第8辑圆锥曲线与方程（解析版）-备考2021年高考数学三轮复习之疯狂选择题30题

备考 2021 年高考高三数学复习之疯狂选择题 30 题 第 8 辑 圆锥曲线与方程 一、单选题 1．（2021·江西高三其他模拟（文））若椭圆 2 2 : 15 x yC m   的一个焦点坐标为 ( 1,0) ，则实数 m 的值为 （ ） A．9 B．6 C．4 D．1 【答案】C 【分析】 根据椭圆的标准方程可得 ,a b ，根据 2 22a cb  计算可得结果. 【详解】 因为椭圆的焦点 ( 1,0) 在 x 轴上， 所以 2 5a  ， 2b m ，所以 2 2 2 5c a b m    ， 所以5 1m  ，解得 4m  . 故选：C 2．（2020·全国高三专题练习（文））已知圆C 过点  0,2A 且与直线 2y   相切，则圆心C 的轨迹方程为 （ ） A． 2 4x y B． 2 8x y C． 2 4x y  D． 2 8x y= - 【答案】B 【分析】 设圆心  ,C x y ，由圆心到 A 点距离等于圆心到切线的距离列式化简可得． 【详解】 设圆心  ,C x y ，据题意有 2 2( 2) 2x y y    ， 化简有 2 8x y ． 故选：B． 【点睛】 本题考查求轨迹方程，解题方法是直接法． 3．（2021·甘肃高三一模（理））抛物线 2 2 ( 0)y px p   的准线经过椭圆 2 2 19 5 x y  的右焦点，则 p （ ） A． 2 B． 4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】 先求得抛物线的准线方程以及椭圆的右焦点，再根据抛物线的准线经过椭圆的右焦点求解. 【详解】 抛物线 2 2 ( 0)y px p   的准线方程是 2 px  ，椭圆 2 2 19 5 x y  的右焦点是 2,0 ， 因为抛物线 2 2 ( 0)y px p   的准线经过椭圆 2 2 19 5 x y  的右焦点， 所以 p=4， 故选：B 4．（2021·北京丰台区·高三一模）已知双曲线 2 2 2 1( 0)x y aa    的离心率是 5 2 ，则 a （ ） A． 2 B．2 C． 2 2 D．4 【答案】B 【分析】 根据双曲线方程得到 a，b，再利用离心率公式求解. 【详解】 因为双曲线方程为 2 2 2 1( 0)x y aa    ， 所以离心率是 2 2 1 51 1 2 c be a a a          ， 解得 2 4a  ， 又因为 0a  ， 所以 2a  ， 故选：B 5．（2021·浙江高三其他模拟）已知双曲线   2 2 2: 1 016 x yC bb    的焦距为 10，则双曲线C 的渐近线方程为 （ ） A． 9 16y x  B． 16 9y x  C． 4 3y x  D． 3 4y x= ± 【答案】D 【分析】 根据 22 16 10b  ，求出 2 9b  ，即可求解. 【详解】 双曲线C 的焦距为 22 16 10b  ，所以 2 9b  ， 所以双曲线C 的渐近线方程为 3 4y x= ± ， 故选：D． 6．（2021·山西高三一模（文））已知双曲线的离心率为 2，其两条渐近线夹角为 ，则 tan  （ ） A． 3 B． 3 C． 3 或 3 D． 3 3 【答案】A 【分析】 由离心率得 2 2 3b a  ，进而得渐近线方程为 3y x  或 3 3y x  ，从而可得夹角. 【详解】 由双曲线的离心率为 2，可得 2 2 2 2 21 2c a b b a a a     ， 所以 2 2 3b a  ，及 3a b ，所以两条渐近线为 3y x  或 3 3y x  . 当两条渐近线为 3y x  时，两条渐近线夹角为 60 ， 当两条渐近线为 3 3y x  时，两条渐近线夹角为 60 ， 所以 60   ， tan  3 . 故选：A. 7．（2021·北京丰台区·高三一模） P 为抛物线 2 2 ( 0)y px p  上一点，点 P 到抛物线准线和对称轴的距离 分别为 10 和 6，则 p  （ ） A．2 B．4 C． 4 或9 D． 2 或18 【答案】D 【分析】 由抛物线 2 2 ( 0)y px p  可得准线 l 的方程为： 2 px   ，设点 ( , )P x y ，再由点 P 到抛物线准线和对称 轴的距离分别为 10 和 6，可得 102 px   ， 6y   ，再与抛物线方程 2 2 ( 0)y px p  ，联立解方程组， 即可求解. 【详解】 解：由题意可得：抛物线 2 2 ( 0)y px p  的准线 l 的方程为： 2 px   设点 ( , )P x y ，又因点 P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为 10 和 6， 所以有 2 102 6 2 px y y px          ，解得 1 18 x p    或 9 2 x p    ， 即 p 的值分别为18 或 2 . 故选：D. 【点睛】 本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题. 8．（2021·陕西榆林市·高三二模（文））若抛物线 2 2 ( 0)x py p  上的点  ,1A m 到焦点的距离为 4, 则| |m  （ ） A． 1 12 B．2 6 C．6 D． 2 3 【答案】D 【分析】 用焦半径公式解方程算出 p 即可获解. 【详解】 因为抛物线 2 2 ( 0)x py p  上的点 ( ,1)A m 到焦点的距离为 4，所以1 42 p  ，即 6p = ， 2 12x y ，所以 2 12,| | 2 3m m  故选：D. 9．（2021·吉林长春市·高三二模（理））已知抛物线  2 2 0y px p  上一点  02,A y ，F 为焦点，直线 FA 交抛物线的准线于点 M ，满足 2 ,FA AM  则抛物线方程为（ ） A． 2 8y x B． 2 16y x C． 2 24y x D． 2 32y x 【答案】C 【分析】 作 AB x 轴，根据 2FA AM  ，且  02,A y ，由 AF BF AM BK  求解. 【详解】 如图所示： 作 AB x 轴，则 / /AB MK ， 因为 2FA AM  ，且  02,A y ， 所以 2 12 222 P AF BF PAM BK      , 即 2 2 22 2 p p      ， 解得 12p  ， 所以抛物线方程是 2 24y x 故选：C． 10．（2021·四川遂宁市·高三二模（文））若过抛物线C ： 2 4y x 的焦点且斜率为 2 的直线与C 交于 A ，B 两点，则线段 AB 的长为（ ） A．3. B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 求出直线 AB 的方程，并与抛物线方程联立，根据韦达定理得到 1 2x x ，再根据抛物线的定义可求得结果. 【详解】 抛物线C ： 2 4y x 的焦点 (1,0)F 所以直线 AB 的方程为 2 2y x  ， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 由 2 2 2 4 y x y x     ，消去 y 并整理得 2 3 1 0x x   ， 所以 1 2 3x x  ， 1 2 2 5AB x x    . 故选：C. 11．（2021·广西南宁市·高三一模（文））已知抛物线  2: 2 0C x py p  的焦点为圆  22 1 2x y   的圆 心，又经过抛物线 C 的焦点且倾斜角为 60°的直线交抛物线 C 于 A、B 两点，则 AB  （ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】 由已知求出 2p  ，得出直线方程 3 1y x  ，联立直线与抛物线，利用弦长公式即可求出. 【详解】 由题可得抛物线焦点为  0,1 ，则 12 p  ，即 2p  ，则抛物线方程为 2 4x y ，  直线 AB 的倾斜角为 60°，则斜率为 3 ，故直线 AB 的方程为 3 1y x  ， 联立直线与抛物线 2 4 3 1 x y y x     可得 2 4 3 4 0x x   ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 1 24 3, 4x x x x    ， 则    2 1 3 4 3 4 4 16AB        . 故选：C. 【点睛】 方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为  1 1A x y， ，  2 2B x y， ； （2）联立直线与曲线方程，得到关于 x （或 y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为 1 2 1 2,x x x x 形式； （5）代入韦达定理求解. 12．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））已知 1F 、 2F 分别是双曲线C ： 2 2 2 7 1x y  的左、右焦点， P 是 C 左支上的动点，  0,3A ，当点 P 在线段 1AF 上时， 2APF 的面积为（ ） A．12 5 B． 16 5 C． 18 5 D． 24 5 【答案】D 【分析】 首先求点 P 的坐标，再根据面积公式求解. 【详解】  1 3,0F  ， 1 0 3 13 0AFk    ，即直线 1 : 3AF y x  ， 联立方程 2 2 3 12 7 y x x y     ，解得： 4 7 x y    或 8 5 7 5 x y      0x Q ， 8 7,5 5P     ， 2 28 7 80 3 25 5 5AP               , 点  2 3,0F 到直线 3y x= + 的距离 3 3 3 2 2 d   ， 所以 2 1 1 8 2 243 22 2 5 5APFS AP d       . 故选：D 13．（2021·甘肃高三一模（文））设 1F ， 2F 是双曲线   2 2 2 1 06 x y aa    的左、右焦点，一条渐近线方程为 6 2y x ， P 为双曲线上一点，且 21 3PF PF ，则 1 2PF F△ 的面积等于（ ） A． 6 B．12 C． 6 10 D．3 10 【答案】A 【分析】 根据渐近线方程可求得 a ，由双曲线定义可求得 1 2,PF PF ，由勾股定理知 1 2PF PF ，由此可求得所求 面积. 【详解】 由双曲线方程知其渐近线方程为： 6y xa   ，又一条渐近线方程为 6 2y x ， 2a  ， 由双曲线定义知： 1 2 2 2 23 2 2 4PF PF PF PF PF a      ， 解得： 2 2PF  ， 1 6PF  ，又 2 1 2 2 6 2 10F F a   ， 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F   ， 1 2PF PF ， 1 2 1 2 1 1 6 2 62 2PF FS PF PF       . 故选：A. 14．（2021·安徽高三一模（理））已知 F 为椭圆 C： 2 2 2 2 x y a b  =1(a>b>0)的右焦点，O 为坐标原点，P 为椭圆 C 上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆 C 的离心率为（ ） A． 2 2 B． 3 3 C． 2 -1 D． 3 -1 【答案】D 【分析】 记椭圆C 的左焦点为 E ，在 POF 中，通过余弦定理得出 PF ，PE ，根据椭圆的定义可得( )3 1 2c a+ = ， 进而可得结果. 【详解】 记椭圆C 的左焦点为 E ，在 POF 中，可得 2 2 2 cos120 3PF c c c c c       ， 在 POE△ 中，可得 PE c ，故  3 1 2PE PF c a    ， 故 2 3 1 3 1 ce a      ， 故选：D. 15．（2021·广东湛江市·高三一模）已知椭圆 2 2 2 2 x y a b  ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 交椭圆 C 于 A，B 两点，若 2BA BF  =0，且｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则 C 的离心率为（ ） A． 2 2 B． 3 2 C． 3 3 D． 1 2 【答案】A 【分析】 由向量知识得出 2 90ABF   ，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出 2a c ，最后由离心 率公式得出答案. 【详解】 因为 2BA BF  ，所以 2 90ABF   由｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设 2 2,| | , 2BF x AB x d AF x d     在 2R t A B F 中， 2 2 2( ) ( 2 )x x d x d    ，解得 3x d 即 2 23 ,| | 4 , 5BF d AB d AF d   由椭圆的定义得 2ABF 的周长为 1 2 1 2 2 2 4BF BF AF AF a a a      即3 4 5 4 , 3d d d a a d    在直角三角形 1 2BF F 中， 2 1BF a BF  ， 1 2 2F F c ，则 2 2 2(2 )a a c  ，故 2a c 即 2 2 ce a   故选：A 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键在于利用勾股定理、等差中项的性质、椭圆的定义得出 ,a c 的齐次方程，进而 得出离心率. 16．（2021·江西高三其他模拟（文））已知椭圆 1C 与双曲线 2C 的焦点相同，离心率分别为 1e ， 2e ，且满足 2 15e e ， 1F ， 2 F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若 1 2 120F PF   ，则双 曲线 2C 的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 3 22 【答案】C 【分析】 设 1 1PF r ， 2 2PF r ，利用余弦定理可得  2 2 2 1 2 1 22 2 cos120c r r rr    ，再分别利用椭圆与双曲线 的定义可得 2 2 2 1 2 1 44 3 brr b  ，可得 2 2 2 1 1 3+ 4e e  ，结合 2 15e e ，解方程即可得答案. 【详解】 设 1 1PF r ， 2 2PF r ， 在椭圆 1C ： 2 2 2 2 1 1 1x y a b   中，  2 2 2 1 2 1 22 2 cos120c r r rr       2 2 1 2 1 2 1 1 22r r rr a rr    ， 2 2 2 1 2 1 14 4 4rr a c b    ， 在双曲线 2C ： 2 2 2 2 2 2 1x y a b   中，  2 2 2 1 2 1 22 2 cos120c r r rr       2 2 1 2 1 2 2 1 23 2 3r r rr a rr     2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 43 4 4 4 3 brr c a b rr     ， 2 2 1 24 43 b b  即 2 2 2 13b b ，则  2 2 2 2 1 2 3a c c a   所以 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3 1 33 4 4 + 4a aa a cc e ec       ， 又因为 2 15e e ，所以 2 2 2 2 1 15+ 4e e  ， 解得 2 2e  ， 故选：C. 【点睛】 方法点睛：在处理焦点三角形问题时，一般要考虑椭圆和双曲线的定义，注意余弦定理的应用，得到基本 量之间的关系，从而转化为离心率问题，一般此类问题比较灵活，需要基础扎实，运算能力强. 17．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆 C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左､右焦点分别为 1F ､ 2F ， B 是椭 圆C 的上顶点，直线 1 3x c 与直线 2BF 交于点 A ，若 1 2 4AF F   ，则椭圆 C 的离心率为（ ） A． 5 5 B． 3 3 C． 2 2 D． 3 2 【答案】A 【分析】 根据  0,B b ，  2 ,0F c ，写出直线 2BF 的方程，与 1 3x c 联立求得点 A，再由 1 2 4AF F   求解. 【详解】 由题设知，  0,B b ，  2 ,0F c ， ∴直线 2BF 的方程为 1x y c b   ，联立 1 3 1 x c x y c b      得， 1 2,3 3A c b     ， 设直线 1 3x c 与 x 轴交于点 M ，则 1 4 3F M c ， 2 3MA b ， ∵ 1 2 4AF F   ， ∴ 1 4 2 3 3F M MA c b   ，即 2b c ， ∴ 2 2 24a c c  ，即 2 25a c ， ∴ 2 1 5 5 5e e   ， 故选：A 18．（2021·涡阳县育萃高级中学高二月考（理））双曲线 2 2 2 2: 1( , 0)x yC a ba b    ，圆 2 2:( 2) 3M x y   与双曲线 C 的一条渐近线相交所得弦长为 2，则双曲线的离心率等于（ ） A． 2 B． 3 C． 6 2 D． 7 2 【答案】A 【分析】 由题意先计算出圆心到渐近线的距离，然后再运用点到直线的距离公式计算出b c、 数量关系，即可求出离 心率 【详解】 由题意可知圆心 2,0 ，半径为 3 ，又因为渐近线与圆相交所得弦长为 2，则圆心到渐近线的距离等于  2 23 1 = 2 ，双曲线的一条渐近线为 0bx ay  ，运用点到直线的距离公式计算有 2 2 2 2 2b b ca b     ，即 2 2b c ，所以 2 2a c ，故 2ce a   ， 故选：A. 19．（2021·四川遂宁市·高三二模（文））已知 1F ， 2F 是双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左，右焦点， 过点 1F 倾斜角为 30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 A ， B .若 2 2AF BF ，则双曲线C 的离心 率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 5 【答案】A 【分析】 设 1AF t ，据双曲线的定义可用t 表示 2 2AF BF， ，作 2F H AB H  ，构造直角三角形可计算得 t ，并 用勾股定理列出了    2 223 2c c a  ，进而可求 e . 【详解】 设 1AF t ，则 2 22AF t a BF   ， 从而 1 4BF t a  ，进而 4BA a . 过 2F 作 2F H AB H  ，则 2AH a .如图： 在 1 2Rt F F H△ 中， 2 2 sin30F H c c   ， 1 22 cos 3F H c c AF   ； 在 2Rt AF H△ 中，   2 223 2c c a  ， 即 2 22 4c a ，所以 2e  . 故选：A 【点睛】 （1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义； （2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于 , ,a b c 的齐次等式，再化为 e 的等式可求； （3）此题的关键是作 2F H AB H  得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立 , ,a b c 的齐次等式. 20．（2021·浙江高三其他模拟）已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点分别为  1 2,0F  ，  2 2,0F ， P 为双曲线上位于第二象限内的一点，点 Q 在 y 轴上运动，若 2 1PQ QF PF  的最小值为 2 3 3 ，则双曲线的离心率为（ ） A． 3 B． 2 3 C．3 3 D． 4 3 【答案】B 【分析】 由 2 1 2 1 2PQ QF PF PF PF a     ，求得 a，再由左、右焦点分别为  1 2,0F  ，  2 2,0F 得到 c=2 求解. 【详解】 如图所示： 连接 2PF ，因为 2 1 2 1 2PQ QF PF PF PF a     ， 当且仅当 P ，Q ， 2F 三点共线时等号成立， 所以 2 1PQ QF PF  的最小值为 2a ， 所以 2 32 3a  ， 解得 3 3a  ． 由题意知 2c  ， ∴ 2 3ce a   ， 故选：B． 【点睛】 关键点点睛：本题关键是利用三角形的性质得出 2 1PQ QF PF  取得最小值时 P ，Q ， 2F 三点共线求 解. 21．（2021·浙江高三其他模拟）已知 F 是双曲线 E ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右焦点，直线 4 3y x 与 双曲线 E 交于 A ， B 两点，O 为坐标原点， AF ， BF 的中点分别为 P ，Q ，若 0OP OQ   ，则双曲线 E 的离心率为（ ） A． 5 B． 2 C． 2 2 D． 2 5 【答案】A 【分析】 设 A 位于第一象限，由 0OP OQ   ，得到 OP OQ  ，连接 2AF ，得到 22AOF AF F   ， 根据题意得到 4tan 3AOF  ，求得 2 1tan 2AF F  ，得出 2 2cos sinAF F AF F ， 的值， 结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解. 【详解】 如图所示，不妨设点 A 位于第一象限，因为 0OP OQ   ，所以OP OQ  ， 设 2F 为双曲线 E 的左焦点，连接 2AF ， 因为 O ， P ， Q 分别为 AB ， AF ， BF 的中点，所以 //OQ AF ， 2//OP AF ， 所以 2 90FAF   ，所以 2OA OF OF  ，所以 22AOF AF F   ， 又直线 AB 的方程为 4 3y x ，所以 4tan 3AOF  ， 所以 2 2 2 2 2tan 4tan tan2 1 tan 3 AF FAOF AF F AF F       ，得 2 1tan 2AF F  ， 所以 2 2 5cos 5AF F  ， 2 5sin 5AF F  ， 所以 2 2 2 2 5 4 5cos 2 5 5AF FF AF F c c      ， AF  2 2 5 2 5sin 2 5 5FF AF F c c     ， 由双曲线的定义可知 2 2 5 25AF AF c a   ， 所以双曲线 E 的离心率 5ce a   ． 故选：A 【点睛】 求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得 ,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率 e ； 2、齐次式法：由已知条件得出关于 ,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于 e 的一元二次方程求解； 3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 22．（2021·浙江高三其他模拟）已知 1F ， 2F 分别是双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点， 与 y 轴垂直的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于点 A ， B ，且 1 1 22 AF F F AB  ，则双曲线 C 的 离心率的取值范围为（ ） A． 3 11, 2      B． 5 11, 2      C． 3 1,2       D． 5 1,2       【答案】D 【分析】 由余弦定理可求出 2AF ，利用双曲线定义可得 2 1 2AF AF a  ，代入离心率公式，结合 π0 2   求值 即可. 【详解】 由题意得 1 1 22 2AF F F c  ，所以 1AF c ．设 1 2AF F   ，则 π0 2   ，连接 2AF ，则 2 2 2 2 2 1 1 2 1 11 22 2 cos 5 4 cosAF AF a AF F F AF F F c c        ． 由双曲线的定义得 2 1 2AF AF a  ， 所以 2 2 2 2 2 2 5 4cos 15 4 cos c c ce a a c c c         ． 因为 π0 2   ， 所以  cos 0,1  ，所以 2 5 1 ,25 4cos 1         ，即双曲线 C 的离心率的取值范围为 5 1,2       ， 故选：D 23．（2020·上海浦东新区·上外浦东附中高二月考）设点 M 、 N 均在双曲线 2 2 : 14 3 x yC   上运动， 1F 、 2F 是双曲线 C 的左、右焦点，则 1 2 2MF MF MN    的最小值为（ ） A． 2 3 B．4 C． 2 7 D．以上都不对 【答案】B 【分析】 根据向量的运算，化简得 1 2 12 2 2 2MF MF MN MO MN NO     uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur ，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】 由题意，设O 为 1 2,F F 的中点， 根据向量的运算，可得 1 2 2 2 2 2MF MF MN MO MN NO     uuur uuuur uuur uuur uuur uuur ， 又由 N 为双曲线 2 2 : 14 3 x yC   上的动点，可得 NO a uuur ， 所以 1 2 2 2 2 4MF MF MN NO a     uuur uuuur uuur uuur ， 即 1 2 2MF MF MN  uuur uuuur uuur 的最小值为 4 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运 算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于 中档试题. 二、多选题 24．（2021·山东滨州市·高三一模）已知椭圆 2 2 : 125 20 x yM   的左、右焦点分别是 1F ， 2F ，左、右顶点分 别是 1A ， 2A ，点 P 是椭圆上异于 1A ， 2A 的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． 1 2 5PF PF  B．直线 1PA 与直线 2PA 的斜率之积为 4 5  C．存在点 P 满足 1 2 90F PF   D．若 1 2F PF△ 的面积为 4 5 ，则点 P 的横坐标为 5 【答案】BD 【分析】 根据椭圆的定义判断 A，设 ( , )P x y ，计算斜率之积，判断 B，求出当 P 是短轴端点时的 1 2F PF 后可判断 C，由三角形面积求得 P 点坐标后可判断 D． 【详解】 由题意 5, 2 5, 5a b c   ， 1( 5,0)F  ， 2 ( 5,0)F ， 1( 5,0)A  ， 2 (5 ),0A ，短轴一个顶点 2 (0, 5)B ， 1 2 2 10PF PF a   ，A 错； 设 ( , )P x y ，则 2 2 125 20 x y  ， 2 2 20(1 )25 xy   ， 所以 1 2 2 2 2 2 1 420(1 )5 5 25 25 25 5PA PA y y y xk k x x x x            ，B 正确； 因为 2 2 2 2 5 1tan 122 5 OFOB F OB      ，所以 2 20 45OB F     ，从而 1 2 2 2 22 90F B F OB F     ， 而 P 是椭圆上任一点时，当 P 是短轴端点时 1 2F PF 最大，因此不存在点 P 满足 1 2 90F PF   ，C 错； ( , )P x y ， 1 2 1 2 1 3 4 52PF F P PS F F y y  △ ， 4Py  ，则 2 16 125 20 Px   ， 5Px   ，D 正确． 故选：BD． 【点睛】 关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连 线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点． 25．（2021·全国高三专题练习）设椭圆 2 2 19 3 x y  的右焦点为 F，直线 (0 3)y m m   与椭圆交于 A， B 两点，则下述结论正确的是（ ） A．AF+BF 为定值 B． △ ABF 的周长的取值范围是[6，12] C．当 2m  时， △ ABF 为直角三角形 D．当 m=1 时， △ ABF 的面积为 6 【答案】AD 【分析】 根据椭圆的定义可求 AF BF 的值，结合三角形的边长关系可判断 ABF 周长的取值范围，计算 0BA BF   可判断 ABF 不是直角三角形，计算 AB ，利用面积公式可求 ABF 的面积. 【详解】 设椭圆的左焦点为 F，则 AF BF  ∴ =6AF BF AF AF   为定值，A 正确； ABF 的周长为 AB AF BF  ，因为 AF BF 为定值 6， ∴ AB 的范围是 0,6 ， ∴ ABF 的周长的范围是 6,12 ，B 错误； 将 2y  与椭圆方程联立，可解得  3, 2A  ，  3, 2B ， 又∵  6,0F ，∴   2 3,0 · 6 3, 2 6 6 2 0BA BF         ， ∴ ABF 不是直角三角形，C 不正确； 将 1y  与椭圆方程联立，解得  6,1A  ，  6,1B ， ∴ 1 2 6 1 62ABFS     ，D 正确． 故选：AD 26．（2021·全国高三其他模拟）已知 na 是公比为 q的等比数列，且 1 1a  ，曲线 nC ： 2 2 1 1    n n x y a a ， *nN ．（ ） A．若 0q  且 1q  ，则 nC 是椭圆 B．若存在 *nN ，使得 nC 表示离心率为 1 2 的椭圆，则 4 3q  C．若存在 *nN ，使得 nC 表示渐近线方程为 2 0x y  的双曲线，则 1 4q   D．若 2q   ， nb 表示双曲线 nC 的实轴长，则 1 2 20 6138   b b b 【答案】ACD 【分析】 由等比数列的定义判断项的正负，并结合椭圆、双曲线的方程及其几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】 因为 0q  且 1q  ，所以 0na  ， 1 0na   且 1 n na a ，所以 nC 表示椭圆，所以 A 正确． 当 nC 表示椭圆时，显然 0q  且 1q  ，若 1q  ，则 1n na a  ， 1 1 1 11 1n n n n n a a ae a a q         ，令 1 11 2q   ，解得 4 3q  ； 若 0 1q  ，则 1n na a  ， 1 11 1n n n n n a a ae qa a       ，令 11 2q  ，解得 3 4q  ，所以故 B 错误． 若 nC 表示双曲线．显然 0q  ，故双曲线 nC 的一条渐近线方程为 1n n ay x qxa     ， 令 1 2q  ，解得 1 4q   ，所以 C 正确． 若 2q   ，当 n 为偶数时， 0na  ， 1 0na   ，双曲线 nC 的焦点在 y 轴上，则 12n nb a  ；当 n 为奇数时， 0na  ， 1 0na   ，双曲线 nC 的焦点在 x 轴上，则 2n nb a ， 所以  1 2 20 1 3 192 2b b b a a a           3 5 21 1 3 19 214 2 2a a a a a a a           10 10 111 24 2 2 1 2 3 2 6 61381 2           ，所以 D 正确． 【点睛】 方法点睛：解决本题的关键有两个：（1）能根据公比 q的取值情况判断 1na  ， na 的正负；（2）能根据椭圆、 双曲线的方程和几何性质建立 1na  ， na 的数量关系． 27．（2021·广东深圳市·高三一模）设 1F 、 2F 分别是双曲线 2 2 : 1x yC m n m n    的左、右焦点，且 1 2 4F F  ， 则下列结论正确的有（ ） A． 2m  B．当 0n  时，C 的离心率是 2 C． 1F 到渐近线的距离随着 n 的增大而减小 D．当 1n  时，C 的实轴长是虚轴长的两倍 【答案】AC 【分析】 由已知条件值 2c  ，根据 2a m n  ， 2b m n  ， 2 2 2c a b  ，可计算 m 的值，进而可判断选项 A； 直接计算 2 2 ce a  可判断选项 B；计算 1F 到渐近线的距离用 n 表示，即可判断选项 C；当 1n  时求出 ,a b 得值，可得 2 ,2a b 的关系可判断选项 D，进而可得正确选项. 【详解】 对于选项 A：由双曲线的方程可得 2a m n  ， 2b m n  ， 所以 2 2 2 2c a b m n m n m       ， 因为 2 4c  ，所以 2c  ， 所以 2 2 4c m  ，可得： 2m  ，故选项 A 正确； 对于选项 B：当 0n  时，双曲线 2 2 : 12 2 x yC   ，此时 2 2 2a b  ， 2 4c  ， 所以离心率 2 2 2ce a   ，故选项 B 不正确； 对于选项 C： 2 2 : 1x yC m n m n    中，由选项 A 知： 2m  ， 2 2a n  ， 2 2b n  ，的渐近线方程为 by xa   ， 不妨取焦点  1 2,0F  ，则 1F 到渐近线的距离 2 2 4 bd b n    ， 所以 1F 到渐近线的距离随着 n 的增大而减小，故选项 C 正确； 对于选项 D：当 1n  时， 2 1 3a    ， 2 1 1b    ， 所以实轴长为 2 3 ，虚轴长为 2 ，不满足 C 的实轴长是虚轴长的两倍，故选项 D 不正确； 故选：AC 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出 2a m n  ， 2b m n  ，再利用双曲线的性质可求 ,a b ， 关键点是准确记忆双曲线中的概念，焦点到渐近线的距离等于b . 28．（2020·全国高三其他模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线  2 2 0y px p  的焦点为 F ，准 线为 l ，l 与 x 轴交于点 C ，若点 A 在 l 上，点 B 为抛物线上第一象限内一点，直线 BF 与抛物线交于另一 点 D ， ABF 是正三角形，且四边形 ABFC 的面积是 27 3 2 ，则（ ） A．l 的方程为 3 2x   B． 2DF  C． CD BD D． ODF△ 的面积是 3 3 4 【答案】ABD 【分析】 根据题干条件及抛物线定义，可求得 p 的值，即可求得抛物线方程及准线方程，联立直线 BD 的方程与抛 物线方程，即可求得 B、D 坐标，即可求得 DF ，利用向量法可检验 CD BD 是否垂直，计算化简，即可 得答案. 【详解】 如图，因为 ABF 为正三角形，所以 BA BF ，则由抛物线的定义可知 BA l^ ，又 60BAF  ，所 以 30CAF   ． 因为 FC p ，所以 3AC p ， 2AF AB p  ， 又四边形 ABFC 的面积为 27 3 2 ，所以  1 27 32 32 2p p p   ， 所以 3p  ，所以 3 ,02F      ， l 的方程为 3 2x   ，故 A 正确． 易知直线 BD 的方程为 33 2y x     ，代入抛物线的方程 2 6y x ，得 24 20 9 0x x   ， 解得 1 2x  或 9 2x  ，则 9 ,3 32B     ， 1 , 32D    ， 所以 1 3 22 2DF    ，故 B 正确． 又 3 ,02C     ，所以  2, 3CD   ，又  4, 4 3BD    ， 所以 4 0BD CD    ，所以 BD ， CD 不垂直，故 C 错误． ODF△ 的面积 1 1 3 3 3= 32 2 2 4DS OF y      ，故 D 正确. 故答案为：ABD 【点睛】 解题的关键是根据正三角形及四边形 ABFC 的面积，求得 p 值，再联立方程，求得 B、D 坐标，进行分析 和判断，在已知坐标情况下，证明垂直时可用向量法，可简化计算和分析，属中档题. 29．（2021·全国高三其他模拟）已知抛物线  2: 2 0C y px p  ，F 为C 的焦点，过焦点 F 且倾斜角为 的直线交抛物线C 于  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点，则下列说法正确的是（ ） A．C 在点 A 处的切线方程为  1 1y y p x x  B． 2 sinAOB pS △ C．过抛物线C 准线上的任意一点 P 作C 的切线，则过两切点 1Q ， 2Q 的弦必过焦点 F D． 2 2 sin pAB  【答案】ACD 【分析】 A：设 A 处的切线方程为  1 1y y k x x   ，联立抛物线方程整理得  2 1 12 2 0ky py p y kx    ，而 0  且 2 1 12y px ，即可得 A 处的切线方程；B：利用特殊情况： AB  x 轴时求得 2 sin90AOB pS   ；C：设  ,2 pP t t R     ，切点 2 ,2 yQ yp       ，结合 PQk 的两点表示、切点处导数的几何意义，列方程并讨论 t 判断 F ， 1Q ， 2Q 三点是否共线；D：讨论直线 AB 的斜率是否存在，确定等式是否成立即可. 【详解】 对于 A，根据题意可知 1 0y  ，抛物线在点 A 处的切线斜率存在， 设点 A 处的切线方程为  1 1y y k x x   ，与 2 2y px 联立，得  2 1 12 2 0ky py p y kx    ， 由 0  ，得 2 1 12 2 0x k y k p   ，即 2 2 1 12 0y k y k pp    ，则 2 2 2 1 12 0y k py k p   ，解得 1 pk y  ，故切线方 程为  1 1 1 py y x xy    ，即  1 1y y p x x  ，故 A 正确. 对于 B，当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 2 px  ，由题意 2AB p ，则 2 21 22 2 2 sin90AOB p p pS p     △ ，故 B 错误. 对于 C，设点  ,2 pP t t R     ，过点 P 作抛物线的切线， 切点为 2 ,2 yQ yp       ， 2 2y px 两边分别求导得 2 2yy p  ， py y   ， ∴ 2 2 2 PQ p y tk y py p    ，即 2 22 0y ty p   . ∵ 2 24 4 0t p  ， ∴切点有两个，设为 2 3 1 3,2 yQ yp       ， 2 4 2 4,2 yQ yp       ，则 3 4 2y y t  ， 2 3 4y y p  ， 当 0t  时， 3 4y y  ，则 3y p ， 4y p  或 3y p  ， 4y p ，点 1Q ， 2Q 的坐标为 ,2 p p    ，点 F ， 1Q ， 2Q 共线. 当 0t  时， 1 2 3 34 4 2 2 2 2 2 2 3 4 3 4 2 2 2 22 2 FQ FQ y pyy pyk k y y y p y ppp pp       3 4 2 2 3 3 4 4 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 0py py p p y y y y y y y y y y         ， 则 F ， 1Q ， 2Q 三点共线， ∴过两切点 1Q ， 2Q 的弦必过焦点，故 C 正确. 对于 D，当直线 AB 的斜率不存在时， 90   ， 1 2 2 px x  ，此时 2 22 sin 90 pAB p   ； 当直线 AB 的斜率存在时，可知直线 AB 的斜率为 tan ，则直线 AB 的方程为 tan 2 y px   ， 联立 2 2 tan 2 y px y px      ，得 2 22 0tan pyy p   ，则 0  ， 1 2 2 tan py y   . 1 2 1 2 1 2 2tan 2 tan 2 tan y y y yp pAB x x p p p             2 2 2 2 1 22 2 1tan tan sin p pp p           ，故 D 正确， 故选：ACD. 【点睛】 关键点点睛：相交直线与抛物线顶点所成三角形的面积问题、利用导数求切线方程、焦点弦以及相交弦长 等综合问题. 30．（2020·全国高三专题练习）已知O 为坐标原点，  1,2M ， P 是抛物线C ： 2 2y px 上的一点， F 为 其焦点，若 F 与双曲线 2 2 13 x y  的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ） A．若 6PF  ，则点 P 的横坐标为 4 B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 3 C．若 POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为 9 D． PMF△ 周长的最小值为3 5 【答案】ACD 【分析】 先求出 4p  ，选项 A 求出点 P 的横坐标为 0 42PFx p  ，判断选项 A 正确；选项 B 求出抛物线的准 线被双曲线所截得的线段长度为 22 2 2 3 33 b a   ，判断选项 B 错误；选项 C 先判断 POF 外接圆的圆心 的横坐标为 1，再判断 POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点 F 的 距离等于半径，最后求出半径和外接圆面积，判断选项C正确；选项D直接求出 PMF△ 的周长为 3 5C   ， 判断选项 D 正确. 【详解】 解：因为双曲线的方程为 2 2 13 x y  ，所以 2 3a  ， 2 1b  ，则 2 2 2c a b   ， 因为抛物线C 的焦点 F 与双曲线 2 2 13 x y  的右焦点重合，所以 =22 p ，即 4p  ， 选项 A：若 6PF  ，则点 P 的横坐标为 0 42PFx p  ，所以选项 A 正确； 选项 B：因为抛物线C 的焦点 F 与双曲线 2 2 13 x y  的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的 线段长度为 22 2 2 3 33 b a   ，所以选项 B 错误； 选项 C：因为 (0,0)O 、 (2,0)F ，所以 POF 外接圆的圆心的横坐标为 1，又因为 POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点 F 的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的 距离为 3，所以 3r  ，所以该外接圆面积为 2 9S r   ，所以选项 C 正确； 选项 D：因为 PMF△ 的周长为 5 ( ) 2 5 2 5 3 52P P M pC PF PM MF x PM x PM x                ，所以选项 D 正确. 故选：ACD 【点睛】 本题考查抛物线的定义的几何意义，双曲线的通径长，