专题17 圆锥曲线中的中点弦问题-2021年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）(解析版)

专题 17 圆锥曲线中的中点弦问题 一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左焦点为 F，过点 F 的直线 3 0x y   与椭圆 C 相交于不同 的两点 A B、 ，若 P 为线段 AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为 1 2  ，则椭圆 C 的方程为（ ） A． 2 2 13 2 x y  B． 2 2 14 3 x y  C． 2 2 15 2 x y  D． 2 2 16 3 x y  【解析】设 ( ,0)F c ，因为直线 3 0x y   过 ( ,0)F c ，所以 0 3 0c    ，得 3c  ， 所以 2 2 2 3a b c   ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 由 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b       ，得 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x y y a b    ，得 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y x xb x x a y y      ， 因为 P 为线段 AB 的中点，O 为坐标原点， 所以 1 2 1 2( , )2 2 x x y yP   ， 1 2 1 2 1 2 1 2 0 12 202 OP y y y yk x x x x        ， 所以 2 2 1 2 2 2 1 2 2( 2)AB y y b bk x x a a       ， 又 ,A B 在直线 3 0x y   上，所以 1ABk  ， 所以 2 2 2 1b a  ，即 2 22a b ，将其代入 2 2 3a b  ，得 2 3b  ， 2 6a  ， 所以椭圆 C 的方程为 2 2 16 3 x y  .故选：D 2．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的右焦点为 F ，虚轴的上端点为 B ，点 P ，Q 在双曲线上，且 点  2,1M  为线段 PQ 的中点， //PQ BF ，双曲线的离心率为 e，则 2e （ ） A． 2 1 2  B． 3 1 2  C． 2 2 2  D． 5 1 2  【解析】解法一：由题意知  ,0F c ，  0,B b ，则 PQ BF bk k c    . 设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，则 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 1, x y a b x y a b       两式相减，得     2 1 21 2 2 1 2 1 2 b x xy y x x a y y    . 因为线段 PQ 的中点为  2,1M  ，所以 1 2 4x x   ， 1 2 2y y  ， 又 1 2 1 2 PQ y y bk x x c    ，所以 2 2 4 2 b b c a   ，整理得 2 2a bc ， 所以  4 2 2 2 2 24 4a b c c c a   ，即 4 24 4 1 0e e   ，得 2 2 1 2e  .故选：A. 解法二：由题意知  ,0F c ，  0,B b ，则 BF bk c   . 设直线 PQ 的方程为  1 2y k x   ，即 2 1y kx k   ， 代人双曲线方程，得     22 2 2 2 2 2 2 22 2 1 2 1 0b a k x a k k a k a b       . 设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，则 1 2 4x x   ，所以  2 2 2 2 2 2 1 4a k k b a k    ， 又 BF bk k c    ，所以 2 2 22 2 1 4 4b b ba b ac c c                            ， 整理得 2 2a bc ，所以 2 2 2 0c b bc   ，即 2 2 1 0c c b b       ，得 2 1c b   ， 则     2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 22 1 11 c c c be a c b c b                 ，故选：A. 3．已知双曲线 2 2 12 yx   上存在两点 M，N 关于直线 y x b   对称，且 MN 的中点在抛物线 2 3y x 上， 则实数 b 的值为（ ） A．0 或 9 4 B．0 C． 9 4 D． 8 【解析】设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， MN 的中点  0 0,P x y ， 因为 2 2 1 1 2 2 2 2 12 12 yx yx       ，所以 2 1 2 1 2 1 2 1 2y y y y x x x x     ；又因为 1 2 0 2 1 0 2 2 x x x y y y      ， 所以 0 0 2MN yk x   ；又因为 M，N 关于直线 y x b   对称，所以 1MNk  ，即 0 02y x ； 又因为点  0 0,P x y 在直线 y x b   上，所以 0 0y x b   ； 由 0 0 0 0 2y x y x b      ，可得 2,3 3 b bP     ，所以 22 33 3 b b      ，即 0b  或 9 4b  ，故选：A. 4．过点 ( ,1)( 1)P a a  作直线与双曲线 2 2 1x y  交于 A，B 两点，使点 P 为 AB 中点，则 a 的取值范围是 （ ） A． (1, 2] B． (1, 2) C．[ 2, ) D． ( 2, ) 【解析】设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 2 2 1 1 1x y  ①， 2 2 2 2 1x y  ②， ①  ②得： 2 2 2 2 1 2 1 2 yx x y ，即     1 2 1 2 1 2 1 2x x x x y y y y     ， 因为 ( ,1)P a 是 AB 中点，所以 1 2 2x x a  ， 1 2 2y y  ， 所以 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2AB y y x x ak ax x y y       ， 设直线 AB 的方程为：  1y a x a   ，即 21y ax a   ，代入抛物线方程得：   22 21 1x ax a      ，展开整理得：      22 2 2 21 2 1 1 1 0a x a a x a       ， 因为直线与抛物线有两个交点， 所以      2 22 2 2 24 1 4 1 1 1 0a a a a            ，因为 1a  ，所以 21 0a  ， 所以    22 2 21 1 1 0a a a        ，展开整理得： 2 2 0a   ，解得： 2a  所以 a 的取值范围是 ( 2, ) ，故选：D 5．已知斜率为 3 的直线 l 与抛物线 C ： 2 6y x 交于 A ， B 两点，当弦 AB 的中点到焦点的距离最小时， 直线 l 的方程为（ ） A． 3 3y x  B． 73 2y x  C． 3y x D． 3 6y x  【解析】设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，所以 2 1 16y x ， 2 2 26y x ， 两式相减可得：     2 2 1 2 1 1 1 2 1 26y y y y y y x x      ，则  1 2 1 2 1 2 6y y y yx x    ， 因为 1 2 1 2 3AB y yk x x   ，所以 1 2 2y y  ， 所以弦 AB 的中点的纵坐标为 1，可设中点坐标为  0 ,1x ， 所以中点到焦点的距离   2 2 2 0 0 3 30 1 12 2d x x                当 0 3 2x  时， min 1d  ，则中点坐标为 3 ,12      ，所以直线l 的方程为 31 3 2y x      ， 即为 73 2y x  ．经检验符合题意．故选：B. 6．已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的右焦点和上顶点分别为点   ,0F c b c 和点 A ，直线 :6 5 28 0l x y   交椭圆于 ,P Q 两点，若 F 恰好为 APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A． 2 2 B． 3 3 C． 5 5 D． 2 5 5 【解析】由题设        1 1 2 2,0 , 0, , , ,,F c A b P x y Q x y ，则线段 PQ 的中点为  0 0,B x y ， 由三角形重心的性质知 2AF FB  ，即  0 0, 2 ,( )c b x c y   ，解得： 0 0 3 ,2 2 c bx y   即 3 ,2 2 c bB    代入直线 :6 5 28 0l x y   ，得 59 28 02 bc    ①. 又 B 为线段 PQ 的中点，则 1 2 1 23 ,x x c y y b     ， 又 ,P Q 为椭圆上两点， 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 21, 1x y x y a b a b      ， 以上两式相减得      1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0x x x x y y y y a b      ， 所以 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 6 5PQ y y x xb b ck x x a y y a b            ，化简得 22 5a bc ② 由①②及 2 2 2a b c  ，解得： 2 5 4 2 a b c       ，即离心率 5 5e  . 故选：C. 7．已知双曲线 1C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     ，若存在斜率为 1 的直线与 1C 的左､右两支分别交于点 P ，Q ， 且线段 PQ 的中点在圆 2C ：  22 42 5x y   上，则 1C 的离心率的最小值为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 5 【解析】设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，则 2 2 1 1 2 2 1x y a b   ①， 2 2 2 2 2 2 1x y a b   ② 1  ②得 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0x x y y a b    ，化简得 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y y y b x x x x a     ， 因为直线斜率为 1，所以 2 1 2 2 1 2 y y b x x a   ，设 0 0( , )M x y 为 ,P Q 中点， 则 2 0 2 0 y b x a  ③，其中 1 2 0 2 x xx  ， 1 2 0 2 y yy  ， 因为 M 在圆上，则  22 0 0 42 5x y   ④ ③代入④可得 2 4 4 0 0 4 4 16( ) 4 05a y bb y b   ， 方程有解可得 8 4 41616 4( ) 54 0b a b b      ，即 44 45 4 4b a b  ， 解得 2 2 2 2c a a   ,即 2 2 3c a  ，所以 3e  ，故选：B 8．过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 的直线 l（不平行于 y 轴）交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的中垂 线交 x 轴于点 M，若 AB 4 ，则线段 FM 的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，由抛物线性质可知 1 2 4AB x x p    . 2 2 1 1 2 22 , 2y px y px  ， 2 2 1 2 1 22 2y y px px    ，由题可知 1 2x x . 1 2 1 2 1 2 ( )( ) 2y y y y px x    ，即 1 2 2 AB pk y y   ， 设线段 AB 的中垂线的斜率为 0k ，则 1 2 0 1 2AB y yk k p     . 所以 AB 的中垂线方程为： 1 2 1 2 1 2( )2 2 2 y y y y x xy xp       ， 令 0y  ，则 M 的横坐标 1 2 2M x xx p   ， 则 1 2 1 2 4 22 2 2 2 2M x x x x pp pFM x p           ， 所以线段 FM 的长度为 2.故选：B. 9．已知圆    2 2 5: 2 1 2C x y    与椭圆 2 2 2: 4 4x y b   相交于 ,A B 两点，若 AB 是圆C 的直径，则 椭圆  的方程为（ ） A． 2 2 112 3 x y  B． 2 2 14 3 x y  C． 2 2 18 2 x y  D． 2 2 14 x y  【解析】依题意，点 ,A B 关于圆心  2,1M  对称，且 10AB  . 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 2 2 2 1 14 4x y b  ， 2 2 2 2 24 4x y b  ， 两式相减并结合 1 2 4x x   ， 1 2 2y y  得    1 2 1 24 8 0x x y y     . 易知， AB 不与 x 轴垂直，则 1 2x x ，所以 AB 的斜率 1 2 1 2 1 2AB y yk x x   ， 因此 AB 直线方程为  1 2 12y x   ， 代入椭圆方程得： 2 24 8 2 0x x b    ，所以 1 2 4x x   ， 2 1 2 8 2x x b  . 于是     2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 51 4 10 22 2AB x x x x x x b           . 由 10AB  ，得  210 2 10b   ，解得 2 3b  . 所以椭圆的方程为 2 2 112 3 x y  ，故选：A. 10．已知抛物线 2:E y x ，直线 2y kx  交抛物线 E 于 ,A B 两点， M 是 AB 的中点，过 M 作 y 轴的 垂线交抛物线 E 于点 N ，且 0NA NB   ，若 1k  ，则 k 为（ ） A． 2 B． 3 2 C． 3 D．2 【解析】设      2 2 1 1 2 2 0 0, , , , ,A y y B y y M x y ，则  2 0 0,N y y ，    2 2 2 2 1 0 1 0 2 0 2 0, ,NA y y y y NB y y y y       ，由 0NA NB   ，      2 2 2 2 1 0 2 0 1 0 2 0 0y y y y y y y y       ，   1 0 2 0 1 0y y y y     ，   2 1 2 0 1 2 0 1 0y y y y y y       ，①，即 2 1 2 03 1 0y y y    ， 由 2 2 y x y kx      得 2 2 0ky y   ， 当 1 8 0k    ，即 1 8k   时， 1 2 1 2 1 2,y y y yk k      ， 代入①得： 2 2 3 1 04k k     ，即 24 8 3 0k k   ，解得 3 2k = 或 1 2k  （舍去），故选：B 11．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 6)6 y xC bb    上存在两点 ,M N 关于直线 2 3 1 0x y   对称，且线段 MN 中点的 纵坐标为 2 3  ，则 2b 的值是（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【解析】设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，点 ,M N 关于直线 2 3 1 0x y   对称， 1 2 1 2 3 2 y y x x    且线段 MN 中点在直线 2 3 1 0x y   上，纵坐标为 2 3  ，所以横坐标为 1 2  ， 1 2 1 2 41, 3x x y y      ，    1 1 2 2, , ,M x y N x y 在椭圆上： 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 16 16 y x b y x b       ， 2( 6)b  ，两式相减得： 2 2 2 2 1 2 1 2 2 06 y y x x b    ，      1 2 1 2 1 2 1 2 2 06 y y y y x x x x b      ，         1 2 1 2 2 1 2 1 2 06 y y x x x x b y y    ， 2 1 1 044 3b         ，解得： 2 3b  .故选：B 12．已知抛物线 C1： 2 16 15y x 和圆 C2：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆 C2 上一点 P 作圆的切线 MN 交抛物线 C，于 M，N 两点，若点 P 为 MN 的中点，则切线 MN 的斜率 k>1 时的直线方程为（ ） A．4x-3y-22=0 B．4x-3y-16=0 C．2x-y-11+5=0 D．4x-3y-26=0 【解析】画出曲线图像如下图： 由题意知，切线 MN 的斜率 k 存在且不为 0，设点 0 0( , )P x y ， 设直线 MN 的方程为： ( 0)x my n m   ，其中 1 1k m   ，则 0 1m  ， 联立 2 16 15 x my n y x    ，可得 2 16 16 015 15y my n   ， 则有， 1 2 16 15y y m  ， 2 1 2 1 2 16( ) 2 215x x m y y n m n      ， 根据中点坐标公式可得， 2 0 8 15x m n  ， 0 8 15y m ， 又直线 MN 与圆 C2 相切，则有 2 6 1 1 m n m     ，即 2 2(6 ) 1m n m    ①， 依题意，直线 C2P 与直线 MN 垂直，则 2 8 1 115 18 615 m m mn       ， 整理得 21 8 8 615 15n mm     ②， 将②代入①并整理得， 4 3 264 240 64 240 225 0m m m m     ， 降次化简可得， 3 2(4 3)(16 48 20 75) 0m m m m     ③， 令 3 2( ) 16 48 20 75g m m m m    ， 则 2 2 2( ) 48 96 20 48( 1) 68g m m m m       ，因为 0 1m  ， 所以 2( ) 48( 1) 68 0g m m     ，即 ( )g m 在 (0,1) 单调递减， 则 ( ) (0) 75 0g m g    在 (0,1) 上恒成立，即 ( )=0g m 在 (0,1) 无解， 从而③式的解只有一个， 3 4m  ，代入②式可得， 13 2n  ， 所以，直线 MN 的方程为： 3 13 4 2x y  ，整理得，4x-3y-26=0.故选：D. 二．填空题 13．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的右焦点为 F ，虚轴的上端点为 B ，点 P ，Q 为 C 上两点， 点  2,1M  为弦 PQ 的中点，且 //PQ BF ，记双曲线的离心率为 e，则 2e ______． 【解析】解法一 由题意知  ,0F c ，  0,B b ，则 PQ BF bk k c    ．设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ， 则 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b       ， ， 两式相减，得     2 1 21 2 2 1 2 1 2 b x xy y x x a y y    ．因为 PQ 的中点为  2,1M  ， 所以 1 2 4x x   ， 1 2 2y y  ，又 1 2 1 2 PQ y y bk x x c    ，所以 2 2 4 2 b b c a   ，整理得 2 2a bc ， 所以  4 2 2 2 2 24 4a b c c c a   ，得 4 24 4 1 0e e   ，得 2 2 1 2e  ． 解法二 由题意知  ,0F c ，  0,B b ，则 BF bk c   ．设直线 PQ 的方程为  1 2y k x   ， 即 2 1y kx k   ，代入双曲线方程，得     22 2 2 2 2 2 2 22 2 1 2 1 0b a k x a k k x a k a b       ． 设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，结合  2,1M  为 PQ 的中点，得  2 1 2 2 2 2 2 2 1 4a k kx x b a k     ． 又 BF bk k c    ，所以 2 2 2 22 2 1 4 4b b ba b ac c c                             ， 整理得 2 2a bc ，所以  4 2 2 2 2 24 4a b c c c a   ，得 4 24 4 1 0e e   ，得 2 2 1 2e  ． 14．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平行于 FP 的直线l 交椭圆于 A B， 两点，且 A B， 的中点为 11 2M      ， ，则椭圆的离心率为__________. 【解析】由题意知  ,0F c ，  0,P b ，所以直线 FP 的斜率为 0 0 ( ) b b c c      ， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 2 2 1 1 2 2 1x y a b   ①， 2 2 2 2 2 2 1x y a b   ②， ①-②得： 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x y y a b    ，即      1 1 1 22 2 1 2 2 2 x x y y y y a x x b      ， 因为 11 2M      ， 是 A B， 的中点，所以 1 2 2x x  ， 1 2 1y y  ， 所以    21 1 2 2 2 2 x y y a b x   ，所以 2 1 2 2 1 2 2 AB y y bk x x a    ， 因为 //AB FE ，所以 2 2 2b b c a    ，即 2 2a bc ，所以 2 2 2b c bc  ， 所以 b c ，所以 2 2 2 22a b c c   ，所以 2 2 ce a   15．若直线 3 5y kx  交椭圆 2 2: 14 xE y  于 P ， Q 两点，则线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距的取值 范围是________． 【解析】设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，线段 PQ 的中点为  0 0,T x y ①当 0k  时，易得线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距为 0； ②当 0k  时，由 2 2 3 5 14 y kx x y       ，得 2 2 24 644 1 0 5 25 k x kx    ， 所以 1 2 2 24 5 4 1 kx x k     ，    1 2 2 21 2 24 5 4 1 5 6 6 6 5 5 4 1 y y kk k k x x k              于是有 0 2 12 12 1 15 4 1 5 4 kx k k k       ，  20 5 1 3 4 y k   因为    14 , 4 4,k k       ，所以 0 3 3,0 0, 5 5 x            ， 因为 0 2 12 5 4 1 kx k    ，  20 5 1 3 4 y k   ，所以 0 0 1 4ky x  ， 因为直线 l 的方程为  0 0 1y y x xk     ， 所以直线 l 在 x 轴上的截距为 0 0 0 3 9 9,0 0, 4 20 20 ky x x              ． 综上，线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距的取值范围是 9 9, 20 20     ． 16．已知椭圆 C： 2 2 14 x y  ，A，B 是椭圆 C 上两点，且关于点 1 3,2 4M       对称，P 是椭圆 C 外一点， 满足 PA ， PB 的中点均在椭圆 C 上，则点 P 的坐标是___________. 【解析】设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， A，B 是椭圆 C 上两点， 则 2 21 1 2 22 2 14 14 x y x y       ，两式相减得      1 2 1 2 1 2 1 2 04 x x x x y y y y       ， 1 3,2 4M        是 AB 中点，则  1 2 1 2 3 04 2 x x y y    ，即 1 2 1 2 3 6 y y x x    ， 故直线 AB 斜率为 3 6  ，则直线 AB 方程为 3 3 1 4 6 2y x       ，即 3 3 6 3y x   ， 将直线方程代入椭圆得 2 2 0x x   ，解得 1 21, 2x x   ，则可得  31, , 2,02A B      ， 设  P m n, ，则 PA 中点为 1 2 3,2 4 m n      ，PB 中点为 2 ,2 2 m n     ，  PA ， PB 的中点均在椭圆 C 上， 则       22 2 2 2 31 116 16 +2 116 4 nm m n        ，解得 1 13 2 3 39 4 m n       或 1 13 2 3 39 4 m n       ， P 的坐标为 1 13 3 39,2 4         或 1 13 3 39,2 4         . 故答案为： 1 13 3 39,2 4         或 1 13 3 39,2 4         . 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知斜率为的 3 4 的直线l 与椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     交于点 ,A B ，线段 AB 中点为  11D  , ， 直线 l 在 y 轴上的截距为椭圆C 的长轴长的 7 16 倍. （1）求椭圆C 的方程； （2）若点 , , ,P Q M N 都在椭圆上，且 ,PQ MN 都经过椭圆C 的右焦点 F ，设直线 ,PQ MN 的斜率分别为 1 2,k k ， 1 2 1k k   ，线段的中点分别为 ,G H ，判断直线GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不 过定点，说明理由. 【解析】（1）设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 1 22, 2x x y y     ， 且 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 21, 1x x x x a b a b     ，两式相减得 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x y y a b    ， 即 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y y y b x x x x a      ，即 2 2 2 3 2 4 b a     ，所以 2 2 3 4 b a  ，又直线 l 的方程为  31 14y x   ， 令 0x  ，得 7 4y  ，所以 7 72 , 2, 316 4a a b    ，所以椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  . （2）由题意得  1,0F ，直线 ,PQ MN 的方程分别为  1 2( )1 , 1y k x y k x    ， 设    3 3 4 4, , ,P x y Q x y ，联立 1 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y     ， 得  2 2 1 2 1 2 13 4 8 4 12 0k k kx x     ，所以 2 1 2 3 4 1 8 3 4x k kx   ， 则 2 2 1 1 2 2 1 1 4 3,3 4 3 4 k kG k k       ，同理 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3,3 4 3 4 k kH k k       ， 所以 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 3 3 3 3 4 3 4 4 4 4 3 4 3 4 GH k k k kk kk k k k k k k        ，由 1 2 1k k   ，得  1 1 3 14GHk k k   ， 所以直线GH 的方程为 2 21 1 1 12 2 1 1 3 43 3 4 4 3 4 k ky k k xk k             整理得  2 1 1 3 314 4y k k x        ，所以直线GH 过定点 31, 4      . 18．抛物线 2: 4C x y 上任取两点  1 1,A x y ，  2 2,B x y .已知 AB 的垂直平分线 l 分别交 x 轴、y 轴于点 P ， Q . （1）若 AB 的中点坐标为  1,2 ，求直线 AB 的斜率； （2）若 PQ 的中点恰好在抛物线C 上，且 5 2AB PQ ，求直线 AB 的斜率. 【解析】（1）设直线 :AB y kx b  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 代入 2 4x y 得 2 4 4 0x kx b   ， 1 2 4 2x x k    ，则直线 AB 的斜率 1 2k  ； （2）由（Ⅰ）得 2 4 4 0x kx b   ， AB 中点坐标为 22 ,2k k b ，显然 0k  ， 则   21: 2 2PQ y x k k bk      ， 从而   22 2 ,0P k k b  ，  20,2 2Q k b  ， PQ 中点坐标为  2 22 2 2 2,2 2 k k b k b        ， 因为 PQ 的中点在抛物线C 上，所以有  22 2 22 2 2 244 2 k k b k b     ， 又 22 2 0k b   ，故 2 2 82 2 0k b k     而 2 2 2 1 21 4 1AB k x x k k b      ，  2 21 2 2PQ k k b    故  2 2 2 5 5 84 2 22 2k b k b k       ，设 2m k ，得 5m b m   ， 2 8 2 2 5m m mm        ， 3 22 8 5 0m m m    ，   21 3 5 0m m m    ，又 0m  ，得 1m  或 3 29 2m   ， 又 8 2 0m b mm      ， 4 2m   ，故 1m  或 3 29 2m   符合， 即 1k   ， 3 29 2   . 19．已知椭圆 2 2 12 x y  的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 的直线 l 不垂直坐标轴，与椭圆交于 ,A B 两点， M 是 AB 的中点． （1）若点 M 的横坐标为 1 2  ，求点 M 的纵坐标； （2）记 2 2 2, ,F A F B F M 的斜率分别为 1 2 3, ,k k k ，是否存在直线 l 使得 1 3 2,2 ,k k k 成等差数列，若存在， 求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题知：  1 1,0F  ，  2 1,0F ， 设直线l 的方程为：  1y k x  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 则联立直线与椭圆方程：   2 2 12 1 x y y k x       ， 消去 y 得：  2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k     ， 2 1 2 2 4 1 2 kx x k      ， 2 1 2 2 2 2 1 2 kx x k   ， M 是 AB 的中点， M 的横坐标为 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 x x k k      ，解得： 2 1 2k  ， 2 2k   ， M 的纵坐标为      1 2 1 21 2 1 1 2 2 2 2 2 2 4 k x k x k x x ky y k          ， （2）假设存在直线 l 满足条件， 由（1）知： 2 1 2 2 4 1 2 kx x k     ， 2 1 2 2 2 2 1 2 kx x k   ，  1 2 1 2 2 22 1 2 ky y k x x k k       ， M 是 A ， B 的中点， M 的坐标为： 2 2 2 2 ,1 2 1 2 k k k k      ， 1k ， 32k ， 2k 成等差数列， 3 1 24k k k   ，  2 1,0F ， 1 1 1 1 yk x    ， 2 2 2 1 yk x   ， 2 3 2 2 2 1 2 2 4 111 2 k kkk k k k      ， 代入得： 1 2 2 1 2 4 4 1 1 1 y yk k x x      ， 化简得：      2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 24 1 4 1k x x x x k y x y x y y               ， 将 2 1 2 2 4 1 2 kx x k     ， 2 1 2 2 2 2 1 2 kx x k   ， 1 2 2 2 1 2 ky y k    ，  1 1+1y k x ，  2 2 +1y k x 代入并化简解 得： 5 2k   ，直线 l 的方程为：  5 12y x   . 20．在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左顶点与上顶点的距离为 2 3 ，且 经过点 2, 2 . （1）求椭圆 C 的方程. （2）直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，M 是 PQ 的中点.若椭圆上存在点 N 满足 3ON MO  ，求证：△ PQN 的面积 S 为定值. 【解析】（1）椭圆 C 的左顶点 ( ,0)a ，上顶点 (0, )b . 因为左顶点与上顶点的距离为 2 3 ，所以 2 2 2 3a b  ，化简得 2 2 12.a b  ① 因为椭圆经过点 2, 2 ，所以 2 2 4 2 1a b   ，② 由①②解得 2 28, 4a b  或 2 26, 6a b  （舍去)，所以椭圆 C 的方程为 22 1.8 4 yx   （2）当 PQ 斜率不存在时，N 为 ( 2 2,0), PQ 方程为 2 2 3x   ，易得 8 2 3PQ  . 此时 1 1 8 2 8 2 64 .2 2 3 3 9S MN PQ       当 PQ 斜率存在时，设 PQ 的方程为 ( 0)y kx m m   ， 联立 2 2 18 4 y kx m x y     ，得    2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m     ， 由   2 2 2(4 ) 8 1 2 4 0,km k m     得 2 20 8 4.m k   ( ) 设    1 1 2 2, , , ,P x y Q x y 则  2 1 2 1 22 2 2 44 ,1 2 1 2 mkmx x x xk k     ， 因此 PQ 的中点 M 为 2 2 2 ,1 2 1 2 km m k k       由因为 3 ,ON MO  所以 2 2 6 3,1 2 1 2 km mN k k       ， 将点 N 代入椭圆方程，得     2 2 2 2 22 2 18 9 1 4 1 2 4 1 2 k m m k k     ， 化简得 2 292 1 4k m  ，符合(*）式.记点О到直线 l 的距离为 d, 则 2 1 24 2 2 1OPQS S PQ d k x x d       2 22 2 2 2 22 4 2 8 42 2 8 42 1 1 2 1 21 m m k mk mk k kk           ， 将 2 292 1 4k m  代入，得 2 2 2 4 2 9 64 .2 9 4 m m mS m    综上， PQNV 的面积S 为定值 64 9 21．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆   2 2 2 2: 1 0x yM a ba b     的离心率为 2 2 ，左、右顶点分别为 A 、 B ，且线段 AB 的长为 2 2 ， P 为椭圆 M 异于顶点 A ， B 的点，过点 A ， B 分别作 1l PA ， 2 l PB ， 直线 1l ， 2l 交于点 C ． （1）求椭圆 M 的方程； （2）求证：当 P 在椭圆 M 上运动时，点C 恒在一定椭圆 N 上； （3）已知直线 :l y kx m  过点 P ，且与（2）中的椭圆 N 交于不同的两点 E ， F ，若 P 为线段 EF 的 中点，求原点 O 到直线l 距离的最小值． 【解析】（1）因为离心率为 2 2 ，左、右顶点分别为 A 、 B ，且线段 AB 的长为 2 2 ， 所以 2 ,2 2 22 ce aa    ，解得 22, 1, 1a c b   ， 椭圆 M 的方程是 2 2 12 x y  ； （2）设        0 0, , , , 2,0 , 2,0C x y P x y A B ， 0 0 2AP yk x   ， 因为 1l PA ，所以 1l 的直线方程为  0 0 2 2xy xy    ， 同理 2l 的直线方程为  0 0 2 2xy xy    ， 联立方程组     0 0 0 0 2 2 2 2 xy xy xy xy          ，解得 0 2 0 0 2 x x xy y      ， 因为点 P 在椭圆 M 上，所以 2 20 0 12 x y  ，所以 0 02 x x y y      ，即 0 0 1 2 x x y y     ， 代入 2 20 0 12 x y  得： 2 2 12 4 x y  ， 所以当 P 在椭圆 M 上运动时，点 C 恒在一定椭圆 :N 2 2 12 4 x y  上； （3）设    1 1 2 2, , ,E x y F x y ，因为直线 :l y kx m  过点 P ，且与椭圆 N 交于不同的两点 E ，F ，P 为 线段 EF 的中点，则 2 2 1 1 2 2 2 2 12 4 12 4 x y x y       ，两式相减得： 1 2 1 2 1 2 1 2 2y y x x x x y y     ， 所以 2 2 0 0 0 0 0 22 ,x x yk my y    ， 所以原点 O 到直线l 距离： 2 2 0 0 2 2 2 0 00 0 2 2 2 2 2 0 0 00 0 2 2 2 3 1 4 2 7 1 2 x y x ym y xd k x y xx y               ， 令 2 02 7t x  ，因为  2 0 0,2x  ，所以 2,4t     ， 所以 28 3 1 8 4 637 7 7 td tt t         ，当且仅当 8 3tt  ，即 2 6 3t  时取得等号， 所以原点 O 到直线l 距离的最小值为 4 6 7 ． 22．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a bb a     ，直线 l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点 A ，B ， 线段 AB 的中点为 M .证明： （1）直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 2 2 a b  . （ 2 ）若 l 过点 ( , )b a ，延长线段 OM 与C 交于点 P ，当四边形OAPB 为平行四边形时，则直线 l 的斜率 1 4 7 3 ak b   . 【解析】（1）设      1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y M x y ，直线不经过原点且不与坐标轴平行， 所以 1 2 1 2 1 2 1 2, , 0, 0x x y y x x y y      ， 直线 l 的斜率 1 2 1 2 y yk x x   ，直线 OM 的斜率 0 1 2 0 1 2 OM y y yk x x x    ， A ， B 在椭圆上， 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 21, 1x y x y b a b a     两式相减：      1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0x x x x y y y y b a      ，两边同时除以  1 2 1 2x x x x  得       1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0y y y y b a x x x x     ，所以       2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y y y a x x x x b      ，即 2 2OM akk b   所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 2 2 a b  ； （2）四边形OAPB 为平行四边形时，当且仅当 AB 与OP 互相平分， 设  0 0,M x y ，则  0 02 ,2P x y ，且在椭圆上， 2 2 0 0 2 2 1 4 x y b a   ，即 2 2 2 2 2 2 0 0 4 a ba x b y  由（1）得 2 2OM akk b   ， 0 0 a yk b x   ，所以 2 0 0 2 0 0 y a y a x b x b    ， 整理得： 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0a x b y a bx ab y   ，又因为 2 2 2 2 2 2 0 0 4 a ba x b y  所以 2 2 2 2 0 0 4 a ba bx ab y  ，即 0 0 4 abax by  ，两边平方得：   2 2 2 0 0 16 a bax by  ，   2 2 22 2 2 2 0 0 0 044 a ba x b y ax by    ， 所以 2 2 2 2 0 0 0 03 8 3 0a x abx y b y   两边同时除以 2 0x ， 0 0 OM yk x  2 2 23 8 3 0OM OMa abk b k   ，所以 4 7 3OM ak b    ， 2 2 1 4 7 3OM a abk k b     ， 所以 1 4 7 3 ak b  