第3讲 空间中两直线所成的角（解析版）-2021年新高考数学之立体几何综合讲义

第 3 讲 空间中两直线所成的角 一．选择题（共 8 小题） 1 ． 空 间 四 边 形 ABCD 的 两 对 边 3AB CD  ， E 、 F 分 别 是 AD 、 BC 上 的 点 ， 且 7EF  ， : : 1: 2AE ED BF FC  ，则 AB 与CD 所成角大小为 ( ) A． 30 B． 45 C． 60 D． 90 【解答】解：过 E 点作 AB 的平行线 EN ，交 BD 于 N ，连结 NF ， 3AB CD  ， E 、 F 分别是 AD 、 BC 上的点，且 7EF  ， : : 1: 2AE ED BF FC  ， : : :BN ND AE ED BF FC   ， / /NF CD ， 2 23EN AB   ， 1 13NF CD  ， / /EN AB ， / /NF CD ， ENF 是 AB 与 CD 所成角或所成角的补角， 由余弦定理得 2 2 2 4 1 7 1cos 2 2 2 1 2 EN NF EFENF EN NF          ， 120ENF   ， 异面直线 AB 和 CD 所成的角为 60 ． 故选： C ． 2．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 、F 分别是棱 AB 、 1BB 的中点，则 1A E 与 CF 所成角的余弦值为 ( ) A． 1 2 B． 2 2 C． 21 5 D． 2 5 【解答】 解：在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 、 F 是 AB 、 1BB 的中点，设 4AB  取 1 1A B 的中点 H ， 1HB 的中点 G ，连结 GF ， GC ， GF 、 GC 所成的角即为 1A E 与 CF 所成的角． 利用勾股定理得： 5GF  2 5CF  21GC  在 CFG 中，利用余弦定理 2 2 2 2cos 2 5 GF CF GCGFC GF CF      故选： D ． 3．过正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的顶点 A 的平面 与直线 1AC 垂直，且平面 与平面 1 1ABB A 的交线为直线 l ， 平面 与平面 1 1ADD A 的交线为直线 m ，则直线 l 与直线 m 所成角的大小为 ( ) A． 6  B． 4  C． 3  D． 2  【解答】解：如图， 1 1A B AB ， 1 1 1A B B C ， 1A B  平面 1 1AB C ，则 1 1A B AC ， 同理 1 1A D AC ，则 1AC  平面 1A BD ， 过正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的顶点 A 的平面 与直线 1AC 垂直， 平面 / / 平面 1A BD ， 平面 1A BD  平面 1 1 1ABB A A B ，平面 1A BD  平面 1 1 1ADD A A D ， 直线 l 与直线 m 所成角即为 1A B 与 1A D 所成角． △ 1A BD 为等边三角形，直线 l 与直线 m 所成角的大小为 3  ． 故选： C ． 4．已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线CE 与 BD 所成角的余弦值为 ( ) A． 3 6 B． 6 3 C． 2 2 D．0 【解答】解：设 AD 的中点为 F ，连接 EF ， CE ，则 / /EF BD ， 异面直线 CE 与 EF 所成的夹角就是 CE 与 BD 所成的夹角， 由题意：设正四面体 ABCD 的棱长为 2a ，则 EF a ， 3CE CF a  ， 由余弦定理可得 2 2 2 3cos 2 6 EF EC CFCEF EF EC      故选： A ． 5．如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AB BC AA  ， 90ABC   ，点 E 、 F 分别是棱 AB 、 1BB 的中 点，则直线 EF 和 1BC 所成角的度数是 ( ) A． 30 B． 45 C． 60 D． 90 【解答】解：以 B 为原点， BA 为 x 轴， BC 为 y 轴， 1BB 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 1 2AB BC AA   ， 则 (1E ，0， 0) ， (0F ，0，1) ， (0B ，0， 0) ， 1 (0C ，2， 2) ， ( 1EF   ，0，1) ， 1 (0BC  ，2， 2) ， 设直线 EF 和 1BC 所成角为 ， 则 1 1 | | 2 1cos 2| | | | 2 8 EF BC EF BC           ， 60   ． 直线 EF 和 1BC 所成角为 60 ． 故选： C ． 6．如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB  ， 3BC  ， 1 6AA  ，则异面直线 1AB 与 1BC 所成角的 大小为( ) A． 60 B． 45 C． 30 D．15 【解答】解：如图： 连结 1AD ， 1 1B D ， 则异面直线 1AB 与 1BC 所成角为 1 1B AD ， 在△ 1 1B AD 中， 1 2 6 2 2AB    ； 1 3 6 3AD    ； 1 1 2 3 5B D    ； 则 1 1 9 8 5 2cos 22 3 2 2 B AD       ， 1 1 45B AD   ， 故选： B ． 7．在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AB BC AA  ， 90ABC   ，点 E ， F 分别是棱 AB ， 1BB 的中点， 则直线 EF 和 1AC 所成角的余弦值是 ( ) A． 2 4 B． 2 3 C． 6 3 D． 6 6 【解答】解：以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴， 1BB 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 1 2AB BC AA   ， 则 (1E ，0，0) ， (0F ，0，1) ， (2A ，0，0) ， 1 (0C ， 2， 2) ， ( 1EF   ，0，1) ， 1 ( 2AC   ，2， 2) ， 设直线 EF 和 1AC 所成角为 ， 则 1 1 | | 4 6cos 3| | | | 2 12 EF AC EF AC           ． 故直线 EF 和 1AC 所成角的余弦值是 6 3 ． 故选： C ． 8．在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 2AC AA  ， 90ACB   ，点 E ， F 分别是棱 AB ， 1BB 的中点，当二 面角 1 1C AA B  为 45 时，直线 EF 与 1BC 的夹角为 ( ) A． 60 B． 45 C． 90 D．120 【解答】解：由题意可得 45CAB   为二面角 1 1C AA B  的平面角， ABC 为等腰直角三角形， 连 1AC ，取 1AC 得中点 O ， E ， F 分别是棱 AB ， 1BB 的中点， OE 平行且等于 1 1 2 BC ， OEF   或其补角，即为直线 EF 与 1BC 的夹角． 由于 1 1 22OE BC  ， 2 2 1 2 3EF BF EB     ， 22 1 5OF    ， 由余弦定理可得 2 2 2 cos 02 OE EF OF OE EF      ， 90   ， 故选： C ． 二．填空题（共 6 小题） 9．平面 a 过正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱 1AA ， / /a 平面 1 1BB DD ，a  平面 ABCD m ，则直线 m 与直线 1B C 所成角的正弦值为 3 2 ． 【解答】解：由题意，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的一边在补形一个正方体，平面 a 过棱 1AA ，的屏幕为 1A AEM ， 且 / / 平面 1 1BB DD ， a  平面 ABCD m ，如图，可知 m 为对角线， 通过平移， 1 1/ /m B D ， 直线 m 与直线 1B C 所成角为 1 1CB D ， 1 1B D ， 1CB ， 1D C 都是正方体的对角线， △ 1 1CB D 为等边三角形， 因此 1 1 3sin sin60 2CB D    故答案为： 3 2 ． 10．图，E ，F 分别是三棱锥 P ABC 的棱 AP ，BC 的中点， 10PC  ， 6AB  ， 7EF  ，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为 60 ． 【解答】解：取 AC 的中点 G ，连接 EG ， GF 由中位线定理可得： / /GE PC ， / /GF AB 且 1 52EG PC  ， 1 32GF AB  EGF 是异面直线 PC ， AB 所成的角（或所成角的补角）， 在 GBF 中由余弦定理可得： 2 2 2 25 9 49 1cos 2 2 5 3 2 EG FG EFEGF EG FG            ， 120EGF   ， 异面直线 AB 与 PC 所成的角为：180 120 60     ． 故答案为： 60 ． 11．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A BD C  ， ① AB 与平面 BCD 所成角的大小为 60 ； ② ACD 是等边三角形； ③ AB 与 CD 所成的角为 60 ； ④ AC BD ； ⑤二面角 B AC D  为120 ． 则上面结论正确的为 ②③④ ． 【解答】解：将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A BD C  ，设对角线的交点为 O ． 则 OA BD ， AO  平面 BCD ， AO OC  ．又 CO OD ． 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取 1OC  ．则 (0O ，0， 0) ， (1C ，0， 0) ， (0B ， 1 ， 0) ， (0D ， 1， 0) ， (0A ，0，1) ， (0O ，0， 0) ， (0O ，0， 0) ， (0O ，0， 0) ， (0O ，0， 0) ， ① AB 与平面 BCD 所成角为 ABO ，大小为 45 ，因此不正确． ② 2AD CD AC   ，可得 ACD 是等边三角形，正确． ③ (0BA  ，1，1) ， ( 1CD   ，1， 0) ， cos BA  ， 1 1 22 2 CD     ， AB 与 CD 所成的角为 60 ，因 此正确． ④由已知可得： BD  平面 OAC ， AC BD  ，因此正确． ⑤ ( 1CA   ，0，1) ，设平面 ABC 的法向量为 (m x ， y ， )z ，则 0 0 m CA m BA        ，则 0 0 x z y z       ，取 (1m  ， 1 ，1) ． 设平面 ACD 的法向量为 n ，则 0 0 n CA n CD        ，取 (1n  ，1，1) ．则 cos m  ， 1 1 33 3 n     ，可得二面角 B AC D  为钝角 1arccos 3   ．因此不正确． 综上可得：只有②③④正确． 故答案为：②③④． 12．在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AB BC  ， 1 2AA  ， P ， Q 分别是线段 1C D 与 AC 上的动点，则 异面直线 CD 与 AC 所成角的余弦值为 2 2 ，线段 PQ 的长度的最小值为 ． 【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 这 y 轴， 1DD 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则 (1A ，0， 0) ， (1B ，1， 0) ， (0C ，1， 0) ， 1(0C ，1， 2) ， (0D ，0， 0) ， (0CD  ， 1 ， 0) ， ( 1AC   ，1， 0) ， 设异面直线 CD 与 AC 所成角为 ， | | 1 2cos 2| | | | 2 CD AC CD AC          ， 异面直线 CD 与 AC 所成角的余弦值为 2 2 ． 设点 P 的坐标为 (0 ，  ， 2 ) ， [0  ，1]， 点 Q 的坐标为 (1  ，  ， 0) ， [0  ，1]， 2 2 2(1 ) ( ) 4PQ          2 22 5 2 2 1        2 21 9 5 45( ) ( )5 5 9 9        ， 当且仅当 1 9   ， 5 9   时，线段 PQ 的长度取得最小值 2 3 ． 故答案为： 2 2 ， 2 3 ． 13．如图，长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2AA AB  ， 1AD  ，点 E 、 F 、 G 分别是 1DD 、 AB 、 1CC 的 中点，则异面直线 1A E 与GF 所成的角的余弦值是 0 ． 【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， 1DD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 1 2AA AB  ， 1AD  ，点 E 、 F 、 G 分别是 1DD 、 AB 、 1CC 的中点， 1(1A ，0， 2) ， (0E ，0，1) ， (0G ，2，1) ， (1F ，1， 0) ， 1 ( 1A E   ，0， 1) ， (1GF  ， 1 ， 1) ， 1 1 0 1 0A E GF        ， 1A E GF  ， 异面直线 1A E 与 GF 所成的角的余弦值为 0． 故答案为：0． 14．如图，长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2AA AB  ， 1AD  ， E ， F ， G 分别是 1DD ， AB ， 1CC 的中 点，则异面直线 1A E 与 GF 所成角为 90 ． 【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， 1DD 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 1(1A ，0， 2) ， (0E ，0，1) ， (0G ，2，1) ， (1F ，1， 0) ， 1 ( 1A E   ，0， 1) ， (1GF  ， 1 ， 1) ， 设异面直线 1A E 与 GF 所成角为 ， 1 1 1 | |cos | cos , | 0 | | | | A E GFA E GF A E GF             ， 异面直线 1A E 与 GF 所成角为 90 ． 故答案为： 90 ． 三．解答题（共 4 小题） 15．空间四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、CD 的中点， AD BC ，且 4AD  ， 6BC  ，求异面直线 EF 与 BC 所成角的大小． 【解答】解：取 BD 中点 O ，连结 OE 、 OF ， E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点， AD BC ，且 4AD  ， 6BC  ， / /OE AD ，且 1 22OE AD  ， / /OF BC ，且 1 32OF BC  ， EFO 是异面直线 EF 与 BC 所成角， AD BC ， 90EOF  ， 2tan 3 OEEFO OF     ， 2arctan 3EFO  ． 异面直线 EF 与 BC 所成角的大小为 2arctan 3 ． 16．四面体 A BCD 的棱长均为 a ， E 、 F 分别为棱 AD 、 BC 的中点，求异面直线 AF 与 CE 所成的角的 余弦值． 【解答】解：由题意可得四面体 A BCD 为正四面体，如图，连接 BE ，取 BE 的中点 K ，连接 FK ，则 / /FK CE ， 故 AFK 即为所求的异面直线角或者其补角． 设这个正四面体的棱长为 2，在 AKF 中， 3AF CE  ， 1 3 2 2KF CE  ， 1 3 2 2KE BE  ， 2 2 2 23 71 ( )2 2AK AE KE      ． AKF 中，由余弦定理可得 2 2 2 3 73 24 4cos 2 332 3 2 AF FK AKAFK AF FK         ． 17．长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，已知 AB a ， BC b ， 1AA c ，且 a b ，求： （1）下列异面直线之间的距离： AB 与 1CC ； AB 与 1 1AC ； AB 与 1B C ． （2）异面直线 1D B 与 AC 所成角的余弦值． 【解答】（1）解： BC 为异面直线 AB 与 1CC 的公垂线段，故 AB 与 1CC 的距离为 b ． 1AA 为异面直线 AB 与 1 1AC 的公垂线段，故 AB 与 1 1AC 的距离为 c ． 过 B 作 1BE B C ，垂足为 E ，则 BE 为异面直线 AB 与 1B C 的公垂线， 1 2 2 1 BB BC bcBE B C b c    ，即 AB 与 1B C 的距离为 2 2 bc b c ． （2）解法一：连接 BD 交 AC 于点 O ，取 1DD 的中点 F ，连接OF 、 AF ，则 1/ /OF D B ， AOF 就是异面直线 1D B 与 AC 所成的角． 2 2 2 a bAO  ， 2 2 2 1 1 1 2 2OF BD a b c    ， 2 2 4 cAF b  ， 在 AOF 中， 2 2 2 2 2 2 2 cos ( )( ) a bAOF a b a b c      ． 解法二：如图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体， 连接 BG 、 1DG ，则 / /AC BG ， 1D BG （或其补角）为 1D B 与 AC 所成的角． 2 2 2 1BD a b c   ， 2 2BG a b  ， 2 2 1 4D G a c  ， 在 △ 1D BG 中 ， 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 cos 2 ( )( ) D B BG D G a bD BG D B BG a b a b c          ， 故 所 求 的 余 弦 值 为 2 2 2 2 2 2 2( )( ) a b a b a b c     ． 18．如图所示，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA  底面 ABC ， 1AB BC AA  ， 90ABC   ，点 E 、 F 分 别是棱 AB 、 1BB 的中点，求异面直线 EF 和 1BC 所成的角的余弦值． 【解答】解：在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA  底面 ABC ， 1AB BC AA  ， 90ABC   ，点 E 、 F 分 别是棱 AB 、 1BB 的中点， 以 A 为原点，过点 A 作 CB 的平行线为 x 轴， AC 为 y 轴， 1AA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 1 2AB BC AA   ， 则 2( 2E ， 2 2 ， 0) ， ( 2F ， 2 ，1) ， ( 2B ， 2 ， 0) ， 1(0C ， 2 2 ， 2) ， 2( 2EF  ， 2 2 ，1) ， 1 ( 2BC   ， 2,2) ， 设异面直线 EF 和 1BC 所成的角为 ． 则 1 1 | | 1cos 2| | | | EF BC EF BC         ， 异面直线 EF 和 1BC 所成的角的余弦值为 1 2 ．