第6讲 体积公式与体积变换（解析版）-2021年新高考数学之立体几何综合讲义

第 6 讲 体积公式与体积变换 一．填空题（共 2 小题） 1．在正三棱锥 A BCD 中， E 、 F 是 AB 、 BC 的中点， EF DE ，若 BC a ，则正三棱锥 A BCD 的体 积为 32 24 a ． 【解答】解： / /EF AC ， EF DE AC DE  AC BD （正三棱锥性质） AC  平面 ABD 所以正三棱锥 A BCD 是正方体的一个角， 2 2AB a 正三棱锥 A BCD 的体积 31 1 2 2 2 2 3 2 2 2 2 24V a a a a      故答案为： 32 24 a 2．已知两平行平面 、  间的距离为 2 3 ，点 A 、 B  ，点 C 、 D  ，且 4AB  ， 3CD  ，若异面直 线 AB 与 CD 所成角为 60 ，则四面体 ABCD 的体积为 6 ． 【解答】解：在  内过 C 作 / /CE AB ，使得 CE AB ， 则四边形 CEBA 是平行四边形， 两平行平面 、  间的距离为 2 3 ， B 到平面 CDE 的距离 2 3h  ． 1 1 1 3 4 sin 60 2 3 63 3 2D ABC D BCE B CDE CDEV V V S h              ． 故答案为：6． 二．解答题（共 15 小题） 3．如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， 1 2AB BC AD  ， 90BAD ABC     ． （1）证明：直线 / /BC 平面 PAD ； （2）若 PCD 面积为 2 7 ，求四棱锥 P ABCD 的体积． 【解答】（1）证明：四棱锥 P ABCD 中， 90BAD ABC     ． / /BC AD ， AD  平面 PAD ，BC  平面 PAD ， 直线 / /BC 平面 PAD ； （2）解：四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， 1 2AB BC AD  ， 90BAD ABC     ．设 2AD x ， 则 AB BC x  ， 2CD x ， O 是 AD 的中点， 连接 PO ， OC ， CD 的中点为： E ，连接 OE ， 则 2 2OE x ， 3PO x ， 2 2 7 2 xPE PO OE   ， PCD 面积为 2 7 ，可得： 1 2 72 PE CD  ， 即： 1 7 2 2 72 2 x x   ，解得 2x  ， 2 3PO  ． 则 1 1 1 1( ) (2 4) 2 2 3 4 33 2 3 2P ABCDV BC AD AB PO             ． 4．如图，在三棱锥 P ABC 中， PA AB ， PA BC ， AB BC ， 2PA AB BC   ， D 为线段 AC 的中 点， E 为线段 PC 上一点． （1）求证： PA BD ； （2）求证：平面 BDE  平面 PAC ； （3）当 / /PA 平面 BDE 时，求三棱锥 E BCD 的体积． 【解答】解：（1）证明：由 PA AB ， PA BC ， AB  平面 ABC ， BC  平面 ABC ，且 AB BC B ， 可得 PA  平面 ABC ， 由 BD  平面 ABC ， 可得 PA BD ； （2）证明：由 AB BC ， D 为线段 AC 的中点， 可得 BD AC ， 由 PA  平面 ABC ， PA  平面 PAC ， 可得平面 PAC  平面 ABC ， 又平面 PAC  平面 ABC AC ， BD  平面 ABC ，且 BD AC ， 即有 BD  平面 PAC ， BD  平面 BDE ， 可得平面 BDE  平面 PAC ； （3） / /PA 平面 BDE ， PA  平面 PAC ， 且平面 PAC  平面 BDE DE ， 可得 / /PA DE ， 又 D 为 AC 的中点， 可得 E 为 PC 的中点，且 1 12DE PA  ， 由 PA  平面 ABC ， 可得 DE  平面 ABC ， 可得 1 1 1 2 2 12 2 2BDC ABCS S       ， 则三棱锥 E BCD 的体积为 1 1 11 13 3 3BDCDE S     ． 5．如图四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， AD CD ． （1）证明： AC BD ； （2）已知 ACD 是直角三角形，AB BD ，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE EC ，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比． 【解答】证明：（1）取 AC 中点 O ，连结 DO 、BO ， ABC 是正三角形， AD CD ， DO AC  ， BO AC ， DO BO O  ， AC  平面 BDO ， BD  平面 BDO ， AC BD  ． 解：（2）法一：连结 OE ，由（1）知 AC  平面 OBD ， OE  平面 OBD ， OE AC  ， 设 2AD CD  ，则 1OC OA  ， EC EA ， AE CE ， 2AC  ， 2 2 2EC EA AC   ， 2EC EA CD    ， E 是 线 段 AC 垂 直 平 分 线 上 的 点 ， 2EC EA CD    ， 由余弦定理得： 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 BC BD CD BC BE CECBD BC BD BC BE         ， 即 24 4 2 4 2 2 2 2 2 2 BE BE        ，解得 1BE  或 2BE  ， 2BE BD  ， 1BE  ， BE ED  ， 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到 平面 BCD 的高 h ， BE ED ， DCE BCES S   ， 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1． 法 二 ： 设 2AD CD  ， 则 2AC AB BC BD    ， 1AO CO DO   ， 4 1 3BO    ， 2 2 2BO DO BD   ， BO DO  ， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 ( 1C  ，0，0) ， (0D ，0，1) ， (0B ， 3 ，0) ， (1A ，0， 0) ， 设 (E a ， b ， )c ， DE DB  ， (0 1)„ „ ，则 (a ， b ， 1) (0c   ， 3 ， 1) ，解得 (0E ， 3 ，1 ) ，  (1, 3 ,1 )CE    ， ( 1, 3 ,1 )AE     ， AE EC ， 2 21 3 (1 ) 0AE CE          ， 由 [0  ，1]，解得 1 2   ， DE BD  ， 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到 平面 BCD 的高 h ， DE BD ， DCE BCES S   ， 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1． 6．如图，在四棱锥 P ABCD 中， / /AB CD ，且 90BAP CDP     （1）证明：平面 PAB  平面 PAD ． （2）若 PA PD AB DC   ， 90APD   ，四棱锥 P 一 ABCD 的体积为 9，求四棱锥 P ABCD 的侧面积 【解答】证明：（1） 90BAP CDP     ， PA AB  ， PD DC ， / /AB CD ， PD AB  ， AB  平面 PAD ， AB  平面 PAB ， 平面 PAD  平面 PAB ． 解：（2）设 PA PD AB DC a    ， 2AD BC a   ， 过 P 作 PE AD ， E 为垂足， AB  平面 PAD ， AB PE  ， AB AD A  ， PE  平面 ABCD ， 1 2 2 93 2P ABCDV a a a      ， 解得 3a  ， 四棱锥 P ABCD 的侧面积： PAD PAB PDC PBCS S S S S       2 2 21 1 1 1 32 22 2 2 2 2a a a a a       2(3 3) 27 9 3 2 2 a   ． 7．如图，已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形， 6PA  ，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D ，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E ，连接 PE 并延长交 AB 于点 G ． （Ⅰ）证明： G 是 AB 的中点； （Ⅱ）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F （说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积． 【解答】解：（Ⅰ）证明： P ABC 为正三棱锥，且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影， PD  平面 ABC ，则 PD AB ， 又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影， DE  面 PAB ，则 DE AB ， PD DE D  ， AB  平面 PDE ，连接 PE 并延长交 AB 于点 G ， 则 AB PG ， 又 PA PB ， G 是 AB 的中点； （Ⅱ）在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ， F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影． 正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形， PB PA  ， PB PC ， 又 / /EF PB ，所以 EF PA ， EF PC ，因此 EF  平面 PAC ， 即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影． 连结 CG ，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ，所以 D 是正三角形 ABC 的中心． 由（Ⅰ）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 2 3CD CG ． 由题设可得 PC  平面 PAB ， DE  平面 PAB ，所以 / /DE PC ，因此 2 3PE PG ， 1 3DE PC ． 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 6PA  ，可得 2DE  ， 3 2PG  ， 2 2PE  ． 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 2EF PF  ． 所以四面体 PDEF 的体积 1 1 1 42 2 23 3 2 3PEFV DE S         ． 8．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，点 E 、F 分别在 AD ，CD 上，AE CF ，EF 交 BD 于 点 H ，将 DEF 沿 EF 折到△ D EF 的位置． （Ⅰ）证明： AC HD ； （Ⅱ）若 5AB  ， 6AC  ， 5 4AE  ， 2 2OD  ，求五棱锥 D ABCFE  体积． 【解答】（Ⅰ）证明：菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O ，点 E 、F 分别在 AD ，CD 上，AE CF ， / /EF AC ，且 EF BD 将 DEF 沿 EF 折到△ D EF 的位置， 则 D H EF  ， / /EF AC ， AC HD   ； （Ⅱ）若 5AB  ， 6AC  ，则 3AO  ， 0 4B OD  ， 5 4AE  ， 5AD AB  ， 5 155 4 4DE    ， / /EF AC ，  15 34 5 4 DE EH DH AD AO OD     ， 9 4EH  ， 92 2EF EH  ， 3DH  ， 4 3 1OH    ， 3HD DH   ， 2 2OD  ， 满足 2 2 2HD OD OH    ， 则 OHD 为直角三角形，且 OD OH  ， 又 OD AC  ， AC OH O ， 即 OD 底面 ABCD ， 即 OD是五棱锥 D ABCFE  的高． 底面五边形的面积 9( 6) 11 ( ) 1 21 6926 4 122 2 2 2 4 4 EF AC OHS AC OB            ， 则五棱锥 D ABCFE  体积 1 1 69 23 22 23 3 4 2V S OD      ． 9．如图，三棱锥 A BCD 中， AB  平面 BCD， CD BD ． （Ⅰ）求证： CD  平面 ABD ； （Ⅱ）若 1AB BD CD   ， M 为 AD 中点，求三棱锥 A MBC 的体积． 【解答】（Ⅰ）证明： AB  平面 BCD， CD  平面 BCD， AB CD  ， CD BD ， AB BD B ， CD  平面 ABD ； （Ⅱ）解： AB  平面 BCD， BD  平面 BCD， AB BD  ． 1AB BD  ， 1 2ABDS  ， M 为 AD 中点， 1 1 2 4ABM ABDS S    ， CD  平面 ABD ， 1 1 3 12A MBC C ABM ABMV V S CD      ． 10．如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 2AB BC BD   ， 120ABC DBC     ，E 、F 、G 分别为 AC 、 DC 、 AD 的中点，连接 CG 、 EF 、 BG ． （1）求证： EF  平面 BCG ； （2）求三棱锥 D BCG 的体积． 【解答】（1）证明： 2AB BC BD   ． 120ABC DBC     ， ABC DBC   ，则 AC DC ， G 为 AD 的中点， CG AD  ，同理 BG AD ， 又 CG BG G  ， AD  平面 BGC ， / /EF AD ， EF  平面 BCG ； （2）解：在平面 ABC 内，作 AO CB ，交 CB 的延长线于O ， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直， AO  平面 BCD， G 为 AD 的中点， G 到平面 BCD的距离 h 是 AO 长度的一半． 在 AOB 中， sin60 3AO AB   ， 1 1 1 3 1sin1203 3 2 2 2D BCG G BCD DCBV V S h BD BC            ． 11．如图，四棱锥 P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形， PO  底面 , 2, ,3ABCD AB BAD M   为 BC 上一点，且 1 2BM  ． （1）证明： BC  平面 POM ； （2）若 MP AP ，求四棱锥 P ABCD 的体积． 【解答】（1）证明：如图所示， ABD 为正三角形， 1 12OB BD   ． 在 OBM 中，由余弦定理可得： 2 2 21 1 31 ( ) 2 1 cos2 2 3 4OM        ， 2 2 2 1OM BM OB    ， OM BC  ． PO  平面 ABCD ， PO BC  ． 由 PO OM O ， BC  平面 POM ． （2）解：由（1）可得： OP OM ， OP OA ， 2 2 23( )2MP OP   ， 2 2 2( 3)AP OP  ． 在 ABM 中，由余弦定理可得： 2 2 21 1 2 212 ( ) 2 2 cos2 2 3 4AM        ． MP AP ， 2 2 2 2 2 2 23 21( 3) ( )2 4AP MP OP OP AM        ， 3 2OP  ． 2 2 3sin 2 2 33 2ABCDS AB     ． 1 1 3 2 3 13 3 2P ABCD ABCDV OP S       ． 12．如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA  平面 ABCD ， E 为 PD 的中点． （1）证明： / /PB 平面 AEC ； （2）设 1AP  ， 3AD  ，三棱锥 P ABD 的体积 3 3V  ，求 A 到平面 PBC 的距离． 【解答】（1）证明：设 BD 与 AC 的交点为 O ，连接 EO ． 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点，又 E 为 PD 的中点，所以 / /EO PB ． 又因为 EO  平面 AEC ， PB  平面 AEC ，所以 / /PB 平面 AEC ． （2）解： 1 3 6 6V PA AB AD AB   ．由 3 3V  ，可得 2AB  ． 作 AH PB 交 PB 于 H ．由题设知 AB BC ， PA BC ，且 4PA AB  ，所以 BC  平面 PAB ， 又 AH  平面 PAB ，所以 BC AH ，又 PB BC B ，做 AH  平面 PBC ． PB  平面 PBC ， AH PB  ，在 Rt PAB 中，由勾股定理可得 5PB  ， 所以 2 5 5 PA PBAH PB   ，所以 A 到平面 PBC 的距离为 2 5 5 ． 13．如图，三棱柱 1ABC A 1 1BC 中， CA CB ， 1AB AA ， 1 60BAA   ． （1）证明： 1AB AC ； （2）若 2AB CB  ， 1 6AC  ，求三棱锥C A 1BC 的体积． 【解答】（1）证明：取 AB 的中点 O ，连接 CO ， 1OA ， 1A B ． CA CB ， CO AB  ， 又 1AB AA ， 1 60oBAA  ． △ 1A AB 为等边三角形． 1AO AB  ， 又 CO  平面 1COA ， 1AO  平面 1COA ， 1CO AO O ． AB  平面 1COA ． 又 1AC  平面 1COA ， 因此 1AB AC ； （2）解：在等边 ABC 中 32 32CO    ， 在等边△ 1A AB 中 1 32 32AO    ； 在△ 1AOC 中 2 2 2 1 13 3 6OC AO AC     ． △ 1AOC 是直角三角形，且 1 90oAOC  ，故 1OC AO ． 又 OC 、 AB  平面 ABC ， OC AB O ， 1AO 平面 ABC ． 故 1AO 是三棱锥 1A ABC 的高． 又 1 2 2sin60 32 o ABCS     ． 三棱锥 1A ABC 的体积 1 1 1 3 3 13 3ABCV S AO     ． 三棱锥 1C ABC 的体积为 1． 14．如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， O 为 AB 的中点， CA CB ， 1AB AA ， 1 60BAA   ． （Ⅰ）证明： AB  平面 1AOC ； （Ⅱ）若 2AB CB  ， 1OA OC ，求三棱锥 1A ABC 的体积． 【解答】解：（Ⅰ）证明：在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， O 为 AB 的中点， CA CB ， 1AB AA ， CO AB  ， 1AO AB ， 1CO AO O  ， AB  平面 1AOC ． （Ⅱ）解： 2AB CB  ， 1 60BAA   ， 1OA OC ， 又 AB  平面 1AOC ． 1AO 平面 ABC ， 三棱锥 1A ABC 的体积： 1 2 2 2 2 1 1 1 12 1 2 2 1 13 3 2A ABC ABCV AO S            ． 15．如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， / /AB CD ， AD AB ， 2AB  ， 2AD  ， 1 3AA  ， E 为 CD 上一点， 1DE  ， 3EC  （1）证明： BE  平面 1 1BB C C ； （2）求三棱锥 1 1 1B EAC 的体积． 【解答】证明：（1）过 B 作 CD的垂线交 CD于 F ， 则 2, 1, 2BF AD EF AB DE FC      在 , 3, , 6Rt BFE BE Rt BFC BC   中 中 ． 在 BCE 中， 2 2 29BE BC EC   ， BE BC  ， 1BB  平面 ABCD ， 1BE BB  ， 1BC BB B  ， BE  平面 1 1BB C C ， （2）点 E 到平面 11 1A C 的距离为 1 3AA  ， 三棱锥 1 1 1B EAC 的体积： 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 3B EA C A A B C A B CV V AA S      1 1 13 [ (2 4) 2 4 2] 23 2 2           ． 16．如图，在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 为梯形， / /AB CD ， 60BAD  ， 1CD  ， 2AD  ， 4AB  ，点 G 在线段 AB 上， 3AG GB ， 1 1AA  ． （1）证明： 1 / /D G 平面 1 1BB C C ； （2）求点 C 到平面 1DC G 的距离． 【解答】（1）证明：在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，有 1 1/ /DD CC ， 1DD  平面 1 1BB C C ， 1CC  平面 1 1BB C C ，则 1 / /DD 平面 1 1BB C C ； / /DC GB ，由已知可得 1DC GB  ，四边形 GBCD 为平行四边形，得 / /DG BC ， DG  平面 1 1BB C C ， BC  平面 1 1BB C C ，则 / /DG 平面 1 1BB C C ． 又 1DD DG D ，平面 1 / /DD G 平面 1 1BB C C ． 而 1D G  平面 1DD G ， 1 / /D G 平面 1 1BB C C ； （2）解：在底面梯形 ABCD 中， 60BAD  ， 2AD  ， 得 D 到 AB 的距离为 2 sin60 3   ，又 1DC  ，  1 31 32 2DCGS     ，又 1 1 1CC AA  ， 则 1 1 3 313 2 6C DGCV      ． 在 Rt △ 1C CD 中，由 1 1DC CC  ，得 1 2C D  ． 在 ADG 中，由 2AD  ， 3AG  ， 60DAG   ，得 2 2 12 3 2 2 3 72DG        ． 在底面梯形 ABCD 中，分别过 D ， C 作 AB 的垂线 DE ， CF ， 求得 1AE EF FG   ， 3DE CF  ，则 2CG  ， 在 Rt △ 1C CG 中，可得 2 2 1 2 1 5C G    ． 在△ 1C DG 中，由 1 2C D  ， 1 5C G  ， 7DG  ，得 2 2 2 1 1C D C G DG  ， 1 1C D C G  ，得 1 1 102 52 2C DGS     ，设点 C 到平面 1DC G 的距离为 h ． 则由 1 1C DGC C DC GV V  ，得 3 1 10 6 3 2 h  ，得 30 10h  ． 即点 C 到平面 1DC G 的距离为 30 10 ． 17．如图所示，在直四棱柱 ABCD A B C D    中，底面 ABCD 为直角梯形， / /AB CD ， AD AB ．连 接 BD ， AC ，已知 2AB  ， 4CD  ， 3AD  ， E 为线段 DD 上的一点，且满足 E 为线段 DD 上的 一点，且满足 2 3ED DD ． （1）证明： / /BD 平面 EAC ； （2）若该四棱柱高为 9 2 ， AC BD O ， M 为OD的中点，求三棱锥的 M ACE 体积． 【解答】（1）证明：连接 BD ，设 BD AC O ，连接 EO ， 底面 ABCD 为直角梯形，故 / /AB CD ， ~ABO CDO  ， 又 1 2AB CD ， 2DO BO  ， 2 3DO DB ， 在 DBD 中， 2 3DO DB ， 2 3ED DD ， / /EO BD  ， 又 EO  平面 EAC ， BD  平面 EAC ， / /BD  平面 EAC ． （2）解： M 为OD 的中点， M 到面 EAC 的距离为 D到面 EAC 的距离的一半，  1 1 2 2M ACE D ACE A CEDV V V     ， 1 1 3 4 32 2 2CEDS D E CD        ，  1 1 3 3 33 3A CED CEDV S AD         ，  1 3 2 2M ACE A CEDV V    ．