专题 22 坐标系与参数方程
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知 ,P x y 为圆 2 21 1 4x y 上任一点，其坐标均使得不等式 0x y m 恒成立，则实数
m 的取值范围是（ ）
A． 1, B． ,1 C． 2 2, D． , 4
【解析】设圆上任一点 P 的坐标为 1 2cos ,2sin 1 ，
即 1 2cosx ， 2sin 1y ，
则 1 2cos 2sin 1x y m m 2 22 2 cos sin2 2 m
2 2 sin 04 m
，即 2 2 sin 4m
，
又因为 1 sin 14
，所以得到： 2 2 2 2 sin 2 24
，则 2 2m .故选:C.
2．设点 1 1,P x y 在椭圆
2 2
18 2
x y 上，点 2 2,Q x y 在直线 2 8 0x y 上，则 2 1 2 1x x y y 的最
小值是（ ）
A． 21 2
B． 3 C． 31 2
D．2
【解析】设 1 2 2cosx ， 1 2siny ， 0,2
则有 2 1 2 1 2 22 2 cos 2 sinx x y y x y
2 2
1 2 2 2 cos 2 2 sin2 x y 2 2
1 2 2 cos 2 2 sin2 x y
2 2
1 2 2 cos 2 2 sin2 x y 1 8 2 2(cos sin )2
1 8 4sin 22 4
当且仅当
2
sin 14
2 2 cos 0x
时取最小值，即
4
，此时 2,1P ， 2,3Q ，
2 1 2 1x x y y 的最小值是 2 ，故选：D.
3．已知 ABC 为等边三角形，动点 P 在以 BC 为直径的圆上，若 AP AB AC ，则 2 的最大值
为（ ）
A． 1
2 B． 31 3
C． 5
2 D． 32 2
【解析】设 ABC 的边长为 2，不妨以线段 BC 的中点O 为坐标原点，
建立如下图所示的平面直角坐标系 xOy ，
则点 (0, 3)A 、 ( 1,0)B 、 (1,0)C ，以线段 BC 直径的圆的方程为 2 2 1x y ，
设点 (cos ,sin )P ，则 ( 1, 3)AB ， (1, 3)AC ， (cos ,sin 3)AP ，
由于 AP AB AC ，则
cos
3 3 sin 3
，
解得
1 3 1sin cos2 6 2
1 3 1sin cos2 6 2
，
所以，
1 3 1 1 3 12 sin cos 2 sin cos2 6 2 2 6 2
3 3 1 3sin cos sin2 2 2 2 6
，因此， 2 的最大值为 5
2
，故选:C.
4．非负实数 a ，b 满足 2 2 1a ab b ， 2 2a b 的最大值为（ ）
A． 2 3
3
B．1 C． 3
2
D． 3
4
【解析】因为
2
23 12 4
ba b
，所以设
cos2
3 sin2
ba
b
，则
sincos
3
2 sin
3
a
b
，
因为 0a ， 0b ，故取 0, 3
，
所以
2 2
2 2 sin 2cos sin
3 3
a b
2 22 1cos sin cos sin cos2 sin 2
3 3
2 cos 2 63
，因为 0, 3
，所以 52 ,6 6 6
，所以 3 3cos 2 ,6 2 2
，
所以值域为 1,1 .故选：B.
5．已知圆的方程为 2 2 1x y ，点 ( , )P x y 是圆上的任一点，则不等式 2 2 4x y xy t t 恒成立，则
实数 t 的取值范围为（ ）
A． 2,3 B． 2,4 C． 3,1 D． 3,5
【解析】令 cosx ， siny ， 0,2 ，
cos sin cos sinx y xy ，令 cos sin 2 sin 4u
，
则 2, 2u ，
2 1sin cos 2
u ，令
2
21 1 1 12 2
uY u u ，
当 1u 时， min 1Y ，因为不等式 2 2 4x y xy t t 恒成立，
所以 21 2 4t t ，即 2 2 3 0t t ，解得： 3 1t ，
所以实数 t 的取值范围为 3,1 .故选：C
6．已知腰长为 2 的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边 AB 的中点，点 P 为该平面内一动点，若 2PC ，则
4PA PB PC PM 的最小值为（ ）
A． 24 16 2 B． 24 16 2 C． 48 32 2 D． 48 32 2
【解析】以 ,CA CB 为 ,x y 轴建立平面直角坐标系，则 (0,0), (2,0), (0,2), (1,1)C A B M ，设 ( , )P x y ，
则 (2 , ), ( ,2 )PA x y PB x y ， ( , ), (1 ,1 )PC x y PM x y ，
(2 ) (2 )PA PB x x y y 2 22 2x x y y ，
PC PM 2 2(1 ) (1 )x x y y x x y y ，∵ 2PC
，∴ 2 2 4x y ，
设 2cos , 2sinx y ，则 2cos 2sin 2 2 sin( )4x y ，
∴ 2 2 2 2x y ，
4PA PB PC PM 2(4 2 2 4)(4 ) 2( 4)x y x y x y ，
∴ 2 2x y 时， 4PA PB PC PM
取得最小值 22(2 2 4) 48 32 2 。故选：C。
7． A ， B 是 O ： 2 2 1x y 上两个动点，且 120AOB ， A ， B 到直线 l ：3 4 10 0x y 的距离
分别为 1d ， 2d ，则 1 2d d 的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】由题设 0 0(cos ,sin ),B(cos( 120 ),sin( 120 ))A ,其中 R .可以由题得
0 0
1 2
10 3cos 4sin 10 3cos +120 4sin +120,5 5d d （ ） （ ）
0 0
1 2
14 [3cos 3cos( 120 ) 4sin 4sin( 120 )]5d d
0 0 0 01=4 [6cos60 cos( 60 ) 8cos60 sin( 60 )]5
0 01=4 [3cos( 60 ) 4sin( 60 )]5
01=4 5[sin( 60 + )]5
≤5，此时 0sin( 60 + )=-1 .故选 C
8．已知点 P 为椭圆
2 2
14 3
x y 上第一象限上的任意一点，点 A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线 PA
与 y 交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，则 AN BM 的值为（ ）
A． 4 B． 4 3 C． 4
3 D． 4 3
3
【解析】设 P 的坐标为 2 3cos sin （ ， ），
由 2 0 0 3A B（ ，），（ ， ），则直线 AP 的方程为 3 22 2
siny xcos
（ ），
令 0x 时，则 3
1
siny cos
，即 30 1
sinM cos
（ ， ），
3 13 31 1
sin cos sinBM cos cos
，则直线 BP 的方程为 3 33 2
siny xcos
，
令 0y ，则 2
1
cosx sin
，
即 2 2 10 2 21 1 1
cos cos sin cosN ANsin sin sin
（ ，）， ，
1 1
2 3 (1 )(1 )
sin cos sin cos
AN BM sin cos
(1 )(1 ) 2 3 2 4 3(1 )(1 )
sin cos
sin cos
，
故选 B
9．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 x2＋y2＝4 上三点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）构成正三角形 ABC，
那么 2 2 2
1 2 3x x x （ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
【解析】因为三角形 ABC 为正三角形，
所以设 2 22cos ,2sin , 2cos ,2sin3 3A B
， 4 42cos ,2sin3 3C
，
故 2 2 2 2 2 2
1 2 3
2 44cos 4cos 4cos3 3x x x
2 2
2 1 3 1 34cos 4 cos sin 4 cos sin2 2 2 2
2 2 2 2 24cos cos 3sin cos 3sin 2 26 cos sin 6 ，故选：D
10．已知在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 1C 的极坐标
方程为 4cos ，直线
2 51 5:
51 5
x t
l
y t
(t 为参数).若曲线 2C 的参数方程为 2cos
sin
x
y
( 为参数)，曲
线 1C 上点 P 的极角为
4
，Q 为曲线 2C 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线l 距离的最大值为（ ）
A．2 B． 6 3
2
C． 3 1 D． 10
5
【解析】将
4
代入 4cos 得 4cos 2 24
，即点 P 的极坐标为 2 2, 4
，
所以其直角坐标为 2 2 cos ,2 2 sin4 4P
，即 2,2P ，
又曲线 2C 的参数方程为 2cos
sin
x
y
，Q 为曲线 2C 上的动点，所以可设 2cos ,sinQ ，
因此 PQ 的中点 M 的坐标为 11 cos ,1 sin2M
，
由
2 51 5:
51 5
x t
l
y t
消去参数可得： 2 3 0x y ，因此点 M 到直线l 距离为：
2 sin1 cos 2 sin 3 cos sin 4
5 5 5
d
，
因为 1 sin 14
，所以 max
2 10
55
d .故选：D.
11．设 xOy ， ' 'x Oy 为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox 正方向到 'Ox 正方向的角度为 ，
那么对于任意的点 M ，在 xOy 下的坐标为 ( , )x y ，那么它在 ' 'x Oy 坐标系下的坐标 ( ', ')x y 可以表示为：
' cos sinx x y ， ' cos siny y x .根据以上知识求得椭圆 2 23 ' 2 3 ' ' 5 ' 1 0x x y y 的离心率
为（ ）
A． 6
3
B． 6
4
C． 7
3
D． 7
4
【解析】 cos sinx x y ， 2 2 2 2 2' 2 sin cosx x cos xy y sin ，
cos siny y x ， 2 2 2 2 2' 2 sin cosy y cos xy x sin ，
则 2 2 2 2' 'x y x y ， cos sin cos sinx y x y y x
2 2 2 2sin cos sin cosxycos x y xysin
故 2 23 ' 2 3 5 1 0x x y y ，可化为
2 2 2 2 2 2 2 23 3 2 4 sin cos 2 2 3 2 3 sin cosx y y cos xy x sin xycos x
2 22 3 sin cos 2 3 1y xysin ，方程表示为椭圆，
2 2-4 sin cos 2 3 2 3 0xy xycos xysin ，化简得： 4 sin 2 03xy
，
3
代入方程得：
2 2
11 1
2 6
y x ， 2 1
3c ， 2 1
2a ，
2
2
2
2
3
ce a
故 6
3e ，故选 A
12．已知点 1 1,P x y 是单位圆 2 2 1x y 上的动点，点 2 2,Q x y 是直线 2 6 0x y 上的动点，定义
1 2 1 2PQL x x y y ，则 PQL 的最小值为（ ）
A． 53 2
B． 6 5 C． 6 5
5
D． 2 3
3
【解析】过 ,P Q 作 x 轴， y 轴的垂线，垂足及其他交点如图所示，
则 1 2x x EF PH GQ ， 1 2y y CD PG QH ，
由于直线 2 6 0x y 的斜率是 2 ，当 ,P Q 都在第一象限时，
① 1 2 1 2
1
2PQL x x y y PG GQ PG GK
1 1 1
2 2 2PK GK PK PK PK
取 x1＝x2∈[0，1]时等号成立，则 y1＝ 2
11 x ，y2＝6﹣2x2＝6﹣2x1，
则|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝ 2
1 16 2 1x x ，令 x1＝cos （ ∈[0，
2
]），
则|y1﹣y2|＝6﹣2cos ﹣sin ＝6﹣ 5sin （ + ）≥6﹣ 5 ；
② 1 2 1 2 2PQL x x y y QH PH HL PH PL HL PL
取 y1＝y2∈[0，1] 时等号成立，则 x1＝ 2
11 y ，x2＝3﹣ 2
2
y ＝3﹣ 1
2
y .
则|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x1﹣x2|＝ 21
13 12
y y ，令 y1＝sin （ ∈[0，
2
]），
则|x1﹣x2|＝3﹣ 1 sin2
﹣cos ＝3﹣ 5
2
sin（ + ）≥3 5
2
.
当 ,P Q 中至少有一个点不在第一象限时，明显 1 2 1 2x x y y 的取值会比 ,P Q 都在第一象限时大，
综上可得：|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的最小值是 3 5
2
.故选：A.
二．填空题
13．正方形 ABCD 中，点 P 在以C 为圆心且与直线 BD相切的圆上运动，若 AP AB AD
uuur uuur uuur（其中 ，
R ），则 的取值范围是______.
【解析】设正方形 ABCD 的边长为 2，以点 A 为坐标原点，AB、AD 所在直线分别为 x,y 轴建立如下图所示
平面直角坐标系，
则点 0,0A 、 2,0B 、 2,2C 、 0,2D ，直线 BD的方程为
2 2 1x y ，即 2 0x y ，
点C 到直线 BD的距离为 2 2
2 2
1 1
d
，
则以点C 为圆心且与直线 BD相切的圆 C 的方程为 2 22 2 2x y ，
设点 P 的坐标为 2 2 cos ,2 2 sin ，由 AP AB AD
uuur uuur uuur ，
得 2 2 cos ,2 2 sin 2,0 0,2 2 ,2 ，
21 cos2
21 sin2
，
所以， 2 2sin cos 2 sin 22 2 4
，
所以 的取值范围是 1,3 .
14．已知 2 0 0, 0a b ab a b ，当 ab 取得最小值时，曲线 | | | | 1x x y y
a b
上的点到直线 2y x
的距离的取值范围是________
【解析】由题有 2a b ab ,因为 2 2 2a b ab ,故 2 2 2 2, 8ab ab ab ab ,当且仅当 2a b
时取 8ab ,因为 0, 0a b ,解得 2, 4a b .故曲线方程为 | | | | 12 4
x x y y .
故方程为：
2 2
2 2
2 2
1,( 0, 0)2 4
1,( 0, 0)2 4
1,( 0, 0)4 2
x y x y
x y x y
y x x y
,画出图像有
故 2y x 为双曲线
2 2
1,( 0, 0)2 4
x y x y 与
2 2
1,( 0, 0)4 2
y x x y 的渐近线方程.
易得曲线 | | | | 12 4
x x y y 上的点到直线 2y x 的距离 0d .
最大值时设椭圆
2 2
1,( 0, 0)2 4
x y x y 上的点 ( 2 cos ,2sin ), ,02P .
此时 3 2 2 sin( )2 2 cos 2sin 4
32 1
d
,
当
4
时 d 取最大值为 2 6
3
.点到直线 2y x 的距离的取值范围是 2 60, 3
15．已知圆 2 2: 1 1M x y ，圆 2 2: 1 1N x y ，直线 1 2,l l 分别过圆心 ,M N ，且 1l 与圆 M 相交
于 ,A B 两点， 2l 与圆 N 相交于 ,C D 两点，点 P 是椭圆
2 2
14 9
x y 上任意一点，则 PA PB PC PD 的
最小值为___________；
【解析】由题意可设： 1 cos ,sinA ， 1 cos ,sinC ， 2cos 3sinP ,
则 1 cos , sinB ， 1 cos , sinD
1 cos 2cos ,sin 3sinPA ， 1 cos 2cos , sin 3sinPB
2 2 2 2 21 2cos cos 9sin sin 5sin 4cos 4PA PB
同理可得： 25sin 4cos 4PC PD
210sin 8PA PB PC PD
当 2sin 0 时， min
8PA PB PC PD
16．若 2 2 1( , )x xy y x y R ，则 2 22x y 的最小值为___________.
【解析】设 cosx r ， 2 sin2
y r ，所以 22 22 x y r ，所以
2 2
2 2
2 2
22
x yx y x xy y
2
2 2 2 2 2 2 2
1
2 1 2 1cos sin cos sin cos sin cos sin2 2 2 2
r
r x r r x
1 1=
1 2 1 3 1 21+cos2 sin cos 1 cos2 cos2 sin 22 2 4 4 4 4
1=
3 3 sin 24 4
，其中 满足 tan 2 ，所以 1 sin 2 1 ，所以
3 3 3 3 3 3sin 24 4 4 4
，所以
4 1 4
3 3 3 3 3 3sin 24 4
，
即 2 224 4
3 3 3 3
x y ，所以 2 2 2 3 34 6 22 3=3 33 3
x y ，
所以 2 22x y 的最小值为 6 2 3
3
- .
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 cos ,
2 sin
x t
y t
（ ,t tR 为参数 0, 2
）．以坐标原
点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 32sin , ,4 4
．
（1）求半圆C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）直线 l 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，点 D 在半圆C 上，且直线 CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角
的 2 倍， ABD△ 的面积为1 3 ，求 的值．
【解析】（1）半圆 C 的参数方程为 cos ,
1 sin
x
y
（其中 为参数， (0, ) ），
直线 l 的直角坐标方程为 tan 2, 0, 2y x .
（2）由题意可知，可设 (cos2 ,1 sin 2 )D ，其中 0, 2
所以点 D 到直线 AB 的距离为：
2
tan cos2 (1 sin 2 ) 2
1 tan
d
sin cos2 cos sin 2 3cos sin 3cos ,
又 2 ,0 , (0, 2)tanA B
，
2
2 2 2( 2) tan sinAB
.
三角形 ABD 的面积 1 1 2 3sin 3cos 1 1 32 2 sin tanS AB d .
tan 3 ，又 0, 2
，
3
.
18．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 cos
sin
x
y
，( 为参数）.以坐标原点 O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 l 的直角坐标方程为 4 2 0x y .
（1）求曲线C 的普通方程和直线 l 的极坐标方程；
（2）射线 2 ( 0)3
， ( 0)3
和曲线C 分别交于点 A ， B ，与直线 l 分别交于 D ，C 两点，
求四边形 ABCD 的面积.
【解析】（1）曲线 C 的参数方程为 cos
sin
x
y
， ( 为参数），转换为直角坐标方程为 2 2 1x y .
曲线 l 的直角坐标方程为 4 2 0x y ，根据
2 2 2
cos
sin
x
y
x y
，
整理得 (cos sin ) 4 2 ，即 sin( ) 44
.
（2）射线 2 ( 0)3
， ( 0)3
和曲线C 分别交于点 A ， B ，
与直线l 分别交于 D ，C 两点，如图所示：
所以直线 OD 的直角坐标方程为 3y x ，直线OC 的直线方程为 3y x ，
所以 3
4 2 0
y x
x y
，解得 2 2(1 3)
2 6(1 3)
x
y
，
设直线 4 2 0x y 与 y 轴交于点 E ，
将 0x 代入 4 2 0x y ，得 4 2y ，即 4 2OE .
所以 1 4 2 (2 2 2 6) 8 8 32COES .
同理： 3
4 2 0
y x
x y
，解得： 2 6 2 2
6 2 2 6
x
y
，
所以 1 4 2 (2 6 2 2) 8 3 82DOES ，
所以 318 8 3 8 3 8 1 12 2COE DOE AOBABCDS S S S 四边形
3 63 316 3 4 4
.
19．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的参数方程为
3cos ,
2sin ,
x
y
为参数，曲线 1C 上的点 ,A B 的极坐标分别为 1 1 2 2 2 1, , , , 90A B ．
（1）过 O 作线段 AB 的垂线，垂足为 H，求点 H 的轨迹 2C 的直角坐标方程；
（2）求 ,A B 两点间的距离的取值范围．
【解析】（1）因为曲线 1C 的参数方程为 3cos ,
2sin ,
x
y
所以曲线 1C 的普通方程为
2 2
19 4
x y ．
因为曲线 1C 上的点 ,A B 的极坐标分别为 1 1 2 2 2 1, , , , 90A B ，
所以点 ,A B 的直角坐标分别为
1 1 1 1 2 1 2 1cos , sin , cos 90 , sin 90A B ，
代入曲线 1C 的方程得 2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 2 1cos sin sin cos1, 19 4 9 4
，
所以 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
1 2
cos sin sin cos1 1,9 4 9 4
，
所以两个式子相加得 2 2
1 2
1 1 1 1 13
9 4 36 ．
由题意可知OH AB OA OB ，所以
2 2 2 2
2 1 2
2 2 2 2
1 2
36
13
OA OBOH OA OB
，
所以点 H 的轨迹是圆， 所以点 H 的轨迹 2C 的方程为 2 2 36
13x y ．
（2） ,A B 两点间的距离为 2 2
1 2| |AB ，设 2
1 [4,9]x ，则 2
2
36
13 36
x
x
，
令函数
236 13( ) 13 36 13 36
x xf x x x x
，
所以 2
2
13 13 72
( ) (13 36)
x x
f x x
，所以 ( )f x 在区间 724, 13
上是减函数，
在区间 72 ,913
上是增函数． 又 72 144(4) (9) 13, 13 13f f f
，
所以函数 ( )f x 的最大值为 13，最小值为 144
13
，
所以 , A B 两点间的距离| |AB 的取值范围是 12 13 , 1313
．
20．平面直角坐标系 xOy 中，已知 F 为椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
的右焦点，且 2 4a b ，过 F 作两条互相垂直的
直线交椭圆分别于 A、B 与 C、D，以 F 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求椭圆的极坐标方程与 1
AB 的代数表达式；
（2）求 1 1
AB CD
的取值范围.
【解析】由已知 2 4b a ，
（1）设 (c,0)F ，
2 2 2 2
2
4
4
a a c b ap cc c c a a
，
2 4c a ae a a
，
以右焦点 F 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为
1 cos
ep
e
，即
2
2 cos
ab
ac c
，其中 2 2c a b 2 4a a ．
设 ( , )AA ，则 ( , )BB ，
所以 2 2
2
1 cos 1 cos( ) 1 cos 1 cos 1 cosA B
ep ep ep ep epAB e e e e e
，
2 21 1 cos
2
e
AB ep
，即
2 2 2
2
1 cos
2
a c
AB ab
，
（2）由（1）得
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
cos1 1 cos cos sin 22
2 2 2 2 2
a ca c a c a c a c
AB CD ab ab ab ab ab
2 2 2
2
4
2 2 (4 )
a b a a
ab a a
，
因为 2 4a b ，所以 2 2 2 2 4 0c a b a a 且 4a ，解得 17 1 42 a ．
记
2 4( ) 2 (4 )
a af a a a
， 17 1 42 a ，
2 2
( 4)(3 4)( ) 2(4 )
a af a a a
，当 17 1 42 a 时， ( ) 0f a ， ( )f a 是增函数，
所以 17 1( ) ( , )8f a ．即 1 1 17 1( , )8AB CD
．
21．如图，椭圆
2
2: 14
x y 的两条弦 AB ， CD 满足 2DC AB ，记直线 AD 与直线 BC 交于 P 点.
（1）求 AB CD 的最大值；
（2）若 P 点在抛物线 21 34y x 上，求四边形 ABCD 面积的最大值.
【解析】（1）设 (2cos ,sin ), (2cos ,sin )C D ，
2 2 2 2 24cos sin 4cos 4sin 4,OC 则 2OC ，
2 2 2 2 24cos sin 4cos 4sin 4,OD 则 2OD ，
则 4CD OC OD ， 3 62AB CD CD ，
当取 ( 2,0), (2,0)C D 时取到等号，所以 AB CD 的最大值为 6；
（2）
经过坐标变换
1
2x x
y y
可得到上图，则新的抛物线解析式 2 3y x ，
记四边形 ABCD 面积得面积为S ，
由 3 3
4 2PCD PC DS S S ，
取C D 的中点 H，作OM A D ，设 , 2 ,A M D M b A P b OP a ，
设 2( , 3)P t t ，则 2 2 2 2 4 2 2 25 11 11( 3) 5 9 ( )2 4 4a t t t t t ，
且 1 3a OP OA A D A D ，则 11 ,32a
.
由于 21OM b ，则在 Rt OMP 内，有 2 2 21 9b b a ，得 2 28 1b a .
设OH y ，则 21HD y ，且 P M P D P O PH ，
得 212 ( )b a a y ，故
2 3
2
ay a
，
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 3 3 ( 3) 3( 1) 9 ( 3) ( 1)1 12 2 2 4 2 4 4P C D
a a a aS S D H P H a a a a
记
2 2 3
2
2
( 3) ( 1) (9 )( 1) 11( ) 1 , ,94 4 4
x x x xf x x ax x x
，
由于
2 2
3
( 1) ( 4 9)( ) 2
x x xf x x
，
则 ( )f x 的最大值在 112 13 ,94x
时取到，
此时 9 9 1 13 3 13 6(2 13) (7 13)(1 13) 2 2 134 4 42(2 13)
S f
.
22．已知点
Ro ocos 쳌 R osin쳌
（
）为平面直角坐标系
体
中的点，点 S 为线段 AB 的中点，
当
变化时，点 S 形成轨迹
．
（1）求 S 点的轨迹
的方程；
（2）若点 M 的坐标为
Rǡ쳌
，是否存在直线
交 S 点的轨迹
于 P、Q 两点，且使点
Rǡ쳌
为
香䁞
的垂心？
若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设
R쳌
,因为
点为
Ro ocos 쳌 R osin쳌
的中点，
则
ocos
sin
（
），消去
得到
点的轨迹方程为
o
o
o
ǡ
； （5 分）
（2）假设存在直线
交椭圆于 ， 两点，设 ，
因为 为△ 的垂心，点 ，
故 ．于是设直线
的方程为 ，
由 得 ．
由 ，得 ， 且 , ．
由题意应有 ，又
䁞 Rǡǡ ǡ쳌 香 Ro ǡo쳌
，
故 ，得 ,
即 ,
整理得 ,解得 或 ．
经检验，当 时，△ 不存在，故舍去 ,
当 时，满足 ，所求直线
存在，
的方程为 ．
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