第 8 讲 立体几何范围与最值问题
一．选择题（共 34 小题）
1．在空间中有一棱长为 a 的正四面体，其俯视图的面积的最大值为 ( )
A． 2a B．
2
2
a C．
23
4
a D．
2
4
a
【解答】解：由题意当线段 AB 相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段 AB 对称的两个
等腰三角形，
由于正四面体的棱长都是 1，故投影面积为
21
2 2
aa a ．
故选： B ．
2．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面 ABC 满足 3AB BC ， 3AC ，若该三棱
锥体积的最大值为 3 3
4
，则其外接球的半径为 ( )
A．1 B．2 C．3 D． 2
3
【解答】解：如图所示，由 3AB BC ， 3AC ，
可得 3 3 9 1cos 22 3 3
B
， (0, )B ，
120B ， 01 3 33 3 sin1202 4ABCS ．
设 ABC 的外接圆 O 的半径为 r ， 0
3 2sin120 r ， 3r ．
当 PO 平面 ABC 时，该三棱锥取得体积的最大值为 3 3
4
由 1 3 3 3 3
3 4 4P ABCV PO ．
解得 3PO ．
所以 2 2 2(3 ) ( 3)R R ，
解得 2R ．
故选： B ．
3．已知三棱锥 A BCD 的四个顶点在以 AB 为直径的球面上， BC CD ，CE BD 于 E ， 1CE ，若三棱
锥 A BCD 的体积的最大值为 4
3
，则该球的表面积为 ( )
A．12 B．14 C．16 D．18
【解答】解：三棱锥 A BCD 的四个顶点在以 AB 为直径的球面上，
如图所示：
由于： O 为球体的球心，
所以： OA OB OC OD ，
由于 BC CD ， CE BD 于 E ， 1CE ，
M 为 BD 的中点，
所以 OM 平面 BCD ，
则 AD BD ，
BC CD BD CE BD ．
故： 1 1 1
3 6 6A BCD BCDV S AD BC CD AD BD AD ，
由于
2 2 2
2 2
BD AD ABBD AD ．
所以：
21 4
6 2 3
AB ，解得 4AB ．
所以 24 ( ) 162
ABS ．
故选： C ．
4．已知球的直径 4DC ， A ， B 是该球面上的两点， 30ADC BDC ，则三棱锥 A BCD 的体积最
大值是 ( )
A．2 B． 2 3 C．4 D．3 3
【解答】解：如图，球的直径 4DC ， A ， B 是该球面上的两点， 30ADC BDC ，
2AC BC ， 2 3AD BD ， 1
3A BCD BCDV S h （其中 h 为点 A 到底面 BCD 的距离），
故当 h 最大时， A BCDV 的体积最大，
即当面 ADC 面 BDC 时， h 最大，
球的直径 4DC ， 2AC BC ， 2 3AD BD ，
1 1 2 3 4 sin302 2ADCS CD h ，
4 2 2 3h ，即 3h ，
此时 1 1 2 2 3 3 23 2A BCDV ．
故选： A ．
5．如图，正三棱锥 P ABC 的侧棱长为 a ，两侧棱 PA 、 PC 的夹角为 30 ， E 、 F 分别是 PA 、 PC 上的
动点，则 BEF 的周长的最小值是 ( )
A． 2a B． 3a C． 6a D． 5a
【解答】解：三棱锥的侧面展开图，如图，
BEF 的周长的最小值为 1BB ，
由于题 设知 1 90BPB ，正三棱锥 P ABC 的侧棱长为 a
所以 1 2BB a ，
故选： A ．
6．在正三棱锥 P ABC 中， PA ， PB ， PC 两两垂直， 2PA ，点 E 在线段 AB 上，且 2AE EB ，过点
E 作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 ( )
A． 8
9
B． 11
18
C． 5
12
D． 4
9
【解答】解：在正三棱锥 P ABC 中， PA ， PB ， PC 两两垂直， 2PA ，
构造以 PA ， PB ， PC 为棱长的正方体 PADB CFGH ，且该正方体棱长为 2 ，
以 B 为原点， BP 为 x 轴， BD 为 y 轴， BH 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则该正三棱锥外接球球心为 AH 中点 O ，半径为 6
2 2
AHR ，
点 E 在线段 AB 上，且 2AE EB ，
2( 3E ， 2
3
， 0) ， 2 2 2( , , )2 2 2O ，
2 2 22 2 2 2 2 11( ) ( ) ( 0)2 3 2 3 2 18EO ，
过点 E 作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为 E ，
当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为：
2 2 2 26 11 2 2( ) ( )2 18 3r R EO ，
过点 E 作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值为 2 22 2 8( )3 9S r ．
故选： A ．
7．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M 是 AD 的中点，动点 P 在底面 ABCD 内（不包括
边界）．若 1 / /B P 平面 1A BM ，则 1C P 的最小值是 ( )
A． 30
5 B． 2 30
5 C． 2 7
5 D． 4 7
5
【解答】解：如图，在 1 1A D 上取中点 Q ，在 BC 上取中点 N ，连接 DN ， 1NB ， 1B Q ， QD
/ /DN BM ， 1/ /DQ A M 且 DN DQ D ， 1BM A M M ，
平面 1 1/ /B QDN A BM ，则动点 P 的轨迹是 DN ，（不含 D ， N 两点）
又 1CC 平面 ABCD ，
则当 CP DN 时， 1C P 取得最小值，
2
1
2 5 2 30( ) 45 5C P
．
故选： B ．
8．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 1P ， 2P 分别是线段 AB ， 1BD （不包括端点）上的动点，且
线段 1 2PP 平行于平面 1 1A ADD ，则四面体 2 1 1P APB 的体积的最大值是 ( )
A． 1
24
B． 1
12
C． 1
6
D． 1
2
【解答】解： 1 2 / /PP 平面 1 1A ADD ， 1 2PP 平面 1ABD ，平面 1ABD 平面 1 1 1A ADD AD ，
1 2 1/ /PP AD ，
1 2
1
BP BP
AB BD
，
设 2P 到平面 1 1ABB A 的距离为 h ，则 2 1
1 1 1
BP BPh
A D BD AB
，
1h BP ，
故 0 1h ，而
1 1 1
1 1
2 2AB P
hS AP BB ，
四面体 2 1 1P APB 的体积 21 1 1 1 1( )3 2 6 2 24
hV h h ，
当 1
2h 时V 取得最大值 1
24
．
故选： A ．
9．棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 1P ， 2P 分别是线段 AB ， 1BD （不包括端点上的动点，且线段
1 2PP 平行于平面 1 1A ADD ，则四面体 1 2 1PP AB 的体积的最大值是 ( )
A． 1
24
B． 1
12
C． 1
6
D． 1
2
【解答】解：由题意在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 1P ， 2P 分别是线段 AB ， 1BD （不包括端
点）上的动点，且线段 1 2PP 平行于平面 1 1A ADD ，△ 1 2PP B∽△ 1AD B ，
设 1PB x ， (0,1)x ，则 1 2 2PP x ， 2P 到平面 1 1AA B B 的距离为 x ，
所以四面体 1 2 1PP AB 的体积为 21 1 1(1 ) 1 ( )3 2 6V x x x x ，
当 1
2x 时，体积取得最大值： 1
24
．
故选： A ．
10．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为 9，当其外接球
表面积最小时，它的高为 ( )
A．3 B． 2 2 C． 2 3 D．3 3
【解答】解：设底面边长 AB a ，棱锥的高 SM h ，
21 93S ABCDV a h 棱锥 ，
2 27a h
，
正四棱锥内接于球 O ，
O 在直线 SM 上，设球 O 半径为 R ，
（1）若 O 在线段 SM 上，如图一，则OM SM SO h R ，
（2）若 O 在在线段 SM 的延长线上，如图二，则 OM SO SM R h ，
SM 平面 ABCD ，
OMB 是直角三角形，
2 2 2OM MB OB ，
OB R ， 1 2
2 2MB BD a ，
2
2 2( ) 2
ah R R ，或
2
2 2( ) 2
aR h R
2
22 2
ahR h ，
即
2
3
2 2
27 27 27 932 4 2 4 4 4 4 64 4
h a h h hR h h h
．
当且仅当 2
27
4 4
h
h
取等号，
即 3h 时 R 取得最小值 9
4
．
故选： A ．
11．已知正四棱锥 S ABCD 中， 2 3SA ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ( )
A．1 B． 3 C．2 D．3
【解答】解：设底面边长为 a ，则高
2
2 22( ) 122 2
a ah SA ，所以体积 2 4 61 1 1123 3 2V a h a a ，
设 4 6112 2y a a ，则 3 548 3y a a ，当 y 取最值时， 3 548 3 0y a a ，解得 0a 或 4a 时，当 4a 时，
体积最大，
此时
2
12 22
ah ，
故选： C ．
12．已知在半径为 2 的球面上有 A 、 B 、 C 、 D 四点，若 2AB CD ，则四面体 ABCD 的体积的最大值
为 ( )
A． 2 3
3 B． 4 3
3 C． 2 3 D． 8 3
3
【解答】解：过 CD 作平面 PCD ，使 AB 平面 PCD ，交 AB 于 P ，设点 P 到 CD 的距离为 h ，
则有 1 1 22 23 2 3ABCDV h h 四面体 ，
当直径通过 AB 与 CD 的中点连线时， 2 22 2 1 2 3maxh ，故 4 3
3maxV ．
故选： B ．
13．如图所示，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 5cm ，该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O ． E ， F ，
G ， H 为圆 O 上的点， EAB ， FBC ， GCD ， HDA 分别是以 AB ， BC ， CD ， DA 为底边的等腰三
角形．沿虚线剪开后，分别以 AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起 EAB ， FBC ， GCD ， HDA ，使得 E ，
F ，G ，H 重合，得到四棱锥．当正方形 ABCD 的边长变化时，所得四棱锥体积（单位： 3 )cm 的最大值为
( )
A．3 3 B． 8 5
3 C．3 5 D．16 5
3
【解答】解：沿虚线剪开后，分别以 AB ， BC ， CD ， DA 为折痕折起 EAB ， FBC ， GCD ， HDA ，
使得 E ， F ， G ， H 重合，得到四棱锥 P ABCD ，
由题意得| | 2
aGM ，| | 5 2
aPM ，
2 2| | | | | | 25 5PG AM MG a ，
所得四棱锥体积（单位： 3 ):cm
2 4 51 1 125 5 25 53 3 3ABCDV S PG a a a a 正方形 ，
构造函数 h （a） 4 524 5a a ，则 h （a） 3 4100 25a a ，
当 h （a） 0 时， 0 4a ， ( )h x 在 (0,4) 内递增，在其他定义域内递减，
当 4x 时， ( )h x 取得最大值，也就是V 取得最大值，
将 4x 代入，得：
所得四棱锥体积（单位： 3 )cm 的最大值为 16 53V ．
故选： D ．
14．如图 1，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 6cm ，该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O ．点 E ，F ，G ，H
为圆 O 上的点， ABE ， BCF ， CDG ， ADH 分别是以 AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿
虚线剪开后，分别以 AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起 ABE ， BCF ， CDG ， ADH ，使得 E ，F ，G ，
H 重合得到一个四棱锥 P ABCD （如图 2) ．当四棱锥 P ABCD 的侧面积是底面积的 2 倍时，异面直线 PB
与 CD 所成角的余弦值为 ( )
A． 5
5
B． 2
2
C． 2 5
5
D． 2 3
3
【解答】解：如图，连接 OE 交 AB 于点 I ，设正方形 ABCD 的边长为 x ．
则
2
xOI ， 6 2
xIE ，
由四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，
可得 24 (6 ) 22 2
x x x ，
解得 4x ．
即 4AB ， 2BI ， 4EI ，
所以 2 5BE AE ，
所以在四棱锥 P ABCD 中， 2 5PB PA ，
因为 / /AB CD ，所以 PBA 即为异面直线 PB 与 CD 所成的角，
所以
2 2 2 20 16 20 5cos 2 52 2 5 4
PB AB PAPBA PB AB
，
即异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值为 5
5
．
故选： A ．
15．如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC ， 90ACB ， AE PB 于 E ， AF PC 于 F ，若
2PA AB ， BPC ，则当 AEF 的面积最大时， tan 的值为 ( )
A．2 B． 1
2 C． 2 D． 2
2
【解答】解：在 Rt PAB 中， 2PA AB ， 2 2PB ，
AE PB ， 1 22AE PB ， 2PE BE ．
PA 底面 ABC ，得 PA BC ， AC BC ， PA AC A
BC 平面 PAC ，可得 AF BC
AF PC ， BC PC C ， AF 平面 PBC
PB 平面 PBC ， AF PB
AE PB 且 AE AF A ， PB 面 AEF ，
结合 EF 平面 AEF ，可得 PB EF ．
Rt PEF 中， EPF ，可得 tan 2 tanEF PE ，
AF 平面 PBC ， EF 平面 PBC ． AF EF ．
Rt AEF 中， 2 2 22 2AF AE EF tan ，
2 2 21 1 1 12 tan 2 2 ( )2 2 2 4AEFS AF EF tan tan
当 2 1tan 2
，即 2tan 2
时， AEFS 有最大值为 1
2
故选： D ．
16．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 在 1A C 上运动（包括端点），则 BP 与 1AD 所成角的取值范围是 ( )
A．[ 4
， ]3
B．[ 4
， ]2
C．[ 6
， ]2
D．[ 6
， ]3
【解答】解：设 BP 与 1AD 所成角为 ．
如图所示，不妨设| | 1AB ．
则 (0B ，0， 0) ， (1C ，0， 0) ， 1 (0A ，1，1) ， 1(1C ，0，1) ，
1 1 (1AD BC ，0，1) ， (1BC ，0， 0) ， 1 ( 1CA ，1，1) ．
设 1CP CA ，则 1 (1BP BC CA ， ， ) ． 0 1 ．
1
1 2 2
1
1cos ,
| | | | 2 (1 ) 2
BC BPBC BP
BC BP
2
1 1 3[ , ]2 21 46( )3 3
，
[ , ]6 3
．
故选： D ．
17．已知 AD 与 BC 是四面体 ABCD 中相互垂直的棱，若 6AD BC ，且 60ABD ACD ，则四面体
ABCD 的体积的最大值是 ( )
A．18 2 B．36 2 C．18 D．36
【解答】解：过 C 作 CF AD ，垂足为 F ，连接 BF ，
BC AD ， CF AD ， BC CF C ，
AD 平面 BCF ，
1 23A BCD BCF BCFV S AD S ．
又 ACD ABD ， AD 平面 BCF ，
ACD ABD ， CF BF ，
取 BC 的中点 E ，则 EF BC ，
12 2 62ADES BC EF EF ，
当 EF 最大时，棱锥的体积取得最大值．
又 2 2 2 9EF CF CE CF ，故当 CF 最大时，棱锥体积最大，
60ACD ， 6AD ，当 AC CD 时， CF 取得最大值，
此时 27 3 3CF ， 3 2EF
棱锥的体积最大值为 6 18 2EF ．
故选： A ．
18．在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 为菱形， E ， F 分别是 1BB ， 1DD 的中点， G 为 AE 的中
点且 3FG ，则 EFG 的面积的最大值为 ( )
A． 3
2
B．3 C． 2 3 D． 9 3
4
【解答】解：连接 AC 交 BD 于 O ，
底面 ABCD 是菱形， AC BD ，
以 OC ， OD ， OZ 为坐标轴建立空间直角坐标系 O xyz ，
设 OC a ， OD b ，棱柱的高为 h ，
则 (A a ，0， 0) ， (0E ， b ， )2
h ， (0F ， b ， )2
h ， ( 2
aG ，
2
b ， )4
h ．
( 2
aFG ， 3
2
b ， )4
h ， (0FE ， 2b ， 0) ，
23cos , 3 2 2| | | |
FG FE b bFG FE bFG FE
，
E 到直线 FG 的距离
2
24| | sin , 2 42
bd FE FG FE b b b
，
2 2
2 2 21 3 3 3 44 (4 ) 32 2 2 2 2EFG
b bS FG d b b b b
．当且仅当 2 24b b 即 2 2b 时取等号．
故选： B ．
19．在正四棱锥 S ABCD 中，SO 平面 ABCD 于 O ， 2SO ，底面边长为 2 ，点 P ，Q 分别在线段 BD ，
SC 上移动，则 PQ 两点的最短距离为 ( )
A． 5
5 B． 2 5
5 C．2 D．1
【解答】解：如图，由于点 P 、Q 分别在线段 BD 、 SC 上移动，先让点 P 在 BD 上固定，Q 在 SC 上移动，
当OQ 最小时， PQ 最小．过 O 作 OQ SC ，在 Rt SOC 中， 2 5
5OQ ，
P 在 BD 上运动，且当 P 运动到点 O 时， PQ 最小，又等于 OQ 的长为 2 5
5
，也就是异面直线 BD 和 SC 的
公垂线段的长，
故选： B ．
20．已知二面角 l 为 60 ，动点 P ，Q 分别在面 ， 内， P 到 的距离为 3 ，Q 到 的
距离为 2 3 ，则 P ， Q 两点之间距离最小值为 ( )
A． 2 B．2 C．4 D． 2 3
【解答】解：如图
分别作 QA 于 A ， AC l 于 C ， PB 于 B ， PD l 于 D ，
连 CQ ， BD 则 60ACQ PDB ， 2 3AQ ， 3BP ，
2AC PD
又 2 2 212 2 3PQ AQ AP AP
当且仅当 0AP ，即点 A 与点 P 重合时取最小值．
故选： D ．
21．如果 / / ， AB 与 AC 是夹在平面 与 之间的两条线段， AB AC 且 2AB ，直线 AB 与平面 所
成的角为 30 ，那么线段 AC 长的取值范围是 ( )
A． 2 3( 3
， 4 3)3 B．[1， ) C． 2 3(1, )3 D． 2 3[ 3
， )
【解答】解：由题意， A 在 平面，当 A 和 C 重合时， B 、 C 在 平面上， A 、 B 、 C 构成直角三角形，
一内角为 30 ，此时 AC 最小为 2 3
3
；
当 AC 与两个面近似平行时，达到无限长．
线段 AC 长的取值范围为 2 3[ 3
， ) ．
故选： D ．
22．正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，各棱长均为 2，M 为 1AA 中点，N 为 BC 的中点，则在棱柱的表面上从点 M
到点 N 的最短距离是 ( )
A． 10 B． 11 C． 4 3 D． 4 2
【解答】解：沿着棱 AB 将棱柱的侧面展开，故小虫爬行的最短距离为 2 23 3( ) (1 ) 4 32 2
，
故选： C ．
23．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB ， 1 1BC AA ，点 M 为 1AB 的中点，点 P 为对角线 1AC 上的
动点，点 Q 为底面 ABCD 上的动点（点 P 、 Q 可以重合），则 MP PQ 的最小值为 ( )
A． 2
2
B． 3
2
C． 3
4
D．1
【解答】解：由题意，要求 MP PQ 的最小值，就是 P 到底面 ABCD 的距离的最小值与 MP 的最小值之和，
Q 是 P 在底面上的射影距离最小，展开三角形 1ACC 与三角形 1 1AB C ，在同一个平面上，如图，易知
1 1 1 30B AC C AC ， 3
2AM ，可知 MQ AC 时， MP PQ 的最小，最小值为： 3 3sin 602 4
．
故选： C ．
24．在 ABC 中， 90ACB ， 2BC ， 3AC ，点 D 在斜边 AB 上，以 CD 为棱把它折成直二面角 A CD B ，
折叠后 AB 的最小值为 ( )
A． 6 B． 7 C． 2 2 D．3
【解答】解：设 ACD ，则 90BCD ，
作 AM CD 于 M ， BN CD 于 N ，
于是 3sinAM ， 2sinCN ，
| 2sin 3cos |MN ，
A CD B 是直二面角， AM CD ， BN CD ，
AM 与 BN 成 90 角，
2 2 29 4 (2sin 3cos )AB sin cos
24 9 6 7sin
．
当 45 ，即 CD 是 ACB 的平分线时，
AB 有最小值，最小值是 7 ．
故选： B ．
25．在平面四边形 ABCD 中， 2AD AB ， 5CD CB ，且 AD AB ，现将 ABD 沿着对角线 BD 翻
折成△ A BD ，则在△ A BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中，直线 A C 与平面 BCD 所成的最大角为 (
)
A． 30 B． 45 C． 60 D． 90
【解答】解：如图，平面四边形 ABCD 中，
连结 AC ， BD ，交于点 O ，
2AD AB ，
5CD CB ，且 AD AB ，
2 2 2BD ， AC BD ，
1BO OD ，
2( 2) 1 1OA ，
2( 5) 1 2OC ．
将 ABD 沿着对角线 BD 翻折成△ A BD ，
当 A C 与以 O 为圆心， OA为半径的圆相切时，
直线 A C 与平面 BCD 所成角最大，
此时， Rt △ OA C 中， 1OA OA ， 2OC ，
30OCA ，
A C 与平面 BCD 所成的最大角为 30 ．
故选： A ．
26．已知三棱锥 ABCD 中， AB CD ，且 AB 与平面 BCD 成 60 角．当 BCD
ACD
S
S
的值取到最大值时，二面角
A CD B 的大小为 ( )
A． 30 B． 45 C． 60 D． 90
【解答】解：过 A 作 AO 平面 BCD ，连接 BO 并延长交 CD ，于 E ，连接 AE ，
则 BE 是 AB 在底面 BCD 上的射影，
则 60ABE ，
AB CD ， AO CD ，
CD 平面 ABE ，即 AE CD ，
则 AEB 是二面角 A CD B 的平面角，
则
1
2
1
2
BCD
ACD
CD BES BE
S AECD AE
，
要使 BCD
ACD
S
S
的值取到最大值，则 BE
AE
取得最大，
由正弦定理得 sin
sin 60
BE BAE
AE
，
当 sin BAE 取得最大值，即当 90BAE 时取最大值．
此时 30AEB ，
故选： A ．
27．已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在表面积为16 的球 O 的球面上， AC 为球 O 的直径，当三棱锥
P ABC 的体积最大时，设二面角 P AB C 的大小为 ，则 sin ( )
A． 2
3 B． 5
3 C． 6
3 D． 7
3
【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为 2，
AC 为球 O 的直径，当三棱锥 P ABC 的体积最大时， ABC 为等腰直角三角形， P 在面 ABC 上的射影为
圆心 O ，
过圆心 O 作 OD AB 于 D ，连结 PD ，则 PDO 为二面角 P AB C 的平面角，
在 ABC △中， 2PO ， 1 22OD BC ， 6PD ， 6sin 3
PO
PD
．
故选： C ．
28．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB ， P 是底面正方形 ABCD 内一点，M 是 1CC 中点若 1PA ， PM
与底面所成角相等，则 1tan A PA 最大值为 ( )
A． 2 B． 3 C． 3 2
4
D． 3 3
4
【解答】解：连接 PA ， PC ，则 1A PA ， MPC 分别为 1A P 和 MP 与平面 ABCD 所成的角，
1A P 和 MP 与平面 ABCD 所成的角相等，
1A PA MPC ，
1tan tanA PA MPC ，
1AA MC
PA PC
；
又 M 为 1CC 的中点，
2PA PC ，
以 A 为坐标原点， AB ， AD 分别为 x ， y 轴，建立平面直角坐标系，
设正方体的棱长为 1，则 (1,1)C ，
设 ( , )P x y ，则 2 2 2 24[( 1) ( 1) ]x y x y ，
即 2 24 4 8( ) ( )3 3 9x y ，
则 P 的轨迹为圆 2 24 4 8( ) ( )3 3 9x y 被正方形 ABCD 所截的一段圆弧，
则当 P 位于圆弧与 AC 的交点位置时， PA 最小为 2 24 4 2 2 2 2( ) ( )3 3 3 3
．
此时 1tan A PA 有最大值为 1 3 2
42 2
3
．
故选： C ．
29．已知 ABC 的顶点 A平面 ，点 B ，C 在平面 同侧，且 2AB ， 3AC ，若 AB ， AC 与 所成
角分别为
3
，
6
，则线段 BC 长度的取值范围为 ( )
A．[2 3 ，1] B．[1， 7] C．[ 7 ， 7 2 3] D．[1， 7 2 3]
【解答】解：分别过 B ， C 作底面的垂线，垂足分别为 1B ， 1C ．
由已知可得， 1 3BB ， 1
3
2CC ， 1 1AB ， 1
3
2AC ．
如图，当 AB ， AC 所在平面与 垂直，且 B ， C 在底面上的射影 1B ， 1C 在 A 点同侧时 BC 长度最小，
当 AB ， AC 所在平面与 垂直，且 B ， C 在底面上的射影 1B ， 1C 在 A 点两侧时 BC 长度最大．
过 C 作 1CD BB ，垂足为 D ，则 3
2BD ，
1 1B C 的最小值为 1
2
，最大值为 5
2
，
BC 的最小值为 2 21 3( ) ( ) 12 2
，最大值为 2 25 3( ) ( ) 72 2
．
线段 BC 长度的取值范围为[1, 7] ，
故选： B ．
30．如图，空间直角坐标系 Oxyz 中，正三角形 ABC 的顶点 A ，B 分别在 xOy 平面和 z 轴上移动．若 2AB ，
则点 C 到原点 O 的最远距离为 ( )
A． 3 1 B．2 C． 3 1 D．3
【解答】解：连结 OA ，取 AB 的中点 E ，连结 OE 、 CE ，根据题意可得
Rt AOB 中，斜边 2AB ， 1 12OE AB ，
又正 ABC 的边长为 2，
3 32CE AB ，
对图形加以观察，当 A ， B 分别在 xOy 平面和 z 轴上移动时，
可得当 O 、 E 、 C 三点共线时， C 到原点 O 的距离最远，且这最远距离等于 3 1
故选： C ．
31．棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 在空间直角坐标系中移动，但保持点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴上移
动，则点 1C 到原点 O 的最远距离为 ( )
A． 2 2 B． 2 3 C．5 D．4
【解答】解：由题意可知， 1C 与 AB 和 O 在同一个平面时， 1C 到 O 的距离比较大，如图：设 BAO ，
则 1C 坐标为 (2 2 sin ,2sin 2 2 cos ) ，
2 2
1| | (2 2 sin ) (2sin 2 2 cos )OC
10 2cos2 4 2 sin 2
10 6sin(2 ) ，其中 2tan 4
，
显然 1| | 16 4OC ，
故选： D ．
32．如图在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 E 为 BC 的中点，点 P 在线段 1D E 上，点 P 到直线 1CC 的
距离的最小值为 ( )
A． 5 B． 2 5
5 C． 5
2 D． 5
5
【解答】解：如图所示，取 1 1B C 的中点 F ，连接 EF ， 1ED ，
1/ /EF CC ， 1CC 底面 ABCD ，四边形 1EFC C 是矩形．
1 / /CC EF ，
又 EF 平面 1D EF ， 1CC 平面 1D EF ， 1 / /CC 平面 1D EF ．
直线 1C C 上任一点到平面 1D EF 的距离是两条异面直线 1D E 与 1CC 的距离．
过点 1C 作 1 1C M D F ，
平面 1D EF 平面 1 1 1 1A B C D ．
1C M 平面 1D EF ．
过点 M 作 / /MP EF 交 1D E 于点 P ，则 1/ /MP C C ．
取 1C N MP ，连接 PN ，则四边形 1MPNC 是矩形．
可得 NP 平面 1D EF ，
在 Rt △ 1 1D C F 中， 1 1 1 1 1C M D F D C C F ，得 1 2 2
2 1 2 5
52 1
C M
．
点 P 到直线 1CC 的距离的最小值为 2 5
5
．
故选： B ．
33．若点 A ， B ， C 是半径为 2 的球面上三点，且 2AB ，则球心到平面 ABC 的距离最大值为 ( )
A． 2
2
B． 3
2
C． 2 D． 3
【解答】解：因为当截面是以 AB 为直径的圆时，
球心到过 A 、 B 两点的平面的距离最大．
设截面圆的圆心为 1O ，球心为 O ，
则△ 1OO A 是以 1 90OO A 的直角三角形，
且 1 1AO ， 2AO ，球心到截面的距离 1 4 1 3OO ．
所以：截面圆半径为 1，球心到截面的距离为： 3 ．
故选： D ．
34．二面角 l 的平面角为120 ，在面 内，AB l 于 B ， 2AB 在平面 内，CD l 于 D ， 3CD ，
1BD ， M 是棱 l 上的一个动点，则 AM CM 的最小值为 ( )
A．6 B． 32 C． 26 D．5
【解答】解：将二面角 l 平摊开来，即为图形
当 A 、 M 、 C 在一条直线时 AM CM 的最小值，最小值即为对角线 AC
而 5AE ， 1EC
故 26AC ．
故选： C ．
二．多选题（共 1 小题）
35．已知三棱锥 A BCD 中， BC CD ， 2AB AD ， 1BC ， 3CD ，则 ( )
A．三棱锥的外接球的体积为 4
3
B．三棱锥的外接球的体积为 8
3
C．三棱锥的体积的最大值为 3
6
D．三棱锥的体积的最大值为 3
【解答】解：如图， BC CD ， 1BC ， 3CD ，
2BD ，
2AB AD ，
AB AD ，
BD 的中点 O 为外接球球心，
故半径为 1，
体积为 4
3
，
当面 ABD 与面 CBD 相互垂直时，点 A 到面 BCD 的距离最大，
故此时三棱锥的体积最大，此时高为 1 12AO BD ；
其最大值为： 1 1 1 31 1 33 2 6 6BC CD ．
故选： AC ．
三．填空题（共 14 小题）
36．已知三棱锥 A BCD 满足 3AB BD DC CA ，则该三棱锥体积的最大值为 2 3 ．
【解答】解：如图， 3AB BD DC CA ，
取 AD 中点 O ，连接 OB ， OC ，可得 AD OB ， AD OC ，
AD 平面 BOC ，设 (0 6)OD x x ，
29OB OC x ，
当平面 ABD 平面 ACD 时，三棱锥体积最大，
此时 2 31 1 1(9 ) 2 33 2 3A BCDV x x x x ，
2 3V x ，
当 (0, 3)x 时， 0V ，当 ( 3,6)x 时， 0V ，
( 3) 2 3maxV V ．
故答案为： 2 3 ．
37．设 A ， B ， C ， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三
棱锥 D ABC 体积的最大值为 18 3 ．
【解答】解：设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ，
21 sin 60 9 32 AB ，解得 6AB ，
球心为 O ，三角形 ABC 的外心为 O ，显然 D 在O O 的延长线与球的交点如图：
2 3 6 2 33 2O C ， 2 24 (2 3) 2OO ，
则三棱锥 D ABC 高的最大值为：6，
则三棱锥 D ABC 体积的最大值为： 31 3 6 18 33 4
．
故答案为：18 3 ．
38．点 P 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的侧面 1 1BCC B 及其边界上运动，并保持 1AP BD ，若正方体边长为 2，
则| |PB 的取值范围是 [ 2 ， 2] ．
【解答】解：点 P 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的侧
面 1 1BCC B 及其边界上运动，并保持 1AP BD ，可
知：平面 1ACB 与直线 1BD 垂直，所以 P 在线段
1B C 上，正方体的棱长为 2，所以 BP 的最小值为
2 ，最大值为 2．
则| |PB 的取值范围是[ 2 ， 2]．
故答案为：[ 2 ， 2]．
39．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M 是 AD 中点，动点 P 在底面 ABCD 内（不包括边
界），使四面体 1A BMP 体积为 2
3
，则 1C P 的最小值是 2 30
5
．
【解答】解：由题意，
1 1
1 1 223 3 3A BMP BMP BMPV S AA S ，
故 1BMPS ．
将底面 ABCD 建立一个如下图所示的平面直角坐标系：
1AM ， 2AB ，
在 Rt ABM 中， 2 2 1 4 5BM AM AB ．
根据题意，动点 P 为底面 ABCD 内任意一点，设 PQ BM ，交 BM 于点 Q ，则
1 1 5 12 2BMPS BM PQ PQ ．
解得 2
5
PQ ．
动点 P 的轨迹为与直线 BM 距离为 2
5
的一条平行线．
又 (2,0)B ， (0,1)M ， (2,2)C ，
直线 : 12BM
xl y ，即 2 2 0x y ．
点 C 到直线 BMl 距离 | 2 2 2 2 | 4
1 4 5
d
．
点 C 到到点 P 的最小距离 4 2 2
5 5 5
CP ．
点 1C 到到点 P 的最小值为 2 2
1 1
4 2 3045 5C P CP CC ．
故答案为： 2 30
5
．
40．棱长为 1 的正方体 ABCD EFGH 如图所示， M ， N 分别为直线 AF ， BG 上的动点，则线段 MN 长
度的最小值为 3
3
．
【解答】解：棱长为 1 的正方体 ABCD EFGH 如图所示， M ， N 分别为直线 AF ， BG 上的动点，
线段 MN 长度的最小值是异面直线 AF 与 BG 间的距离，
以 H 为原点， HE 为 x 轴， HG 为 y 轴， HD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
(1A ，0，1) ， (1F ，1， 0) ， (1B ，1，1) ， (0G ，1， 0) ，
(0AF ，1， 1) ， (0AB ，1， 0) ，
线段 MN 长度的最小值：
2| | sin , | | 1 [cos , ]d AB AB AF AB AB AF
211 1 ( )
1 2
2
2
．
故答案为： 2
2
．
41．如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 是线段 1BD 上的动点．当 PAC 在平面 1DC ， 1BC ，
AC 上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为 1S ， 2S ， 3S ．
( )i 当 3
3BP 时， 1S 2S （填“ ”或“ ”或“ ” )；
1 2 3( )ii S S S 的最大值为 ．
【解答】解： ( )i 设 P 在平面 1DC 和平面 1BC 上的投影分别为 1P ， 2P ，
则 1P 、 2P 到平面 ABCD 的距离相等，即 1 2h h ，
1 1
1
2S CD h ， 2 2
1
2S BC h ，
1 2S S ．
( )ii 设 P 在底面的投影为 M ，则 M 在 BD 上，
设
1
(0 1BP
BD
且 1)2
，
则
1
PM BM
DD BD
，
PM ， 2BM ，
1 2
1 12 2S S ， 3
1 2 12 | 2 | | |2 2 2S ，
1 2 3
1| |2S S S ，
当 1 时， 1 2 3S S S 取得最大值 3
2
．
故答案为： ( )i ， 3( ) 2ii ．
42．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M 是棱 AD 的中点，点 P 是线段 1CD 上的动点，点 Q 是线
段CM 上的动点，设直线 PQ 与平面 ABCD 所成的角为 ，则 tan 的最大值为 5 ．
【解答】解：如图，不妨取 1D 为 P ，直线 PQ 在平面 1D MC 中，直线 PQ 与平面 ABCD 所成的角的最大值就
是二面角 1D MC D 的大小，过 D 作 DQ MC ，连结 1D Q ， 1D QD 就是所求角 ．
正方体的棱长为 1， 1
2MD ， 2 2 5
2MC MD DC ．
11 52
55
2
MD CDDQ MC
．
1tan 5DD
DQ
．
故答案为： 5 ．
43．如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 5cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O ．D ， E ，F 为圆
O 上的点， DBC ， ECA ， FAB 分别是以 BC ， CA ， AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别
以 BC ， CA ， AB 为折痕折起 DBC ， ECA ， FAB ，使得 D ， E ， F 重合，得到三棱锥．当所得三棱
锥体积（单位： 3 )cm 最大时， ABC 的边长为 4 3 ( )cm ．
【解答】解：由题意，连接 OD ，交 BC 于点 G ，由题意得 OD BC ， 3
6OG BC ，
设 OG x ，则 2 3BC x ， 5DG x ，
三棱锥的高 2 2 2 225 10 25 10h DG OG x x x x ，
2 21 3 (2 3 ) 3 32 2ABCS x x ，
则 2 4 51 1 3 3 25 10 3 25 103 3ABCV S h x x x x ，
令 4 5( ) 25 10f x x x ， 5(0, )2x ， 3 4( ) 100 50f x x x ，
令 ( ) 0f x
，即 4 32 0x x ，解得 2x ，
则 ( )f x f （2） 80 ，
33 80 4 15V cm ，体积最大值为 34 15cm ．
此时 ABC 的边长为 2 3 2 4 3BC cm ．
故答案为： 4 3 ．
44．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为线段 1B C 的中点， F 是棱 1 1C D 上的动点，若点 P 为线
段 1BD 上的动点，则 PE PF 的最小值为 5 2
6
．
【解答】解：连接 1BC ，则 1 1BC B C E ，点 P 、 E 、 F 在平面 1 1BC D 中，
且 1 1 1BC C D ， 1 1 1C D ， 1 2BC ，
如图 1 所示；
在 Rt △ 1 1BC D 中，以 1 1C D 为 x 轴， 1C B 为 y 轴，建立平面直角坐标系，
如图 2 所示；
则 1(1,0)D ， (0, 2)B ， 2(0, )2E ；
设点 E 关于直线 1BD 的对称点为 E，
1BD 的方程为 1
2
yx ①，
1 2
22EEk ，
直线 EE 的方程为 2 2
2 2y x ②，
由①②组成方程组，解得 1
3x ， 2 2
3y ，
直线 EE 与 1BD 的交点 1(3M ， 2 2)3
；
所以对称点 2(3E ， 5 2 )6
，
5 2
6PE PF PE PF E F
故答案为： 5 2
6
．
45．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， M 为棱 1AA 的中点，且 9 2MC ，点 P 为底面 1 1 1 1A B C D 所在平面上一
点，若直线 PM ，PC 与底面 1 1 1 1A B C D 所成的角相等，则动点 P 的轨迹所围成的几何图形的面积为 64 ．
【解答】解：如图，
设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 a ，连接 AC ，
则 2 2 29 9 24MC AC AM a ，解得 6 2a ．
连接 1PA ， 1PC ，可得 1MPA ， 1CPC 为直线 PA ， PC 与底面 1 1 1 1A B C D 所成的角，
由 1 1MPA CPC ，可得 1 1
1 1
A M CC
PA PC
， 1 1
1
2PA PC ．
如图建立空间直角坐标系，在平面直角坐标系 1x B y 中，
1(6 2A ， 0) ， 1(0,6 2)C ，设 ( , )P x y ，
则 2 2 2 21( 6) ( 6 2)2x y x y ，
化简得： 2 2( 8 2) ( 2 2) 64x y ，故点 P 的关键为圆，半径 8r ．
故所求面积为 64 ．
故答案为： 64 ．
46．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 1D E 上，点 Q 在线段 1CC
上，则线段 PQ 长的最小值为 2 5
5
．
【解答】解：如图所示，取 1 1B C 的中点 F ，连接 EF ， 1ED ，
1/ /EF CC ， 1CC 底面 ABCD ，四边形 1EFC C 是矩形．
1 / /CC EF ，
又 EF 平面 1D EF ， 1CC 平面 1D EF ， 1 / /CC 平面 1D EF ．
直线 1C C 上任一点到平面 1D EF 的距离是两条异面直线 1D E 与 1CC 的距离．
过点 1C 作 1 1C M D F ，
平面 1D EF 平面 1 1 1 1A B C D ．
1C M 平面 1D EF ．
过点 M 作 / /MP EF 交 1D E 于点 P ，则 1/ /MP C C ．
取 1C Q MP ，连接 PQ ，则四边形 1MPQC 是矩形．
可得 QP 平面 1D EF ，
在 Rt △ 1 1D C F 中， 1 1 1 1 1C M D F D C C F ，得 1 2 2
2 1 2 5
52 1
C M
．
点 P 到直线 1CC 的距离的最小值为 2 5
5
．
故答案为： 2 5
5
．
47．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 a ，点 E 为 1AA 的中点，在对角面 1 1BB D D 上取一点 M ，使
AM ME 最小，其最小值为 3
2 a ．
【解答】解：取 1CC 的中点 F ，则 ME MF ，
2 21 3( 2 ) ( )2 2AM ME AM MF AF a a a
故答案为： 3
2 a
48．已知正四面体 ABCD 的棱长为 1， M 为 AC 的中点， P 在线段 DM 上，则 2( )AP BP 的最小值为
61 3
．
【解答】解：由于各棱长均为 1 的四面体是正四面体
把平面 BMD 及平面 AMD 以 DM 为折线展平，三角形 DAM 是正三角形的一半
3
2DM ， 1
2AM ， 1AD ， 3
2BM ， 1BD
故在平面 BMAD 中，连接 BA ，与 MD 相交于 P 点，则 AP BP 为最短距离，
在三角形 BMD 中，根据余弦定理，
3 3 1 14 4cos 33 32 2 2
BMD
， 2 2sin 3BMD ，
2 2cos cos(90 ) sin 3DMB BMC BMC ，
2 2 2 3 1 3 1 2 2 62 cos 2 ( ) 14 4 2 2 3 3BA BM AM BM AM AMB ．
故答案为： 61 3
．
49．在棱长均为 1 的正四面体 ABCD 中， M 为 AC 的中点， P 为 DM 上的动点，则 PA PB 的最小值为
61 3
．
【解答】解：如图，
记 BDM ，在 BDM 中， 1BD ， 3
2BM DM ，
可得 3cos 3
， 6sin 3
．
将 BDM 绕 DM 旋转，使 BDM 在平面 ACD 内，此时 B 在 B 处．
连接 AB ， B P ，则所求最小值即为 AB 的长．
30ADB ，
2 2 2 2 cosAB AD DB AD DB ADB
2 21 1 2cos( 30 ) 2 2(cos cos30 sin sin30 )
61 3
．
PA PB 的最小值为 61 3
．
故答案为： 61 3
．
四．解答题（共 1 小题）
50．如图所示，正三棱锥 A BCD 的底面边长为 a ，侧棱长为 2a ，点 E ， F 分别为 AC 、 AD 上的动点，
求截面 BEF 周长的最小值和这时点 E ， F 的位置
【解答】解：把正三棱锥 A BCD 的侧面展开，
两点间的连接线 BB 即是截面周长的最小值．
/ /BB CD ，
ADB ∽△ B FD ，
DF DB
DB AD
，
其中 2AD a ， DB ’ a ．
1
2DF a
又 AEF ACD ∽ ，
/ /EF CD AF AD ，其中 CD a ， 2AD a ， 1 32 2 2AF a a a ，
3
4EF a ，
截面周长最小值是 BB ’ 3 112 4 4a a a ， E 、 F 两点分别满足 3
2AE AF a ．
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