC＝BC，CD⊥AB， ∴AD＝BD＝BF， 在 Rt△ACD 中，∠A＝30°，AC＝6， ∴CD＝3，∴AD= 3 CD＝3 3 ．∴BF＝3 3 .