第 1 讲 平行与垂直
一．选择题（共 11 小题）
1．对于任意的直线l 与平面 a ，在平面 a 内必有直线 m ，使 m 与 (l )
A．平行 B．垂直 C．相交 D．互为异面直线
【解答】解：对于任意的直线 l 与平面 ，分两种情况
① l 在平面 内， l 与 m 共面直线，则存在直线 m l 或 / /m l ；
② l 不在平面 内，且 l ，则平面 内任意一条直线都垂直于 l ； 若 l 于 不垂直，
则它的射影在平面 内为一条直线，在平面 内必有直线 m 垂直于它的射影，则 m 与 l 垂直；
若 / /l ，则存在直线 m l ．
故选： B ．
2．对于平面 和共面的直线 m 、 n ，下列命题中正确的是 ( )
A．若 m ， m n ，则 / /n
B．若 / /m ， / /n ，则 / /m n
C．若 m ， / /n ，则 / /m n
D．若 m 、 n 与 所成的角相等，则 / /m n
【解答】解：由于直线 m 、 n 共面，
对于 A ．若 m ， m n ，则 n 或 / /n ，故 A 错；
对于 B ．若 / /m ， / /n ，则 m ， n 相交或平行，故 B 错；
对于 C ．若 m ， / /n ，由于 m 、 n 共面，则 / /m n ，故 C 对；
对于 D ．若 m 、 n 与 所成的角相等，则 m ， n 相交或平行，故 D 错．
故选： C ．
3．已知 m ， n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 ( )
A．若 / /m n ， / /m ，则 / /n B．若 m n ， n ，则 m
C．若 m ， m n ，则 / /n D．若 / /m ， n ，则 m n
【解答】解：对于 A ，若 / /m n ， / /m ，可得 / /n 或 n ，故 A 错误；
对于 B ，若 m n ， n ，可得 / /m 或 m ，或 m 与 相交，故 B 错误；
对于 C ，若 m ， m n ，可得 / /n 或 n ，故 C 错误；
对于 D ，若 / /m ，由线面平行的性质定理可得过 m 的平面 与 的交线 l 与 m 平行，
又 n ，可得 n l ，则 m n ，故 D 正确．
故选： D ．
4．设 m ， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面 ( )
A．若 m n ， / /n ，则 m B．若 / /m ， 则 m
C．若 / /m n ， n 则 m D．若 m n ， n ， ，则 m
【解答】解：对于 A ，若 m n ， / /n ，则 m 与 可能平行；故 A 错误；
对于 B ，若 / /m ， 则 m 与 可能平行；故 B 错误；
对于 C ，若 / /m n ， n 根据线面垂直的性质与线面垂直的判定定理得到 m ；故 C 正确；
对于 D ，若 m n ， n ， ，则 m 与 可能平行环形斜交；故 D 错误；
故选： C ．
5．设 a ， b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面；②存在分
别经过直线 a 和b 的两个平行平面；③经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b ；④经过直线 a 有且只有
一个平面平行于直线 b ．其中正确的个数有
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①
正确
对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确
对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误
对于④：假设过直线 a 有两个平面 、 与直线 b 平行，则面 、 相交于直线 a ，过直线 b 做一平面 与
面 、 相交于两条直线 m 、 n ，则直线 m 、 n 相交于一点，且都与直线 b 平行，这与“过直线外一点有
且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确
故选： C ．
6．已知 ， 表示不同平面，则 / / 的充分条件是 ( )
A．存在直线 a ， b ，且 a ， b ， / /a ， / /b
B．存在直线 a ， b ，且 a ， b ， / /a ， / /b
C．存在平面 ， ，
D．存在直线 a ， a ， a
【解答】解：对于 A ，只有当 a 与 b 相交才满足条件，故 A 错误；
对于 B ，当 / /a b 时，不一定得到 / / ，故 B 错误；
对于 C ，存在平面 ， ， ，不一定有 / / ， 与 也可能相交，故 C 错误；
对于 D ，若存在直线 a ， a ， a ，则一定有 / / ，故 D 正确．
故选： D ．
7．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为棱 CD 的中点，则 ( )
A． 1 1A E DC B． 1A E BD C． 1 1A E BC D． 1A E AC
【解答】解：法一：连 1B C ，由题意得 1 1BC B C ，
1 1A B 平面 1 1B BCC ，且 1BC 平面 1 1B BCC ，
1 1 1A B BC ，
1 1 1 1A B B C B ，
1BC 平面 1 1A ECB ，
1A E 平面 1 1A ECB ，
1 1A E BC ．
故选： C ．
法二：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， 1DD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中棱长为 2，
则 1(2A ，0，2) ， (0E ，1，0) ， (2B ，2，0) ， (0D ，0，0) ， 1(0C ，2，2) ， (2A ，0，0) ， (0C ，2，0) ，
1 ( 2A E ，1， 2) ， 1 (0DC ，2， 2) ， ( 2BD ， 2 ， 0) ，
1 ( 2BC ，0， 2) ， ( 2AC ，2， 0) ，
1 1 2A E DC ， 1 2A E BD ， 1 1 0A E BC ， 1 6A E AC ，
1 1A E BC ．
故选： C ．
8．如图，在下列四个正方体中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ， Q 为所在棱的中点，则在这四个
正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( )
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于选项 A ，由于 / /AB MQ ，结合线面平行判定定理可知 AB 与平面 MNQ 平行；
对于选项 B ，如图，
O 为底面对角线的交点，可得 / /AB OQ ，
又 OQ 平面 MNQ Q ，
所以直线 AB 与平面 MNQ 不平行．
对于选项 C ，由题意，可得 / /AB MN ，结合线面平行判定定理可知 AB 与平面 MNQ 平行；
对于选项 D ，由于 / /AB MQ ，结合线面平行判定定理可知 AB 与平面 MNQ 平行；
故选： B ．
9．如图，点 A ， B ， C ， M ， N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线 / /MN 平
面 ABC 的是 ( )
A． B．
C． D．
【解答】解：对于 A ，作出完整的截面 ABCD ，由正方体的性质可得 / / / /MN EF AC ，可得直线 / /MN 平
面 ABC ，能满足；
对于 B ，作出完整的截面 ABDCEF ，由正方体的性质可得 / /MN BF ，可得直线 / /MN 平面 ABC ，能满足；
对于 C ，作出完整的截面 ABCD ，由正方体的性质可得 / /MN BD ，可得直线 / /MN 平面 ABC ，能满足；
对于 D ，作出完整的截面，如下图 ABNMHC ，可得 MN 在平面 ABC 内，不能得出平行，不能满足．
故选： D ．
10．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：
① ED 与 NF 所成的角为 60
② / /CN 平面 AFB
③ / /BM DE
④平面 / /BDE 平面 NCF
其中正确判断的序号是 ( )
A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④
【解答】解：把正方体的平面展开图还原成正方体 ABCD EFMN ，
在①中， / /NF BD ， EDB 是 ED 与 NF 所成角（或所成角的补角），
EDB 是等边三角形， 60EDB ，
ED 与 NF 所成的角为 60 ，故①正确；
在②中， / /CN EB ， CN 平面 AFB ， EB 平面 AFB ，
/ /CN 平面 AFB ，故②正确；
在③中， / /BM AN ， DE 与 AN 相交， BM 与 DE 不平行，故③错误；
在④中， / /NF BD ， / /CF DE ， NF CF F ， DE DB D ，
NF 、 FC 平面 CNF ， DE 、 DB 平面 BDE ，
平面 / /BDE 平面 NCF ，故④正确．
故选： C ．
11．如图所示，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 a ， M ， N 分别为 1A B 和 AC 上的点， 1
2
3
aA M AN ，
则 MN 与平面 1 1BB C C 的位置关系是 ( )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
【解答】解：正方体棱长为 a ， 1
2
3
aA M AN ，
1
2
3MB A B ， 2
3CN CA ，
1 1 1 1
2 2 2 2( ) ( )3 3 3 3MN MB BC CN A B BC CA A B B B BC CD DA
1 1 1
2 1
3 3B B B C ．
又 CD
是平面 1 1B BCC 的法向量，
且 1 1 1
2 1( ) 03 3MN CD B B B C CD
，
MN CD ，
/ /MN 平面 1 1B BCC ．
故选： B ．
二．填空题（共 7 小题）
12．下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②
如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面内的两个不
同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．其中的真命题是 ③④ （把正确的命题
序号全部填在横线上）．
【解答】解：对于①，相应的两个平面可能相交，因此①不正确；
对于②，其中的两条直线可能是两条平行直线，此时相应的两个平面不一定平行，因此②不正确；
对于③平行于同一平面内的两个不同平面相互平行，因此③正确；
对于④，垂直于同一直线的两个不同平面相互平行，因此④正确．
故答案为：③④．
13．空间四边形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点．若 AC BD ，则四边
形 EFGH 是 菱形 ．
【解答】解：作出如图的空间四边形，连接 AC ，
BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个
四边形 EFGH ，
由中位线的性质知 / /EH FG ， / /EF HG
故四边形 EFGH 是平行四边形
又 AC BD ，故有 1 1
2 2HG AC BD EH
故四边形 EFGH 是菱形
故答案为菱形
14．棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，过 A ， B ， C 做正方体的截面，则截面的面积是 1 ．
【解答】解：棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，
过 A ， B ， C 做正方体的截面，
得到的截面是边长为 1 的正方形 ABCD ，
截面的面积是 1 1 1S ．
故答案为：1．
15．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，经过其对角线 1BD 的平面分别与棱 1AA 、 1CC 相交于 E ， F 两点，则四
边形 1EBFD 的形状为 平行四边形
【解答】解：因为在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，平面 1 1AA DD 与平面 1 1BB C CP 平行，
而经过对角线 1BD 的平面分别与这两个相交于 1D E 与 BF ，
根据面面平行的性质定理，故 1 / /D E BF ，
同理可证 1/ /BE FD ，
所以四边形 1EBFD 的形状为平行四边形，
故答案为平行四边形．
16．如图所示是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：
① AB 与 EF 所在的直线平行；
② AB 与 CD 所在的直线异面；
③ MN 与 BF 所在的直线成 60 角；
④ MN 与 CD 所在的直线互相垂直．
其中正确的命题是 ②④ ．
【解答】解：由展开图可知，各点在正方体中的位置如下：
由图可知， AB EF 且异面，①不正确；
AB 与 CD 异面，②正确；
/ /MN BF ，③不正确；
MN CD ，④正确．
故正确的命题是：②④，
故答案为：②④
17．在正方体的 8 个顶点，12 条棱的中点，6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中，共线的三点组的个
数是 49 ．
【解答】解：根据题意，在所给的正方体的 27 个点中，三点共线的情况有 3 种：
①、三点都在正方体的棱上，正方体有 12 条棱，即有 12 种情况；
②、以 6 个面的中心为中点，正方体有 6 个面，每个面有 4 种情况，共有 4 6 24 种情况，
③、以正方体的中心为中点，共有 26 2 13 种情况，
则共有12 24 13 49 种，即共线的三点组的个数是 49；
故答案为：49．
18．设有下列四个命题：
1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
4p ：若直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，则 m l ．
则下述命题中所有真命题的序号是 ①③④ ．
① 1 4p p
② 1 2p p
③ 2 3p p
④ 3 4p p
【解答】解：设有下列四个命题：
1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，
2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，
3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，
4p ：若直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，则 m l ．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；
由复合命题的真假可判断① 1 4p p 为真命题，② 1 2p p 为假命题，③ 2 3p p 为真命题，④ 3 4p p 为真
命题，
故真命题的序号是：①③④，
故答案为：①③④，
三．解答题（共 7 小题）
19．如图，已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M 为 PB 的中点，求证： / /PD 平面 MAC ．
【解答】证明：连接 AC 、 BD 交点为 O ，
连接 MO ，则 MO 为 BDP 的中位线，
/ /PD MO ． PD 平面 MAC ， MO 平面 MAC ，
/ /PD 平面 MAC ．
20．如图所示，两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB ，M AC ，N FB ，且 AM FN ，
求证： / /MN 平面 BCE ．
【解答】证明：法一、
如图一，作 MP BC ， NQ BE ， P 、 Q 为垂足，连接 PQ ，
则 / /MP AB ， / /NQ AB ， / /MP NQ ，
又 AM NF ， AC BF ， MC NB ．
又 45MCP NBQ ，
Rt MCP Rt NBQ ，得 MP NQ ．
故四边形 MPQN 为平行四边形．
/ /MN PQ ．
/ /PQ 平面 BCE ， MN 平面 BCE ，
/ /MN 平面 BCE ；
法二：如图二，过 M 作 MH AB 于 H ，则 / /MH BC ，
AM AH
AC AB
．
连接 NH ，由 BF AC ， FN AM ，得 FN AH
FB AB
，
/ / / /NH AF BE ．
又 NH BH H ， BC BE B ， NH ， BH 平面 MNH ， BC ， BE 平面 BCE ，
平面 / /MNH 平面 BCE ，
MN 平面 MNH ，
/ /MN 平面 BCE ．
21．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD ， 2PD DC ，E 是 PC
的中点，作 EF PB 交 PB 于点 F ．
（1）证明： / /PA 平面 EDB ；
（2）证明： PB 平面 EFD ．
【解答】解：（1）证明：连接 AC ， AC 交 BD 于 O ．连接 EO ．
底面 ABCD 是正方形，点 O 是 AC 的中点．
在 PAC 中， EO 是中位线， / /PA EO ，
EO 平面 EDB ，且 PA 平面 EDB ，
/ /PA 平面 EDB ．
（2）证明： PD 底面 ABCD ，且 DC 底面 ABCD ， PD BC ．
底面 ABCD 是正方形， DC BC ，
BC 平面 PDC ． DE 平面 PDC ， BC DE ．
又 PD DC ， E 是 PC 的中点， DE PC ． DE 平面 PBC ．
PB 平面 PBC ， DE PB ．又 EF PB ，且 DE EF E ，
PB 平面 EFD ．
22．如图， ABC 为正三角形， EC 平面 ABC ， / /BD CE ， 2CE CA BD ， N 是 EA 的中点，求证：
（1） DE DA ；
（2）平面 BDN 平面 ECA ；
（3）平面 DEA 平面 ECA ．
【解答】证明：（1）如图，取 EC 中点 F ，连接 DF ．
EC 平面 ABC ， / /BD CE ，得 DB 平面 ABC ．
DB AB ， EC BC ．
/ /BD CE ， 1
2BD CE FC ，则四边形 FCBD 是矩形，
DF EC ．
又 BA BC DF ，
Rt DEF Rt ABD ，所以 DE DA ．
（2）取 AC 中点 M ，连接 MN 、 MB ， N 是 EA 的中点，
1
2MN EC ．由 1
2BD EC ，且 BD 平面 ABC ，可得四边形
MNBD 是矩形，于是 / /DN BM ．
DE DA ， N 是 EA 的中点， DN EA ．又 EA M N N ，
DN 平面 ECA ，而 DN 平面 BDN ，则平面 ECA 平面 BDN ．
（3） DN 平面 ECA ， DN 平面 DEA ，
平面 DEA 平面 ECA ．
23．如图所示，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，四边形 1 1AA B B 为矩形，平面 1 1AA B B 平面 ABC ，点 E ，
F 分别是侧面 1 1AA B B ， 1 1BB C C 对角线的交点．
（1）求证： / /EF 平面 ABC ；
（2） 1BB AC ．
【解答】（本题满分为 14 分）
证明：（1）三棱柱 1 1 1ABC A B C ，
四边形 1 1AA B B ，四边形 1 1BB C C 均为平行四边形，
E ， F 分别是侧面 1 1AA B B ， 1 1BB C C 对角线的交点，
E ， F 分别是 1AB ， 1CB 的中点，
/ /EF AC ，（4 分）
EF 平面 ABC ， AC 平面 AB ABC ，
/ /EF 平面 ABC ．（8 分）
（2）四边形 1 1AA B B 为矩形，
1BB AB ，
平面 1 1AA B B 平面 ABC ， 1BB 平面 1 1ABB A ，平面 1 1ABB A 平面 ABC AB ，
1BB 平面 ABC ，（12 分）
AC 平面 ABC ，
1BB AC ．（14 分）
24．如图，正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的高为 6 ，其底面边长为 2．已知点 M ，N 分别是棱 1 1AC ，AC 的中点，
点 D 是棱 1CC 上靠近 C 的三等分点．求证：
（1） 1 / /B M 平面 1A BN ；
（2） AD 平面 1A BN ．
【解答】证明：（1）连结 MN ，正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，
1 1/ /AA CC 且 1 1AA CC ，则四边形 1 1AAC C 是平行四边形，
因为点 M 、 N 分别是棱 1 1AC ， AC 的中点，所以 1/ /MN AA 且 1MN AA ，
又正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中 1 1/ /AA BB 且 1 1AA BB ，
所以 1/ /MN BB 且 1MN BB ，所以四边形 1MNBB 是平行四边形，
所以 1 / /B M BN ，又 1B M 平面 1A BN ， BN 平面 1A BN ，
所以 1 / /B M 平面 1A BN ；
（2）正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 平面 ABC ， BN 平面 ABC ，
所以 1BN AA ，
正 ABC 中， N 是 AB 的中点，所以 BN AC ，又 1AA 、 AC 平面 1 1AAC C ， 1AA AC A ，
所以 BN 平面 1 1AAC C ，又 AD 平面 1 1AAC C ，
所以 AD BN ，
由题意， 1 6AA ， 2AC ， 1AN ， 6
3CD ，所以 1 3
2
AA AN
AC CD
，
又 1 2A AN ACD ，所以△ 1A AN 与 ACD 相似，则 1AA N CAD ，
所以 1 1 1 2ANA CAD ANA AA N ，
则 1AD A N ，又 1BN A N N ， BN ， 1A N 平面 1A BN ，
所以 AD 平面 1A BN ．
25．直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AC BC ， 90ACB ， 1 2AA ， D 是 1 1A B 中点．
（1）求证 1C D 平面 1A B ；
（2）当点 F 在 1BB 上什么位置时，会使得 1AB 平面 1C DF ？并证明你的结论．
【解答】证明：（1）如图， 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱，
1 1 1 1 1AC B C ，且 1 1 1 90AC B ．
又 D 是 1 1A B 的中点， 1 1 1C D A B ．
1AA 平面 1 1 1A B C ， 1C D 平面 1 1 1A B C ，
1 1AA C D ， 1C D 平面 1A B ．
解：（2）作 1DE AB 交 1AB 于 E ，
延长 DE 交 1BB 于 F ，连结 1C F ，则 1AB 平面 1C DF ，点 F 即为所求．
事实上， 1C D 平面 1AA BB ， 1AB 平面 1 1AA B B ，
1 1C D AB ．又 1AB DF ， 1DF C D D ，
1AB 平面 1C DF ．
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