专题 13 空间几何体的体积
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知球 O 的直径 4PQ ， A ， B ，C 是球 O 球面上的三点， ABC 是等边三角形，且
30APQ BPQ CPQ ，则三棱锥 P ABC 的体积为（ ）.
A． 3 3
4
B． 9 3
4
C． 3 3
2
D． 27 3
4
【解析】设球心为 M ，等边三角形 ABC 截面小圆的圆心为O（也是等边三角形 ABC 的中心）.由于 ABC
是等边三角形， 30APQ BPQ CPQ ，
所以 PQ 平面 ABC ，P 在面 ABC 的投影即O ，也即等边三角形 ABC 的中心，且 PO 平面 ABC ，则
PO OC .因为 PQ 是直径，所以 90PCQ .
所以 4cos30 2 3, 2 3cos30 3PC PO ， 2 3sin30 3OC .
由于 O 是等边三角形 ABC 的中心，所以 2
3OC CH ，
所以等边三角形 ABC 的高 3 3CH 2
， 3 3 sin60 32AC .
所以三棱锥 P ABC 的体积为 1 1 1 3 9 33 3 33 3 2 2 4ABCV PO S
△ .
故选：B
2．如图所示，在三棱锥 P ABC 中， BC ⊥平面 PAC ， PA AB ， 4PA AB ，且 E 为 PB 的中点，
AF PC 于 F ，当 AC 变化时，则三棱锥 P AEF 体积的最大值是（ ）
A． 2 2
3
B． 2 C． 4 2
3
D． 5 2
3
【解析】在三棱锥 P ABC 中， BC ⊥平面 PAC ， 4PA AB 知：
2 2 2| | | | | | 16AC BC AB ，而 1 | | | | 2| |2PACS AC PA AC ，
而 P AEF E PAFV V 且 1 | |
3 2E PAF PAF
BCV S ，又
2
2 2
| |
| | | |PAF PAC
PAS SPA AC
∵ E 为 PB 的中点，知： 2
1 | | 16 | | | |
3 2 3 16 | |E PAF PAF
BC AC BCV S AC
∴设| |AC a ，则 2| | 16BC a ，所以
2
2
16 16
3 16E PAF
a aV a
，
令 2 16 16m a ，有 ( 16)(32 )16 16 16 32(1 )( 1)3 3E PAF
m mV m m m
，
令 1 1(0, ]16x m
， 216 512 48 13E PAFV x x ，而由二次函数 2( ) 512 48 1f x x x 的性质知：
3
64x 时有最大值为 1
8
，
∴ E PAFV 最大值为16 1 4 2
3 32 2
，故选：C
3．如图所示，在 ABC 中， 2AB BC ， 120ABC .若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D
满足 PD DA ， PB BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值为（ ）
A． 1
3 B． 1
2 C． 2
3 D．1
【解析】因为 2AB BC , 120ABC ，
由余弦定理，可得 2 22 2 2 2 2cos120 2 3AC ，
所以 2 3AC , 30ACB CAB ，
设 AD x ,则 , 2 3DP x DC x , P 到平面 BCD 的距离为 h ,则 h PD x ，
则 1 sin2BCDS BC DC ACB 1 1 2 32 2 32 2 2
xx
则 1
3P BCD BCDV S h 1 2 3
3 2
x x 21 1( 3)6 2x
所以当 3x 时, 三棱锥 P BCD 的体积的最大值为 1
2
，故选: B
4．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1， ,E F 分别是线段 AB 、 1BD 上的动点，若 / /EF 平面 1 1ADD A ，
则三棱锥 1A EFB 的最大体积为（ ）
A． 3
12
B． 1
12 C． 1
24 D． 1
8
【解析】如图，
由 1DD 底面 ABCD ，可得平面 1BDD 底面 ABCD ，
在平面 1BDD 内过 F 作 FG DB 于G ，
则 FG 底面 ABCD ，可得 1/ /FG DD ， / /FG 平面 1 1ADD A ，
又 / /EF 平面 1 1ADD A ，且 1FG DD F ，
平面 / /EFG 平面 1 1ADD A ，可得 / /EG AD ，则 EG 平面 1AEB ，
又 1 1/ / / /FG DD AA ，且 FG 平面 1AEB ，可得 / /FG 平面 1AEB ，
则 F 到平面 1AEB 的距离等于G 到平面 1AEB 的距离，
设 0 1BE x x ，则 F 到平面 1AEB 的距离等于G 到平面 1AEB 的距离为 x ，
则 1
1 11 1 12 2AEBS x x ，
1 1
21 1 113 2 6A EFB F AEBV V x x x x ，
当 1 0,12x 时， 1
1
24A EFBV .故选：C
5．已知三棱锥 D ABC 中， DA 平面 ABC ， 2AB AD ， 3BC AC ，则三棱锥 D ABC 体积
最大时，其外接球的体积为（ ）
A． 20 2
3
B． 64 2
3
C． 4 5
3
D． 20 5
3
【解析】如图所示：
因为 DA 平面 ABC ， 2AB AD ，
所以当 ABC 的面积最大时，此时三棱锥 D ABC 的体积最大.
设 AC m ，则 3 3BC AC m ，
22 2
2
3 4 2 2cos
2 3 3
m m mACB
m m m
，
所以
22 4 2
2
42
2 2 8 4sin 1 33
m m mACB mm
.
所以 4 2
2 2 2 2
4
1 8 4 13 4 34 3 4ABC
m mS m m mm
△ ，
当 2 4m ，即 2m 时， ABCS 最大.
当 2m 时， 22 22 2 2 3 1cos 2 2 2 2BAC
，则 cos 120BAC .
将三棱锥 D ABC 放入直三棱柱 1 1DB C ABC 中，
1O ， 2O 分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为 r ，
则 1 2O O 的中点 O 为直三棱柱 1 1DB C ABC 外接球球心，设外接球半径为 R ，
如图所示：
根据正弦定理 2 3 2sin120 r
，解得 2r = ，所以 2 21 2 5R .
故外接球体积 34 20 553 3V .故选：D
6． ABC 中角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ， a ，b ，c 成等差数列，且 2C A ，若 AC 边上
的中线 79
2BD ，则 ABC 绕 AB 旋转一周，得到的几何体的体积为（ ）
A．10 B． 20 C．175
8
D．135
128
【解析】 ABC 中角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ， c 成等差数列，
∴ 2 .b a c 正弦定理可得 2 sinsinB sinA C , 2C A ，则 A 为锐角，
2 2 ,sinB sinA sin A
∴ 2 3 2sin A sinA sin A ，即 2 3 2sin A sinA sin A ，
即 2sin cos2 2sin 2 cos 2A A A A sinA sin A ，
22sin 2cos 1 2 2sin cos cos 2sin cosA A A A A sinA A A ，
28cos 2cos 3 0A A ，解得 3 1cos ,cos4 2A A (舍去).
所以 7sin ,4A 3 7sin 2sin cos ,8C A A
2 2 ,sinB sinA sin A 则 5 7 ,16sinB sin 5
sin 6
b B
c C
,
令 5 , 6b x c x ，由余弦定理可得
2
2 2 2 2 225 90 792 cos 362 2 4 4 4
b bBD c c A x x x
，解
得 1x ，
所以 5, 6, 4b c a ，
过点 C 作CE AB 于点 E ,则 5 7sin 4CE b A ,
所以 ABC 绕 AB 旋转一周，得到的几何体的体积
2
21 1 5 7 17563 3 4 8V CE AB
.故选：
C.
7．以 , , , ,A B C D E 为顶点的多面体中， AC CB ， AD DB ， AE EB ， 10AB ， 6CD ，则该
多面体的体积的最大值为（ ）
A． 30 3 B．80 C．90 D．50 3
【解析】取 AB 的点O ．因为 , ,AC CB AD DB AE EB ，所以OA OB OC OD OE ，故点
, ,C D E 在以 AB 为直径的球面 O 上．
设 ,A B 到平面 CDE 的距离分别为 1 2,d d ，则 1 2d d AB ，
所以该多面体的体积 1 2
1 1
3 3A CDE B CDE CDE CDEV V V S d d S AB ，
过点 , ,C D E 作球的截面圆 O ，
设圆 O 的半径为 r ，则 3r
，且 1
2r AB 即 5r ，所以 3 5r ，
又点 E 到CD 的距离最大值为
2
2 2 292
CDr r r r
，
所以 2 21 6 9 3 92CDES r r r r ，
因为函数 2 9f r r r 在 3,5 单调递增，
所以 max 5 5 4 9f r f ，
从而 10 10 3 9 903 3CDEV S AB ．故选：C．
8．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1， E F、 分别是线段 1AB BD、 上的动点，若 / /EF 平面
1 1ADD A ，则三棱锥 1A EFB 的最大体积为（ ）
A． 3
12
B． 1
12 C． 1
24 D． 1
8
【解析】如图，
由 1DD 底面 ABCD ，可得平面 1BDD 底面 ABCD ，
在平面 1BDD 内过 F 作 FG DB 于G ，则 FG 底面 ABCD ，可得 1/ /FG DD ，
/ /FG 平面 1 1ADD A ，又 / /EF 平面 1 1ADD A ，且 FG FE FI ，
平面 / /EFG 平面 1 1ADD A ，可得 / /EG AD ，则 EG 平面 1AEB ，
又 1 1/ / / /FG DD AA ，且 FG 平面 1AEB ，可得 / /FG 平面 1AEB ，
则 F 到平面 1AEB 的距离等于 G 到平面 1AEB 的距离．
设 (0 1)BE x x ，则 F 到平面 1AEB 的距离等于 G 到平面 1AEB 的距离为 x ，
则 1
1 1(1 ) 1 (1 )2 2AEBS x x ，
1 1
21 1 1(1 ) ( )3 2 6A EFB F AEBV V x x x x ．
当 1 (0,1)2x 时， 1
1( ) 24A EFB maxV ．故选：C
9．如图，在四棱锥 P ABCD 中， 2PA PB PC PD ，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 E
是 PC 的中点，过点 A ，E 作棱锥的截面，分别与侧棱 PB ，PD 交于 M ，N 两点，则四棱锥 P AMEN
体积的最小值为（ ）
A． 2 2
3
B． 2 3
3
C． 2 2
9
D． 2 3
9
【解析】如图所示，设 PHN ,则 180PHM ,设三棱锥 M PAE 的高为 1h ，三棱锥 N PAE
的高为 2h ，
由题得 2 2 2AC , 2, 1, 3,PA PE AE
所以 1 31 3 ,2 2PAES
由题得 1 2 1 2
1 3 3( )3 2 6P AMEN M PAE N PAEV V V h h h h ，
因为 2, 1,PB PD OB OD PO 平面 ABCD ,
所以 30DPO BPO ,所以 1 2
1 1,2 2h PM h PN ,
所以 1 2
1 ( )2h h PM PN .
在△ PHN 中，由正弦定理得 sin
sin(150 )
PHPN
,
在△ PHM 中，由正弦定理得 sin
sin( 30 )
PHPM
,
所以 1 2
1
2h h sin(sin(150 )
PH
sin )sin( 30 )
PH
1= 2 PH sin(sin(150 )
sin )sin( 30 )
在△ PHE 中， 1 3 2sin 60 , 32 3
PE PHPH PH
.
所以 1 2h h 3= 3
sin(sin(150 )
sin )sin( 30 )
2
2
2
3 3sin 1= 1 13 sin 14 4sin
，
当 90 时， 1 2h h 取最小值 4
3
，所以 P AMENV 取最小值 3 4 2= 36 3 9
.故选：D.
10．长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB ， 1BC ， 1 2AA ， P 为该正方体侧面 1 1CC D D 内（含边界）
的动点，且满足 tan tan 2 3PAD PBC .则四棱锥 P ABCD 体积的取值范围是（ ）
A． 2 20, 3
B． 4 3 2 3,9 3
C． 2 30, 3
D． 4 3 2 2,9 3
【解析】如图所示：
在 RT PAD 中， tan PDPAD PDAD
，
在 RT PBC 中， tan PCPBC PCBC
，
tan tan 2 3PAD PBC ， 2 3PD PC .
2 3 2PD PC CD ，点 P 的轨迹是以 ,C D 为焦点 2 2 3a 的椭圆.
如下图所示：
3a ， 1c ， 3 1 2b .
椭圆的标准方程为：
2 2
13 2
x y ， 1(0, 2)P .
联立 2 2
1
13 2
x
x y
，解得： 2 3
3y . 2
2 3( 1, )3P ， 3
2 3(1, )3P .
当点 P 运动到 1P 位置时，此时四棱锥 P ABCD 的高最长，
max 1
1 1 2 2( ) 2 23 3 3P ABCD ABCDV S PO .
当点 P 运动到 2P 或 3P 位置时，此时四棱锥 P ABCD 的高最短，
min 2
1 1 2 3 4 3( ) 23 3 3 9P ABCD ABCDV S P D .
综上所述： 4 3 2 2
9 3P ABCDV .故选：D.
11．如图，点 P 是平面 ABC 外一点，点 D 是边 AC 上的动点（不含端点），且满足 PD PA ，
22, 3PB BA BC ABC ，则四面体 P BCD 体积的最大值是（ ）
A． 1
2 B． 3
3
C． 2
3 D． 2 3
3
【解析】由 2BP BA BC 知，点 P 在以 B 为球心，半径为 2 的球面上（除 ,A C 外，）
又由 PD PA 知，点 P 在线段 AD 的中垂面上，故对每一确定的点 D ，点 P 的轨迹是圆（除与平面 ABC
的交点）．设球 B 的半径是 2R ，圆的半径为 r ．
因为 AD 的中垂面 面 ABC ，所以中垂面 在面 ABC 上的投影是直线 MN ，
故球心 B 到平面 的距离等价于点 B 到直线 MN 的距离，
设 (0 3)AN x x ，则 22
3
xBT ，
故 3 2sin 2 33 2 3
xBM BT x
，
所以 2 2 2 2 2 2 2( 3 ) ( 3) 4r MP BP BM R x x ，
故点 P 到平面 ABC 距离为 cosr （ 为 MP
与平面 ABC 的法向量间的夹角）；
又因为 13 sin 32 6BCD ABC ACDS S S AD AB x △ △ △ ，
所以 21 1cos ( 3 ) 4 ( 3 ) cos3 3P BCD BCDV S r x x △ ，
令 3 (0, 3)t x ，故 2 2 21 1 24 cos 4 cos3 3 3V t t t t ，
当 2t 且 cos 1 时等号成立，故 20, 3V
．故选：C.
12．如图，正四面体 P ABC 的体积为V ，底面积为 S ，O 是高 PH 的中点，过O 的平面 与棱 PA 、PB 、
PC 分别交于 D 、 E 、 F ，设三棱锥 P DEF 的体积为 0V ，截面三角形 DEF 的面积为 0S ，则（ ）
A． 08V V ， 04S S B． 08V V ， 04S S
C． 08V V ， 04S S D． 08V V ， 04S S
【解析】如图所示，利用排除法，取 EF 与 BC 重合时的情况.
不妨设 2AB ，延长 MD 到 N ，使得 //PN AM ．
PO OH ， PN MH ， 2AH MH ， 3 3AM MH PN ，则 1
3
PD
AD
，
由余弦定理得
2
2 2 2 2 3 3 1 132 cos 2 2 23 2 2 2 4BD AB AD AB AD
，
2 2 3
2DM BD BM ， 0
1 3 322 2 2S ，
又 23 2 3
4
S ， 04 6 2 3 1
3
S
S
，
当平面 //DEF 平面 ABC 时， 04S S ， 04S S ，排除 B、D 选项；
因为 1
3
PD
AD
， 0
1
4V V ，此时， 08 2 1V
V
，
当平面 //DEF 平面 ABC 时， 08V V ， 08V V ，排除 C 选项.故选：A.
二．填空题
13．四面体 A BCD 中， AB BC ，CD BC ， 2BC ，且异面直线 AB 和 CD 所成的角为 60，若
四面体 ABCD 的外接球半径为 5 ，则四面体 A BCD 的体积的最大值为_________.
【解析】四面体 A BCD 中， AB BC ，CD BC ，异面直线 AB 和CD 所成的角为 60，可得如下示
意图：过 B 点作 / /BD CD 且 BD CD ，连接 DD，
则有 60ABD 且 BC ⊥面 ABD ，如下图，若O 为 ABD△ 外接圆圆心，则可找到外接球圆心O ， E
为 BC 的中点，即 , 1OE BC BE EC ，外接球半径为 5OC ，
∴四边形 'BO OE 为矩形， 2 2 2OE O B OC EC ，
∴在平面 ABD 中有 2, 120O B O A O D AO D ，可得 2 3AD ，
令 ,BD a AB b ，则四面体 A BCD 的体积 1 1 3sin60 23 2 6
abV b a ，
而由余弦定理知： 2 2 22 cos60 12a b ab AD ，即 12ab 当且仅当 a b 时等号成立，所以
3 2 36
abV ，故答案为： 2 3 .
14．在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB＝PC＝2，二面角 A－PB－C 为直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠BPC<
4
)，
M，N 分别为侧棱 PA，PC 上的动点，设直线 MN 与平面 PAB 所成的角为α.当 tan 的最大值为 25
32
时，则
三棱锥 P－ABC 的体积为__________.
【解析】如图所示，当点 MN 与平面 PAB 所成的角为二面角 B AP C 的大小时，此时线面角达到最大，
设 N 运动到 C 时，作CM PA 于 M ，CD PB 于 D ，连结 DM ，
二面角 A PB C 为直二面角，面 APB 面 PBC ，
CD PB ，CD 面 APB ，面 APB 面 PBC PB ，
CD 面 APB ， AP CD ，又 AP CM ，CD CM M ，
AP 面CDM ， AP DM ， DMC ，则 25tan 32
，
设 , 2BPC APB ， 2PB PA PC ，
2sin 2sin 25tan sin 2 2cos 2sin cos 32
CD
DM PD
，
4cos 5
， 3sin 5
，
1 1 1 1 3 4 3 96( sin 2 ) 2sin ( 2 2 2 ) 23 2 3 2 5 5 5 125V PA PB
15．如图，已知：在 ABC 中， 3CA CB ， 3AB ，点 F 是 BC 边上异于点 B ，C 的一个动点，
EF AB 于点 E ，现沿 EF 将 BEF 折起到 PEF 的位置，使 PE AC ，则四棱锥 P ACFE 的体积
的最大值为________．
【解析】过点 D 作CD AB ，由 EF AB 可知 //EF CD ，
因为 EF AB ，所以翻折后 PE EF ，所以 PE CD ，
又 PE AC ， AC CD D ，AC，CD 平面 ABC ，所以 PE 平面 ABC ，
所以 PE 为四棱锥 P ACFE 的高，
因为 3CA CB ， 3AB ， CD AB ，所以可得：
222 2 3 33 2 2CD AC AD
，设 BE PE x ，
所以 EF BE
CD BD
，所以有 33
22
EF x ，即 3
3EF x ，
所以 21 3
2 6BEFS BE EF x △ ，又 1 3 3
2 4ABCS AB CD △ ，
所以 23 3 3
4 6ACFES x 四边形 ，记四棱锥 P ACFE 的体积为 (x)V ，
所以 323 3 3
4
1 3 3( ) 3 46 18xV x x x x
（ 30 2x ），
23 3( ) 4 6V x x ，令 ( ) 0V x 可得 6
2x 或 6
2x （舍去），
所以当 60, 2x
时， ( ) 0V x ， ( )V x 单调递增；
当 6 3,2 2x
时， ( ) 0V x ， ( )V x 单调递减，
因此当 6
2x 时， (x)V 取得最大值，最大值为 6 2
2 4V
.
16．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， AB AC ， 6AB ， 8AC ， D 是线段 AC 上一点且
3AD DC .三棱锥 P ABC 的各个顶点都在球O 表面上，过点 D 作球 O 的截面，若所得截面圆的面积的
最大值与最小值之差为16 ，则三棱锥 P ABC 的体积为_________.
【解析】将三棱锥 P ABC 补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球 O ，
记三角形 ABC 的中心为 1O ，设球的半径为 R ， 2PA x ，
则球心O 到平面 ABC 的距离为 x ，即 1OO x ，
连接 1O A，则 1 5O A ，∴ 2 2 25R x .
在 ABC 中，取 AC 的中点为 E ，连接 1 1,O D O E ，
则 1
1 32O E AB ， 1 24DE AC ，
所以 1 13O D .在 1Rt OO D 中， 2 13OD x ，
由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，
设此时截面圆的半径为 r ，则 2 2 2 2 225 13 12r R OD x x ，
所以最小截面圆的面积为12 ，当截面过球心时，截面面积最大为 2R ，
所以 2 12 16R ， 2 28R ，所以 1 3OO ，故 2 3PA ，
所以三棱锥 P ABC 的体积为 1 1 6 8 2 3 16 33 2V .
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图①，是由正三角形 ABE 和正方形 BCDE 组成的平面图形，其中 2AB ；将其沿 BE 折起，使得
2 2AC ，如图②所示.
（1）证明：图②中平面 ABE 平面 BCDE ；
（2）在线段 AB 上取一点 P ，使 AP t AB ，当三棱锥 P ACE 的体积为 2 3
9
时，求 t 的值.
【解析】（1）证明：取 BE 的中点O ，连接 AO ，OC ，
因为 ABE△ 为正三角形且 2AB ，所以 AO BE ，且 3AO ，
因为 BCDE 为正方形，所以 1BO ， 2BC ， 5OC ，
因为 2 2AC ，则 2 2 2AO OC AC ，
所以 AO OC ，又 BE OC O ，且 ,BE OC 平面 BCDE ，
所以 AO 平面 BCDE .因为 AO 平面 ABE ，所以平面 ABE 平面 BCDE .
（2）在 AB 上取点 P ，连接 PC ， PE ， EC ，
由（1）知平面 ABE 平面 BCDE .则C 到平面 PAE 的距离 2d BC .
因为 AP t AB ，所以 APE ABES tS△ △ ，
因为 ABE△ 为正三角形，且 2AB ，所以 1 2 2 sin60 32ABES △ ，
所以 3APE ABES tS t △ △ ，
又因为三棱锥 P AEC 的体积 1 2 3
3 9P AEC APEV d S △ .所以 1
3t .
18．如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是梯形， 90ABC BCD ，2 2 4AB BC CD ，
PA PD ， PD PA ， 2 3PC ， M 为边 PC 的中点.
（1）求证： / /BM 平面 PAD ；
（2）求三棱锥 P ADM 的体积.
【解析】（1）如图所示：取 PD 中点 N ，连接 MN 、 AN ，
M 是 PC 的中点， N 为 PD 的中点，则 //MN CD 且 1
2MN CD ，
//AB CDQ ，且 1
2AB CD ， //MN AB 且 MN AB ，
四边形 MNAB 是平行四边形， //BM AN ，
又 BM 平面 PAD ， AN 平面 PAD ，因此， //BM 平面 PAD ；
（2） M 是 PC 的中点， 1 1
2 2P ADM M PAD C PAD P ACDV V V V ，
取 AD 中点 E ，连接 PE 、CE ，取 CD 的中点 F ，连接 AF .
PA PD ， E 为 AD 的中点， PE AD∴ ，
在梯形 ABCD 中， 90ABC BCD ， 2 2 4AB BC CD ，
F 为CD 的中点， 1
2CF CD AB ，
又 //AB CF ，则四边形 ABCF 为矩形，
2AF BC ，且 AF CD ， 2 2 2 2AD AF DF ，
ADF 为等腰直角三角形，且 45ADF ，
PA PD ， PD PA ， 1 22PE AD ，
在 CDE 中，由余弦定理得 2 2 2 2 22 cos45 2 4 2 4 2 102CE DE CD CD DE ，
2 3PC ， 2 2 2PE CE PC ， PE CE ，
AD CE E ， PE 平面 ABCD ， 2PE ， 1 1 1 4 24 2 23 3 2 3P ACD ACDV S PE ，
三棱锥 P ADM 的体积为 2 2
3
.
19．如图所示，已知 D、E、F 分别是正四面体的棱 PA 、 PB 、 PC 上的点.
（1）若 PD PE PF ，求证： EF PA ；
（2）若 2DE ， 7DF EF ，且 PD PE ，求四面体 P DEF 的体积.
【解析】（1）如图所示：
取 BC 中点G ，连 PG ， AG ，则有：
BC PG ， BC AG ，所以 BC ⊥平面 PAG ，所以 BC PA ，
又∵ PE PF ，∴ PE PF
PB PC
即有 / /EF BC ，∴ EF PA ．
（2）如图：
设 PD x ， PE y ， PF z ，∵ 2DE ， 7DF EF ，
∴由余弦定理得： 2 2 2 cos60 4x y xy ①
2 2 2 cos60 7y z yz ②
2 2 2 cos60 7z x zx ③
③-②得， 2 2x y xz yz ，即 x y x y z x y ，
∵ x y ，则 z x y ，代入②，得 2 2 7x y xy ，
又 2 2 4x y xy ，不妨设 x y ，
解得： 34 10
4x ， 34 10
4y ， 34
2z ，
则 1 34 10 34 10 3 3 3
2 4 4 2 8PDES △ ．
易求得点 C 到平面 PDE 的距离为正四面体棱长的 6
3
，
所以 F 到平面 PDE 的距离 6 6 34 51
3 3 2 3d z ，
∴ 1 3 3 51 17
3 8 3 8P DEFV ．
20．如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 ABCD 平面 PAD ， //AD BC ， 1
2AB BC AP AD ，
90APD BAD .
（1）证明： PD PB ；
（2）设点 M 在线段 PC 上，且 1
3PM PC ，若 MBC△ 的面积为 2 7
3
，求四棱锥 P ABCD 的体积.
【解析】（1）证明：因为 90BAD ,所以 BA AD .
因为平面 ABCD 平面 PAD,交线为 AD,
所以 BA 平面 PAD,从而 BA PD ，又 90APD ,故 AP PD ,
因为 BA AP A ,所以 PD 平面 PAB.又 PB 平面 PAB,所以 PD PB .
（2）设 2AD m ,则 AB BC AP m , 3PD m .
由（1）知 BA 平面 PAD,所以 BA AP , 2 2 2BP BA AP m ,
取 AD 中点为 F,连接 CF,PF,则 / /CF BA,CF m .
由（1）知 BA 平面 PAD,所以CF 平面 PAD,所以 CF PF ,
又因为 1
2PF AD m ,所以 2 2 2PC CF PF m
又因为 1
3PM PC ,所以 2
3CM CP ,
所以 2 2 22 2 1 1 7( )3 3 2 2 6MBC PBCS S BC PB BC m
由 27 2 7
6 3m ,解得 2m .
在 PAD△ 中, 2 2(2 ) 3PD m m m ,
P 到 AD 的距离 3 32
AP PD mh AD
,
所以 P 到平面 ABCD 的距离 3H h ,
故 1 1 1 (2 4) 2 3 2 33 3 2P ABCD ABCDV S H .
21．设三棱锥 P ABC 的每个顶点都在球 O 的球面上， PAB 是面积为3 3 的等边三角形， AC BC ，
AC BC ，且平面 PAB 平面 ABC .
（1）确定O 的位置（需要说明理由），并证明：平面 POC 平面 ABC .
（2）与侧面 PAB 平行的平面 与棱 AC ， BC ， PC 分别交于 D ， E ， F ，求四面体ODEF 的体积的
最大值.
【解析】（1）证明：取 AB 的中点G ，连接 PG ，取点O 为 PG 的三等分点且 2PO O G ，连接
, , ,O A O B O C GC .因为 PA PB ，所以 PG AB .
又平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB 平面 ABC AB ， PG 平面 PAB ，
所以 PG 平面 ABC .因为GC 平面 ABC ，故 PG GC .
因为 ABC 为等腰直角三角形，G 为 AB 的中点，故 AG GC ，
因为O G O G ， 90O GA O GC ，
故 O GA O GC ，故O A O C ，同理O B O C ，
因为 PAB 是等边三角形，故 O 为 PAB 的中心，故O P O A O B ，
故O 为三棱锥 P ABC 的外接球的球心，
故O 与 O 重合即O 在线段 PG 上且 2PO OG .
因为 O 在 PG 上，所以 PO 平面 ABC ，
又 PO 平面 POC ，所以平面 POC 平面 ABC .
（2）由题意得 23 3 34 AB ，解得 2 3AB ，
因为 ABC 为等腰直角三角形，G 为 AB 的中点，故CG AB ，
而平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB 平面 ABC AB ，
CG 平面 ABC ，故 CG 平面 PAB ，故 CG 为点 C 到平面 PAB 的距离.
在等腰直角三角形 ABC 中， 1 32CG AB 即C 到平面 PAB 的距离 3CG .
设 0 1CD CA ，C 到平面 DEF 的距离为 h .
因为平面 //PAB 平面 DEF ，平面 PAC 平面 PAB PA ，平面 PAC 平面 DEF DE ，故 //PA DE ，
同理 //PB EF ，因为 ,APB DFE 方向相同，故 APB DFE ，同理 ABP DEF ，
所以 DEF ABP ，则 DEF 的面积为 23 3 .
又 3h ，所以 O 到平面 DEF 的距离为 3 3 ，
所以四面体ODEF 的体积 2 21 3 3 3 3 3 13O DEFV V .
设 23 1 0 1f ， 3 2 3f ，
当 20 3
时， 0f ；当 2 13
时， 0f .
所以 f 在 20, 3
为增函数，在 2 ,13
为减函数，
所以 max
2 4
3 9f f
，即四面体ODEF 的体积的最大值为 4
9 .
22．如图所示，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点G 在棱 1 1D C 上，且 1 1 1
1
4D G D C ，点 E 、 F 、 M 分
别是棱 1AA 、 AB 、 BC 的中点， P 为线段 1B D 上一点， 4AB .
（1）若平面 EFP 交平面 1 1DCC D 于直线 l ，求证： 1/ /l A B ；
（2）若直线 1B D 平面 EFP ，
①求三棱锥 1B EFP 的表面积；
②试作出平面 EGM 与正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面
EGM 与棱 1 1A D 交于点Q ，求三棱锥 Q EFP 的体积.
【解析】（1）在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，
因为平面 1 1 / /ABB A 平面 1 1DCC D ，平面 EFP 平面 1 1ABB A EF ，
所以 / /EF l ，因为点 E 、 F 分别是棱 1AA 、 AB 的中点，
所以 1/ /EF A B ，所以 1/ /l A B ．
（2）①因为直线 1B D 平面 EFP ， EP 平面 EFP ，
所以 1B D EP ，又因为 DAE △ 1 1B A E ，所以 1DE B E ，
所以 1DP B P ，因为 23 (2 2) 2 34EFPS ，
1 1
12 2 2 2 3 4 62EPB FPBS S ， 1
1 2 2 3 2 62EFBS ，
所以三棱锥 1B EFP 的表面积为 6 2 3 4 6 ．
②作图步骤如下：连接 GE ，过点G 作GH DC 于点 H ，连接 HA 并延长交 GE 的延长线于点 I ，连接 IM
并延长交 AB 于点 J 交 DC 的延长线于点 K ，
再连接GK 交 1CC 于点 S ，连接 MS 并延长交 1 1B C 的延长线于点 R ，连接 RG 并延长交 1 1A D 于点Q ，再
连接 EQ ，GS ， EJ ，
则图中 EQ ， QG ，GS ， SM ， MJ ， JE 即为平面 EGM 与正方体各个面的交线．
设 BJ CK x ，由题知 2 3AJ HC CK x ，
所以 1 3
2 2
xAJ HK ，所以 3 42
x x ，解得 5
3x ，
因为
1 1 1 3 9
5 5
3
C R C S GC
MC SC CK
， 2MC ， 1
18
5C R ，
所以 1 1
1 6
3 5D Q C R ，
如上图，设 N 为线段 1 1A D 的中点，可证点 N 在平面 PEF 内，且三角形 PNE 与三角形 PEF 面积相等，所
以，三棱锥Q EFP 的体积 三棱锥Q ENP 的体积 三棱锥 P ENQ 的体积 1 8
3 2 15ENQ
ABS ，所以三
棱锥 Q EFP 的体积为 8
15
．
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