专题 20 直线与圆锥曲线的位置关系
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．互相垂直的直线 1l , 2l (不与坐标轴垂直)过抛物线C ： 2 4y x 的焦点 F ，且分别与抛物线C 交于点
A , B , C , D ，记 AB ,CD 的中点分别为 M , N ，则线段 MN 的中点G 的轨迹方程为（ ）
A． 2 3 0x y B． 2 3 0x y
C． 2 52 02x y D． 2 52 02x y
【解析】由题意，抛物线C ： 2 4y x 的焦点 (1,0)F ，
设直线 1l , 2l 的方程分别为 1x my 和 1 1x ym
，
1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y , 3 3( , )C x y , 4 4( , )D x y ，
联立 2
1
4
x my
y x
得 2 4 4 0y my ， 1 2 4y y m , 2
1 2 4 2x x m ，
联立
2
1 1
4
x ym
y x
得 2 4 4 0y ym
， 3 4
4y y m
, 3 4 2
4 2x x m
，
2(2 1,2 )M m m , 2
2 2( 1, )N m m
， 2
2
1 1( 1, )G m mm m
，
即
2
2
2
2 2
2
1 1
{
1 1 2
x m m
y m mm m
，即 2 3x y ，
G 的轨迹方程为 2 3 0x y ，故选：A.
2．已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的右焦点和上顶点分别为点 ,0F c b c 和点 A ，直线
:6 5 28 0l x y 交椭圆于 ,P Q 两点，若 F 恰好为 APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． 2
2
B． 3
3
C． 5
5
D． 2 5
5
【解析】由题设 1 1 2 2,0 , 0, , , ,,F c A b P x y Q x y ，则线段 PQ 的中点为 0 0,B x y ，
由三角形重心的性质知 2AF FB ，即 0 0, 2 ,( )c b x c y ，解得： 0 0
3 ,2 2
c bx y
即 3 ,2 2
c bB
代入直线 :6 5 28 0l x y ，得 59 28 02
bc ①.
又 B 为线段 PQ 的中点，则 1 2 1 23 ,x x c y y b ，
又 ,P Q 为椭圆上两点，
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 21, 1x y x y
a b a b
，
以上两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 0x x x x y y y y
a b
，
所以
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
3 6
5PQ
y y x xb b ck x x a y y a b
，化简得 22 5a bc ②
由①②及 2 2 2a b c ，解得：
2 5
4
2
a
b
c
，即离心率 5
5e . 故选：C.
3．已知双曲线 2 2: 1D x y ，点 M 在双曲线 D 上，点 N 在直线 :l y kx 上， l 的倾斜角 ,4 2
，
且
2
2
2
cos| | 1 cosON
，双曲线 D 在点 M 处的切线与 l 平行，则 OMN 的面积的最大值为（ ）
A． 3 5
4
B． 3 5
2
- C． 3 2 D． 3 2
2
【解析】由题意，不妨设 0 0,M x y 在第一象限，
则双曲线 D 在点 M 处的切线方程为 0 0 1x x y y ，所以 0
0
xk
y
，即 0
0
: xl y xy
又因为 2 2
0 0 1x y ，所以联立可得
0 2
0 2
1
1
1
kx
k
y
k
，
所以点 M 到直线 l 的距离 0 0
2 1
kx yd
k
2
22 2
2 2
1
11 1
1 1
k
kk k
k k
，
因为
2
2
2
cos| | 1 cosON
，所以
2
2
cos| | 1 cosON
2
2 2 2
cos 1
sin 2cos 2k
，
所以 1 | |
2OMNS ON d △
2
2 2
1 1 1
2 2 1
k
k k
2
4 2
1 1
2 3 2
k
k k
．
令 2 1t k ，则 2 1k t ，因为 ,4 2
，所以 1k ，所以 0t ，
可得 2
1
2 5 6OMN
tS t t
△
1 1 1
62 2 5 2 65t t
1 3 2
22( 3 2)
，
当且仅当 6t t
，即 6t 时，面积取得最大值 3 2
2
．故选：D.
4．已知 1F ， 2F 为双曲线 ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）的左、右焦点，以 2F 为圆心，2a 为半径的圆
与 在第一象限的交点为 A ，直线 2AF 与 交于另一点 B ．若 1ABF 的面积为 23a ，则 的离心率为
（ ）
A．2 B． 3 C． 3 3
4
D． 3 5
5
【解析】设双曲线的右准线与 x 轴的交点为 D ，则
2 2
2
a bF D c c c
，
设直线 2AF 与 x 轴正方向的夹角为 ，
由双曲线的第二定义可得 2
2 21 cos
F D eAF ae
，
2
2 1 cos
F D eBF e
， 2
2 2 2 2
2
1 cos
e F DAB AF BF e
，
1
2
2
2 2
21 1 2 sin 32 2 1 cosABF
be cS h AB c ae
，
即
2
2
2
2 2
2 ,1 cos
2 sin 3 ,1 cos
b ec ae
e b ae
①
②
，由 2 2 2c a b ，① ②，
可得整理 2 2 225 cos 18 cos 9 16 0e e e ，③
由①可得 2 1 2 2 cose e ，即
23cos 2
ee ，④
将④代入③，整理可得 2 9
5e ，即 3 5
5e .故选：D
5．已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，过 F 的直线交C 于 A ， B 两点，点 A 在第一象限， 0,6P ，O
为坐标原点，则当四边形OPAB 的面积取得最小值时，直线 AB 的方程是（ ）
A． 4 3 4 0x y B．3 4 3 0x y
C． 4 5 4 0x y D．5 4 5 0x y
【解析】设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，且 1 1 20, 0, 0x y y ，易知 1,0F ，
设直线 : 1AB x my ，由 2
1
4
x my
y x
，得 2 4 4 0y my ，
所以 1 2 4y y ， 2
1
4y y
，
2
1 1 2 1 1 1
1
1 1 3 1 23 2 2 4 2 0OPAB OPA OFA OBFS S S S x y y y y yy .
令 1y t ， 23 1 2( ) ( 0)4 2f t t t tt
，则 2
3 1 2( ) 2 2f t t t
，
易知 f t 是 (0, ) 上的增函数，
且 1 0f ，所以 f t 在 0,1 上为减函数，在 (1, ) 上为增函数，所以当 1 1y t 时，四边形OPAB
的面积取得最小值，此时 1 ,14A
， 4, 4B ，直线 AB 的方程是 4 3 4 0x y .故选：A
6．已知 A ､ B 分别为椭圆C ：
2
2 14
x y 的左､右顶点， P 为椭圆C 上一动点， PA ， PB 与直线 3x 交
于 M ， N 两点， PMN 与 PAB△ 的外接圆的周长分别为 1L ， 2L ，则 1
2
L
L 的最小值为（ ）
A． 5
4
B． 3
4
C． 2
4
D． 1
4
【解析】由已知得 ( 2,0)A 、 (2,0)B ，设椭圆C 上动点 ( , )P x y ，
则利用两点连线的斜率公式可知 0
2
PA
yk x
， 0
2
PA
yk x
，
2
2 2
2 2
10 0 14
2 2 2 2 4 4 4
PA PB
x
y y y yk k x x x x x x
设直线 PA 方程为： 2y k x ，则直线 PB 方程为： 1 24y xk
，根据对称性设 0k ，
令 3x 得 5My k ， 1
4Ny k
，即 3,5M k ， 13, 4
kN ，则 15 4MN k k
设 PMN 与 PAB△ 的外接圆的半径分别为 1r ， 2r ，
由正弦定理得： 1 sin2 N
Pr M
M N
， 22 sin
ABr APB
，
又 180 Q MPN APB ， sin sin MPN APB
1 1 1
2 2 2
11 2 552 544
2 4 4 4
kkL r r MN kk
L r r AB
，
当且仅当 15 4
k k
，即 5
10
k 时，等号成立，即 1
2
L
L 的最小值为 5
4
，故选：A
7．已知椭圆C :
2 2
18 4
x y 的下顶点为 A ，点 B 是C 上异于点 A 的一点，若直线 AB 与以 1(0, )3M 为圆
心的圆相切于点 P ，且 1
4AP AB ，则 tan ABM （ ）
A． 1
2 B． 2
3 C． 5
3
D． 3
2
【解析】
由题意可知， 0, 2A ，设 0 0,B x y ，则 B 点满足
2 2
0 0 18 4
x y ，
∴ 0 0, 2AB x y
.∵ 1
4AP AB ，∴ 0 0
1 1 1,4 4 2AP x y
，∴ 0 0
1 1 3,4 4 2P x y
，
∴ 0 0
1 1 7,4 4 6MP x y
.∵直线 AB 与圆 M 相切于 P 点，∴ MP AB ，
∴ 0 0 0 0
1 1 7 2 04 4 6x x y y
，即 2 2
0 0 0
1 1 2 7 04 4 3 3x y y ，
将
2 2
0 0 18 4
x y 代入上式可得
2
0
0
2 1 04 3 3
y y ，解得 0
2
3y 或 2 （舍），
∴ 8 2,3 3B
， 2 5,3 3P
，∴
2 28 2 4 5| | 0 ( 2)3 3 3AB
，
3| | | | 54BP AB ，
222 5 1 2 5| | 3 3 3 3MP
.
又∵ 90BPM ，∴
2 5
| | 23tan | | 35
MPABM BP
，故选：B.
8．已知O 为坐标原点， A ， B 分别是双曲线
2 2
: 116 9
x yC 的左、右顶点， M 是双曲线C 上不同于 A ，
B 的动点，直线 AM， BM 分别与 y 轴交于点 P ，Q ，则| | | |OP OQ （ ）
A．16 B．9 C．4 D．3
【解析】设动点 0(M x ， 0 )y ，由双曲线方程可得 ( 4,0)A ， (4,0)B ，
则 0
0 4AM
yk x
， 0
0 4BM
yk x
，所以直线 AM的方程为 0
0
( 4)4
yy xx
，
直线 BM 的方程为 0
0
( 4)4
yy xx
，由此可得 0
0
4(0, )4
yP x ， 0
0
4(0, )4
yQ x
，
所以
2
0 0 0
2
0 0 0
4 4 16· ·( )4 4 16
y y yOP OQ x x x
.
因为动点 M 在双曲线
2 2
: 116 9
x yC 上，所以
2 2
0 0 116 9
x y ，
所以 2 2
0 016 9( 16)y x ，则
2 2
0 0
2 2
0 0
16 9( 16)· 916 16
y xOP OQ x x
.故选： B .
9．已知点 F 为抛物线 2: 4C y x 的焦点，若过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A 、 B 两点，交抛物线的准线
于点 P ，且 1 ,PA AF ， 2PB BF ，则 1 2 （ ）
A．2 B．1 C．0 D． 1
2
【解析】 2 4y x 的焦点为 (1,0)F ，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，
直线 AB 方程为 1x my ， 2( 1, )P m
，
联立方程 2
1
4
x my
y x
，整理得 2 4 4 0y my ，
则 1 2 4y y m ， 1 2 4y y ， 2( 4 ) 16 0m ，
由 1PA AF ， 2PB BF ， 1 1 1 1 1
2(1 , ) (1 ),x y x ym
，
2 2 2 2 2
2(1 , ) (1 ),x y x ym
，得 1 1 1
2y ym
， 2 2 2
2y ym
，
1
1
21 my
， 2
2
21 my
， 1 2
1 2
1 2
2( 2 42 2) 2 2 0( 4)
y y m
my y m
．
10．双曲线上
2 2
2 2 1( 0)x y b aa b
有两点 A 、 B ，O 为坐标原点， F 为双曲线焦点，满足 OA OB ，
当 A 、 B 在双曲线上运动时，使得恒 2 2 2
1 1 1
| | | | | |OA OB OF
成立，则离心率取值范围是（ ）
A． 1 52, 2
B． 3 52, 2
C． 1 5 , 22
D． 1 51, 2
【解析】设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，直线 AB : y kx m ，
因为 OA OB ，即 1 2 1 2 0OA OB x x y y ，
联立 2 2
2 2 1
y kx m
x y
a b
，整理得 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0b a k x kma x a m a b ，
2
1 2 2 2 2
2kmax x b a k
， 2 2 2
1 2 2 2 2
a m b
x x b a k
，
2 2
1 2 1 2 1 1 1 2y y kx m kx m k x x km x x m ，代入得
2 2 2 2 2
1 2 2 2 2
m b a b ky y b a k
，
所以 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0
a m b m b a b kx x y y b a k b a k
，整理得
2 2 2
2 2 21
m a b
k b a
，
即由 0,0O 到直线 AB : y kx m 的距离 2
| |
1
md
k
，
所以距离为一个定值，又
2 2 2
2 22 2
1 1 | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
OA OB AB
OA OB OA OB OA OB
，
又 1 1| | | | | |2 2ABCS OA OB AB d
，即 2 2 2| | | | | |OA OB AB d ，
所以
2 2 2 2
2 2 2 2 22 2
1 1 | | 1 1
| | | | | | | |
AB k b a
d m a bOA OB OA OB
，
又 2 2 2
1 1 1
| | | | | |OA OB OF
，所以
2 2
2 2 2
1 1 51 2
b a ea b c
，
又 2b a e ，所以 1 52 2e ，故选：A
11．设 A，B 分别是双曲线
2
2 13
yx 的左右顶点，设过 1 ,2P t
的直线 PA，PB 与双曲线分别交于点 M，
N，直线 MN 交 x 轴于点 Q，过 Q 的直线交双曲线的于 S，T 两点，且 2SQ QT ，则 BST 的面积( )
A． 9 3516 B． 3 174 C． 3 158 D． 3
2
【解析】双曲线
2
2 13
yx 的左右顶点为 1,0A ， 10B , ， 1 ,2P t
，
可得直线 PA 的方程为 3 12
yx t
，PB 的方程为 12
yx t
，
联立
2 2
3 12
3 3
yx t
x y
可得 2
2
27 91 04
yyt t
，解得 0y 或 2
36
27 4
ty t
，
代入 3 12
yx t
可得
2
2
27 4
27 4
tx t
，即有
2
2 2
27 4 36,27 4 27 4
t tM t t
，
联立
2 2
12
3 3
yx t
x y
可得 2
2
3 31 04 y yt t
，解得 0y 或 2
12
3 4
ty t
，
代入 12
yx t
，可得
2
2
3 4
3 4
tx t
，即
2
2 2
3 4 12,3 4 3 4
t tN t t
，
设 ,0Q s ，由 M，N，Q 三点共线，可得 MN QNk k ，即有 M N N
M N N
y y y
x x x s
，
将 M，N 的坐标代入化简可得
2
2 2 2
12 12
9 4 3 4 3 4
t t
t t s t
，
解得 2s ，即 2,0Q ，设过 Q 的直线方程为 2x my ，
联立双曲线方程 2 23 3x y ，可得 2 23 1 12 9 0m y my ，
设 1 1,S x y ， 2 2,T x y ，可得 1 2 2
12
3 1
my y m
， 1 2 2
9
3 1y y m
，
2 2144 36 3 1 0m m 恒成立，
2SQ QT ，可得 1 22y y ，代入韦达定理可得
2
2 2 2
144 92 (3 1) 3 1
m
m m
，
解得 2 1
35m ，可得 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 ( ) 42 2 2BSTS BQ y y y y y y y y
2
2
111 36 36 9 35353 32 163 1 1 35
m
m
．故选 A．
12．过点 2,1P 斜率为正的直线交椭圆
2 2
124 5
x y 于 A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，
DP 分别平分 ACB ， ADB .则 PCD 外接圆半径的最小值为（ ）
A． 2 15
5
B． 65
5
C． 24
13 D． 19
13
【解析】
如图，
先固定直线 AB，设 BMf M AM
，则 f C f D f P ，其中 BPf P AP
为定值，
故点 P，C，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且 PCD 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为 r，阿波罗尼
斯圆会把点 A，B 其一包含进去，这取决于 BP 与 AP 谁更大，不妨先考虑 BP AP 的阿波罗尼斯圆的情况，
BA 的延长线与圆交于点 Q，PQ 即为该圆的直径，如图：
接下来寻求半径的表达式，由 2,2 AP BP rBP BQ r AP AQ APAP AQ BP
，
解得 1 1 1
r AP BP
，同理，当 BP AP 时有， 1 1 1
r BP AP
，
综上， 1 1 1
r AP BP
；
当直线 AB 无斜率时，与椭圆交点纵坐标为 5 5 5, 1, 1
6 6 6
AP BP ，则 19
12r ；
当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 1 2y k x ，即 2 1y kx k ，
与椭圆方程联立可得 2 2 224 5 48 1 2 96 1 0k x k k x k k ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则由根与系数的关系有，
1 2 2
2
1 2 2
48 2 1
24 5
96 1
24 5
k kx x k
k k
x x k
，
2 2 2
1 21 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 21 2 1 2 1r AP BP x xk x k x k
，
注意到 1 2x 与 2 2x 异号，故
1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 12 541 1 1 1
2 2 2 4 191 1 1
x x kx x
r x x x x x xk k k
，
设 12 5t k ，则 2
2
121 1 12 1 12 26 13
19 19 19 24 191 110 169 169( ) 10 1
t
r t t
t t
，，
当1 5
169t
，即 169
5t ，此时 12
5k ，故 19
13r ，
又19 19
12 13
，综上外接圆半径的最小值为 19
13 .故选：D．
二．填空题
13．已知抛物线 2 4x y ，点 , 2 , 1,1M t t ，过 M 作抛物线的两条切线 ,MA MB ，其中 ,A B 为切
点，直线 AB 与 y 轴交于点 ,P 则 PA
PB
的取值范围是_________．
【解析】设切点 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，由抛物线 21 1,4 2y x y x ，
∴切线 1 1: 2 2MA x x y y ，同理切线 2 2: 2 2MB x x y y ，
又点 M 是两条切线的交点，所以 1 1 2 22 4, 2 4x t y x t y .
所以直线 AB 的方程为 4 2tx y ，即 2 2
txy .
此直线恒过 0,2P ，则
2
1
2
2
22 1
1 1 1
2 22
22 22
2
2
+ 2
++ 2
+ 2
xx yP
P
tx
x
A x
B xx ty x
.
2
22
4
txy
x y
，消去 y ，得 2 2 8 0x tx ，∴ 1 2 1 22 , 8x x t x x ，
∴ 2 2
1 2 1 2
1 2 2 1
2 2
x x x x t
x x x x
. 1,1t
2 1 ,02 2
t
，即 1 2
2 1
1 2 02
x x
x x
，
令 1
2
xm x
，则 1 1 2 02 m m
，即
1 1 22
1 2 0
m m
m m
，解得 12 2m ，
1
2
12, 2
x
x
，即 1
2
1 ,22
x
B x
PA
P
.故答案为： 1 ,22
.
14．已知 1,0F 为抛物线 P ： 2 2 0y px p 的焦点，过点 F 且斜率为 k 的直线l 与曲线 P 交于 B ，C
两点，过 O 与 BC 中点 M 的直线与曲线 P 交于 N 点，则 OMC
OBN
S
S
△
△
的取值范围是______.
【解析】因为 1,0F 为抛物线 P ： 2 2 0y px p 的焦点，
1, 22
p p ,抛物线 2: 4P y x ,①，
过点 F 且斜率为 k 的直线l : 1y k x ,②，
①②联立消去 y 并整理得 2 2 2 22 2 0k x k x k ,
2
2
2 2, 12
B C
M M M
x x kx y k xk k
， 2
2
2
M
M
y k
x k
,
2
2: 2
kOM y xk
,③，③与①联立消去 x ，
2
2
2 ·2 4
k yy k
,
解得 22 2
N
k
y k
, 2
1 10,2 2
M
N
OM y
ON y k
,
因为 ,OMC OBN 分别以 OM,ON 为底边，高为 C,B 到直线 OM 的距离，由于 M 为 BC 的中点，所以高相
等， OMC
OBN
S
S
△
△
=
OM
ON , OMC
OBN
S
S
△
△
10, 2
。
15．已知椭圆 E 的顶点是 1,0A ， 10B , ，若过其焦点 0,1F 的直线 l 与椭圆交于 ,C D 两点，并与 x 轴
交于点 P （ P 异于点 ,A B ），直线 AC 与 BD 交于点Q ，则 OP OQ
__________.
【解析】由题可知椭圆焦点在 y 轴上，且 1, 1c b ， 2 2 2 2a b c ，
椭圆方程为
2
2 12
yx ， 可知当直线 l 斜率不存在时，不符合题意，
设直线 l 的方程为 1y kx ，由于 P 异于点 ,A B ， 1k ，则可得 1 ,0P k
，
设 1 1 2 2, , ,C x y D x y ，联立直线与椭圆 2
2
1
12
y kx
yx
，可得 2 22 2 1 0k x kx ，
1 2 2
2
2
kx x k
， 1 2 2
1
2x x k
，
直线 AC 的方程为 1
1
( 1)1
yy xx
，直线 BD 的方程为 2
2
( 1)1
yy xx
，
联立直线 AC 和 BD 方程可得
2 1
1 2
11
1 1
y xx
x y x
，
1 21 , 1x x ， 1
1
x
x
与 2
1
y
y 异号，
2 22 2 2
2 1 12
2 222
11 2 2
1 12 21
1 2 21 1
y x xxx
x xy x x
22 21 2
1 2
2 2
2 111 1 12 2
2 11 1 11 2 2
k
x x kk k
kx x k
k k
，
又
2
2
1 2 1 2 1 2 2 2
2(1 )(1 ) 2(1 ) 11 2 2 1
k k k ky y k x x k x x k k k
，
所以 1
1
k
k
与 1 2y y 异号，则 1
1
x
x
与 1
1
k
k
同号，
所以 1 1
1 1
x k
x k
，解得 x k ，故 0,Q k y ，
则 0
1 ,0 , 1OP OQ k yk
.
16．已知椭圆
2
2 14
x y 的左顶点为 A ，过点 6( ,0)5
的直线 MN 与椭圆交于点 ,M N 两点，（ ,M N 均异
于点 A ），若直线 ,AM AN 的斜率分别为 1 2,k k ，则 1 24k k 的最小值为______________.
【解析】当直线 MN 的斜率不存在时，直线方程为 6
5x ，
求得 6 4 6 4, , ,5 5 5 5M N ,又 2,0A ,
1
4 05 16 25
k
， 2
4 05 16 25
k
，此时 1 24 5k k ；
当直线 MN 的斜率存在时，设直线的方程为 6
5y k x
，
联立椭圆方程得 2 2 2 2100 25 240 144 100 0k x k x k ，
6( ,0)5
在椭圆内，则显然 ，
设 1 2 2, , ,M x y N x y ，则
2
1 2 2
240
100 25
kx x k
，
2
1 2 2
144 100
100 25
kx x k
，
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 6 6 36
5 5 5 25y y k x x k x x x x
2 2 2
2
2 2 2
144 100 6 240 36 64
100 25 5 100 25 25 100 25
k k kk k k k
，
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 22 2 2 4
y y y yk k x x x x x x
2
2
2 2
2 2
64
100 25 1144 100 240 4100 25 100 25
k
k
k k
k k
，
则 1 2 1 1 1
1 1 1
1 1 14 4 4 2 4 4k k k k kk k k
，
当且仅当 1
1
14k k
，即 1
1
2k 时等号成立，综上， 1 24k k 的最小值为 4.
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知抛物线 2: 2 0C y px p 的焦点为 F ，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与C 交于 ,A B 两点，
AOB (点O 为坐标原点)的面积为 2.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若过点 0, 0E a a 的两直线 1l ， 2l 的倾斜角互补，直线 1l 与抛物线C 交于 ,M N 两点，直线 2l 与
抛物线C 交于 ,P Q 两点， FMN 与 FPQ△ 的面积相等，求实数 a 的取值范围.
【解析】（1）因为焦点 ,02
pF
，所以点 ,A B 的坐标分别为 ,2
p p
， ,2
p p .
所以 1 2 22 2AOB
pS p △ ，故 2p .故抛物线C 的方程为 2 4y x .
（2）由题意可知直线 1 2,l l 的斜率存在，且不为 0，设直线 1 :l x t y a .
点 1 1,M x y ， 2 2,N x y .联立方程可得
2 4y x
x t y a
，消去 x ，可得 2 4 4 0y ty at .
则 2
1 16 16 0t at .因为 1 2 1 2 4 , 4y y t y y at ，
所以 2 2 2 2 2
1 21 1 16 4 1MN t y y t t at t t at ，
焦点 F 到直线 1l 的距离
2
1
1
tad
t
，
所以 2 2 2
2
1 |1 |4 1 2 |1 |2 1FMN
taS t t at t at ta
t
△ .
设直线 2 : ( )l x t y a ，与抛物线方程联立可得 2
2 16 16 0t at ，
将t 用 t 替换，可得 22 1FPQS t at ta △
由 FMN FPQS S△ △ 可得 2 22 1 2 1t at ta t at ta ，
即 1
1
t a ta
t a ta
，两边平方并化简可得 2
2
1
2t a
，
所以 22 0a ，解得 0 2a .
又由 1 0 且 2 0 得t a 或t a ，可知 2 2t a ，
所以 2
2
1
2 aa
，即 22
2
1
02
a
a
，所以 1a ，
所以实数 a 的取值范围是 (0,1) (1, 2)U .
18．设 O 为坐标原点，已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 为直线 2x a
上一点， 2 1F PF 是底角为 30 的等腰三角形.
（1）求椭圆 E 的离心率；
（2）若 2 (1,0)F ，设不与 x 轴重合的直线 l 过椭圆 E 的右焦点 2F ，与椭圆 E 相交于 A､B 两点，与圆 2 2 2x y a
相交于 C､ D 两点，求 2| | | |AB CD 的取值范围.
【解析】设直线 2x a 与 x 轴交于点 Q，由 2 1F PF 是底角为30 的等腰三角形， 2 1 2 2PF F F c ，
2 1 2 1 30F F P F PF o ，在直角 2PQF 中， 2 60PF Q o ， 2 2PF c ， 2 2QF a c ，
利用余弦定义可知 2
2
2 1cos60 2 2
QF a c
PF c
o ，解得： 2
2
c
a
所以椭圆 E 的离心率为 2
2
；
（2）由（1）知， 2
2
c
a
，且 1c ，则 2a ，故 2 2 2 1b a c ，
所以椭圆的方程为：
2
2 12
x y
设不与 x 轴重合的直线 l 的方程为： 1x my ，设点 2 2 2 2( , ), ( , )A x y B x y
联立 2
2
1
12
x my
x y
，化简整理得 2 2( 2) 2 1 0m y my
其中 28 8 0m ， 1 2 2
2
2
my y m
， 1 2 2
1 ,2y y m
利用弦长公式可得：
2
2
2 2 2
2 2( 1)| | 1 | | 2
mAB m y y m
设圆 2 2 2x y 的圆心 O 到直线l 的距离为 d，则 2
1
1
d
m
利用圆的弦长公式可得：
2
2
2
2 1| | 2 2 2 1
mCD d m
所以
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2( 1) 2 1 8 2(2 1) 3| | | | 4 8 2(2 )2 1 2 2
m m mAB CD m m m m
2
3 30 2 2m
， 2
1 32 22 2m
，
24 2 | | | | 16 2AB CD ，
所以 2| | | |AB CD 的取值范围是 4 2,16 2 ．
19．已知点 1,0F ，圆 E ： 2 21 8x y ，点 P 是圆 E 上任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE
相交于Q 点.
（1）求动点Q 的轨迹 的方程；
（2）若直线 l ： y kx t 与圆 O ： 2 2 1x y 相切，并与轨迹 交于不同的两点 ,A B ，OA OB ，
且 3 15
，求 AOB 面积的最大值.
【解析】（1）由圆 E 的方程可知：圆心 1,0E ，半径 2 2r ，
由题意可知： 2 2 2EQ FQ EQ PQ r EF ，
动点Q 的轨迹 为焦点在 x 轴上的椭圆，
设 ：
2 2
2 2 1x y
a b
0a b ， 则 2 2 2a ， 2 2c ，即 2a ， 1c ，
2 2 2 1b a c ，动点Q 的轨迹 的方程为：
2
2 12
x y .
（2） :l 0kx y t ，则圆O 的圆心到 l 的距离
2
1
1
td
k
，则 2 21 k t
联立
2
2 12
x y 与 0kx y t 得： 2 2 21 2 4 2 2 0k x ktx t ，
2 2 2 24 4 1 2 2 2 8 0kt k t k ，则 0k ，
设 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，则 1 2 2
4
1 2
ktx x k
，
2
1 2 2
2 2
1 2
tx x k
，
2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
2
1 2
t ky y kx t kx t k x x kt x x k
，
又 2 21 k t ，
2
1 2 2
2
1 2
kx x k
，
2
1 2 2
1
1 2
ky y k
，
又
2
1 2 1 2 2
1
1 2
kx x yOA OB y k
， 3 15
，
2
2
3 1 15 1 2
k
k
，解得： 20 2k ，
4 2
22
1 2 1 2 4 2
2
1 4 2
4 1
k k
AB k x x x x
k k
，
令
2
4 2 2 1 1
2 4k k k
， 20 2k ，则 0,6 ，
2 1 12 24 1 2 2 4 1AB
，在 0,6 上恒增， 4 3
5AB ，
1 2 3
2 5AOBS AB r
，即 AOB 面积的最大值 2 3
5
.
20．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 及 x 轴上一点 M ，过点 M 的直线 l 与抛物线C 交于 ,A B 两点.
（1）若直线 l 的倾斜角为 3
4
，且| 2AB p∣ ，求点 M 的横坐标的取值范围；
（2）设 1 1t AM BM
，若对给定的点 ,M t 的值与直线 l 位置无关，此时的点 M 称为拋物线C 的“平衡
点”，问抛物线C 的“平衡点”是否存在？若存在，求出所在“平衡点”坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 M 的点的坐标为 ,0 ,a 由题意：直线 AB 的方程为： y x a ，
代入抛物线得： 2 22 0,x a p x a 由 2 2Δ 4( ) 4 0a p a 得：
2
1 2 1 2; 2 ,2
pa x x a p x x a ，
所以 2
1 22 2 2 2 2 ,AB x x ap p p
解得 ,4
pa 所以 a 的取值范围是 , .2 4
p p
（2）设 1 1 2 2, , , ,A x y B x y M 的点的坐标为 ,0 ,a 则直线 AB 的方程为： ,x my a 联立 2 2
x my a
y px
.
化为 2
1 2 1 22 2 0,Δ 0, 2 , 2 .y pmy pa y y pm y y pa 由对称性，不妨设 0.m
（i） 0a 时，因为 1 2 2 0,y y pa 所以 1 2,y y 同号，
所以 2 2
1 2
1 1 1 1
1 1
t AM BM m y m y
，
所以
2 2 2 2
2 1 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2
1 1 4 1 111 1 4 11
y y p m mt m y y m p a a mm a
，
不论 a 取何值， t 均与 m 有关，即 0a 时， M 不是“平衡点"
（ii） 0a 时，因为 1 2 2 0y y pa ，所以 1 2,y y 异号，
所以 2 2
1 2
1 1 1 1 ,
1 1
t AM BM m y m y
所以
2 2 2 2
1 2 2 22 1 2
22 2 2 2 2
1 2 1 2
41 1 1 4 8
1 1 1 4
y y y yy y p m pat m y y m m p ay y
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 11 2 1 1 1 ,1 1 1
a ampm a p p
m pa a m a m
所以仅当 2 1 0a
p
时，即
2
pa 时， t 与 m 无关，所以所求的“平衡点”为 ,0 ,2
p
因此仅有焦点一个“平衡点".
21．椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率 1
2e ， 1 3 5,2 4P
在C 上.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2） ,E F 设为短轴端点，过 ( )0M ，1 作直线l 交椭圆 C 于 A B、 两点(异于 ,E F )，直线 AE BF、 交于点T .
求证：点T 恒在一定直线上.
【解析】（1）因为点 1 3 5,2 4P
在 C 上，所以
2
2 2
3 51
44 1a b
，
又 1
2
ce a
， 2 2 2a b c ，所以 2 4a ， 2 3b ，
故所求椭圆 C 的方程为
2 2
14 3
x y .
（2）由题意知直线 l 的斜率存在，设其方程为 1y kx .
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，( 1 0x ， 2 0x ).
2 2
2 2
1 4 3 8 8 03 4 12 0
y kx k x kxx y
，
1 2 2
8
4 3
kx x k
， 1 2 2
8
4 3x x k
，且有 1 2 1 2x x kx x .
1
1
2
2
3: 3
3: 3
AE
BF
yl y xx
yl y xx
( 1 0x ， 2 0x )
1 2 1 2 1 2 2
1 12 2 1 2 1
3 1 3 (1 3)3
3 3 1 3 (1 3)
y x kx x kx x xy
x xy y kx kx x x
，
1 2 2
1 2
(1 3)3
2 3 (1 3) (1 3)
kx x xy
x x
，
故 1 2 2
1 2
2 2(1 3)3 1
(1 3) (1 3)
kx x xy
x x
1 2 1 2 1 2
1 2
2 33
(1 3) (1 3)
kx x x x x x
x x
1 2 1 2
1 2 1 2
3 33
3
x x x x
x x x x
3 ，故点 T 恒在一定直线 3y 上.
22．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右顶点分别为 A ， B ，上顶点为 D ，过右焦点 (1,0)F 的直
线交椭圆 C 于 P ，Q 两点，点 P 在 x 轴上方，当 PQ x 轴时， //OP AD （ O 为坐标原点）.
（1）求椭圆C 的标准方程.
（2）设直线 AP 交直线 BQ 于点 M ，直线 BP 交直线 AQ 于点 N ，则 MFN 是否为定值?若是，求出该
定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）当 PQ x 轴时，点 P 的横坐标 Px c 代入椭圆C 的方程，
可得点 P 的纵坐标
2
P
by a
，由题意知 1c ， ( ,0)A a ， (0, )D b ，
又当 OP x 轴时， //OP AD ，
2b b
a a
，得 1b ，且 2 22a cb ， 2a ，
∴椭圆C 的标准方程为
2
2 12
x y .
（2） MFN 为定值，且定值为
2
，理由如下：
由（1）得 2,0A ， (0,1)D ， 2,0B ，设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ， 3,M t y ，
直线 PQ 的方程为 1x my ，联立方程可得 2 2
1,
2 2 0,
x my
x y
整理得 2 22 2 1 0m y my ，
则 1 2 2
2
2
my y m
， 1 2 2
1
2y y m
，
由 A ， P ， M 三点共线可得 3 1
12 2
y y
t x
，①
2
21
1 12
x y ， 2 2
1 1 1 12 2 2 2y x x x ， 1 1
11
2
22
y x
yx
，②
由①②得 3 1
1
2
22
y x
yt
③
由 B ， Q ， M 三点共线可得 3 2
22 2
y y
t x
④
由③④可得 1 2
1 2
2 22
22
x xt
y yt
，
分别将 1 1 1x my ， 2 2 1x my 代入，得
2
1 2 1 2
1 2
2 1 3 2 22
22
m y y m y yt
y yt
，
将 1 2 2
2
2
my y m
， 1 2 2
1
2y y m
代入并整理，可得 2 3 2 2
2
t
t
，
2t ，设 4,N t y ，同理可得 2t ，
由 B ， P ， N 三点共线可得 4 1
12 2
y y
t x
，⑤
由③⑤得 3 4 1y y ， 3 4 3 42 1, 2 1, 1 0FM FN y y y y ，
2MFN 为定值.
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