第4讲 直线与平面所成的角（解析版）-2021年新高考数学之立体几何综合讲义

第 4 讲 直线与平面所成的角 一．选择题（共 2 小题） 1．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 6，点 O 在 BC 上，且 BO OC ，过点 O 的直线 l 与直线 1AA ， 1 1C D 分 别交于 M ， N 两点，则 MN 与面 1 1ADD A 所成角的正弦值为 ( ) A． 2 3 B． 3 2 C． 2 2 D． 3 3 【解答】解： 1 1C D  平面 1 1ADD A ， 1NMD 是 MN 与面 1 1ADD A 所成角， 设 1MD 与 AD 交点为 E ，连结 OE ， 1 1 / /C D 平面 ABCD ， 1 1C D  平面 1MND ，平面 1MND  平面 ABCD DE ， 1 1 / /C D OE ， O 是 BC 的中点， E 是 AD 的中点， E 是 1MD 的中点， 1 12 6 5MD ED  ， 1 2 12ND OE   ， 2 212 (6 5) 18MN    ， 1 1 2sin 3 NDNMD MN     ． 故选： A ． 2．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，点 P 为线段 1CC 的中点，则直线 OP 与平面 1A BD 所成角的大小为 ( ) A． 30 B． 45 C． 60 D． 90 【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， 1DD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中棱长为 2， (1O ，1， 0) ， (0P ，2，1) ， 1(2A ，0， 2) ， (0D ，0， 0) ， (2B ，2， 0) ， ( 1OP   ，1，1) ， 1 (2DA  ，0， 2) ， (2DB  ，2， 0) ， 设平面 1A BD 的法向量 (n x ， y ， )z ， 则 1 2 2 0 2 2 0 n DA x z n DB x y          ，取 1x  ，得 (1n  ， 1 ， 1) ， 设直线 OP 与平面 1A BD 所成角的大小为 ， 则 | | | 3|sin 1 | | | | 3 3 OP n OP n         ． 90   ． 直线 OP 与平面 1A BD 所成角的大小为 90 ． 故选： D ． 二．填空题（共 7 小题） 3．如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，已知 2AB  ， 1 1BC BB  ，则直线 1A B 与平面 1 1A B CD 所成角的 正弦值是 10 10 ． 【解答】解：连接 1BC 交 1B C 于点 E ，连接 1A E ， 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，因为 1BC BB ， 所以 1 1BC B C ，因为 1CD BC ， 1CD B C C ， 所以 1BC  平面 1 1A B CD ， 所以直线 1A B 与平面 1 1A B CD 所成的角为 1BA E ， 已知 2AB  ， 1 1BC BB  ， 所以 2 2BE  ， 1 5A B  ， 由 1BC  平面 1 1A B CD ， 1A E  平面 1 1A B CD ， 所以 1 1BC A E ， 所以 1 1 2 102sin 105 BEBA E A B     ． 即直线 1A B 与平面 1 1A B CD 所成角的正弦值是 10 10 ． 故答案为： 10 10 ． 4．在直角梯形 ABCD 中， / /AD BC ， 90A   ， 2AB AD ，若将 ABD 沿直线 BD 折成△ A BD ，使得 A D BC  ，则直线 A B 与平面 BCD 所成角的正弦值是 3 4 ． 【解答】解：过 D 作 DE BC 于 E ，连结 A E ，过 A 作 A O DE  ，连结 A O ． BC A D  ， BC DE ， A D A O A    ， BC  平面 A DE ， A O  平面 A DE ， BC A O   ，又 A O DE  ， BC DE E ， A O   平面 BCD ． A BO  为直线 A B 与平面 BCD 所成的角． 在直角梯形 ABCD 中，过 A 作 AO BD ，交 BD 于 M ，交 DE 于 O ， 设 1AD  ，则 2AB  ， 5BD  ， 2 5 AB ADAM BD    ， 2 2 1 5 DM AD AM    ． 由 AMD DMO ∽ 得 DM OD AM AD  ，即 1 5 2 1 5 DO ， 1 2DO  ． 2 2 3 2A O A D DO      ． 3 32sin 2 4 A OA BO A B       ． 故答案为 3 4 ． 5．已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 4AB BC  ， 1 2CC  ，则直线 1BC 和平面 1 1DBB D 所成角的正弦值为 10 5 ． 【解答】解：由题意，连接 1 1AC ，交 1 1B D 于点 O 长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 4AB BC  1 1 1C O B D  1C O  平面 1 1DBB D 在 1Rt BOC 中， 1 12 2, 2 5OC BC  直线 1BC 和平面 1 1DBB D 所成角的正弦值为 10 5 ． 故答案为： 10 5 ． 6． ABC 和 DBC 所在的平面互相垂直，且 AB BC BD  ， 60CBA DBC     ，则 AD 与平面 BCD 所 成角的余弦值为 2 2 ． 【解答】解：设 1AB  ，作 AO BC 于点 O ，连 DO ，以点O 为原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向， 建立坐标系，因为 AB BC BD  ， 60CBA DBC     ，所以 ABC 与 BCD 都是正三角形，可得下列坐 标： (0O ，0， 0) ， (D 3 2 ，0， 0) ， (0B ， 1 2  ， 0) ， (0C ， 1 2 ， 0) ， (0A ，0， 3)2 (AD  3 2 ，0， 3)2  ，显然 1 (0n  ，0，1) 为平面 BCD 的一个法向量， 1 3 2 22| cos , | | | | |2 23 12 AD n           直线 AD 与平面 BCD 所成角的余弦值为： 2 2 ． 故答案为： 2 2 ． 7．已知 ABC 和 DBC 所在的平面互相垂直，且 AB BC BD  ， 120CBA DBC     ，则 AB 与平面 ADC 所成角的正弦值为 7 7 ． 【解答】解：设 1AB  ，作 AO BC 于点 O ，连 DO ，以点O 为原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向，建立坐标系， 得下列坐标： (0O ，0， 0) ， 3( 2D ，0， 0) ， (0B ， 1 2 ， 0) ， (0C ， 3 2 ， 0) ， (0A ，0， 3)2  (0AB  ， 1 2 ， 3)2  ， 3 3( ,0, )2 2AD   ， 3 3(0, , )2 2AC   设平面 ADC 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 3 3 02 2 3 3 02 2 x z y z       可取 ( 3,1, 3)n  AB 与平面 ADC 所成角的正弦值为 1 3 72 2| cos , | | | | | 7| || | 1 7 n ABn AB n AB           故答案为： 7 7 8．如图， 90BAD   的等腰直角三角形 ABD 与正三角形 CBD 所在平面互相垂直，E 是 BC 的中点，则 AE 与平面 BCD 所成角的大小为 45 ． 【解答】解：取 BD 中点 F ，连 AF ， EF ， CF ，设 1BD  ， 则 1 2BE  ， 1 2EF  ， 2 2AB AD  ， 1 2AF  ， 由平面 ABD  平面 CBD ， AF BD AF  平面 BCD ， 则 AEF 即为 AE 与平面 BCD 所成角 在 Rt AEF 中，直角边 AF EF 45AEF   即 AE 与平面 BCD 所成角的大小为 45 故答案为： 45 ． 9 ． P 是 直 角 三 角 形 ABC 所 在 平 面 外 一 点 ， 已 知 三角 形 的 边 长 3AB  ， 4BC  ， 90ABC   ， 4PA PB PC   ，则直线 PB 与平面 ABC 所成角的余弦值为 5 8 ． 【解答】解：取 AC 的中点 D ，连接 PD ， BD ， PA PC ， D 是 AC 的中点， PD AC  ， 3AB  ， 4BC  ， 90ABC   ， 5AC  ， 5 2AD BD   ，又 4PA PB  ， PAD PBD   ， 90PDB PDA     ， PD BD  ， 又 AC BD D ， PD  平面 ABC ， PBD 为直线 PB 与平面 ABC 所成的角， 5cos 8 BDPBD PB     ． 故答案为： 5 8 ． 三．解答题（共 7 小题） 10．已知平面 a 外两点 A 、B 到平面 a 的距离分别为 1 和 2，A 、B 两点在平面 a 内的射影之间的距离为 3 ， 求直线 AB 和平面 a 所成的角． 【解答】解：设 AB 所在的直线和平面 所成的角是 ， 平面 a 外两点 A 、 B 到平面 a 的距离分别为 1 和 2， A 、 B 两点在平面 a 内的射影之间的距离为 3 ， 可得 1tan 3   结合 [0  ， ] ，可得 6   即 AB 所在的直线和平面 所成的角为 6  ． 11．如图，在直角三角形 ABC 中， 90B   ，P 为三角形 ABC 所在平面外的一点，PA  平面 ABC ，若 1PA  ， 3AB  ， 2 2PC  ． ( )I 求直线 PB 与平面 ABC 所成的角 （Ⅱ）求直线 PC 与平面 PAB 所成的角． （Ⅲ）求直线 AB 和平面 PAC 所成角的正弦值． 【解答】解：（Ⅰ） PA  平面 ABC ， PBA 是直线 PB 与平面 ABC 所成的角， 1PA  ， 3AB  ， 1 3tan 33 PAPBA AB      ， 30PBA   ， 直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 30 ． （Ⅱ）在直角三角形 ABC 中， 90B   ， P 为三角形 ABC 所在平面外的一点， PA  平面 ABC ， AB BC  ， BC PA ， 又 AB PA A ， BC  平面 PAB ， BPC 是直线 PC 与平面 PAB 所成的角， 1PA  ， 3AB  ， 2 2PC  ． 2 2 1 3 2PB PA AB      ， 2 2cos 22 2 PBBPC PC      ， 45BPC   ， 直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 45 ． （Ⅲ）以 B 为原点， BC 为 x 轴， BA 为 y 轴，过 B 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设平面 PAC 的法向量 (n x ， y ， )z ， 2 2 8 4 2BC PC PB     ， 2 2 7AC AB BC   ， (0A ， 3 ， 0) ， (0B ，0， 0) ， (0P ， 3 ，1) ， (2C ，0， 0) ， (0BA  ， 3 ， 0) ， (0PA  ，0， 1) ， (2PC  ， 3 ， 1) ， 则 0 2 3 0 n PA z n PC x y z           ，取 2y  ，得 ( 3,2,0)n  ， 设直线 AB 和平面 PAC 所成角为 ， 则 | | 2 3 2 7sin 7| | | | 7 3 BA n BA n         ． 直线 AB 和平面 PAC 所成角的正弦值为 2 7 7 ． 12．如图，在四棱锥 A BCDE 中，平面 ABC  平面 BCDE ， 90CDE BED     ， 2AB CD  ， 1DE BE  ， 2AC  ， F 为 AD 的中点． （Ⅰ）求证： / /EF 平面 ABC ； （Ⅱ）求证： AC  平面 BCDE ； （Ⅲ）求直线 AE 与平面 ABC 所成角的正切值． 【解答】证明：（Ⅰ）取 AC 的中点G ，连结 FG ， BG ． F 是 AD 的中点， // 1 2FG CD  ， 又 // 1 2BE CD ， // FG BE  ． 四边形 BEFG 为平行四边形． / /EF BG ，又 EF  平面 ABC ， BG  平面 ABC ． / /EF 平面 ABC ． （Ⅱ）取 DC 的中点 H ，连结 BH ， 90CDE BED     ， / /BE DH ， 1BE DH DE   ， 四边形 BEDH 是正方形， 1BH CH   ， BH CH ， 2BC  ，又 2AC  ， 2AB  ， 2 2 2AB AC BC   ， AC BC  ． 平面 ABC  平面 BCDE ，平面 ABC  平面 BCDE BC ， AC  平面 ABC ， AC  平面 BCDE ． （Ⅲ）过点 E 作 EM BC 交 BC 的延长线于点 M ，连结 AM ， 因为平面 ABC  平面 BCDE ，平面 ABC  平面 BCDE BC ， EM  平面 BCDE ， EM  平面 ABC ， EAM 为直线 AE 与平面 ABC 所成角， 45HBC   ， 90EBH   ， 45EBM   ． 1BE  ， 90EMB   ， 2 2EM BM   ． 2 2 26 2AM MC AC    ， 13tan 13 EMEAM AM     ． 13．如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的底面是正三角形，侧面 1 1BB C C 是矩形，M ， N 分别为 BC ， 1 1BC 的 中点， P 为 AM 上一点．过 1 1BC 和 P 的平面交 AB 于 E ，交 AC 于 F ． （1）证明： 1 / /AA MN ，且平面 1A AMN  平面 1 1EB C F ； （2）设 O 为△ 1 1 1A B C 的中心．若 / /AO 平面 1 1EB C F ，且 AO AB ，求直线 1B E 与平面 1A AMN 所成角的正 弦值． 【解答】解：（1）证明： M ， N 分别为 BC ， 1 1BC 的中点，底面为正三角形， 1B N BM  ，四边形 1BB NM 为矩形， 1 1 1A N B C ， 1 / /BB MN ， 1 1/ /AA BB ， 1 / /AA MN ， 1 1MN B C ， 1 1 1A N B C ， 1MN A N N ， 1 1B C  平面 1A AMN ， 1 1B C  平面 1 1EB C F ， 平面 1A AMN  平面 1 1EB C F ， 综上， 1 / /AA MN ，且平面 1A AMN  平面 1 1EB C F ． （2）解：三棱柱上下底面平行，平面 1 1EB C F 与上下底面分别交于 1 1BC ， EF ， 1 1/ / / /EF B C BC ， / /AO 面 1 1EB C F ， AO  面 1AMNA ，面 1AMNA 面 1 1EB C F PN ， / /AO PN ，四边形 APNO 为平行四边形， O 是正三角形的中心， AO AB ， 1 3A N ON  ， 3AM AP ， 1 1 3PN BC B C EF   ， 由（1）知直线 1B E 在平面 1A AMN 内的投影为 PN ， 直线 1B E 与平面 1A AMN 所成角即为等腰梯形 1 1EFC B 中 1B E 与 PN 所成角， 在等腰梯形 1 1EFC B 中，令 1EF  ，过 E 作 1 1EH B C 于 H ， 则 1 1 3PN B C EH   ， 1 1B H  ， 1 10B E  ， 1 1 1 10sin 10 B HB EH B E    ， 直线 1B E 与平面 1A AMN 所成角的正弦值为 10 10 ． 14．如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧面 1 1BCC B 为矩形， 2AB AC  ， 2BC  ， D ， E 分别为 BC 、 1 1BC 的中点，过 BC 作平面 分别交 1 1A B 、 1A E 、 1 1AC 于点 M 、 F 、 N ． （1）求证：平面 BCNM  平面 1AA ED ． （2）若 Q 为线段 AD 上一点， 3AD AQ ， 1 / /AQ 平面 BCNM ．则当 1| |AQ 为何值时直线 BM 与平面 1AA ED 所成角的正弦值为 1 3 ．（请说明理由） 【解答】（1）证明：四边形 1 1BCC B 是矩形， 1 1 / /B C BC ， 1 1B C BC ， 1BC BB ， 又 D 是 BC 的中点， E 是 1 1BC 的中点， 1BD B E  ， 四边形 1BDEB 是矩形， BC DE  ， AB AC ， D 是 BC 的中点， BC AD  ， 又 AD DE D ， AD  平面 1AA ED ， DE  平面 1AA ED ， BC  平面 1AA ED ，又 BC  平面 BCNM ， 平面 BCNM  平面 1AA ED ． （2）解：连接 DF ， 平面 / /ABC 平面 1 1 1A B C ，平面 ABC BC  ，平面 1 1 1A B C MN  ， / /BC MN ，又 1 1/ /BC B C ， 1 1/ /MN B C ， 1 / /AQ 平面 BCNM ， 1AQ  平面 1AA ED ，平面 1AA ED 平面 BCNM DF ， 1 / /AQ DF ， 1 1/ / / /AA BB DE ， 1 1AA BB DE  ， 四边形 1AA ED 是平行四边形， 1 / /A E AD ， 四边形 1AQDF 是平行四边形， 1A F DQ  ， 1AQ DF ，  1 1 1 2 3 A FMF DQ B E A E AD    ， 2 3 MF BD  ， 在 BD 上取点 P ，使得 2 2 3 3BP BD  ，则 / /MF BP ， MF BP ， 四边形 BMFP 是平行四边形， / /BM PF ， 又 BC  平面 1AA ED ， PFD 为直线 BM 与平面 1AA ED 所成的角，即 1sin 3PFD  ， 即 1 3 PD PF  ，又 1 1 3 3PD BD  ， 1PF  ， 2 2 2 2 3DF PF PD    ， 1 2 2 3AQ  ． 15．如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱与底面垂直， 1 2AA AB AC   ， 2 2BC  ，M ，N 分别是 1CC ， BC 的中点，点 P 在直线 1 1A B 上，且 1 1 1A P A B  ． （Ⅰ）证明：无论  取何值，总有 AM PN ； （Ⅱ）当  取何值时，直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大？并求该角取最大值时的正切值． 【解答】证明： ( ) 2I AB AC  ， 2 2BC  ， 2 2 2AB AC BC   ， AB AC  ，即 AB 、 AC 、 1AA 两两相互垂直． 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ， 则 1(0A ，0， 2) ， 1(2B ，0， 2) ， (0M ，2，1) ， (1N ，1， 0) ．  1 1 1A P A B  ， (2P  ，0， 2) ， (1 2PN   ，1， 2). (0,2,1)AM  ，  (1 2 ) 0 1 2 ( 2) 1 0AM PN            ． 无论  取何值， AM PN ． （Ⅱ） (0m  ，0，1) 是平面 ABC 的一个法向量．  2 2 | 0 0 2 | 2sin | cos , | (1 2 ) 1 4 (2 1) 5 m PN               ． 当 1 2   时， 取得最大值， 此时 2 5sin 5   ， 5cos 5   ， tan 2  ． 16．如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱与底面垂直， 1 1AA AB AC   ， AB AC ，M 、 N 分别 是 1CC ， BC 的中点，点 P 在线段 1 1A B 上，且 1 1 1A P A B  （1）证明：无论  取何值，总有 AM PN ； （2）当 1 2   时，求直线 PN 与平面 ABC 所成角的正切值． 【解答】（1）证明：以 A 为坐标原点，分别以 AB ， AC ， 1AA 为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意知： 1(0A ，0，1) ， 1(1B ，0，1) ， (0M ，1， 1)2 ， 1(2N ， 1 2 ， 0) ，  1 1 1 (A P A B    ，0， 0) ， (AP  ，0，1) ， 1(2PN   ， 1 2 ， 1) ，  (0AM  ，1， 1)2 ， 0AM PN    ， 无论  取何值，总有 AM PN ．（6 分） （2）解： 1 2   时， (0PN  ， 1 2 ， 1) ， 由题意知平面 ABC 的法向量 (0n  ，0，1) （8 分） 设 为 PN 与面 ABC 所成角， 则 sin | cos PN    ， 2 5| 5n   ，（12 分） tan 2  ， 直线 PN 与平面 ABC 所成角的正切值为 2．（13 分）