第7讲 外接球与内切球（解析版）-2021年新高考数学之立体几何综合讲义

第 7 讲 外接球与内切球 一．选择题（共 14 小题） 1．在三棱锥 P ABC 中，平面 PAB  平面 ABC ， ABC 是边长为 6 的等边三角形，且直线 PA 与平面 ABC 所成角的正切值为 2．若三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 52 ，则该三棱锥的体积为 ( ) A． 6 3 B．12 3 C．6 D．12 【解答】解：如图， 过点 P 作 PE AB ，垂足为 E ， D 为 AB 的中点， 设 ABC 的外接圆的圆心为 1O ，半径为 r ，连接 1O B ， 1O D ， 1O E ， 由正弦定理得 2 4 3sin ABr ACB   ，则 1 2 3O B r  ． D 为 AB 的中点， 1 32BD AB   ，且 1O D AB ，  2 2 1 1 3O D O B BD   ． 平面 PAB  平面 ABC ，直线 PA 与平面 ABC 所成角为 PAE ， 则 tan 2PEPAE AE    ，即 2PE AE ，设 AE x ，则 2PE x ， 3DE x  ， 故 2 1 (3 ) 3O E x   ． 三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 52 ， 24 52R   ，得 2 13R  ． 设三棱锥 P ABC 的外接球的球心为 O ，连接 1OO ， OB ，过 O 作 OH PE ，垂足为 H ， 则外接球 O 的半径 R 满足 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( ) 13R O O O B OH PE HE O E PE O O         ， 由 2 2 1 1 13O O O B  ，解得 2 2 1 13 (2 3) 1O O    ，即 1 1O O  ， 代入 2 2 1 1( ) 13O E PE O O   ， 得 2 2 2( (3 ) 3) (2 1) 13x x     ， 解得 2x  ． 故三棱锥的体积 1 1 6 3 3 4 12 33 2V       ． 故选： B ． 2．已知四棱锥 M ABCD ， MA  平面 ABCD ， AB BC ， 180BCD BAD     ， 2MA  ， 2 6BC  ， 30ABM   ．若四面体 MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A． 20 B． 22 C． 40 D． 44 【解答】解：由于 180BCD BAD     ，则四边形 ABCD 四点共圆， 由于 MA  平面 ABCD ， AB  平面 ABCD ，所以， MA AB ， 在 Rt ABM 中， 30ABM   ， 2MA  ，所以， 3 2 3AB MA  ， AB BC ，所以，四边形 ABCD 的外接圆直径为 2 2 6AC AB BC   ， 因此，四面体 MACD 的外接球直径为 2 22 2 10R MA AC   ， 所以，该球的表面积为 2 24 (2 ) 40R R     ． 故选： C ． 3．已知四棱锥 S ABCD ，SA  平面 ABCD ， AB BC ， BCD DAB     ， 2SA  ， 2 6 3BC  ，二面 角 S BC A  的大小为 3  ．若四面体 SACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A． 4 2 B． 4 C．8 D．16 【解答】解：如下图所示， 由于 AB BC ， BCD BAD     ，所以， 2ADC   ，则 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆． SA  平面 ABCD ， BC  平面 ABCD ， BC SA  ． 又 BC AB ，且 SA AB A ， BC  平面 SAB ， SB  平面 SAB ， BC SB  ，则二面角 S BC A  的平面角为 ABS ，即 3ABS   ． 在 Rt ABS 中， 2 3 tan 3 SAAB ABS   ． 所以，直角 ABC 的外接圆直径为 2 2 2AC AB BC   ，即四边形 ABCD 的外接圆直径为 2AC  ． SA  平面 ABCD ，所以，四棱锥 S ABCD 的外接球直径为 2 22 2 2R SA AC   ， 因此，该球的表面积为 2 24 (2 ) 8R R     ． 故选： C ． 4．三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱垂直于底面，且 AB BC ， 4AB BC  ， 1 6AA  ，若该三棱柱的所有顶点 都在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A． 68 B． 32 C．17 D．164 【解答】解：取 AC 的中点 E ， 1 1AC 的中点 F ， EF 的中点 O ， 依题意可得 1 1 1 17OA OB OC OA OB OC      ， 所以该球的表面积为 2 24 4 ( 17) 68S R     球 ． 故选： A ． 5．三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱垂直于底面，且 2AB BC  ， 1 2AC AA  ，若该三棱柱的所有顶点都在 同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A． 48 B． 32 C．12 D．8 【解答】解：三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱垂直于底面， 12, 2AB BC AC AA    ， 三棱柱扩展为长方体，体对角线为外接球的直径， 设 ABC 外接圆的半径为 R ，则 2 2 2 4 2 2R     ， 2R  ． 外接球的半径为 2 ，球的表面积等于 24 ( 2) 8   ． 故选： D ． 6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于 10，三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱垂直于底面，且 2AB BC  ， AB BC ， 1 2AA  ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，利 用张衡的结论可得该球的表面积为 ( ) A．8 B．8 10 C．12 D．12 10 【解答】解：根据题意，棱柱 1 1 1ABC A B C 外接球即为以 BA ， BC ， 1BB 为长宽高的长方体外接球， 该长方体的半径为 2 2 2( 2) ( 2) 2 22    ， 所以该球的表面积为 2 24 4 ( 2) 8 8 10S R      球 ． 故选： B ． 7．如图，四面体 ABCD 中，面 ABD 和面 BCD 都是等腰 Rt △， 2AB  ， 2BAD CBD     ，且二面角 A BD C  的大小为 2 3  ，若四面体 ABCD 的顶点都在球 O 上，则球 O 的表面积为 ( ) A． 22 3  B． 28 3  C． 2  D． 2 3  【解答】解：分别取 BD ， CD 的中点 N ， E ，所以可得 / /NE BC ， 因为面 ABD 和面 BCD 都是等腰 Rt △， 2AB  ， 2BAD CBD     ， 所以可得 AN BD ， NE BD ，且 2BC BD  ， 2 2CD  ， 1 12AN BD  ， 所以 ANE 为二面角 A BD C  的平面角，所以由题意可得 2 3ANE   ， 过 A 作 AM  面 ABC 交于 M 点，连接 MN ，则 MN BD ，所以 3ANM   ，且 M ， N ， E 三点共线． 所以 3 3sin 13 2 2AM AN     ， 1cos 3 2MN AN   ， 1 1 1 322 2 2 2ME NE MN BC MN        ， 因为 BCD 是以 CD 为斜边的等腰三角形，所以 E 为底面 BCD 的外接圆的圆心，设半径为 r ，则 1 22r CD  ， 过 E 作直线 EO  面 BCD 的垂线，则外接球的球心在直线 EO 上，取球心O ，连接 OD ，OA 则 OD OA R  ， 过 O 作 OP AM 于 P ，则四边形 OPMN 为矩形，所以 OE PM ， OP ME ， 在三角形 ODE 中， 2 2 2OD DE OE  ，即 2 2 2( 2)R OE  ，① 在三角形 AOP 中， 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )OA OP AP OP AM PM ME AM OE        ，即 2 2 23 3( ) ( )2 2R OE   ， ② ①②联立可得 1 3 OE  ， 2 7 3R  ， 所以外接球的表面积 2 284 3S R   ． 故选： B ． 8．如图，四面体 ABCD 中，面 ABD 和面 BCD 都是等腰 Rt △， 2AB  ， 2BAD CBD     ，且二面角 A BD C  的大小为 5 6  ，若四面体 ABCD 的顶点都在球 O 上，则球 O 的表面积为 ( ) A．12 ? B． 20 C． 24 D． 36 ? 【解答】解：取 CD 中点 E ， BD 中点 F ，连结 BE 、 AF 、 EF ， 四面体 ABCD 中，面 ABD 和面 BCD 都是等腰 Rt △， 2AB  ， 2BAD CBD     ，且二面角 A BD C  的大小为 5 6  ， AF BD  ， EF BD ， AFE 是二面角 A BD C  的平面角， 5 6AFE   ， 2 2 2BD BC    ， 4 4 2 2CD    ， 2CE DE  ， 1AF BF DF EF    ， 1 12EF BC  ， 则点 E 为 BCD 外接圆的圆心，点 F 为 ABD 外接圆的圆心， 过点 E 作平面 BCD 的垂线 EO ，过点 F 作平面 ABD 的垂线 FO ， 且直线 EO 与直线 FO 交于点 O ，则点 O 为四面体 ABCD 外接球的球心， 如下图所示， 易知 2AFO OEF     ， 2 3OFE AFE       ，所以 2cos EFOF OFE   ， 所以 2 2 5OA AF OF   ，则四面体 ABCD 的外接球半径为 5 ， 因此球 O 的表面积为 24 ( 5) 20  ， 故选： B ． 9．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 内有两个球 1O ， 2O 相外切，球 1O 与面 1 1ABB A 、面 ABCD 、面 1 1ADD A 相切，球 2O 与面 1 1BCC B 、面 1 1CC D D、面 1 1 1 1B C D A 相切，则两球表面积之和的最大值与最小值的差为 ( ) A． (2 3) B． (2 3) 2  C． (3 3) D． (3 3) 2  【解答】解：设球 1O 与球 2O 的半径分别为 1R ， 2R ， 1 13AO R ， 1 2 23C O R ， 1 2 1 2O O R R  ， 1 2( 3 1)( ) 3R R    ， 1 2 3 3 1 R R   ， 球 1O 和 2O 的表面积之和为 2 2 21 2 1 24 ( ) 4 2( )2 R RR R   … 2 1 22 ( ) 3(2 3)R R     ． 当其中一个圆是正方体的内切球时，两球表面积之和的最大值，即 1 1 2R  ， 2 2 3 2R  ． 球 1O 和 2O 的表面积之和为 2 2 1 24 ( ) 4(2 3)R R    ． 两球表面积之和的最大值与最小值的差为 (2 3) ． 故选： A ． 10．已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， ABC 满足 2 2, 90AB ACB   ， PA 为球 O 的 直径且 4PA  ，则点 P 到底面 ABC 的距离为 ( ) A． 2 B． 2 2 C． 3 D． 2 3 【解答】解：三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， PA 为球 O 的直径且 4PA  ， 球心 O 是 PA 的中点，球半径 1 22R OC PA   ， 过 O 作 OD  平面 ABC ，垂足是 D ， ABC 满足 2 2, 90AB ACB   ， D 是 AB 中点，且 2AD BD CD   ， 2 2 4 2 2OD OC CD      ， 点 P 到底面 ABC 的距离为 2 2 2d OD  ． 故选： B ． 11．如图，半径为 R 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的 3 8 ，则这两 个圆锥高之差的绝对值为 ( ) A． 2 R B． 2 3 R C． 4 3 R D． R 【解答】解：设球的半径为 R ，圆锥底面半径为 r ，上面圆锥的高为 h ， 则下面圆锥的高为 2R h ， 在△ 1OOC 中，有 2 2 2( )R r R h   ，得 22Rh h ． 两个圆锥体积和为 2 2 1 1 12 2 (2 )3 3V r R R Rh h      ， 球的体积 3 2 4 3V R ． 由题意， 2 1 32 1 2 (2 ) 33 4 8 3 R Rh hV V R        ． 2 24 8 3 0h Rh R    ，即 2 Rh  ． 下面的圆锥的高为 3 2 R ． 则这两个圆锥高之差的绝对值为 3| |2 2 RR R  ． 故选： D ． 12．已知三棱锥 P ABC 所有顶点都在球 O 的球面上，底面 ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形， 2 2AB  ， 3PA PB PC   ，则球 O 的表面积为 ( ) A． 9 B． 9 4  C． 4 D． 【解答】解析：设 AB 中点为 D ，则 D 为 ABC 的外心，因为 3PA PB PC   ，易证 PD  面 ABC ， ，所以球心 O 在直线 PD 上， 又 3PA  ， 2 2AB  ， 算得 1PD  ， 设球半径为 R ，则 AOD 中， 2 2( 1) 2R R   ， 可得： 3 2R  ． 则球 O 的表面积 24 9S R   ， 故选： A ． 13．已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 2 的正三角形， PA ， PB ， PC 两两垂直，则球O 的体积为 ( ) A． 3 2  B． 3 C． 3 D． 4 3 【解答】解： ABC 是边长为 2 的正三角形， PA ， PB ， PC 两两垂直， 1PA PB PC    ， 由三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， 故球 O 相当于棱长为 1 的正方体的外接球， 故 2 2 21 1 1 3 2 2R    ， 故球 O 的体积 34 3 3 2V R   ， 故选： A ． 14．已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球 O 的直径．若平面 PCA  平面 PCB ， PA AC ， PB BC ，三棱锥 P ABC 的体积为 a ，则球 O 的体积为 ( ) A． 2 a B． 4 a C． 2 3 a D． 4 3 a 【解答】解：如下图所示， 设球 O 的半径为 R ，由于 PC 是球 O 的直径，则 PAC 和 PBC 都是直角， 由于 PA AC ， PB BC ，所以， PAC 和 PBC 是两个公共斜边 PC 的等腰直角三角形， 且 PBC 的面积为 21 2PBCS PC OB R   ， PA AC ， O 为 PC 的中点，则 OA PC ， 平面 PAC  平面 PBC ，平面 PAC  平面 PBC PC ， OA  平面 PAC ，所以， OA  平面 PBC ， 所以，三棱锥 P ABC 的体积为 2 31 1 1 3 3 3PBCOA S R R R a      ， 因此，球 O 的体积为 3 34 14 43 3R R a     ， 故选： B ． 二．填空题（共 11 小题） 15．有下列命题：①边长为 1 的正四面体的内切球半径为 6 12 ； ②正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径之比为1: 2 : 3 ； ③棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球被平面 1A BD 截得的截面面积为 6  ． 其中正确命题的序号是 ①②③ （请填所有正确命题的序号）； 【解答】解：①边长为 1 的正四面体的高为 23 61 ( )3 3h    ， 可得正四面体的体积为 1 3 2 3 4 12V h  ， 设内切球的半径为 r ，由等积法可得 1 1 343 3 4V r S r    ， (S 为正四面体的全面积） 解得 6 12r  ，故①正确； ②设边长为 1 的正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径 分别为 1r ， 2r ， 3r ，可得 12 1r  ， 22 2r  ， 32 3r  ， 即有 1 2 3: : 1: 2 : 3r r r  ，故②正确； ③棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球的半径为 1 2 ， 设内心为 I ，可得 1 1 2 3 4 4 2A I    ， I 在截面的射影为等边三角形 1A BD 的中心 O ， 可得 2 2 2 1 1 3 3 3( 2)4 3 6OI A I AO      ， 由球的截面的性质可得截面圆的半径为 1 3 6 4 36 6   ，可得截面圆的面积为 6  ，故③正确． 故答案为：①②③． 16．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，给出下列四个命题： ①对角线 1AC 被平面 1A BD 和平面 1 1B CD 三等分； ②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1: 2 : 3 ； ③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是 1 6 ； ④正方体与以 A 为球心，1 为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为 6 : 其中正确命题的序号为 ①②④ ． 【解答】解：正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1， 故对角线 1 3AC  ， 棱锥 1A A BD 的体积为： 1 1 11 1 13 2 6      ． 平面 1A BD 的面积为： 3 2 故 A 到平面 1A BD 的距离为： 3 3 ， 故对角线 1AC 被平面 1A BD 和平面 1B 1CD 三等分， 即①正确； 正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为： 1 2 ， 2 2 ， 3 2 ， 故正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1: 2 : 3 ， 故②正确； 以正方体的顶点为顶点的四面体的体积为 1 6 或 1 3 ； 故③错误； 以 A 为球心，1 为半径的球在该正方体内部部分的体积为 1 4 1 8 3 6   故正方体与以 A 为球心，1 为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为 6 : 故④正确； 故答案为：①②④ 17．已知四面体 ABCD 满足： 1AB BC CD DA AC     ， 2BD  ，则四面体 ABCD 外接球的表面积为 2 ． 【解答】解：因为 1AB BC CD DA AC     ， 2BD  ， 所以 2 2 2AB AD BD  ， 2 2 2BC CD BD  ，则 ABD ， CBD 均为直角三角形， 故该四面体外接球的球心为公共斜边 BD 的中点， 半径 1 2 2 2r BD  ， 故表面积 24 2S r   ， 故答案为： 2 ． 18．在三棱锥 P ABC 中，平面 PAB  平面 ABC ， ABC 是边长为 6 的等边三角形， PAB 是以 AB 为斜 边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 48 ． 【解答】解：如图， 在等边三角形 ABC 中，取 AB 中点 F ，设其中心为 O ， 由 6AB  ，得 2 2 33CO CF  ． PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， F 为 PAB 的外心，则 O 为棱锥 P ABC 的外接球球心， 则外接球半径 2 3R OC  ． 该三棱锥外接球的表面积为 24 (2 3) 48   ． 故答案为： 48 ． 19．已知 P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形 ABCD 为梯形， / /AD BC ， 2AB DC AD   ， 4BC  ， PA PD ，平面 PAD  平面 ABCD ，则球 O 的表面积为 16 【解答】解：如图， PA PD ， APD 为 Rt △， 平面 PAD  平面 ABCD ，取 AD 中点 G ，在平面 ABCD 内，过 G 作 AD 的垂线， 则四棱锥 P ABCD 的外接球的球心在该垂线上， 又 2AD DC AB   ， 4BC  ，求得 120ADC   ， 过 D 作 AC 的垂线，两垂线相交于 O ，则 O 为 ADC 外接圆的圆心，也是四棱锥 P ABCD 的外接球的球心， 则 ADC 外接圆的半径即为四棱锥 P ABCD 的外接球的半径，设为 R ， 由 2 2sin30 R ，得 2R  ． 球 O 的表面积为 24 2 16S     ． 故答案为：16 ． 20．在平行四边形 ABCD 中，BD CD ， AB BD ， 2AB CD  ， 2 2BD  ．沿 BD 把 ABD 翻折起来， 形成三棱锥 A BCD ，且平面 ABD  平面 BCD ，则该三棱锥外接球的体积为 32 3  ． 【解答】解：由题意将折起放在图 3 的长方体中，长宽高分别为： 2 2 ，2，2， 可得长方体的对角线为： 2 2 2(2 2) 2 2 4   ， 再由长方体的对角线等于外接球的直径 2R ，所以 2 4R  ， 2R  ， 所以外接球的体积为 34 32 3 3V R   ， 故答案为： 32 3  ． 21．一个三棱锥 A BCD 内接于球O ，且 3AD BC  ， 4AC BD  ， 13AB CD  ，则球心 O 到平面 ABC 的距离是 15 6 ． 【解答】解：三棱锥 A BCD 可以视为长方体的面对角线构成的三棱锥，（如图）． 三棱锥 A BCD 的外接球 O 就是长方体的外接球， 设长方体的棱长分别为 a ， b ， c ． 可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 13 16 19 9 a b a c a b c b c              ， 棱锥 A BCD 的外接球 O 的半径为 2 2 2 19 2 2 a b cR    ． 设 ABC 的外接圆半径为 r ， 2 2 2 2 cos 2 sin AB AC BC BC AC C ABr C        1cos 2 13 3 C r     球心 O 到平面 ABC 的距离 2 2 15 6d R r   故答案为： 15 6 ． 22．如图为棱长为 1 的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体相切，则两球半径之和为 3 3 2  ． 【解答】解：如图，作出正方体的体对角面， 易知球心 1O 和 2O 在 AC 上，过点 1O ， 2O 分别作 AD ， BC 的垂线交于 E ， F 两点． 由 1, 3AB AC  ，得 1 23 , 3AO r O C R  ，  3( ) 3r R r R    ，  3 3 3 23 1 R r     ， 故答案为 3 3: 2  ． 23．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，正方体内衣球 1O 与面 ABCD ， 1 1BCC B ， 1 1ABB A 均相切，正 方体内另一球 2O 与面 1 1ADD A ， 1 1 1 1A B C D ， 1 1CDDC 均相切，且两球外切，那么两球表面积之和的最小值是 (6 3 3) ． 【解答】解：根据题意，得 1 1 1 2 2 1 13 3BD BO O O O D AA     ， 设球 1O 、 2O 的半径分别为 1r 、 2r ，根据正方体的性质和球与平面、球与球相切的性质，得 1 13BO r ， 1 2 1 2OO r r  ， 2 1 23O D r ， 1 2( 3 1)( ) 3r r    ，得 1 2 3 3 3 23 1 r r     由基本不等式，得 2 2 2 1 2 1 2 3 32( ) ( ) 3 2r r r r   … ， 2 2 1 2 6 3 3 4r r   … ，当且仅当 1 2 3 3 4r r   时等号成立 因此，两球表面积之和 2 2 1 2 1 24 ( ) (6 3 3)S S r r    … 故答案为： (6 3 3) 24．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面 上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的 3 16 ，设球的半径为 R ，圆锥底面半径为 r ．则两个圆锥 的体积之和与球的体积之比为 3 8 ． 【解答】解：球的半径为： R ； 则球的表面积为： 24 R ，圆锥的底面积为： 2 23 3416 4R R   ， 两个圆锥的体积和为： 2 2 3 1 1 1 3 1 3 1( ) ( ) ( ) 23 4 3 4 2R BO O A R R R         ， 球的体积为： 4 33 r  ， 故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为： 3 3 1 32 4 8 3 R R    ． 故答案为： 3 8 ． 25．已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， 90BAC   ， 2 2AB AC  ， 2PA  ， PAC PAB   ，则当球 O 的表面积最小时，三棱锥 P ABC 的体积为 4 3 3 ． 【解答】解：如图所示，当球心 O 为 BC 的中点时，球 O 的半径最小为 2，此时球的表面积最小． 又已知可得：平面 OAP  平面 ABC ， OA 边的高即为三棱锥 P ABC 的高，高 3h  ． 三棱锥 P ABC 的体积 21 1 4 33 (2 2)3 2 3V      ． 故答案为： 4 3 3 ． 三．解答题（共 1 小题） 26．如图所示，在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和． 【解答】解：如图， ABCD 为过球心的对角面， 3AC  ， 设两球半径为 R 、 r ，则有 3( ) 3R r R r    ， 所以 3 3 2R r   ．