专题19 圆锥曲线中的定值问题-2021年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）(解析版)

专题 19 圆锥曲线中的定值问题 一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知抛物线 1C ： 2 2y mx ， 2C ：  2 2 0  x ny m n 交于O ， P 两点（O 为坐标原点）， 1C ， 2C 的 焦点分别为 1F ， 2F ，若直线 OP ， 1 2F F 交于点 Q ，且 10 uuur uuur OP OQ ，则 m n 的值为（ ） A．8 B． 4 2 C．2 D． 2 2 【解析】设   , 0, 0 P x y x y ，则由 2 2 2 , 2 , y mx x ny     得 1 2 3 32x m n ， 2 1 3 32y m n ，即 1 2 2 1 3 3 3 32 ,2       P m n m n ． 因为 10 uuur uuur OP OQ ，所以 1 2 2 1 3 3 3 31 1,5 5       Q m n m n ．由题意知 1 ,02      mF ， 2 0, 2      nF ，所以直线 1 2F F 的方程为 1 2 2  x y m n ， 即 1 2  x y m n ，又点 Q 在直线 1 2F F 上，所以 2 2 2 2 3 3 3 3 5 2    m n m n ．设 2 2 3 3  m n t ，则 1 5 2t t   ， 解得 2t  或 1 2t  ，因为 0m n  ，所以 2t  ，即 2 3 2     m n ，所以 2 2m n ．故选:D． 2．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     ，设直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，与 x 轴，y 轴分别交于 C，D 两点，记椭圆 E 的离心率为 e，直线 l 的斜率为 k，若 C，D 恰好是线段 AB 的两个三等分点，则（ ） A． 2 2 1k e  B． 2 2 1k e  C． 2 2 1 1ek   D． 2 2 1 1ek   【解析】设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， ,C D 分别是线段 AB 的两个三等分点，  1,0C x  ， 10, 2 yD     ，则 1 12 , 2 yB x    ，得 2 1 1 2 2 2 x x yy     ， 1 1 2 1 1 2 1 1 3 12 3 2 y y y yk x x x x     ， 利用点差法 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b       ，两式相减得      1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0x x x x y y y y a b      ， 整理得到 2 2 1 2 2 1 4y b x a  ，即 2 2 2 2 2 2 2 4 4b a ck ka a    ，即 2 2 1k e  。 ，故选：B 3．已知椭圆 2 2 112 4 y x  ，圆 2 2: 4O x y  ，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点 分别为 ,P Q ，直线 PQ 与 x 轴， y 轴分别交于点 ,M N ，则 2 2 3 1 OM ON   （ ） A． 5 4 B． 4 5 C． 4 3 D． 3 4 【解析】设 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )P x y Q x y G x y ，则 切线GP 的方程为 1 1 4x x y y  ，切线GQ 的方程为 2 2 4x x y y  ， 因为点G 在切线 ,GP GQ上，所以 1 3 1 3 4x x y y  ， 2 3 2 3 4x x y y  ， 所以直线 PQ 的方程为 3 3 4x x y y  ，所以 3 3 4 4( ,0), (0, )M Nx y ， 因为点 3 3( , )G x y 在椭圆 2 2 112 4 y x  上，所以 2 2 3 33 12x y  ， 所以 2 2 2 23 3 3 32 2 33 1 1 12 3(3 )16 16 16 16 4 x y x y OM ON        ，故选：D 4．已知椭圆 2 2 : 14 2 x yC   的左右顶点分别为 ,A B ，过 x 轴上点 ( 4,0)M  作一直线 PQ 与椭圆交于 ,P Q 两点（异于 ,A B ），若直线 AP 和 BQ 的交点为 N ，记直线 MN 和 AP 的斜率分别为 1 2,k k ，则 1 2:k k  （ ） A． 1 3 B．3 C． 1 2 D．2 【解析】设  ,N x y ，  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，设直线 PQ 的方程： 4x my  由 , ,P N A和 , ,Q N B 三点共线可知 1 1 2 2 2 2 2 2 y y x x y y x x         ， 解得：                 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 6 2 y x y x y my y myx y x y x y my y my               1 2 1 2 1 2 2 6 2 3 my y y yx y y     ， 1 2 1 2 1 2 2 6 64 3 my y y yx y y     ，（*） 联立 2 2 4 14 2 x my x y     ，得  2 22 8 12 0m y my    ， 2 2 2 264 48( 2) 16( 6) 0, 6m m m m        ， 1 2 1 2 1 2 1 22 2 8 12 3, , ( )2 2 2 my y y y my y y ym m        ， 代入（*）得 1 2 1 2 9 34 33 y yx y y    ，  1 4 yk x   ， 2 2 yk x   ， 1 2 2 2 114 4 3 k x k x x       . 故选：A 5．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 3 , 22 a  ，过右焦点 F 且斜率为 ( 0)k k  的直线与C 相交于 ,A B 两点，若 3AF FB uuur uur ，则 k  （ ） A． 2 B．1 C．2 D． 3 【解析】离心率为 3 2 2 c c a   ，解得 3c  ，得 2 2 2 4 3 1b a c     ， 所以椭圆 2 2: 14 xC y  ， 过右焦点  3,0F 且斜率为 ( 0)k k  的直线为：  3y k x  ，即 1 3x yk   ， 为简化计算，令  1 0t kk   ，则 3x ty  ， 由 2 2 3 4 4 x ty x y      ，联立可得： 2 24 2 3 1 0t y ty    ， ① 设    1 1 2 2, ,A B xyx y， ，由 3AF FB uuur uur 可得 1 23y y  ， 由①可得： 1 2 1 22 2 2 3 1,4 4 ty y y yt t      ， 因为 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) 1 42 3 2 3 3 y y y y y y y y           ，所以 2 2 2 2 3 4 4 1 3 4 t t t         ， 解得 2 1 2t  ，所以 2 2k  ，由 0k  ，可得 2k  .故选：A. 6．设点 P 为椭圆 :C   2 2 2 2 1 0x y a ba b     上的动点（除左右顶点外），椭圆C 的焦点为 1 2,F F ，离心率 为 e， I 为 1 2PF F 的内心，则直线 1IF 和直线 2IF 的斜率之积为（ ） A．1 1 e e   B． 1 1 e e   C． 1 1 e e   D．1 1 e e   【解析】如图，连接 PI 延长交 x 轴于 G ，由内角平分线定理得 1 2 1 2 ,FG F GGI GI IP F P IP F P   ， 利用等比性质得 1 2 1 2 2 2 FG F GGI c c eIP F P F P a a     ， 设 0 0( , )P x y ， 1 1( , )I x y ， ( ,0)GG x ，则 2 2 0 0 2 2 1x y a b   ， 0 Iy GI c y GP c a    ， ∴ 2 2 2 0 2 2 0 a yb a x   ， 0 I cyy c a   ，又 1 0PF a ex  ， 2 0PF a ex  ， ∴由 2 2 1 1 GF PF GF PF  可得 0 0 G G c x a ex x c a ex    ，化简得 2 0Gx e x ， 又∵ 0 I G G x x GI c x x GP a c     ，∴ 0Ix ex ，∴ 1 I IF I yk x c   ， 2 I IF I yk x c   ， ∴ 1 2 2 2 2 I IF IF I yk k x c    2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 20 0 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 cy a y b c a c a ec a c x a c x a a c a c c a eca                     ． 故选：B． 7．已知动点 A ，B 关于坐标原点O 对称， 2AB  ， M 过点 A ，B 且与直线 1y  相切.若存在定点 P ， 使得 MA MP 为定值，则点 P 的坐标为（ ） A． 10, 2      B． 10, 2     C． 0,1 D． 0, 1 【解析】设 ( , )M x y ，因为点 ,A B 关于坐标原点O 对称，所以 O 是线段 AB 的中点， 又因为以 M 为圆心的圆过 ,A B 两点，所以有 OA OM ， 因此有 2 2 2OM OA MA  ，因为点 ,A B 关于坐标原点O 对称， 2AB  ，所以 1OA  . 又因为以 M 为圆心的圆与直线 1y  相切，所以有 1MA y  ， 把 1OA  、 1MA y  代入 2 2 2OM OA MA  中，得： 22 2 1 1x y y    ，化简得： 2 2 ( 0)x y y   ，因此点 M 的轨迹是抛物线， 该抛物线的焦点坐标为 1(0, )2F  ，准线方程为： 1 2y  ， 1 1 1 11 1 2 2 2 2MA MP y MP y MP y MP y MP               ， 由抛物线的定义可知： 1 2 y MF  ， 所以有 1 2MA MP MF MP    ， 由题意可知存在定点 P ，使得当 A 运动时， MA MP 为定值， 因此一定有 MF MP ，此时定点 P 是该抛物线的焦点 1(0, )2F  .故选：B. 8．设 P 为椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）上的动点， 1F ， 2F 分别为椭圆 C 的左、右焦点，I 为 1 2PF F△ 的内心，则直线 1IF 与直线 2IF 的斜率积（ ） A．非定值，但存在最大值且为 2 2( ) b c a   B．是定值且为 2 2( ) b c b   C．非定值，且不存在定值 D．是定值且为 2 2( ) b c a   【解析】如图所示，连接 PI 并延长交 x 轴于G ， 由三角形内角平分线定理可知： 1 2 1 2 ,PF PFPI PI FG IG F G IG   ，所以 1 2 1 2 PF PFPI IG FG F G   ， 因此可得： 1 2 1 2 2 1 ( )2 PF PFPI a IG FG F G c e     .设 0 0( , ), ( , ) ( ,0)I I GP x y I x y G x ，因此有： 2 2 0 0 2 2 1x y a b   ，可得： 2 2 20 2 2 0 a y ba x  ，由 ( ) 可得： 0 0 I I cyy c yy a c a c     ， 1F 的坐标为： ( ,0)c ， 2 2 2 2 20 0 0 02 2 21 ( )1x y xy ba b a      ， 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 01 20 0 0 0( ) 2 ( )1 2xPF b ax c y x x c c e x x ea a a ex            ， 由椭圆的定义可知： 2 0PF a ex  ， 再由三角形内角平分线定理可知： 201 1 0 2 2 0 G G G c x a exPF FG x e xPF F G c x a ex        ， 由 0 0 1 1 1 I G I G x xPI GI e e x exIG e PG e x x e          ， 因此有： 1 2 2 2 0 22 22 0 2 2 2 2 2 2 2 0 02 ( ) ( ) ( ) I I F I F I I I yc yy y a ba ck k cx c x c a c x a a cx ca              . 故选：D 9．已知点 ( 1,0), (1,0)M N ，动点 ( , )P x y 满足： 4| | | | 1 cosPM PN MPN     ，直线 y kx 与点 P 的 轨迹交于 A ， B 两点，则直线 PA ， PB 的斜率之积 PA PBk k  （ ） A． 2 3  B． 3 2  C． 2 3 D．不确定 【解析】 4| | | | 1 cosPM PN MPN     ， 故 22 2| | | || | | | | | | | 42| | | | PM PN MNPM PN PM PN PM PN      ， 化简整理得到| | | | 2 3PM PN  ，故轨迹方程为椭圆， 3a  ， 1c  ， 故椭圆方程为： 2 2 13 2 x y  .设  1 1,A x kx ，  2 2,B x kx ， 则 2 2 13 2 x y y kx      ，化简得到  2 23 2 6 0k x   ，故 1 2 1 2 2 0 6 3 2 x x x x k      ， 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 21 2 1 2 2 2 62 23 3 2 6 3 3 2 PA PB kxy kx y kx y k x x kk k x x x x x x x x k                .故选： A . 10．过抛物线 2 4y x 上点 (1,2)P 作三条斜率分别为 1k ， 2k ， 3k 的直线 1l ， 2l ， 3l ，与抛物线分别交于不 同于 P 的点 , ,A B C ．若 1 2 0k k  ， 2 3 1k k   ，则以下结论正确的是（ ） A．直线 AB 过定点 B．直线 AB 斜率一定 C．直线 BC 斜率一定 D．直线 AC 斜率一定 【解析】由题意， 1k ， 2k ， 3k 均不为 0，设 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y ， 则 1 1 1 2 11 1 2 2 4 1 214 y yk yx y      ，同理可得 2 2 2 2 1 yk x   2 4 2y   ， 3 3 3 2 1 yk x   3 4 2y   ，由 1 2 0k k  ，得 1 4 2y  2 4 02y   ，即 1 2 4 0y y   ，① 设直线 AB 的方程为 1 1x m y t  ，联立抛物线方程可得 2 1 14 4 0y m y t   ， 则   ， 1 2 1 1 2 14 , 4y y m y y t    代入①式可得 14 4 0m   ， 1 1m   ， 此时直线 AB 的方程为 1x y t   ，故直线 AB 斜率是定值，故 B 正确，A 错误； 由 2 3 1k k   ，得 2 4 2y  3 4 12y    ，即 2 3 2 32( ) 20 0y y y y    ，②，同理设直线 BC 的方程为 2 2x m y t  ，联立抛物线方程可得 2 2 24 4 0y m y t   ， 则   ， 3 2 2 3 2 24 , 4y y m y y t    代入②式可得 2 22 5 0m t   ，此时 BC 的方程为 2 2 22 5 ( 2) 5x m y m m y      ，恒过定点 (5, 2) ，斜率不是定值，故 C 错误； 由 2 3 1k k   ， 1 2 0k k  ，得 31 1k k  ，即 1 4 2y  3 4 12y   ， 即 1 3 1 32( ) 12 0y y y y    ③，同理设直线 AC 的方程为 3 3x m y t  ，联立抛物线方程可 得 2 3 34 4 0y m y t   ，则   ， 3 1 3 3 1 34 , 4y y m y y t    代入③式可得 3 32 3 0m t   ，此时 AC 的方程为 3 3 22 3 ( 2) 3x m y m m y      恒过定点 ( 3, 2)  ，斜率不为定值. 故 D 错误.故选：B 11．已知椭圆 2 2: 13 xC y  ，过 x 轴上一定点 N 作直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，当直线 l 绕点 N 任意 旋转时，有 2 2 1 1 | | | | tAN BN   （其中 t 为定值），则（ ） A． 9t  B． 4t  C． 3t  D． 2t  【解析】设点    1 1 2 2( ,0),( 0), , , ,N m m A x y B x y ， 当直线l 与 x 轴不重合时,设l 的方程为 x ty m  ,代入椭圆方程,得: 2 2( ) 3 3ty m y   , 即  2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 33 2 3 0 ,3 3 mt mt y tmy m y y y yt t            .    2 222 2 2 1 1 2 1 1 1 1 | |BMAM x m y x m y             2 2 22 2 2 2 1 21 2 1 1 1 1 1 11 1 t y yt y t y              22 2 1 2 1 21 2 22 2 2 2 1 2 1 2 21 1 1 1 y y y yy y t y y t y y       ， 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 y y t y y y y             22 2 2 2 2 31 2 1 3 3 tmt t m m             ， 当直线 l 绕点 N 任意旋转时，有 2 2 1 1 | | | | tAN BN   （其中 t 为定值）, 当 0t  时, 2 2 2 1 1 6 | | | | 3AN BN m     ， 当 1t  时, 2 2 2 2 2 1 1 1 2 8 | | | | 2 3 3 m AN BN m m             ，  2 2 2 2 6 1 2 8 3 2 3 3 m m m m              , 解得: 2 3= 2m 代入当 0t  时, 2 2 2 1 1 6 =4| | | | 3AN BN m     .故选:B. 12．已知双曲线 2 2 2 2 x y a b   1（a＞0，b＞0）上一点 C，过双曲线中心的直线交双曲线于 A，B 两点，记直 线 AC，BC 的斜率分别为 k1，k2，当 1 2 2 k k  ln|k1|+ln|k2|最小时，双曲线离心率为（ ） A． 2 B． 3 C． 2  1 D．2 【解析】设    1 1 2 2, , ,A x y C x y ,由题意知点 ,A B 为过原点的直线与双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的交点, ∴由双曲线的对称性得 ,A B 关于原点对称,∴  1 1,B x y  , 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 ,y y y yk kx x x x     , ∴ 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 y y y y y yk k x x x x x x         ,∵点 ,A C 都在双曲线上, ∴ 2 2 1 1 2 2 1x y a b   , 2 2 2 2 2 2 1x y a b   ，两式相减,得： 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x y a b y  ， 所以 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 0y y bk k x x a     ，∴  1 2 1 2 1 2 1 2 2 2ln ln lnk k k kk k k k     , 令 1 2x k k ,构造函数 2 ln , 0y x xx    ,由 2 2 1' 0y x x     得 2x  , 当 2x  时, 2 2 1' 0y x x     ;当 0 2x  时, 2 2 1' 0y x x     所以当 2x  时,函数 2 ln , 0y x xx    取得最小值,当且仅当 2 1 2 2 2bk k a   时成立. 此时离心率 2 21 3be a    .故选：B 二．填空题 13．已知椭圆 2 2 : 19 4 x yC   ， ,M N 是坐标平面内的两点，且 M 与C 的焦点不重合，若 M 关于C 的焦 点的对称点分别为 ,A B ，线段 MN 的中点在椭圆C 上，则 AN BN  __________. 【解析】设 MN 的中点为 D ，椭圆 C 的左右焦点分别为 1F ， 2F ， 如图，连接 1DF ， 2DF ， 1F 是 MA 的中点， D 是 MN 的中点， 1F D 是 MAN△ 的中位线；  1 1| | | |2DF AN ，同理 2 1| | | |2DF BN ； 1 2| | | | 2(| | | |)AN BN DF DF    ， DQ 在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知： 1 2 2 6DF DF a   ， | | | | 12AN BN   ． 14．已知点  1,2A 在抛物线  2: 2 0C y px p  上，过点  2, 2B  的直线交抛物线C 于 P ，Q 两点，若 直线 AP ， AQ 的斜率分别为 1k ， 2k ，则 1 2k k 等于___________. 【解析】由题意将  1,2A 的坐标代入抛物线的方程可得 4 2p ，解得 2p  ， 所以抛物线的方程为 2 4y x ；由题意可得直线 PQ 的斜率不为 0， 所以设直线 PQ 的方程为： ( 2) 2x m y   ，设 1(P x ， 1)y ， 2(Q x ， 2 )y ， 联立直线与抛物线的方程： 2 ( 2) 2 4 x m y y x      ， 整理可得： 2 4 8 8 0y my m    ，则 1 2 4y y m  ， 1 2 8 8y y m   ， 由题意可得 1 2 1 2 1 2 2 2 1 21 2 2 2 2 2 1 1 1 14 4 y y y yk k y yx x           1 2 1 2 1 2 16 16 16 4( 2)( 2) 2( ) 4 8 8 2 4 4y y y y y y m m               ，所以 1 2 4k k   ． 15．过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的右焦点 ( ,0)F c 的直线交双曲线于 M 、 N 两点，交 y 轴于 P 点，若 1PM MF  ， 2PN NF  ，规定 1 2   PM PN MF NF      ，则 PM PN MF NF      的定值为 2 2 2a b .类比双曲线这一 结论，在椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     中， PM PN MF NF      的定值为 ________. 【解析】如图，设椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的右焦点为  ,0F c ，过点  ,0F c 的直线为  y k x c  ， 代入椭圆的方程得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0b a k x a k cx a k c a b     ， 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，则 2 2 1 2 2 2 2 2a k cx x b a k     ， 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a k c a bx x b a k    ， 过点 ,M N 分别作 x 轴的垂线，垂足为 ,D E ，则 1 1 1 xPM x cMF        ， 2 2 2 = xPN x cNF       ， 所以           1 2 2 1 1 2 1 21 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2x x c x x c x x c x xx x x c x c x x c x x c x x c x x c                         将 2 2 1 2 2 2 2 2a k cx x b a k     ， 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a k c a bx x b a k    代入化简得： 2 1 2 2 2a b     . 16．已知三点 , ,T P Q 到点  1,0D 的距离都是它到直线 : 3l x = 的距离的 3 3 倍且  2 ,OT OP OQ R        ，当直线 OP 与OQ 的斜率之积为 2 3  （其中 O 为坐标原 点）时，则点  ,N   与点 3 3,0 , ,02 2G H              的距离之和 NG NH 的值为____________ 【解析】不妨设  ,T x y ，则T 到直线 l 的距离为 3x  ， 又  2 21TD x y    2 23 3 1x x y     ，化简得： 2 2 13 2 x y  ， 动点 , ,T P Q 的轨迹方程为 2 2 13 2 x y  ， 设      1 2 2 2, , , , ,T x y P x y Q x y ， 2OT OP OQ      ， 1 2 1 2 2 2 x x x y y y         ， 将T 代入 2 22 3 6x y  得：    2 2 1 2 1 22 2 3 2 6x x y y       ， 整理得：    2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 4 4 3 4 4 6x x x x y y y y           ， 即      2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 22 3 4 2 3 4 2 3 6x y x y x x y y        ， 1 2 1 2 3 2OP OQ y yk k x x     ， 1 2 1 22 3 0x x y y   ， 又 ,P Q 在曲线 2 22 3 6x y  上， 2 2 1 12 3 6x y  ， 2 2 2 22 3 6x y  ， 2 26 4 6 4 0 6         ，即 2 2 11 4    ，  ,N   的运动轨迹为半长轴 1a  ，半短轴 1 2b  的椭圆，  2 2 2 3 4c a b   ，即 3 2c  ， 点 3 3,0 , ,02 2G H              即为椭圆 2 2 11 4    的两个焦点， 根据椭圆的定义可得 2 2NG NH a   三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知圆 1F ： 2 2 21x y r   与圆 2F ：     2 221 4 1 3x y r r      的公共点的轨迹为曲线 E . （1）求 E 的方程； （2）设点 A 为圆O ： 2 2 12 7x y  上任意点，且圆O 在点 A 处的切线与 E 交于 P ，Q 两点.试问：AP AQ  是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【解析】（1）设公共点为 P ，则 1PF r ， 2 4PF r  ， 1 2 1 24PF PF F F   即公共点 P 的轨迹为椭圆. 且 2 4a  ，∴ 2a  ，又 1c  ，∴ 2 3b  ，故曲线 E ： 2 2 14 3 x y  . （2）方法一:当直线 PQ 斜率不存在时， PQ ： 12 7x   ， 代入 E 得 12 7y   ，故 12 7AP AQ   ，易知：OP OQ ； 当直线 PQ 斜率存在，设 PQ ： y kx m  ， PQ 与圆O 相切，  2 2 2 12 171 m r m k k      将 PQ 方程代入 E ，得 2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m     ， ∴ 1 2 2 8 4 3 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 12 4 3 mx x k   ，       2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m                 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 4 12 7 12 18 4 3 4 3 4 3 k m m kk m mk k k           将  2 212 17m k  代入，得 0OP OQ   ，即OP OQ 综上，恒有OP OQ ， 2 12 7AP AQ AP AQ OA            . 法二: 当直线 PQ 斜率不存在时， PQ ： 12 7x   ，代入 E 得 12 7y   ， AP AQ AP AQ       2 12 7OA    ； 当直线 PQ 斜率存在，设 PQ ： y kx m  ， ∵ PQ 与圆O 相切，∴ 2 1 m r k   ，即  2 212 17m k  . 将 PQ 方程代入 E ，得 2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m     ， ∴ 1 2 2 8 4 3 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 12 4 3 mx x k   ，    2 22 2 2 2 2 1 1 1 1 12 121 27 7AP OP r x kx m k x kmx m           2 2 2 1 1 1 7 12 7 12212 7 12 7m x kmx k mx k     ， 同理可得 2 7 12 12 7AQ mx k  ， 故   2 2 1 2 1 2 7 12 12 7 kAP AQ m x x km x x   ∣ 将 1 2 2 8 4 3 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 12 4 3 mx x k   ，及  2 212 17m k  代入， 可得 12 7AP AQ  . 综上 2 12 7AP AQ AP AQ OA            . 18．已知椭圆 1C ： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的一个焦点与抛物线 2C ： 2 2y ax= 的焦点 F 重合，两条曲线在 第一象限内的交点 M 满足 5 3MF  ． （1）求椭圆 1C 以及抛物线 2C 的标准方程； （2）过椭圆另一焦点 E 作直线 l (斜率存在但不为 0 )与椭圆相交于 A、B 两点，在椭圆长轴上取一点 P ，使 得 PA PB  为定值，试求点 P 的坐标及这个定值． 【解析】（1）由已知公共焦点 ,02 aF      ，则 2 ac  ，∴ 2 2 2 23 2 4 ab a a      ，设 0 0( , )M x y ， 则由抛物线定义有 0 5 2 3 aMF x   ，即 0 5 3 2 ax   ，则 2 0 52 3 2 ay a      ， ∵点 M 在椭圆上，∴代入方程得 2 2 2 5 523 2 3 2 13 4 a aa a a             ，解得 2a  ， 3b  ， ∴椭圆 1C 的标准方程是 2 2 14 3 x y  ，抛物线 2C 的标准方程为 2 4y x ； （2）由（1）可知点 E 的坐标为 10 ， ，设直线 l ： ( 1)y k x  ，联立 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y     ， 消去 y 化简得 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k     ， 设 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ，则 2 1 2 2 8 4 3 kx x k    ， 2 1 2 2 4 12 4 3    kx x k ， 设 ( ,0)P m ( 2 2m   )，则： 1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ( 1)) ( , ( 1))PA x m y x m y x m k x x kPB m x           2 1 2 1 2( ) ( ) ( 1)( 1)x m x m k x x       2 2 2 2 1 2 1 2(1 ) ( )( )k x x k m x x m k        2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 8(1 ) ( )4 3 4 3 k kk k m m kk k           2 2 2 2 (4 8 5) (3 12) 4 3 m m k m k      ， 若 PA PB  为定值，则 2 24 8 5 3 12 4 3 m m m   ，解得 11 8m   ，此时 23 12 135 3 64 m    ， 故点 P 的坐标为 11( 0)8  ， ，定值为 135 64  ． 19．在平面直角坐标系中， 1 2,A A 两点的坐标分别为 ( 2,0),(2,0) ，直线 1 2,A M A M 相交于点 M 且它们的 斜率之积是 3 4  ，记动点 M 的轨迹为曲线 E． （1）求曲线 E 的方程； （2）过点 (1,0)F 作直线l 交曲线 E 于 ,P Q 两点，且点 P 位于 x 轴上方，记直线 1 2,AQ A P 的斜率分别为 1 2,k k ． ①证明： 1 2 k k 为定值； ②设点 Q 关于 x 轴的对称点为 1Q ，求 1PFQ△ 面积的最大值． 【解析】（1）设点 M 坐标为 ( , )x y ，则直线 1 2,A M A M 的斜率分别为 , , 22 2 y y xx x    ， 依题意知 3 2 2 4 y y x x     ，化简得 2 2 1( 2)4 3 x y x    ； （2）①设直线 l 的方程为 1 1 2 2 1 21, ( , ), ( , )( 0, 0, 0)x my P x y Q x y y y m     ， 则 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 12 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 ( 2) ( 1) ( ) ,( 2) ( 3) 2 3 3 y k x x y my y my y y my y y y y yk x y my y my y y my y y x                ， 又 2 2 1 14 3 x my x y     ，消 x 得 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ，得 1 2 2 1 2 2 6 ,3 4 9 ,3 4 my y m y y m          因此 1 12 2 2 1 2 1 12 2 9 6 3 13 4 3 4 3 4 9 9 33 33 4 3 4 m m my yk m m m mk y ym m               ， 故 1 2 k k 为定值 1 3 ； ② 1Q 坐标为 2 2( , )x y ，则直线 1PQ 方程为 1 2 1 1 1 2 ( )y yy y x xx x    ， 令 0y  解得: 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) ( 1) 2 1x x y x y x y my y my y my yx xy y y y y y y y              2 2 92 ( )3 4 1 46 3 4 m m m m       ，即直线 1PQ 恒过 (4,0)D 点， 故 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3| | | 3| | 3| || || | | || | |2 2 2 2PFQ PFD Q FDS S S y y y y y y            2 3 6 | | 2 3 4 m m    9 43| | | |m m   9 3 3 42 12   ， 当 2 4 3m  ，即 2 3 3m   时，等号成立，此时 1PFQ△ 面积最大值为 3 3 4 ． 20．已知 O 为坐标系原点，椭圆 2 2 14 xC y ： 的右焦点为点 F，右准线为直线 n. （1）过点 (4,0) 的直线交椭圆 C 于 ,D E 两个不同点，且以线段 DE 为直径的圆经过原点 O，求该直线的方 程； （2）已知直线 l 上有且只有一个点到 F 的距离与到直线 n 的距离之比为 3 2 .直线 l 与直线 n 交于点 N，过 F 作 x 轴的垂线，交直线 l 于点 M.求证： | | | | FM FN 为定值. 【解析】（1）设过点 (4,0) 的直线为 ( 4)y k x  交于椭圆    1 1 2 2, ,D x y E x y 联立 2 2 14 ( 4) x y y k x       消去 y 得 2 2 2 24 1 32 64 4 0k x k x k       2 21 2 2 2 1 2 1 2 1 2 22 1 2 2 32 124 1 4 16 4 164 4 4 1 kx x kk y y k x x x x kkx x k                 又因为以线段 DE 为直径的圆经过原点， 则 2 1 2 1 2 2 76 4 19· 0,4 1 19 kOD OE x x y y kk          ， 则所求直线方程 19 ( 4)19y x   ， （2）已知椭圆 2 2 14 x y  的离心率为 3 2 ，右准线直线 n 的方程为 4 3 x  ， 因为直线 l 上只有一点到 F 的距离与到直线 n 的距离之比为 3 2 ， 所以直线 l 与椭圆相切， 设直线l 的方程为 y kx m  ，联立 2 2 14 x y y kx m       消去 y 得到：  2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m       2 2 2 2 2 264 4 4 1 4 4 0 4 1k m k m m k        ① 联立 43 3 3 xx FM k m y kx m y kx m             点 N 坐标为 4 4, 3 3 k m    得到 2 24 4| | 3 3 3 FN k m             2 2 2 2 2 2 | | 3 2 3 1 16 8| | 3 3 3 FM k km m kmFN k m      ,由① 2 2 | | 3 | | 3 | | 4 | | 2 FM FM FN FN     21．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右顶点分别为 A ， B ， E 为C 上不同于 A ， B 的动点，直 线 AE ， BE 的斜率 AEk ， BEk 满足 1 2AE BEk k   ， AE BE  的最小值为-4. （1）求C 的方程； （2）O 为坐标原点，过O 的两条直线 1l ， 2l 满足 1 //l AE ， 2 //l BE ，且 1l ， 2l 分别交C 于 M ，N 和 P ，Q . 试判断四边形 MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【解析】（1）设  0 0,E x y ，则 2 2 0 0 2 2 1x y a b   ，故 ( ,0), ( ,0)A a B a ， ∴ 2 2 0 22 2 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 AE BE xb ay y y bk k x a x a x a x a a              ， 又       2 2 2 0 0 0 0 0 0 21 xAE BE x a x a y x a x a b a                2 2 2 2 02 c x c ca     ， 由题意知： 2 2 2 1 2 4 b a c       ，解得 2 2 8 4 a b     ，∴椭圆C 的方程为 2 2 18 4 x y  . （2）根据椭圆的对称性，可知OM ON ，OP OQ ， ∴四边形 MPNQ 为平行四边形，所以 4MPNQ OMPS S  . 设 1l ， 2l 的斜率分别为 1k ， 2k ，  1 1,M x y ，  2 2,P x y ，则 1 1 1y k x ①， 2 2 2y k x ②. 又 1 //l AE ， 2 //l BE ，即 1 2 1 2AE BEk k k k     . 当 MP 的斜率不存在时， 1 2y y  ， 1 2x x . 由①②，得 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2y k k x x    ，结合 2 2 1 1 18 4 x y  ，解得 1 2x  ， 1 2y  . ∴ 1 1 14 4 2 8 22MPNQ OMPS S y x      . 当 MP 的斜率存在时，设直线 MP 的方程为 y kx m  ， 联立方程组得 2 2 18 4 y kx m x y     ，得 2 2 22 1 4 2 8 0k x kmx m     ，则     2 2 2 2 2(4 ) 4 2 1 2 8 8 8 4 0km k m k m         ，即 1 2 2 4 2 1 kmx x k    ， 2 1 2 2 2 8 2 1 mx x k   . ∵  2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 k x x km x x my y kx m kx mk k x x x x x x            ， ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 12 1 2 1 2 8 2 2 1 m kmk km mk k m k            ，整理得： 2 24 2m k  . 由直线 MP 过 (0, )m ，  2 1 2 1 2 1 2 14 4 | | 2 | | 42MPNQ OMPS S m x x m x x x x         2 2 2 2 2 2 2 4 2 8 4 2 | | 8 42 | | 42 1 2 1 2 1 km m m k mm k k k               ， 将 2 24 2m k  代入，整理得 8 2MPNQS  . 综上，四边形 MPNQ 的面积为定值，且为8 2 . 22．已知椭圆 2 2 2 2C: 1( 0)x y a ba b     的离心率为 1 2 ，直线 1: 22l y x   与椭圆 C 有且仅有一个公共 点 A ． （1）求椭圆 C 的方程及 A 点坐标； （2）设直线 l 与 x 轴交于点 B．过点 B 的直线与 C 交于 E，F 两点，记点 A 在 x 轴上的投影为 G，T 为 BG 的中点，直线 AE，AF 与 x 轴分别交于 M，N 两点．试探究| | | |TM TN 是否为定值?若为定值，求出此定 值；否则，请说明理由． 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为 c ，则 1 2 c a  ，则 2 24a c ， 2 2 2 23b a c c   ， 所以椭圆 C 的方程为： 2 2 2 2 14 3 x y c c   ， 将椭圆C 的方程与直线 l 的方程联立得： 2 22 4 3 0x x c    , 所以 24 4 (4 3 ) 0c      ，解得： 2 1c  ， 所以 2 4a  ， 2 3b  ，故椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  ， 此时将 2 1c  代入 2 22 4 3 0x x c    得： 2 2 1 0x x   ， 所以 1x  ，此时 3 2y  。所以 A 点坐标为 3(1, )2 ； （2）将 0y  直线 1 22y x   联立，得到 4x  ，所以 (4,0)B 。 因为 31, 2A     ， (4,0)B ，所以 5( ,0)2T ， ①当斜率 0EFk  时， ( 2,0)M  ， (2,0)N 或 ( 2,0)N  ， (2,0)M ， 9| | 2TM  ， 1| | 2TN  或 9| | 2TN  ， 1| | 2TM  ， 此时有 9| | | | 4TM TN  ， ②当斜率 0EFk  时，设 EFl ： 4x ny  ，代入 2 2 14 3 x y  得： 2 2(3 4) 24 36 0n y ny    ，设 1 1( , )E x y ， 2 2( , )F x y ， 所以 1 2 2 24 3 4 ny y n    ， 1 2 2 36 3 4y y n   ， 所以 AEl ： 1 1 3 3 2 ( 1)2 1 y y xx     ，则 1 1 3( 1)(1 ,0)2 3 xM y   ， 1 1 1 1 1 1 1 1 3( 1) 3( 1) (6 6) 9 (2 2) 35 3 3| | 12 2 3 2 2 3 2(2 3) 2 2 3 x x n y n yTM y y y y                 同理， 2 2 (2 2) 33| | 2 2 3 n yTN y     ， 所以 1 2 1 2 (2 2) 3 (2 2) 39| | | | 4 2 3 2 3 n y n yTM TN y y         ， 对分子：    2 2 1 2 1 2 1 2 2 9(3 16 20)(2 2) 3 (2 2) 3 (2 2) 3(2 2)( ) 9 3 4 n nn y n y n y y n y y n              对分母： 2 1 2 1 2 1 2 2 9(3 16 20)(2 3)(2 3) 4 6( ) 9 3 4 n ny y y y y y n          ， 所以 9| | | | 4TM TN  .综上， 9| | | | 4TM TN  为定值.