备考 2021 年高考高三数学复习之疯狂选择题 30 题
第 10 辑 统计与概率
一、单选题
1．（2021·辽宁高三一模（理））某口罩厂的三个车间在一个小时内共生产 3600个口罩，在出厂前要检查这
批口罩的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一､二､三车间抽取的口罩数分别为 a b c、 、 且
a b c、 、 构成等差数列，则第二车间生产的口罩数为（ ）个.
A．800 B．100 C．1200 D．1500
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质求得 , ,a b c 的关系，结合分层抽样的定义，建立比例关系，即可求解.
【详解】
由题意，从一､二､三车间抽取的口罩数分别为 a b c、 、 且 a b c、 、 构成等差数列，
可得 2a c b ，
则第二车间生产的口罩数为 3600 3600 12003
b b
a b c b
个.
故选：C.
2．（2021·吉林长春市·高三二模（理））党的十八夫以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农
村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族儿千年的贫困问题，取符历史性成就，同时为全球减贫事业作出
了重要贡献.2020 年为脱贫攻坚收官之年，下图为 2013 年至.2019 年每年我国农村减贫人数的条形图．
根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为（ ）
①平均每年减贫人数超过1300万；
②每年减贫人数均保持在1100万以上；
③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律；
④历年减人数的中位数是1240（万人）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】C
【分析】
直接利用题目中条形图的规律，中位数的应用逐一判断①②③④即可得正确选项.
【详解】
对于①：由条形图知：平均每年减贫人数超过1300万，故①正确；
对于②：每年减贫人数均保持在1100万以上；故②正确；
对于③：打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律，故③正确；
对于④：历年减人数的中位数是1289（万人），故④不正确，
所以①②③正确，④不正确，正确的个数为3，
故选：C.
3．（2021·浙江高一单元测试）2020 年 5 月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工
复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加.
B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量
【答案】C
【分析】
根据折线图判断各选项．
【详解】
第 8 天比第 7 天的复工指数和复产指数均低，A 错；
这11天期间，复产指数的极差小于复工指数的极差：两者最高差不多，但最低的复工指数比复产指数低得
多，B 错；
第3天至第11天复工复产指数均超过80%，C 正确；
第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量，D 错误．
故选：C．
4．（2021·浙江高一单元测试）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更
好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如
下扇形统计图：
则下面结论中不正确．．．的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入略有增加
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入不变
D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
【答案】C
【分析】
根据扇形统计图，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，不妨设建设前的经济收入为 m ，则建设
后的经济收入为 2m ，
A 选项，从扇形统计图中可以看到，新农村建设后，种植收入比建设前增加 2 37% 60% 14%m m m ，
故 A 正确；
B 选项，新农村建设后，其他收入比建设前增加 2 5% 4% 6% 4%m m m m ，即增加了一倍以
上，故 B 正确；
C 选项，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的 2 倍，所以建设后的养殖
收入也是建设前的 2 倍，故 C 错误；
D 选项，新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重由建设前的 60% 降为37%，故 D 正确；
故选：C.
5．（2020·全国高一课时练习）采用随机抽样法抽到一个容量为 20 的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
分组 (10 ]20， (20 ]30， (30 ]40， (40 ]50， (50 ]60， (60 ]70，
频数 2 3 x 5 y 2
已知样本数据在 (20 ]40， 的频率为 0.35，则样本数据在区间 (50 ]60， 上的频率为（ ）
A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20
【答案】D
【分析】
根据 20,40 的频数，构造关于频率的方程，求得 x ；可根据样本容量求解出 y ，从而求得对应频率.
【详解】
由题意得： 3 0.3520
x ，解得： 4x
20 2 3 4 5 2 4y 所求频率为： 4 0.2020
本题正确选项： D
【点睛】
本题考查统计中频数和频率的计算问题，属于基础题.
6．（2021·全国高一课时练习）江西省重点中学协作体于 2020 年进行了一次校际数学竞赛，共有 100 名同学
参赛，经过评判，这 100 名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错
误的是（ ）
A．得分在[40,60) 之间的共有 40 人
B．从这 100 名参赛者中随机选取 1 人，其得分在[60,80) 的概率为 0.5
C．这 100 名参赛者得分的中位数为 65
D．可求得 0.005a
【答案】C
【分析】
根据给定的频率分布直方图，结合直方图的性质，逐项计算，即可求解.
【详解】
由频率分布直方图，可得
A 中，得分在[40,60) 之间共有[1 (0.03 0.02 0.01) 10] 100 40 人，所以 A 正确；
B 中，从 100 名参赛者中随机选取 1 人，
其得分在[60,80) 中的概率为 (0.03 0.02) 10 0.5 ，所以 B 正确；
D 中，由频率分布直方图的性质，可得 ( 0.01 0.035 0.030 2.020 0.010) 10 1a ，
解得 0.005a ，所以 D 正确.
C 中，前 2 个小矩形面积之和为 0.4，前 3 个小矩形面积之和为 0.7，所以中位数在[60，70]，这 100 名参赛
者得分的中位数为 0.5 0.460 10 63.30.3
，所以 C 不正确；
故选：C.
7．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（文））某校100名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，
学生的成绩分组区间是[50,60) ，[60,70) ，[70,80) ，[80,90) ，[90,100]，其中数学成绩在80 分以上的
学生有（ ）
A． 35 名 B．30名 C． 25 名 D． 20 名
【答案】C
【分析】
首先根据频率分步直方图中小矩形的面积之和等于1，求出 a 得值，再计算数学成绩在80 分以上的频率，
进而可得80 分以上的学生的人数.
【详解】
由 0.04 0.03 0.02 10 1a a 可得： 0.005a
所以数学成绩在80 分以上的频率为 0.02 0.005 10 0.25 ，
所以数学成绩在80 分以上的有100 0.25 25 名，
故选：C.
8．（2021·辽宁高三一模（文））下图的茎叶图是甲、乙两位学生在学校举办的知识竞赛几轮比赛中的得分，
则下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均数大于乙的平均数 B．甲的中位数大于乙的中位数
C．甲的方差大于乙的方差 D．甲的方差小于乙的方差
【答案】C
【分析】
由图中数据可得甲乙平均数，中位数以及方差即可比较大小.
【详解】
由图中数据可得：甲平均数： 1
1 59 45 32 38 24 26 11 12 14 299x
乙平均数： 2
1 51 43 30 34 20 25 27 28 12 309x ；
所以 1 2x x
甲中位数为 26，乙中位数为 28，所以甲的中位数小于乙的中位数；
甲方差： 2 2 2 2 22 2 2 2 2
1
1 30 16 3 9 5 3 18 17 15 235.39S
乙方差： 2 2 2 2 22 2 2 2 2
2
1 21 13 0 4 10 5 3 2 18 120.99S
所以甲的方差大于乙的方差，C 正确
故选：C
9．（2020·全国高一课时练习）某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13s 与 19s 之间，将测试结
果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13s 且小于 14s;第二组，成绩大于等于 14s 且小于 15s；……；
第六组，成绩大于等于 18s 且小于等于 19s.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于 17s
的学生人数占全班总人数的百分比为 x ，成绩大于等于 15s 且小于 17s 的学生人数为 y ，平均成绩为 z ，则
从频率分布直方图中可分析出 x ， y ， z 的值分别为（ ）
A．90%，35，15.86 B．90%，45，15.5
C．10%，35，16 D．10%，45，16.8
【答案】A
【分析】
由频率分布直方图可知每组的频率 if ,由此可得 ,x y 的值,根据求平均数为每个小矩形底边中点的横坐标乘
以每个小矩形的面积再求和，代入数据即可求解.
【详解】
由频率分布直方图可得，
1 0.06 0.04 100% 90%x ， 50 0.36 0.34 35y ，
第一组的频率为0.02，第二组的频率为 0.18，第三组的频率为 0.36 ，
第四组的频率为 0.34 ，第五组的频率为0.06，第六组的频率为 0.04 ，
则 13.5 0.02 14.5 0.18 15.5 0.36 16.5 0.34 17.5 0.06 18.5 0.04z ，
即 15.86z .
故选:A
【点睛】
本题主要考查利用频率分布直方图估计样本的平均数;从统计图中获取信息是解题的关键;属于中档题.
10．（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（理））2020 年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产
党的正确领导下防控及时､措施得当，很多企业的生产所受影响甚微.我国某电子公司于 2020 年 6 月底推出
了一款领先于世界的 5G 电子产品，现调查得到该 5G 产品上市时间 x 和市场占有率 y(单位：%)的几组相关
对应数据.如图所示的折线图中，横轴 1 代表 2020 年 8 月，2 代表 2020 年 9 月……，5 代表 2020 年 12 月，
根据数据得出 y 关于 x 的线性回归方程为 0.042y x a .若用此方程分析并预测该产品市场占有率的变化
趋势，则该产品市场占有率最早何时能超过 0.5%(精确到月)（ ）
A．2021 年 5 月 B．2021 年 6 月 C．2021 年 7 月 D．2021 年 8 月
【答案】D
【分析】
先算平均值，确定线性回归方程，再利用回归方程可得解.
【详解】
根据表中数据，计算 1 1 2 3 4 5 35x ，
1 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18 0.15y
代入回归方程得 0.1 0.042 3 a $ ，解得 0.026a $ .
所以线性回归方程为： 0.042 0.026y x ，
由 0.024 0.026 0.5,x 解得 13x ，
预计上市 13 月时，即最早在 2021 年 8 月，市场占有率能超过 0.5% .
故选:D
11．（2017·四川泸州市·高三一模（文））某研究机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析，得到如
下数据：
记忆能力 x 4 6 8 10
识图能力 y 3 5 6 8
由表中数据，求得线性回归方程 4
5y x a $ $ ，若某儿童的记忆能力为 12 时，则他的识图能力约为（ ）
A．9.2 B．9.8 C．9.8 D．10
【答案】C
【解析】
将 4 6 8 10 3 5 6 87, 5.54 4x y 代入 4
5y x a 可得 45.5 75 a ，解之得 0.1a ，
所以 4 12ˆ 0.1 9.55y ，应选答案 C．
12．（2020·全国高三专题练习（文））近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，
绘制相应的散点图，如图所示：
年份 1 2 3 4 5
羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量
间的相关系数为 1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为 2r ，则 1 2r r ；③可以利用回归直线方程，准确
地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可．
【详解】
对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，∴①错误；
对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为 1r ，∵第一组数据 (1,4,1,1) 是离群值，去掉后得到的相
关系数为 2r ，其相关性更强，∴ 1 2r r ，②正确；
对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数，只是预测值，∴③
错误；
综上可知正确命题个数是 1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，属于基础题．
13．（2021·全国高二课时练习）某校随机调查了 110 名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：
男 女
喜欢篮球 40 20
不喜欢篮球 20 30
附：
2
2 n ad bck a b c d a c b d
2
0P k k
0.050 0.010 0.001
0k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关”
C．有 99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”
D．有 99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”
【答案】C
【分析】
由列联表求出 2k ，与参考值比较可得．
【详解】
由题意
2
2 110 (40 30 20 20) 7.82260 50 60 50k
，6.635 7.822 10.828 ，因此有 99%以上的把握认为“喜
欢篮球与性别有关”．
故选：C．
14．（2019·全国高三专题练习（文））某学校为判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取 50 名学
生，得到如下 2 2 列联表：
理科 文科 合计
男 13 10 23
女 7 20 27
合计 20 30 50
根据表中数据得到 2
2 50 13 20 10 7 4.84423 27 20 30K
，已知 2 3.841 0.05P K ，
2 5.024 0.025P K ．现作出结论“选修文科与性别相关”，估计这种判断出错的可能性约为（ ）
A．97.5% B．95% C． 2.5% D．5%
【答案】D
【解析】
2 4.844 3.841K ，而 2 3.84( )1 0.05P K ，这种判断出错的可能性约为 005 ，选 D.
15．（2021·四川遂宁市·高三二模（文））现从甲、乙等 6 人中随机抽取 2 人到幸福社区参加义务劳动，则甲、
乙仅有 1 人被抽到的概率为（ ）
A． 2
5 B． 7
15 C． 8
15 D． 3
5
【答案】C
【分析】
设甲乙外的 4 人分别为 A ， B ，C ， D ，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事
件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
设甲乙外的 4 人分别为 A ， B ，C ， D ，
则从这 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件有（甲，乙），（甲，A ），（甲，B ），（甲，C ），（甲，D ），（乙，
A ），（乙， B ），（乙， C ），（乙， D ）， ,A B ， ,A C ， ,A D ， ,B C ， ,B D ， ,C D ，共 15
个，
其中符合条件的有（甲， A ），（甲， B ），（甲，C ），（甲， D ），（乙， A ），（乙， B ），（乙，C ），（乙，
D ），共 8 个，
由古典摡型的概率计算公式，可得所求的概率为 8
15 .
故选：C.
16．（2021·广东汕头市·高三一模）在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照 3（语文、数学、
英语） 2 （物理、历史）选1 4 （化学、生物、地理、政治）选 2 的模式设置的，则在选考的科目中甲、
乙两位同学恰有两科相同的概率为（ ）
A． 1
4 B． 1
3 C． 5
12 D． 1
2
【答案】 C
【分析】
先求出甲、乙两位同学选考的总数为 1 2 1 2
2 4 2 4C C C C 种，选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同有两种
情况，一是相同科目为 4 选 2 的科目，另一个是相同的科目为 2 选 1 和 4 选 2 中的 1 个，然后利用古典概
型的概率公求解即可
【详解】
解：由题意得出甲、乙两位同学选考的总数为 1 2 1 2
2 4 2 4 144C C C C 种，
若相同的科目为 4 选 2 的科目，则有 2 1 1
4 2 1 12C C C 种；
若相同的科目为 2 选 1 和 4 选 2 中的 1 个，则有 1 1 1 1
2 4 3 2 48C C C C 种，
所以所求概率为12 48 5
144 12
，
故选：C
17．（2021·山东德州市·高三一模）《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛
马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的
下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场
比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得 1 分，否则得 0 分．若每场比赛之前彼此都不知道
对方所用之马，则比赛结束时，田忌得 2 分的概率为（ ）．
A． 1
3 B． 2
3 C． 1
6 D． 1
2
【答案】C
【分析】
根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为 a, b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为
A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率
计算可得答案.
【详解】
设齐王的上，中，下三个等次的马分别为 a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为 A，B，C，
双方各出上、中、下等马各 1 匹分组分别进行 1 场比赛，
所有的可能为:
Aa，Bb，Cc，田忌得 0 分;
Aa，Bc，Cb，田忌得 1 分
Ba，Ab，Cc，田忌得 1 分
Ba，Ac，Cb，田忌得 1 分;
Ca，Ab，Bc，田忌得 2 分，
Ca，Ac，Bb，田忌得 1 分
田忌得 2 分概率为 1
6P ，
故选：C
18．（2021·浙江高三其他模拟）已知随机变量 X 的分布列是（ ）
X a 0 b
P b 1
2
a
则下列说法正确的是（ ）
A．对任意的 a ， 10, 2b
， 1
16E X B．存在 a ， 10, 2b
，使得 1
8E X
C．对任意的 a ， 10, 2b
， D X E X D．存在 a ， 10, 2b
，使得 1
8D X
【答案】C
【分析】
求得 E X 的表达式，由此确定 AB 选项的正确性.求得 D X 的表达式，利用差比较法确定 CD 选项的正
确性.
【详解】
由题意可知 a ， 10, 2b
， 1
2a b ，所以 1
2b a ，所以
10 22E X ab ab ab
2
21 12 22 8
1 12 4 8aa a a a
，故选项 A，B 错误．
由方差的计算公式得
2
2 22 2 21 1 12 2 22 2 2D X a a a a a a a a a a
2 4 3
4 2 31 1 1 1 1 14 2 4 2 2 22 2 2 2 2 2a a a a a a a a a a a a
12 2a a
2 12 4a a
，所以
21 1 1 12 2 2 22 4 2 2D X E X a a a a a a a a
2 32 4a a
．因为 10, 2a
，
所以 12 02a a
， 2 3 32 2 1 04 4a a a a ，所以 0D X E X ， 1
8D X E X ，
故选项 C 正确，选项 D 错误．
故选：C
19．（2021·河南新乡市·高三二模（理））某同学上学的路上有 4 个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口
遇到绿灯的概率为 2
3
，则该同学在上学的路上至少遇到 2 次绿灯的概率为（ ）
A． 1
8 B． 3
8 C． 7
8 D． 8
9
【答案】D
【分析】
由题意，遇绿灯服从二项分布 2(4, )3B ，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到 2
次绿灯的概率.
【详解】
4 次均不是绿灯的概率为 0
4
0
4
2 2 11 3 )3 81(C
，
3 次不是绿灯的概率为
3
1
4
2 2 81 3 3 81C
，
∴至少遇到 2 次绿灯的概率为 1 8 81 81 81 9
.
故选：D.
20．（2021·吉林长春市·高三二模（理））已知5道试题中有3道代数题和 2 道几何题，每次从中抽取一道题，
抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为（ ）
A． 1
4 B． 2
5 C． 1
2 D． 3
5
【答案】C
【分析】
设事件 A “第1次抽到代数题”，事件 B “第 2 次抽到几何题”，分别求出 P A 、 P AB ，利用条件概
率公式即可求解.
【详解】
设事件 A “第1次抽到代数题”，事件 B “第 2 次抽到几何题”，
3
5P A ， 3 2 6
5 4 20P AB
则
2
3|
6
10
2
5
P ABP B A P A
，
所以在第1次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为 1
2 .
故选：C.
21．（2020·全国高二课时练习（理））在某项测试中，测量结果 服从正态分布 21, 0N ，若
0 1 0.4P ，则 0 2P （ ）
A． 0.4 B． 0.8 C． 0.6 D． 0.2
【答案】B
【分析】
由正态分布的图像和性质得 0 2 2 0 1P P 得解.
【详解】
由正态分布的图像和性质得 0 2 2 0 1 =2 0.4=0.8P P .
故选 B
【点睛】
本题主要考查正态分布的图像和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平和分析推理能力.
22．（2021·广东广州市·高三二模）在某次数学测试中，学生成绩 服从正态分布 2100, ( 0) ，若 在
(80,120) 内的概率为 0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于 80 的概率为（ ）
A．0.16 B．0.24 C．0.32 D．0.48
【答案】C
【分析】
根据 服从正态分布 2(100, )N ，得到曲线的对称轴是直线 100x ，利用 在 (80,120) 内取值的概率为
0.6，求出成绩不高于 80 的概率，再利用相互独立事件的概率公式即可求得结论．
【详解】
解： 服从正态分布 2(100, )N
曲线的对称轴是直线 100x ，
在(80,120) 内取值的概率为 0.6，
在 (80,100)内取值的概率为 0.3，
在(0,80) 内取值的概率为 0.5 0.3 0.2 ．
现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于 80 的概率 1
2 0.2 1 0.2 0.32P C
故选：C
23．（2019·全国高三专题练习（理））已知随机变量 ~ (7,4)X N ，且 (5 9) , (3 11)P X a P X b ，
则 (3 9)P X （ ）
A．
2
b a
B．
2
b a
C． 2
2
b a
D． 2
2
a b
【答案】B
【解析】
由正态分布的对称性知， (3 9) (3 7)+ (7 9) 2 2 2
b a a bP X P X P X ，故选 B.
24．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）已知随机变量 2~ 1,N ，且 0P P a ，则
1 4 0 x ax a x
的最小值为（ ）
A．9 B． 9
2 C． 4 D． 6
【答案】B
【分析】
利用正态分布密度曲线的对称性可求得 2a ，代数式 1 22 x x 与 1 4
2x x
相乘，展开后利用基本
不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】
因为随机变量 2~ 1,N ，且 0P P a ，则 12
a ，可得 2a ，
1 4 1 4 1 1 4 22 2 2 x xx a x x x x x
1 2 4 1 2 4 91 4 5 22 2 2 2 2
x x x x
x x x x
，
当且仅当 2
3x 时，等号成立，所以， 1 4 0 x ax a x
的最小值为 9
2 .
故选：B.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、多选题
25．（2021·全国高一课时练习）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温
和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为
5℃.下面叙述正确的有（ ）
A．各月的平均最低气温都在 0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个
【答案】ABC
【分析】
根据雷达图提供的数据判断各选项可得．
【详解】
对于选项 A，由图易知各月的平均最低气温都在 0℃以上，A 正确；
对于选项 B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温
点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；
对于选项 C，三月和十一月的平均最高气温均为10℃，所以 C 正确；
对于选项 D，平均最高气温高于 20℃的月份有七月､八月，共 2 个月份，故 D 错误.
故选：ABC.
26．（2021·全国高三其他模拟） 2020 年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳
半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了
检测生猪的养殖情况，该养猪场对 2000 头生猪的体重（单位： kg ）进行了统计，得到如图所示的频率分
布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．这 2000 头生猪体重的众数为160kg
B．这 2000 头生猪中体重不低于 200kg 的有80 头
C．这 2000 头生猪体重的中位数落在区间 140,160 内
D．这 2000 头生猪体重的平均数为152.8kg
【答案】BCD
【分析】
利用最高矩形底边的中点值作为众数可判断 A 选项的正误；计算出生猪中体重不低于 200kg 所占的频率，
乘以 2000 可判断 B 选项的正误；根据中位数左边的矩形面积之和为 0.5可判断 C 选项的正误；根据频率分
布直方图计算出样本数据的平均数，可判断 D 选项的正误.
【详解】
由频率分布直方图可知， 140,160 这一组的数据对应的小长方形最高，所以这 2000 头生猪的体重的众数
为150kg ，A 错误；
这 2000 头生猪中体重不低于 200kg 的有 0.002 20 2000 80 （头），B 正确；
因为生猪的体重在 80,140 内的频率为 0.001 0.004 0.01 20 0.3 ，
在 140,160 内的频率为 0.016 20 0.32 ，且 0.3 0.32 0.62 0.5 ，
所以这 2000 头生猪体重的中位数落在区间 140,160 内，C 正确；
这 2000 头生猪体重的平均数为
0.001 90 0.004 110 0.01 130 0.016 150 0.012 170 0.005 190 0.002 210 20 152.8 kg ，
D 正确．
故选：BCD.
【点睛】
方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法
（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示 频率
组距
，频率=组距频率
组距
，即每个小长方形
的面积表示相应各组的频率．
（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．
（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．
27．（2021·全国高三专题练习）某大型电子商务平台每年都会举行“双 11”商业促销狂欢活动，现统计了该平
台从 2011 年到 2019 年共 9 年“双 11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额 y 看成以年份
序号 x（2011 年作为第 1 年）的函数.运用 excel 软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，
效果如下图，则下列说法错误．．的是（ ）
A．销售额 y 与年份序号 x 呈正相关关系
B．根据三次多项式函数可以预测 2020 年“双 11”当天的销售额约为 8454 亿元
C．销售额 y 与年份序号 x 线性相关不显著
D．三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
【答案】BC
【分析】
采用验证法，通过散点图，根据相关系数以及图形的增长情况，简单判断即可.
【详解】
对于 A，散点从左下到右上分布，所以销售额 y 与年份序号 x 呈正相关关系，故 A 正确，不符合题意；
对于 B，令 10x ，由三次多项式函数得 2684.54y ，所以 2020 年“双 11”当天的销售额约为 2684.54 亿
元，故 B 错误，符合题意；
对于 C，因为相关系数 2 0.936r ，非常接近 1，故销售额 y 与年份序号 x 线性相关显著，故 C 错误，符合
题意；
对于 D，用三次多项式回归曲线拟合的相关指数 2 0.999R ，而回归直线拟合的相关指数 2 0.936R ，相
关指数越大，拟合效果越好，故 D 正确，不符合题意.
故选：BC.
【点睛】
本题考查散点图的应用以及相关系数的应用，熟记概念，考查观察能力，属于基础题.
28．（2019·北京（文））下列说法错误的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心 ,x y
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．在回归直线方程 0.2 0.8y x 中，当解释变量 x 每增加1个单位时，预报变量 y 平均增加 0.8个单位
D．对分类变量 X 与Y ，随机变量 2K 的观测值越大，则判断“ X 与Y 有关系”的把握程度越小
【答案】CD
【分析】
利用线性回归的有关知识即可判断出．
【详解】
解： A ．回归直线必过样本点的中心 ,x y ，故 A 正确；
B ．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近 1，故 B 正确；
C ．在线性回归方程 0.2 0.8y x 中，当 x 每增加 1 个单位时，预报量平均增加 0.2 个单位，故 C 错误；
D ．对分类变量 X 与Y 的随机变量 2K 的观测值 k 来说， k 越大，“ X 与Y 有关系”可信程度越大，因此不
正确．
综上可知：有 CD 不正确．
故选：CD．
【点睛】
本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于基础题．
29．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知两种不同型号的电子元件（分别记为 X ，Y ）的使用寿命均服从正
态分布， ~X N 2
1 1, ， 2
2 2~ ,Y N ，这两个正态分布密度曲线如图所示（ ）
参考数据：若 2~ ,Z N ，则 0.6827P Z ≤ ≤ ， 2 2 0.9545P Z ≤ ≤
A． 1 1 1 12 0.8186P X B． 2 1P Y P Y
C． 2 1P X P X ≤ ≤ D．对于任意的正数 t ，有 P X t P Y t≤ ≤
【答案】ABD
【分析】
抓住平均数 和标准差 这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可.
【详解】
对于 A， 1 1 1 1
12 0.6827 0.9545 0.81862P X ，A 选项正确；
对于 B，由正态分布密度曲线，可知 1 2 ，所以 2 1P Y P Y ，B 选项正确；
对于 C，由正态分布密度曲线，可知 1 2 ，所以 2 1P X P X ，C 选项错误；
对于 D，对于任意的正数 t ，由图像知 P X t≤ 表示的面积始终大于 P Y t≤ 表示的面积，所以
P X t P Y t≤ ≤ ，D 选项正确
故选：ABD.
30．（2020·山东高三专题练习）（多选题）下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量 服从正态分布 22,N ， 4 0.84P ，则 2 4 0.16P ．
B．以模型 kxy ce 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 lnz y ，将其变换后得到线性方程
0.3 4z x ，则 c ， k 的值分别是 4e 和 0.3．
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 y a bx ，若 2b ， 1x ， 3y ，则 1a ．
D．若样本数据 1x ， 2x ，…， 10x 的方差为 2，则数据 12 1x ， 22 1x ，…， 102 1x 的方差为 16．
【答案】BC
【分析】
根据正态分布性质求 2 4P 即可判断 A;根据方程变形即可确定 c ， k 的值，再判断 B; 根据回归直
线方程过样本中心，即可判断 C;根据数据变化与方差变化关系判断 D.
【详解】
因为随机变量 服从正态分布 22,N ， 4 0.84P ，
所以 2 4 4 0.5 0.84 0.5 0.34 0.16P P ，即 A 错；
ln ln( ) ln lnkx kxy ce y ce y kx c Q ， 0.3 4 ln 0.3 4z x y x ，从而
40.3,ln 4 0.3,k c k c e ，即 B 正确；
y a bx 过 ( , )x y ， 3 2 1a b b a ，即 C 正确；
因为样本数据 1x ， 2x ，…， 10x 的方差为 2，所以数据 12 1x ， 22 1x ，…， 102 1x 的方差为 22 2 =8 ，
即 D 错误；
故选：BC
【点睛】
本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
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